Üslü İfade Tanımı
\( x^n \) ifadesi \( n \) tane \( x \) sayısının çarpımını ifade eder. Bu ifadede \( x \) sayısına taban, \( n \) sayısına \( x \)'in üssü ya da kuvveti denir.
\( x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot x \ldots x}_\text{n adet} \)
\( 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \)
\( (-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = -64 \)
Çarpma işleminin tekrarlı toplama işlemi olmasına benzer şekilde, üs işlemi de tekrarlı çarpma işlemi olarak düşünülebilir.
Bir sayının farklı kuvvetleri aşağıdaki şekilde okunur.
\( 5^2 \): 5'in karesi, 5'in ikinci kuvveti ya da 5 üssü 2
\( 5^3 \): 5'in küpü, 5'in üçüncü kuvveti ya da 5 üssü 3
\( 5^n \): 5'in \( n \). kuvveti ya da 5 üssü \( n \)
İşlem önceliği açısından üs işlemi diğer işlemlerden ve negatif işaretinden önceliklidir. Aşağıdaki işlemlerin tümünde üs işleminin tabanı \( -2 \) değil \( 2 \)'dir ve negatif işareti üs işleminin sonucuna uygulanır.
\( -2^2 = (-2^2) = -(2)^2 = -4 \)
Negatif bir sayının üssünü almak için, üs işlemi negatif işaretini de içerecek şekilde tüm paranteze uygulanmalıdır.
\( (-2)^2 = +4 \)
NOT: Bir üslü ifadede taban ve üs çoğu durumda reel hatta karmaşık sayı olabilir. Her ne kadar paylaşacağımız kural ve ispatların çoğu reel sayılarda geçerli olsa da, biz bu konu anlatımında tabanı reel sayılarla, üssü rasyonel sayılarla sınırlı tutacağız.
Aşağıdaki işlemlerin sonucu kaçtır?
(a) \( 4^3 + 3^4 - 5^3 \)
(b) \( -2^4 + (-5^2) - 3^3 \)
(c) \( (-3)^4 - (-7)^2 + (-2)^5 \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( 4^3 + 3^4 - 5^3 \)
Her bir terimi ayrı ayrı hesaplayalım.
\( 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \)
\( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \)
\( 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \)
Bu değerleri ifadede yerine koyalım.
\( = 64 + 81 - 125 = 20 \)
(b) seçeneği:
\( -2^4 + (-5^2) - 3^3 \)
Her bir üs işleminin tabanını vurgulamak için parantez kullanalım.
\( = -(2^4) + (-(5^2)) - (3^3) \)
Her bir terimi ayrı ayrı hesaplayalım.
\( 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \)
\( 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \)
\( 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27 \)
Bu değerleri ifadede yerine koyalım.
\( = -16 + (-25) - 27 = -68 \)
(c) seçeneği:
\( (-3)^4 - (-7)^2 + (-2)^5 \)
Her bir terimi ayrı ayrı hesaplayalım.
\( (-3)^4 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81 \)
\( (-7)^2 = (-7) \cdot (-7) = 49 \)
\( (-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32 \)
Bu değerleri ifadede yerine koyalım.
\( = 81 - 49 + (-32) = 0 \)
0 ve 1'le Üslü İşlemler
0 ve 1'in taban veya üste olduğu durumları ayrıca incelememiz faydalı olacaktır.
Sayıların 0. Kuvveti
0 hariç tüm sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
\( x \ne 0 \) olmak üzere,
\( x^0 = 1 \)
\( 3^0 = (-5)^0 = (\frac{2}{3})^0 = \pi^0 = 1 \)
İSPATI GÖSTER
\( 1 = \dfrac{x^n}{x^n} = x^n \cdot x^{-n} = x^{n - n} = x^0 \)
Sayıların 1. Kuvveti
Tüm sayıların birinci kuvveti kendisine eşittir.
\( x^1 = x \)
\( 5^1 = 5 \)
\( (-2)^1 = -2 \)
\( 0^1 = 0 \)
0'ın Kuvvetleri
0'ın pozitif kuvvetleri 0'a eşittir.
\( n \gt 0 \) olmak üzere,
\( 0^n = \underbrace{0 \cdot 0 \cdot 0 \ldots 0}_\text{n adet} = 0 \)
\( 0^3 = 0 \)
0'ın negatif kuvvetleri tanımsızdır.
\( n \lt 0 \) olmak üzere,
\( 0^n \Longrightarrow \) Tanımsız
\( 0^{-2} \Longrightarrow \) Tanımsız
İSPATI GÖSTER
\( n \gt 0 \) olarak kabul edelim.
\( 0^{-n} = \dfrac{1}{0^n} = \dfrac{1}{0} \)
Bir sayının sıfıra bölündüğü bu ifade tanımsızdır.
0 sayısının sıfırıncı kuvveti (\( 0^0 \)) matematiğin bazı alanlarında 1 bazı alanlarında tanımsız olarak kabul edilir. Bu konuda kesin bir kabulde bulunmayı giriş seviyesinde matematikte gerekli görmüyoruz.
1'in Kuvvetleri
1'in tüm kuvvetleri 1'dir.
\( 1^n = 1 \)
\( 1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \)
Üslü İfade Değerleri
1-9 Arası Sayıların Üsleri
1-9 arası sayıların 1000'e kadarki üs değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu değerlerin bilinmesi ya da hızlıca hesaplanabilmesi sınavlarda kolaylık sağlayacaktır.
Tam Kare Üslü İfadeler
1-30 arası sayıların tam kare değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
\( 0^3 - 4^0 + (-5)^0 - (-1)^4 + (-2)^1 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterHer bir terimi ayrı ayrı hesaplayalım.
\( 0^3 = 0 \)
\( 4^0 = 1 \)
\( (-5)^0 = 1 \)
\( (-1)^4 = 1 \)
\( (-2)^1 = -2 \)
Bu değerleri ifadede yerine koyalım.
\( 0^3 - 4^0 + (-5)^0 - (-1)^4 + (-2)^1 \)
\( = 0 - 1 + 1 - 1 + (-2) = -3 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a^b = 256 \) eşitliğini sağlayan \( a \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitliği sağlayan pozitif tam sayı \( a \) ve \( b \) değerleri aşağıdaki gibidir.
\( 2^8 = 256 \Longrightarrow a = 2 \)
\( 4^4 = 256 \Longrightarrow a = 4 \)
\( 16^2 = 256 \Longrightarrow a = 16 \)
\( 256^1 = 256 \Longrightarrow a = 256 \)
Buna göre \( a \) değerlerinin toplamı \( 2 + 4 + 16 + 256 = 278 \) olur.
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a^b = 64 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b) \) ikilisi vardır?
Çözümü Göster\( a \)'nın pozitif olduğu durumda eşitliği sağlayan dört \( (a, b) \) ikilisi vardır.
\( 2^6 = 64 \)
\( 4^3 = 64 \)
\( 8^2 = 64 \)
\( 64^1 = 64 \)
Bu çözümlerden \( b \)'nin çift sayı olduğu durumlarda \( a \)'nın negatif değerleri de eşitliği sağlar.
\( (-2)^6 = 64 \)
\( (-8)^2 = 64 \)
Buna göre eşitliği sağlayan altı \( (a, b) \) ikilisi vardır.
\( A = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 10^3 \) eşitliğindeki üslü ifadelerin tabanı 1'er artırılırsa \( A \) değeri kaç artar?
Çözümü GösterEşitlikteki üslü ifadelerin tabanını 1'er artıralım.
\( (1 + 1)^3 + (2 + 1)^3 + (3 + 1)^3 + \ldots + (10 + 1)^3 \)
\( = 2^3 + 3^3 + 4^3 + \ldots + 11^3 \)
Bulduğumuz ifadeden \( A \) sayısını çıkardığımızda \( A \) değerinin kaç arttığını buluruz.
\( (2^3 + 3^3 + \ldots + 11^3) - (1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 10^3) \)
İki terim dışında tüm terimler birbirini götürür.
\( = 11^3 - 1^3 \)
\( = 1331 - 1 = 1330 \) bulunur.
Aşağıdaki sayılardan hangisi bir tam kare sayıdır?
(a) \( 2! \cdot 25! \)
(b) \( 16! \cdot 17! \)
(c) \( 16! \cdot 25! \)
(d) \( 35! \cdot 36! \)
(e) \( 25! \cdot 75! \)
Çözümü GösterBir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayı denir.
Bir sayının tam kare olması için, asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılışındaki tüm kuvvetler çift sayı olmalıdır.
(a) seçeneği:
\( 2! \cdot 25! \)
Örneğin 23 asal sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için sayı tam kare değildir.
(b) seçeneği:
\( 16! \cdot 17! \)
17 sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için sayı tam kare değildir.
\( 16! \cdot 17! = 16! \cdot 16! \cdot 17 \)
\( = (16!)^2 \cdot 17 \)
(c) seçeneği:
\( 16! \cdot 25! \)
Örneğin 17 asal sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için sayı tam kare değildir.
\( 16! \cdot 25! = 16! \cdot 16! \cdot 17 \cdot \ldots \cdot 25 \)
(d) seçeneği:
\( 35! \cdot 36! \)
Yukarıda verdiğimiz tanıma uygun şekilde yazılabildiği için sayı tam karedir.
\( 35! \cdot 36! = 35! \cdot 35! \cdot 36 \)
\( = (35!)^2 \cdot 6^2 \)
(e) seçeneği:
\( 25! \cdot 75! \)
Örneğin 73 asal sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için tam kare değildir.
\( 25! \cdot 75! \)
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (a^b)^c = 64 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b, c) \) üçlüsü vardır?
Çözümü Göster\( c \)'nin alabileceği dört farklı değer için oluşan durumları ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: \( c = 1 \)
\( 64 = 64^1 = (a^b)^1 \)
\( a^b = 64 \)
Bu durumda \( a \) ve \( b \) aşağıdaki değerleri alabilir.
\( (2^6)^1 = 64 \)
\( (4^3)^1 = 64 \)
\( (8^2)^1 = 64 \)
\( (64^1)^1 = 64 \)
Durum 2: \( c = 2 \)
\( 64 = 8^2 = (a^b)^2 \)
\( a^b = 8 \)
Bu durumda \( a \) ve \( b \) aşağıdaki değerleri alabilir.
\( (2^3)^2 = 64 \)
\( (8^1)^2 = 64 \)
Durum 3: \( c = 3 \)
\( 64 = 4^3 = (a^b)^3 \)
\( a^b = 4 \)
Bu durumda \( a \) ve \( b \) aşağıdaki değerleri alabilir.
\( (2^2)^3 = 64 \)
\( (4^1)^3 = 64 \)
Durum 4: \( c = 6 \)
\( 64 = 2^6 = (a^b)^6 \)
\( a^b = 2 \)
Bu durumda \( a \) ve \( b \) aşağıdaki değerleri alabilir.
\( (2^1)^6 = 64 \)
Buna göre verilen eşitliği sağlayan dokuz \( (a, b, c) \) üçlüsü vardır.
\( a \) bir tam kare ve \( b \) bir tam küp sayı olduğuna göre, \( ab \) çarpımı için hangisi her zaman doğrudur?
(a) Hem tam kare hem de tam küptür.
(b) Ne tam kare ne de tam küptür.
(c) Tam kare veya tam küp olabilir ya da olmayabilir.
(d) Tam karedir, ama tam küp değildir.
(e) Tam karedir, tam küp olabilir ya da olmayabilir.
Çözümü GösterBir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayı, bir tam sayının küpü olan sayılara tam küp sayı denir.
Durum 1:
\( a = 4, \quad b = 8 \)
\( ab = 32 \)
Bu örnekte \( ab \) ne tam karedir ne de tam küptür.
Durum 2:
\( a = 4, \quad b = 64 \)
\( ab = 256 = 16^2 \)
Bu örnekte \( ab \) tam karedir, ama tam küp değildir.
Durum 3:
\( a = 64, \quad b = 8 \)
\( ab = 512 = 8^3 \)
Bu örnekte \( ab \) tam kare değildir, ama tam küptür.
Durum 4:
\( a = 64, \quad b = 64 \)
\( ab = 4096 = 64^2 = 16^3 \)
Bu örnekte \( ab \) hem tam karedir hem de tam küptür.
Buna göre doğru seçenek "(c) Tam kare veya tam küp olabilir ya da olmayabilir." olur.
\( 260 \) ile \( 260^2 \) arasında kaç tane tam kare sayı vardır?
Çözümü GösterBir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayı denir.
Önce verilen aralıktaki en küçük tam kare sayıyı bulalım.
260 sayısının hangi iki tam kare sayı arasında olduğunu bulalım.
\( 16^2 = 256 \)
\( 17^2 = 289 \)
\( 16^2 \lt 260 \lt 17^2 \)
Verilen aralıktaki en küçük tam kare sayı \( 17^2 \) olur.
Buna göre soruda istenen, (bu iki sayı dahil olmak üzere) \( 17^2 \) ile \( 259^2 \) arasındaki tam kare sayılardır.
Bu sayılar aşağıdaki gibidir.
\( 17^2, 18^2, 19^2 \ldots, 258^2, 259^2 \)
İki sayı arasında \( 259 - 17 + 1 = 243 \) tane tam kare sayı vardır.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n^2 + 63 \) ifadesini tam kare yapan \( n \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( m \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n^2 + 63 = m^2 \) diyelim.
\( 63 = m^2 - n^2 \)
\( 63 = (m - n)(m + n) \)
63'ün pozitif bölenleri \( = \{ 1, 3, 7, 9, 21, 63 \} \)
Buna göre istenen durum üç şekilde oluşur.
Durum 1:
\( 63 = 1 \cdot 63 \)
\( m - n = 1 \)
\( m + n = 63 \)
Buradan \( m = 32 \) ve \( n = 31 \) bulunur.
Durum 2:
\( 63 = 3 \cdot 21 \)
\( m - n = 3 \)
\( m + n = 21 \)
Buradan \( m = 12 \) ve \( n = 9 \) bulunur.
Durum 3:
\( 63 = 7 \cdot 9 \)
\( m - n = 7 \)
\( m + n = 9 \)
Buradan \( m = 8 \) ve \( n = 1 \) bulunur.
Verilen ifadeyi tam sayı yapan \( n \) değerlerinin toplamı \( 31 + 9 + 1 = 41 \) olarak bulunur.
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 2^{2^x} \) sekiz basamaklı bir tam sayı olduğuna göre, \( x \) hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?
Çözümü GösterFarklı \( x \) değerleri için ifadenin değerini hesaplayalım.
\( 2^{2^1} = 2^2 = 4 \)
\( 2^{2^2} = 2^4 = 16 \)
\( 2^{2^3} = 2^8 = 256 \)
\( 2^{2^4} = 2^{16} = 65536 \)
\( 2^{2^5} = 2^{32} = 65536^2 \)
\( 10000^2 = 10^8 \) sayısı 9 basamaklı olduğu için \( 65536^2 \) sayısının en az 9 basamaklı olduğunu söyleyebiliriz.
Buna göre \( x \) aşağıdaki iki tam sayı arasında olmalıdır.
\( 4 \lt x \lt 5 \)
\( 3^5 - 3 \) ile \( 3^{15} - 3 \) arasında kaç tane tam küp sayı (bir tam sayının küpü olan sayı) vardır?
Çözümü GösterBir tam sayının küpü olan sayılara tam küp sayı denir.
Önce verilen aralıktaki en küçük tam küp sayıyı bulalım.
\( 3^5 - 3 = 243 - 3 = 240 \) sayısına en yakın tam küp \( 6^3 = 216 \)'dır.
\( 216 \lt 240 \) olduğundan verilen aralıktaki en küçük tam küp sayı \( 7^3 = 343 \) olur.
Şimdi verilen aralıktaki en büyük tam küp sayıyı bulalım.
\( 3^{15} - 3 = (3^5)^3 - 3 = 243^3 - 3 \)
\( 3^{15} - 3 \lt 3^{15} \) olduğundan verilen aralıktaki en büyük tam küp sayı \( 242^3 \) olur.
Buna göre soruda istenen, (bu iki sayı dahil olmak üzere) \( 7^3 \) ile \( 242^3 \) arasındaki tam küp sayılardır.
Bu sayılar aşağıdaki gibidir.
\( 7^3, 8^3, 9^3 \ldots, 241^3, 242^3 \)
İki sayı arasında \( 242 - 7 + 1 = 236 \) tane tam küp sayı vardır.
\( 1 \le n \le 200 \) olmak üzere,
\( n^n \) ifadesini tam kare yapan kaç tane \( n \) tam sayısı vardır?
Çözümü GösterBir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayı denir.
\( n^n \) ifadesi iki durumda tam kare olur.
Durum 1:
\( n \) çift ise \( n^n \) ifadesi tam kare olur.
Örnek: \( 10^{10} = 10^{2 \cdot 5} = (10^5)^2 \)
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n = 2k \)
\( n^n = n^{2k} = (n^k)^2 \)
\( 2^2, 4^4, 6^6, 8^8, \ldots, 200^{200} \)
1-200 aralığında 100 tane çift sayı \( n \) değeri vardır.
Durum 2:
\( n \) tek ve bir tam kare sayı ise \( n^n \) ifadesi tam kare olur.
Bu koşulu sağlayan 7 tane tek sayı \( n \) değeri vardır.
\( 1^1 = (1^2)^1, 9^9 = (3^2)^9, 25^{25} = (5^2)^{25} \)
\( 49^{49} = (7^2)^{49}, 81^{81} = (9^2)^{81}, \)
\( 121^{121} = (11^2)^{121}, 169^{169} = (13^2)^{169} \)
Buna göre \( n^n \) ifadesini tam kare yapan \( 100 + 7 = 107 \) tane \( n \) tam sayısı vardır.
\( 1 \le n \le 300 \) olmak üzere,
\( n^n \) ifadesini tam küp yapan kaç tane \( n \) tam sayısı vardır?
Çözümü GösterBir tam sayının küpü olan sayılara tam küp sayı denir.
\( n^n \) ifadesi iki durumda tam küp olur.
Durum 1:
\( n \) sayısı 3'ün tam sayı katı ise \( n^n \) ifadesi tam küp olur.
Örnek: \( 12^{12} = 12^{3 \cdot 4} = (12^4)^3 \)
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n = 3k \)
\( n^n = n^{3k} = (n^k)^3 \)
\( 3^3, 6^6, 9^9, 12^{12}, \ldots, 300^{300} \)
1-300 aralığında 3'ün tam sayı katı 100 tane \( n \) değeri vardır.
Durum 2:
Ek olarak \( n \) sayısının kendisi bir tam küp sayı olduğunda \( n^n \) ifadesi tam küp olur.
Bu koşulu sağlayan 5 tane tam küp \( n \) değeri vardır.
\( 1^1 = (1^3)^1 \)
\( 8^8 = (2^3)^8 \)
\( 64^{64} = (4^3)^{64} \)
\( 125^{125} = (5^3)^{125} \)
\( 216^{216} = (6^3)^{216} \)
\( n = 216 \) sayısı 3'ün tam sayı katı olduğu için durum 1'e de dahildir.
Buna göre \( n^n \) ifadesini tam küp yapan \( 100 + 5 - 1 = 104 \) tane \( n \) tam sayısı vardır.