Üslü İfadeli Denklemler

Üsleri eşit ve tek sayı olan iki üslü ifade arasındaki eşitlikte tabanlar birbirine eşittir.

\( x + 5 = 2x - 1 \)

\( x = 6 \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{6\} \)

Üsleri eşit ve (sıfırdan farklı olmak üzere) çift sayı olan iki üslü ifade arasındaki eşitlikte tabanların mutlak değeri birbirine eşittir.

\( \abs{x + 1} = \abs{3x - 13} \)

Durum 1:

\( x + 1 = 3x - 13 \)

\( x = 7 \)

Durum 2:

\( x + 1 = -(3x - 13) \)

\( x = 3 \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{3, 7\} \)

Sonucu 1 olan bir üslü ifadenin üç olası çözümü vardır.

Durum 1: Taban 0'dan farklı bir sayı, üs 0'dır.

\( x - 5 \ne 0 \)

\( 9 - x^2 = 0 \)

\( x \in \{-3, 3\} \)

Durum 2: Taban 1, üs herhangi bir reel sayıdır.

\( x - 5 = 1 \Longrightarrow x = 6 \)

Durum 3: Taban -1, üs bir çift sayıdır.

\( x - 5 = -1 \Longrightarrow x = 4 \)

\( x = 4 \) için ifadenin üssü çift sayı olmadığı için \( x = 4 \) geçerli bir çözüm değildir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-3, 3, 6\} \)

Buna göre denklemi sağlayan değerlerin toplamı \( -3 + 3 + 6 = 6 \) olur.

Eşitliğin taraflarını 2 tabanında yazalım.

\( (\frac{1}{4})^{5 - x} = (2^3)^{2x - 14} \)

\( (2^{-2})^{5 - x} = 2^{6x - 42} \)

\( 2^{-10 + 2x} = 2^{6x - 42} \)

Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.

\( -10 + 2x = 6x - 42 \)

\( x = 8 \) bulunur.

Eşitliklerdeki ifadelerin tabanlarını asal çarpanları cinsinden yazalım.

\( 7^x = 64 \Longrightarrow 7^x = 2^6 \)

\( 16^y = 49 \Longrightarrow 7^2 = 2^{4y} \)

Tabanları aynı üsleri farklı iki eşitlikte, aynı tabanlı ifadelerin üslerinin oranları birbirine eşit olur.

\( \dfrac{x}{2} = \dfrac{6}{4y} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 4xy = 12 \)

\( xy = 3 \) bulunur.

Tüm üslü ifadeleri tabanları 2 olacak şekilde düzenleyelim.

\( \dfrac{2^a}{2^{2(a + 2)}} + 2^{2a} - \dfrac{2^{2(a + 2)}}{2^4} = 2^7 \)

\( 2^{a - 2(a + 2)} + 2^{2a} - 2^{2(a + 2) - 4} = 2^7 \)

\( 2^{-a - 4} + 2^{2a} - 2^{2a} = 2^7 \)

\( 2^{-a - 4} = 2^7 \)

Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.

\( -a - 4 = 7 \)

\( a = -11 \) bulunur.

\( -1, 0, 1 \) taban değerleri hariç olmak üzere, tabanları eşit iki üslü ifade arasındaki eşitlikte üsler birbirine eşittir.

(a) seçeneği:

\( 16^x = 64 \)

\( (2^4)^x = 2^6 \)

\( 2^{4x} = 2^6 \)

\( 4x = 6 \)

\( x = \dfrac{3}{2} \)

(b) seçeneği:

\( 6 \cdot 27^{2x} = 2 \cdot 243^{\frac{2x}{5}} \)

\( 2 \cdot 3 \cdot (3^3)^{2x} = 2 \cdot (3^5)^{\frac{2x}{5}} \)

\( 3 \cdot (3^3)^{2x} = (3^5)^{\frac{2x}{5}} \)

\( 3 \cdot 3^{6x} = 3^{5 \cdot \frac{2x}{5}} \)

\( 3^{6x + 1} = 3^{2x} \)

\( 6x + 1 = 2x \)

\( 4x = -1 \)

\( x = -\dfrac{1}{4} \)

(c) seçeneği:

\( (\dfrac{6}{49})^3 = \dfrac{x + 2}{343} \)

\( \dfrac{6^3}{49^3} = \dfrac{x + 2}{7^3} \)

\( \dfrac{6^3}{(7^2)^3} = \dfrac{x + 2}{7^3} \)

\( \dfrac{6^3}{7^6} = \dfrac{x + 2}{7^3} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 6^3 \cdot 7^3 = 7^6 \cdot (x + 2) \)

\( 6^3 = 7^3 \cdot (x + 2) \)

\( 216 = 343 \cdot (x + 2) \)

\( \dfrac{216}{343} = x + 2 \)

\( x = -\dfrac{470}{343} \)

Sonucu 1 olan bir üslü ifadenin üç olası çözümü vardır.

Durum 1: Taban 0'dan farklı bir sayı, üs 0'dır.

\( x^2 - 5x - 36 = 0 \)

\( (x + 4)(x - 9) = 0 \)

\( x = -4 \) ya da \( x = 9 \)

Bu iki değerin tabanı 0 yapıp yapmadığını kontrol edelim.

\( x = -4 \) için:

\( (-4)^2 - 4(-4) - 22 = 10 \)

\( x = 9 \) için:

\( 9^2 - 4(9) - 22 = 23 \)

Her iki değer için de taban 0'dan farklı olduğu için bu iki değer geçerli birer çözümdür.

Durum 2: Taban 1, üs herhangi bir reel sayıdır.

\( x^2 - 4x - 22 = 1 \)

\( x^2 - 4x - 23 = 0 \)

Bu denklemin deltası pozitif olsa da bir tam kare sayı değildir, dolayısıyla denklemin tam sayı kökü yoktur.

\( \Delta = 4^2 - 4(1)(-23) = 108 \)

Durum 3: Taban -1, üs bir çift sayıdır.

\( x^2 - 4x - 22 = -1 \)

\( x^2 - 4x - 21 = 0 \)

\( (x + 3)(x - 7) = 0 \)

\( x = -3 \) ya da \( x = 7 \)

Bu iki değerin üssü çift sayı yapıp yapmadığını kontrol edelim.

\( x = -3 \) için:

\( (-3)^2 - 5(-3) - 36 = -12 \)

\( x = 7 \) için:

\( 7^2 - 5(7) - 36 = -22 \)

Her iki değer için de üs çift olduğu için bu iki değer geçerli birer çözümdür.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-4, -3, 7, 9\} \)

Buna göre çözüm kümesinde 4 tam sayı değer vardır.

Derecesi çift sayı olan bir reel sayı ifade sıfır ya da pozitif olabilir, negatif olamaz.

Derecesi çift sayı olan iki reel sayı ifadenin toplamı sıfır ise bu ifadeler ayrı ayrı sıfır olur.

\( 4x + 5y - 8 = 0 \)

\( 2x - 3y + 7 = 0 \)

İkinci denklemi -2 ile çarpalım.

\( 4x + 5y - 8 = 0 \)

\( -4x + 6y - 14 = 0 \)

İki denklemi taraf tarafa toplayalım.

\( 11y - 22 = 0 \)

\( y = 2 \)

Bu değeri denklemlerden birinde yerine koyarak \( x \) değerini bulalım.

\( 4x + 5(2) - 8 = 0 \)

\( x = -\dfrac{1}{2} \)

Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.

\( x + y = -\dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{3}{2} \) bulunur.

Reel sayıların kareleri negatif olamadığı için, üç kare ifadesinin toplamı sıfır ise bu ifadeler ayrı ayrı sıfıra eşittir.

\( x^2 - 16 = 0 \)

\( x^2 = 16 \)

\( x = \pm 4 \)

\( y^3 - 8 = 0 \)

\( y^3 = 8 \)

\( y = 2 \)

\( z^4 - 1 = 0 \)

\( z^4 = 1 \)

\( z = \pm 1 \)

\( x \) ve \( z \) ikişer değer, \( y \) bir değer alabildiği için, sıralı üçlülerden oluşan çözüm kümesi \( 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4 \) elemanlı olur.

Çözüm kümesi: \( (x, y, z) = \{ (4, 2, 1), (4, 2, -1), (-4, 2, 1), (-4, 2, -1) \} \) bulunur.

Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.

\( x^2 + y^2 - 4y + 8x + 20 = 0 \)

Terimleri incelediğimizde \( xy \)'li terim bulunmadığını görürüz, dolayısıyla terimler \( (x \pm y)^2 \) biçiminde paranteze alınamaz.

Buna göre terimleri \( (x \pm a)^2 \) ve \( (y \pm b)^2 \) formunda yazabilecek şekilde gruplayalım.

\( (x^2 + 8x) + (y^2 - 4y) + 20 = 0 \)

Eksik sabit terimler için \( 20 = 16 + 4 \) şeklinde yazalım.

\( (x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 4y + 4) = 0 \)

\( (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 0 \)

Derecesi çift sayı olan bir reel sayı ifade sıfır ya da pozitif olabilir, negatif olamaz.

Derecesi çift sayı olan iki reel sayı ifadenin toplamı sıfır ise bu ifadeler ayrı ayrı sıfır olur.

\( x + 4 = 0 \Longrightarrow x = -4 \)

\( y - 2 = 0 \Longrightarrow y = 2 \)

Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.

\( xy = -4 \cdot 2 = -8 \) bulunur.

Paydaki terimleri \( 2^a \), paydadaki terimleri \( 3^a \) parantezine alalım.

\( \dfrac{2^a\ (2 + 2^4 - 2^3)}{3^a\ (3^2 + 3^3 + 3^4)} = \dfrac{5}{39} \)

\( \dfrac{2^a\ (2 + 16 - 8)}{3^a\ (9 + 27 + 81)} = \dfrac{5}{39} \)

\( \dfrac{2^a \cdot 10}{3^a \cdot 117} = \dfrac{5}{39} \)

Sadeleştirmeleri yapalım.

\( \dfrac{2^{a}}{3^{a}} = \dfrac{3}{2} \)

\( (\dfrac{2}{3})^a = (\dfrac{2}{3})^{-1} \)

Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.

\( a = -1 \) bulunur.

\( 5^{3a + 4b} \cdot 3^{4a} = 3^{7 - 3b} \)

\( 5^{3a + 4b} = \dfrac{3^{7 - 3b}}{3^{4a}} \)

\( 5^{3a + 4b} = 3^{7 - 3b - 4a} \)

Tabanlar aralarında asal ve üsler tam sayı olduğu için bu eşitlik sadece üsler sıfır olduğunda sağlanır.

\( 5^0 = 3^0 = 1 \)

\( 3a + 4b = 0 \)

\( 7 - 3b - 4a = 0 \)

İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri elde ederiz.

\( a = 4, \quad b = -3 \)

Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.

\( ab = 4 \cdot (-3) = -12 \) bulunur.

\( 16^{x - y - y + x} = 16^2 \)

\( 16^{2(x - y)} = 16^2 \)

Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.

\( 2(x - y) = 2 \)

\( x - y = 1 \)

\( x^2 - y^2 = 7 \)

\( (x - y)(x + y) = 7 \)

\( 1 \cdot (x + y) = 7 \)

\( x + y = 7 \)

İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri elde ederiz.

\( x = 4, \quad y = 3 \)

Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.

\( xy = 4 \cdot 3 = 12 \) bulunur.

İfadeyi gruplayarak çarpanlarına ayıralım.

\( 2y^2 = y^2 + y^2 \) şeklinde iki terime ayıralım.

\( (x^2 + 2xy + y^2) + y^2 - 2x + 2 = 0 \)

\( (x + y)^2 + y^2 - 2x + 2 = 0 \)

Eşitliğin sol tarafına \( 2y \) ekleyip \( 2y \) çıkaralım ve sabit terimi \( 2 = 1 + 1 \) şeklinde yazalım.

\( (x + y)^2 + (y^2 + 2y + 1) - 2y - 2x + 1 = 0 \)

\( (y + 1)^2 + (x + y)^2 - 2y - 2x + 1 = 0 \)

\( - 2x - 2y \) ifadesini -2 parantezine alalım.

\( (y + 1)^2 + (x + y)^2 - 2(x + y) + 1 = 0 \)

2., 3. ve 4. terimleri \( ((x + y) - 1)^2 \) şeklinde yazabiliriz.

\( (y + 1)^2 + ((x + y) - 1)^2 = 0 \)

Derecesi çift sayı olan bir reel sayı ifade sıfır ya da pozitif olabilir, negatif olamaz.

Derecesi çift sayı olan iki reel sayı ifadenin toplamı sıfır ise bu ifadeler ayrı ayrı sıfır olur.

\( y + 1 = 0 \Longrightarrow y = -1 \)

\( x + y - 1 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)

Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.

\( x^3 + y^5 = 2^3 + (-1)^5 \)

\( = 8 - 1 = 7 \) bulunur.

\( 5^{2x} = 130 \cdot 5^x - 625 \)

\( (5^x)^2 - 130 \cdot 5^x + 625 = 0 \)

\( 5^x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( t^2 - 130t + 625 = 0 \)

\( (t - 5)(t - 125) = 0 \)

\( t = 5 \) ya da \( t = 125 \)

\( t = 5 = 5^x \Longrightarrow x = 1 \)

\( t = 125 = 5^x \Longrightarrow x = 3 \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{1, 3\} \)

Buna göre \( x \)'in alabileceği değerlerin toplamı \( 1 + 3 = 4 \) olur.

Üslü ifadelerin tabanlarını asal çarpanları cinsinden yazalım.

\( (2^6)^{x - y} \cdot (5^3)^{2x + y - 3} = (2^2 \cdot 5^2)^{18} \)

\( 2^{6(x - y)} \cdot 5^{3(2x + y - 3)} = 2^{2(18)} \cdot 5^{2(18)} \)

\( 2^{6x - 6y} \cdot 5^{6x + 3y - 9} = 2^{36} \cdot 5^{36} \)

Tabanı aynı olan ifadeleri eşitliğin aynı tarafında toplayalım.

\( \dfrac{2^{6x - 6y}}{2^{36}} = \dfrac{5^{36}}{5^{6x + 3y - 9}} \)

\( 2^{6x - 6y - 36} = 5^{36 - 6x - 3y + 9} \)

Tabanlar aralarında asal ve üsler tam sayı olduğu için bu eşitlik sadece üsler sıfır olduğunda sağlanır.

\( 6x - 6y - 36 = 0 \)

\( x - y = 6 \)

\( 36 - 6x - 3y + 9 = 0 \)

\( 2x + y = 15 \)

İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( x = 7, \quad y = 1 \)

Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.

\( x + y = 7 + 1 = 8 \) bulunur.