Üslü İfade Tanımı
\( x^n \) ifadesi \( n \) tane \( x \) sayısının çarpımını ifade eder. Bu ifadede \( x \) sayısına işlemin tabanı, \( n \) sayısına \( x \)'in üssü ya da kuvveti denir.
\( x^n = \underbrace{x \cdot x \cdot x \ldots x}_\text{n adet} \)
\( 2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \)
\( (-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \)
Çarpma işleminin tekrarlı toplama işlemi olmasına benzer şekilde, üs işlemi de tekrarlı çarpma işlemi olarak düşünülebilir.
Bir sayının farklı kuvvetleri aşağıdaki şekilde okunur.
\( 5^2 \): 5'in karesi, 5'in 2. kuvveti ya da 5 üssü 2
\( 5^3 \): 5'in küpü, 5'in 3. kuvveti ya da 5 üssü 3
\( 5^n \): 5'in \( n \). kuvveti ya da 5 üssü \( n \)
Üs işleminin önceliği diğer işlemlerden ve negatif işaretinden yüksektir. Aşağıdaki işlemlerin tümünde üs işleminin tabanı \( -2 \) değil \( 2 \)'dir ve negatif işareti üs işleminin sonucuna uygulanır.
\( -2^2 = (-2^2) = -(2)^2 = -4 \)
Negatif bir sayının üssünü almak için, üs işlemi negatif işareti parantezin içinde kalacak şekilde tüm paranteze uygulanmalıdır.
\( (-2)^2 = +4 \)
\( -2^4 + (-5^2) - 3^2 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİşlemlerin öncelik sırasını vurgulamak için parantez kullanalım.
\( -(2^4) + (-(5^2)) - (3^2) \)
\( = -16 + (-25) - 9 \)
\( = -16 - 25 - 9 \)
\( = -50 \) bulunur.
0 ve 1'le Üslü İşlemler
Sayıların 0. Kuvveti
0 hariç tüm reel sayıların sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
\( x \ne 0 \) olmak üzere,
\( x^0 = 1 \)
\( 3^0 = 1 \)
\( (-5)^0 = 1 \)
\( (\frac{2}{3})^0 = 1 \)
\( \pi^0 = 1 \)
İSPATI GÖSTER
\( 1 = \dfrac{x^n}{x^n} = x^n \cdot x^{-n} = x^{n - n} = x^0 \)
Sayıların 1. Kuvveti
Tüm reel sayıların birinci kuvveti kendisine eşittir.
\( x^1 = x \)
\( 5^1 = 5 \)
\( (-2)^1 = -2 \)
\( (\frac{2}{3})^1 = \frac{2}{3} \)
\( 0^1 = 0 \)
\( \pi^1 = \pi \)
0'ın Kuvvetleri
0 sayısının pozitif reel sayı kuvvetleri 0'a eşittir.
\( n \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( 0^n = 0 \)
\( 0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 \)
\( 0^{\frac{3}{4}} = 0 \)
\( 0^{\pi} = 0 \)
0 sayısının negatif reel sayı kuvvetleri tanımsızdır.
\( n \in \mathbb{R^-} \) olmak üzere,
\( 0^n \Longrightarrow \) Tanımsız
\( 0^{-2} = \dfrac{1}{0^2} \Longrightarrow \) Tanımsız
0 sayısının 0. kuvveti için kesin kabul görmüş bir değer yoktur ve matematiğin farklı dallarında farklı sebeplerle tanımsız ya da 1 olarak kabul edilir.
1'in Kuvvetleri
1'in tüm reel sayı kuvvetleri 1'dir.
\( n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 1^n = 1 \)
\( 1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \)
\( 1^{-5} = 1 \)
\( 1^{\frac{2}{3}} = 1 \)
\( 1^{\pi} = 1 \)
Pozitif/Negatif Sayıların Tek/Çift Sayı Üsleri
Pozitif/negatif sayıların pozitif tek/çift sayı üslerinin pozitif/negatif olma durumları aşağıdaki gibidir.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| \( (+)^\text{Çift} = (+) \) | \( 3^2 = 9 \) |
| \( (+)^\text{Tek} = (+) \) | \( 3^3 = 27 \) |
| \( (-)^\text{Çift} = (+) \) | \( (-3)^2 = 9 \) |
| \( (-)^\text{Tek} = (-) \) | \( (-3)^3 = -27 \) |
Bu tabloya göre; üs çift sayı ise sonucun işareti her zaman pozitif, tek sayı ise tabanın işareti ile aynıdır.
Tek/Çift Sayıların Tek/Çift Sayı Üsleri
Üs bir pozitif tam sayı olmak üzere, tek ve çift sayılar arasındaki üs işleminin sonucunun tek/çift olma durumları aşağıdaki gibidir.
| İşlem | Örnek |
|---|---|
| \( \text{Çift}^\text{Çift} = \text{Çift} \) | \( 4^2 = 16 \) |
| \( \text{Çift}^\text{Tek} = \text{Çift} \) | \( 4^3 = 64 \) |
| \( \text{Tek}^\text{Çift} = \text{Tek} \) | \( 3^2 = 9 \) |
| \( \text{Tek}^\text{Tek} = \text{Tek} \) | \( 3^3 = 27 \) |
Buna göre sonucun tek/çift olma durumu açısından üssün bir önemi yoktur, taban çift ise sonuç çifttir, taban tek ise sonuç tektir. Bunun sebebi, çarpan sayısından bağımsız olarak çift sayıların çarpımının çift sayı, tek sayıların çarpımının tek sayı olmasıdır.
\( 0^3 - 4^0 + (-5)^0 - (-1)^4 + (-2)^1 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster0 ve 1'in tabanda ve üste olduğu durumlarla ilgili kuralları kullanalım.
\( 0^3 = 0 \)
\( 4^0 = 1 \)
\( (-5)^0 = 1 \)
\( (-1)^4 = 1 \)
\( (-2)^1 = -2 \)
Bu değerleri ifadede yerine koyalım.
\( 0^3 - 4^0 + (-5)^0 - (-1)^4 + (-2)^1 \)
\( = 0 - 1 + 1 - 1 + (-2) = -3 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a^b = 256 \) eşitliğini sağlayan \( a \) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitliği sağlayan pozitif tam sayı \( a \) ve \( b \) değerleri aşağıdaki gibidir.
\( 2^8 = 256 \Longrightarrow a = 2 \)
\( 4^4 = 256 \Longrightarrow a = 4 \)
\( 16^2 = 256 \Longrightarrow a = 16 \)
\( 256^1 = 256 \Longrightarrow a = 256 \)
Buna göre \( a \) değerlerinin toplamı \( 2 + 4 + 16 + 256 = 278 \) olur.
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( a^b = 64 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b) \) ikilisi vardır?
Çözümü Göster\( a \)'nın pozitif olduğu durumda eşitliği sağlayan dört \( (a, b) \) ikilisi vardır.
\( 2^6 = 64 \)
\( 4^3 = 64 \)
\( 8^2 = 64 \)
\( 64^1 = 64 \)
Bu çözümlerden \( b \)'nin çift sayı olduğu durumlarda \( a \)'nın negatif değerleri de eşitliği sağlar.
\( (-2)^6 = 64 \)
\( (-8)^2 = 64 \)
Buna göre eşitliği sağlayan altı \( (a, b) \) ikilisi vardır.
\( a, b, c \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (a^b)^c = 64 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b, c) \) üçlüsü vardır?
Çözümü GösterÖnce \( c = 1 \) olan durumları listeleyelim.
\( (2^6)^1 = 64 \)
\( (4^3)^1 = 64 \)
\( (8^2)^1 = 64 \)
\( (64^1)^1 = 64 \)
\( c = 2 \) olan durumları listeleyelim.
\( (2^3)^2 = 64 \)
\( (8^1)^2 = 64 \)
\( c = 3 \) olan durumları listeleyelim.
\( (2^2)^3 = 64 \)
\( (4^1)^3 = 64 \)
\( c = 6 \) olan durumları listeleyelim.
\( (2^1)^6 = 64 \)
Buna göre verilen eşitliği sağlayan dokuz \( (a, b, c) \) üçlüsü vardır.
Üslü İfade Değerleri
1-9 Arası Sayıların Üsleri
1-9 arası sayıların 1000'e kadarki üs değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu değerlerin ezbere bilinmesi ya da hızlıca hesaplanabilmesi sınavlarda kolaylık sağlayacaktır.
Tam Kare Üslü İfadeler
1-30 arası sayıların tam kare değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Üslü İfadelerin Son Rakamı
Son basamağı 0, 1, 5 ya da 6 olan sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin son basamakları yine sırasıyla 0, 1, 5, 6 olur. Bunun sebebi, bu rakamların kendileriyle bir kez çarpımında bu durumun oluşması ve diğer tüm kuvvetlerinde aynı durumun devam etmesidir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..0)^n = (....0) \)
\( (..1)^n = (....1) \)
\( (..5)^n = (....5) \)
\( (..6)^n = (....6) \)
Son basamağı 4 ya da 9 olan sayıların 1. ve sonraki ikişerli artan pozitif tam sayı kuvvetlerinin (3, 5, 7, vb.) son basamakları yine sırasıyla 4, 9 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..4)^{2n + 1} = (....4) \)
\( (..9)^{2n + 1} = (....9) \)
Son basamağı 2, 3, 7 ya da 8 olan sayıların 1. ve sonraki dörderli artan pozitif tam sayı kuvvetlerinin (5, 9, 13, vb.) son basamakları yine sırasıyla 2, 3, 7, 8 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..2)^{4n + 1} = (....2) \)
\( (..3)^{4n + 1} = (....3) \)
\( (..7)^{4n + 1} = (....7) \)
\( (..8)^{4n + 1} = (....8) \)
\( 3^{135} \) sayısının birler basamağındaki rakam nedir?
Çözümü Göster3'ün birkaç tam sayı üssünü bulalım.
\( 3^1 = 3 \)
\( 3^2 = 9 \)
\( 3^3 = 27 \)
\( 3^4 = 81 \)
\( 3^5 = 243 \)
\( 3^6 = 729 \)
\( 3^7 = 2187 \)
3'ün kuvvetlerinin birler basamağındaki rakamların \( 3, 9, 7, 1 \) şeklinde periyodik şekilde ilerlediğini görüyoruz.
Bu örüntü 4 sayıda bir başa döndüğünden 135. kuvvetin hangi rakama karşılık geldiğini bulmak için 135'in 4'e bölümünden kalanı bulalım.
\( 135 = 4 \cdot 33 + 3 \)
Buna göre \( 3^{135} \) sayısının birler basamağındaki rakam \( 3^3 \) sayısının birler basamağındaki rakamla aynıdır.
Bu durumda \( 3^{135} \)'in birler basamağındaki sayı 7'dir.
\( a = 31^{13}, \quad b = 24^{14}, \quad c = 37^{19} \)
sayılarının birler basamaklarındaki rakamların çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterBirler basamağı 1 olan sayıların tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin birler basamağı 1 olur.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( (..1)^n = (....1) \)
\( 31^{13} = (....1) \)
Birler basamağı 4 olan sayıların pozitif çift sayı kuvvetlerinin birler basamağı 6, pozitif tek sayı kuvvetlerinin birler basamağı 4 olur.
\( (..4)^{2n} = (....6) \)
\( (..4)^{2n + 1} = (....4) \)
\( 24^{14} = (....6) \)
Birler basamağı 7 olan sayıların 1. ve sonraki dörderli artan pozitif tam sayı kuvvetlerinin birler basamağı 7 olur.
\( (..7)^{4n + 1} = (....7) \)
\( 37^1 = 37^{17} = (....7) \)
\( 37^{18} = (....9) \)
\( 37^{19} = (....3) \)
Sayıların birler basamaklardaki rakamların çarpımı \( 1 \cdot 6 \cdot 3 = 18 \) olur.
Aşağıdaki sayılardan hangisi bir tam kare sayıdır?
(a) \( 2! \cdot 25! \)
(b) \( 16! \cdot 17! \)
(c) \( 16! \cdot 25! \)
(d) \( 35! \cdot 36! \)
(e) \( 25! \cdot 75! \)
Çözümü GösterBir sayının tam kare olması için, sayı tüm asal çarpanlarının kuvveti çift sayı olacak şekilde yazılabilmelidir.
(a) seçeneğinde örneğin 23 asal sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için tam kare değildir.
(b) seçeneğinde 17 sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için tam kare değildir.
\( 16! \cdot 17! = 16! \cdot 16! \cdot 17 \)
\( = (16!)^2 \cdot 17 \)
(c) seçeneğinde örneğin 17 asal sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için tam kare değildir.
\( 16! \cdot 25! = 16! \cdot 16! \cdot 17 \cdot \ldots \cdot 25 \)
(d) seçeneği yukarıda verdiğimiz tanıma uygun şekilde yazılabildiği için tam kare sayıdır.
\( 35! \cdot 36! = 35! \cdot 35! \cdot 36 \)
\( = (35!)^2 \cdot 6^2 \)
(e) seçeneğinde örneğin 73 asal sayısı çarpan olarak sadece bir kez bulunduğu için tam kare değildir.
\( 25! \cdot 75! \)
\( a \) bir tam kare ve \( b \) bir tam küp sayı olmak üzere,
\( ab \) çarpımı için hangisi her zaman doğrudur?
(a) Hem tam kare hem de tam küptür.
(b) Ne tam kare ne de tam küptür.
(c) Tam kare veya tam küp olabilir ya da olmayabilir.
(d) Tam karedir, ama tam küp değildir.
(e) Tam karedir, tam küp olabilir ya da olmayabilir.
Çözümü GösterCevabı her durum için birer örnek vererek bulalım.
Durum 1:
\( a = 4, \quad b = 8 \)
\( ab = 32 \)
Bu örnekte \( ab \) ne tam karedir ne de tam küptür.
Durum 2:
\( a = 4, \quad b = 64 \)
\( ab = 256 = 16^2 \)
Bu örnekte \( ab \) tam karedir, ama tam küp değildir.
Durum 3:
\( a = 64, \quad b = 8 \)
\( ab = 512 = 8^3 \)
Bu örnekte \( ab \) tam kare değildir, ama tam küptür.
Durum 4:
\( a = 64, \quad b = 64 \)
\( ab = 4096 = 64^2 = 16^3 \)
Bu örnekte \( ab \) hem tam karedir hem de tam küptür.
Buna göre doğru seçenek "(c) Tam kare veya tam küp olabilir ya da olmayabilir." olur.
\( 260 \) ile \( 260^2 \) arasında kaç tane tam kare sayı vardır?
Çözümü GösterÖnce verilen aralıktaki en küçük tam kare sayıyı bulalım.
260 sayısının hangi iki tam kare sayı arasında olduğunu bulalım.
\( 16^2 = 256 \)
\( 17^2 = 289 \)
\( 16^2 \lt 260 \lt 17^2 \)
Verilen aralıktaki en küçük tam kare sayı \( 17^2 \) olur.
Buna göre soruda istenen (bu iki sayı dahil olmak üzere) \( 17^2 \) ile \( 259^2 \) arasındaki tam kare sayılardır.
Bu sayılar aşağıdaki gibidir.
\( 17^2, 18^2, 19^2 \ldots, 258^2, 259^2 \)
İki sayı arasında \( 259 - 17 + 1 = 243 \) tane tam kare sayı vardır.
\( 3^5 - 3 \) ile \( 3^{15} - 3 \) arasında kaç tane kübik (bir tam sayının küpü) tam sayı vardır?
Çözümü GösterÖnce verilen aralıktaki en küçük kübik sayıyı bulalım.
\( 3^5 - 3 = 243 - 3 = 240 \) sayısına en yakın kübik tam sayı \( 6^3 = 216 \)'dır.
\( 216 \lt 240 \) olduğundan verilen aralıktaki en küçük kübik sayı \( 7^3 = 343 \) olur.
Şimdi verilen aralıktaki en büyük kübik sayıyı bulalım.
\( 3^{15} - 3 = (3^5)^3 - 3 = 243^3 - 3 \)
\( 3^{15} - 3 \lt 3^{15} \) olduğundan verilen aralıktaki en büyük kübik sayı \( 242^3 \) olur.
Buna göre soruda istenen (bu iki sayı dahil olmak üzere) \( 7^3 \) ile \( 242^3 \) arasındaki kübik sayılardır.
Bu sayılar aşağıdaki gibidir.
\( 7^3, 8^3, 9^3 \ldots, 241^3, 242^3 \)
İki sayı arasında \( 242 - 7 + 1 = 236 \) tane kübik sayı vardır.
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 2^{2^x} \) sekiz basamaklı bir tam sayı olduğuna göre, \( x \) hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?
Çözümü GösterFarklı \( x \) değerleri için ifadenin değerini hesaplayalım.
\( 2^{2^1} = 2^2 = 4 \)
\( 2^{2^2} = 2^4 = 16 \)
\( 2^{2^3} = 2^8 = 256 \)
\( 2^{2^4} = 2^{16} = 65536 \)
\( 2^{2^5} = 2^{32} = 65536^2 \)
\( 10000^2 = 10^8 \) sayısı 9 basamaklı olduğu için \( 65536^2 \) sayısının en az 9 basamaklı olduğunu söyleyebiliriz.
Buna göre \( x \) aşağıdaki iki tam sayı arasında olmalıdır.
\( 4 \lt x \lt 5 \)
\( 1 \le n \le 200 \) olmak üzere,
\( n^n \) ifadesini tam kare yapan kaç tane \( n \) tam sayısı vardır?
Çözümü GösterBir tam sayının karesi olan sayılara tam kare sayı denir.
\( n^n \) ifadesi iki durumda tam kare olur.
Durum 1:
\( n \) çift ise \( n^n \) ifadesi tam kare olur.
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n = 2k \)
\( n^n = n^{2k} = (n^k)^2 \)
\( 2^2, 4^4, 6^6, 8^8, \ldots, 200^{200} \)
1-200 aralığında 100 tane çift sayı \( n \) değeri vardır.
Durum 2:
\( n \) tek ise \( n \) sayısının kendisi bir tam kare sayı olduğunda \( n^n \) ifadesi tam kare olur.
\( 1^1 = (1^2)^1, 9^9 = (3^2)^9, 25^{25} = (5^2)^{25} \)
\( 49^{49} = (7^2)^{49}, 81^{81} = (9^2)^{81}, \)
\( 121^{121} = (11^2)^{121}, 169^{169} = (13^2)^{169} \)
Bu koşulu sağlayan 7 tane tek sayı \( n \) değeri vardır.
Buna göre, toplam \( 100 + 7 = 107 \) tane \( n \) değeri için \( n^n \) ifadesi tam kare olur.
\( 1 \le n \le 300 \) olmak üzere,
\( n^n \) ifadesini tam küp yapan kaç tane \( n \) tam sayısı vardır?
Çözümü GösterBir tam sayının küpü olan sayılara tam küp sayı denir.
\( n^n \) ifadesi iki durumda tam küp olur.
Durum 1:
\( n \) sayısı 3'ün tam sayı katı ise \( n^n \) ifadesi tam küp olur.
\( k \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( n = 3k \)
\( n^n = n^{3k} = (n^k)^3 \)
\( 3^3, 6^6, 9^9, 12^{12}, \ldots, 300^{300} \)
1-300 aralığında 100 tane 3'ün tam sayı katı \( n \) değeri vardır.
Durum 2:
Ek olarak \( n \) sayısının kendisi bir tam küp sayı olduğunda \( n^n \) ifadesi tam küp olur.
\( 1^1 = (1^3)^1, 8^8 = (2^3)^8 \)
\( 64^{64} = (4^3)^{64}, 125^{125} = (5^3)^{125} \)
\( 216^{216} = (6^3)^{216} \)
Bu koşulu sağlayan 5 tane tam küp \( n \) değeri vardır.
Buna göre, toplam \( 100 + 5 = 105 \) tane \( n \) değeri için \( n^n \) ifadesi tam küp olur.