10'un Kuvvetleri İle Gösterim
10'un kuvvetleri ile gösterim, çok küçük ve çok büyük sayıların ifadesini, okunabilirliğini, karşılaştırmasını ve bu sayılar arasındaki işlemleri kolaylaştırmak için kullanılan bir gösterimdir.
Aşağıdaki örneklerde çok büyük ve çok küçük bazı sayıların 10'un kuvvetleri ile gösterimi verilmiştir.
| Açıklama | 10'un Kuvvetleri İle Gösterim | Sayı |
|---|---|---|
| Standart atmosfer basıncı | \( 1,013 \times 10^5 \) Pa | \( 101.325 \) Pa |
| Işığın bir yılda katettiği mesafe | \( 9,46 \times 10^{12} \) km | \( 9.460.000.000.000 \) km |
| Hidrojen atomunun yarıçapı | \( 5,3 \times 10^{-8} \) mm | \( 0,000000053 \) mm |
| Avogadro sayısı | \( 6,02214 \times 10^{23} \) g/mol | |
| Kütleçekim sabiti | \( 6,674 \times 10^{-11} \) Newton \( \cdot \) m\( ^2 \cdot \) kg\( ^2 \) |
Bu gösterim, katsayı ve 10'un kuvveti olmak üzere iki kısımdan oluşur.
Bir sayıyı 10'un artan kuvvetleri şeklinde yazmak için sayının katsayısında ve kuvvetinde aşağıdaki değişiklikler yapılır.
- Sayının katsayısı 10'a bölünür, yani katsayının virgülü bir basamak sola kaydırılır. Katsayıda virgül yoksa (sayı tam sayı ise) virgül birler ve onlar basamakları arasına konur.
- Sayının 10'un kuvveti kısmı 10'la çarpılır, yani 10'un kuvveti bir artırılır.
- Sayının bu iki kısmı sırayla 10'a bölünüp 10'la çarpıldığı için sayının değeri değişmemiş olur.
Bir sayıyı 10'un azalan kuvvetleri şeklinde yazmak için sayının katsayısında ve kuvvetinde aşağıdaki değişiklikler yapılır.
- Sayının katsayısı 10'la çarpılır, yani katsayının virgülü bir basamak sağa kaydırılır. Katsayıda virgül yoksa (sayı tam sayı ise) katsayının sonuna bir sıfır eklenir.
- Sayının 10'un kuvveti kısmı 10'a bölünür, yani 10'un kuvveti bir eksiltilir.
- Sayının bu iki kısmı sırayla 10'la çarpılıp 10'a bölündüğü için sayının değeri değişmemiş olur.
1.234 sayısının 10'un farklı kuvvetleri ile gösterimleri aşağıda verilmiştir. Bu sayıların tümü 1.234'e eşit olup sadece sayının farklı gösterimleridir.
Farklı ülkelerde binlik ve ondalık ayracı olarak farklı semboller kullanılır. Örneğin Türkiye ve çoğu Avrupa ülkesinde binlik ayracı olarak "." ve ondalık ayracı olarak "," kullanılırken, Amerika ve İngiltere'de binlik ayracı olarak "," ve ondalık ayracı olarak "." kullanılır. Bazı ülkelerde binlik ayracı olarak boşluk da kullanılır.
Dikkat edilirse, tabloda yukarı doğru çıktıkça 10'un kuvveti 1 artarken katsayıda virgül bir basamak sola kaymaktadır. Benzer şekilde, tabloda aşağı doğru indikçe 10'un kuvveti 1 azalırken katsayıda virgül bir basamak sağa kaymaktadır. Herhangi iki satır arasında katsayı ve 10'un kuvveti kısımları 10'un aynı kuvveti ile çarpılıp bölündüğü için sayının değerinde bir değişiklik olmamaktadır.
Ek bir örnek olarak, \( 328,71 \times 10^6 \) sayısının 10'un farklı kuvvetleri ile gösterimleri rakamlar hizalanmış şekilde aşağıda gösterilmiştir.
Aşağıda verilen eşitliklerden hangileri doğrudur?
I. \( 2345000000 = 2,345 \cdot 10^9 \)
II. \( 691 \cdot 10^{-8} = 6,91 \cdot 10^{-10} \)
III. \( 0,0029 \cdot 10^{-1} = 2,9 \cdot 10^{-4} \)
IV. \( 25,36 \cdot 10^{-10} = 2536000 \cdot 10^{-15} \)
Çözümü GösterI. Öncül:
\( 2345000000 = 2345 \cdot 10^6 \)
Katsayı 2,345 olana kadar sayıyı 10'un artan kuvvetleri şeklinde yazalım.
\( = 234,5 \cdot 10^7 \)
\( = 23,45 \cdot 10^8 \)
\( = 2,345 \cdot 10^9 \)
I. öncül doğrudur.
II. Öncül:
Katsayı 6,91 olana kadar sayıyı 10'un azalan kuvvetleri şeklinde yazalım.
\( 691 \cdot 10^{-8} = 69,1 \cdot 10^{-7} \)
\( = 6,91 \cdot 10^{-6} \ne 6,91 \cdot 10^{-10} \)
II. öncül yanlıştır.
III. Öncül:
Katsayı 2,9 olana kadar sayıyı 10'un azalan kuvvetleri şeklinde yazalım.
\( 0,0029 \cdot 10^{-1} = 0,029 \cdot 10^{-2} \)
\( = 0,29 \cdot 10^{-3} \)
\( = 2,9 \cdot 10^{-4} \)
III. öncül doğrudur.
IV. Öncül:
Katsayı 2536000 olana kadar sayıyı 10'un azalan kuvvetleri şeklinde yazalım.
\( 25,36 \cdot 10^{-10} = 253,6 \cdot 10^{-11} \)
\( = 2536 \cdot 10^{-12} \)
\( = 25360 \cdot 10^{-13} \)
\( = 253600 \cdot 10^{-14} \)
\( = 2536000 \cdot 10^{-15} \)
IV. öncül doğrudur.
Buna göre I., II. ve IV. öncüller doğrudur.
Aşağıda verilen ifadeleri küçükten büyüğe doğru sıralayın.
I. \( 1,0047 \cdot 10^{10} \)
II. \( 81840 \cdot 10^5 \)
III. \( 0,12 \cdot 10^{11} \)
Çözümü GösterTüm sayılarda 10'un kuvvetini \( 10^8 \) yapalım.
I. Öncül:
\( 1,0047 \cdot 10^{10} = 10,047 \cdot 10^9 \)
\( = 100,47 \cdot 10^8 \)
II. Öncül:
\( 81840 \cdot 10^5 = 8184 \cdot 10^6 \)
\( = 818,4 \cdot 10^7 \)
\( = 81,84 \cdot 10^8 \)
III. Öncül:
\( 0,12 \cdot 10^{11} = 1,2 \cdot 10^{10} \)
\( = 12 \cdot 10^9 \)
\( = 120 \cdot 10^8 \)
10'un kuvvetleri aynı olan bu sayılar içinde katsayısı büyük olan sayı daha büyüktür.
\( 81,84 \cdot 10^8 \lt 100,47 \cdot 10^8 \lt 120 \cdot 10^8 \)
\( II \lt I \lt III \)
\( (2^{110})^5 \cdot (5^{275})^2 \) sayısı kaç basamaklıdır?
Çözümü GösterSayıyı 10'un kuvveti biçiminde yazalım.
\( (2^{110})^5 \cdot (5^{275})^2 = 2^{550} \cdot 5^{550} \)
\( = 10^{550} \)
10'un kuvveti biçiminde yazılan bir üslü sayının basamak sayısı, 10'un kuvveti kısmındaki üs değerinin bir fazlasına eşittir.
Buna göre, verilen sayı \( 550 + 1 = 551 \) basamaklıdır.
Aşağıdaki ifadeleri 10'un kuvvetleri şeklinde yazınız.
(a) \( \dfrac{2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4}{5^{-5}} \)
(b) \( \dfrac{256 \cdot 25^3}{800} \)
(c) \( \dfrac{500 \cdot 4^{33}}{8^{21}} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \dfrac{2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4 + 2^4}{5^{-5}} \)
İfadeyi düzenleyelim.
\( = \dfrac{6 \cdot 2^4}{5^{-5}} \)
\( = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 2^4}{5^{-5}} \)
\( = 3 \cdot 2^5 \cdot 5^5 \)
2 ve 5 tabanındaki ifadeleri 10 tabanında birleştirelim.
\( = 3 \cdot (2 \cdot 5)^5 \)
\( = 3 \cdot 10^5 \)
(b) seçeneği:
\( \dfrac{256 \cdot 25^3}{800} \)
Tüm sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{2^8 \cdot (5^2)^3}{2^5 \cdot 5^2} \)
\( = \dfrac{2^8 \cdot 5^6}{2^5 \cdot 5^2} \)
\( = 2^{8 - 5} \cdot 5^{6 - 2} \)
\( = 2^3 \cdot 5^4 \)
2 ve 5 tabanındaki ifadeleri 10 tabanında birleştirelim.
\( = 5 \cdot (2 \cdot 5)^3 \)
\( = 5 \cdot 10^3 \)
(c) seçeneği:
\( \dfrac{500 \cdot 4^{33}}{8^{21}} \)
Tüm sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
\( = \dfrac{2^2 \cdot 5^3 \cdot (2^2)^{33}}{(2^3)^{21}} \)
\( = \dfrac{2^2 \cdot 5^3 \cdot 2^{66}}{2^{63}} \)
\( = 5^3 \cdot 2^{66 + 2 - 63} \)
\( = 5^3 \cdot 2^5 \)
\( = 2^2 \cdot 5^3 \cdot 2^3 \)
2 ve 5 tabanındaki ifadeleri 10 tabanında birleştirelim.
\( = 4 \cdot (5 \cdot 2)^3 \)
\( = 4 \cdot 10^3 \)
Aşağıdaki sayılardan hangileri \( 5^{-4} \) sayısına eşittir?
I. \( 1,6 \cdot 10^{-3} \)
II. \( 160000 \cdot 10^{-9} \)
III. \( 0,0016 \)
Çözümü GösterVerilen sayıyı 10'un kuvvetleri şeklinde yazalım.
\( 5^{-4} = \dfrac{1}{5^4} \)
\( = \dfrac{1}{625} \)
\( = 0,0016 \)
\( = 16 \cdot 10^{-4} \)
Öncülleri \( 16 \cdot 10^n \) formunda yazalım.
I. Öncül:
\( 1,6 \cdot 10^{-3} \)
Katsayı 16 olana kadar sayıyı 10'un azalan kuvvetleri şeklinde yazalım.
\( 16 \cdot 10^{-4} \)
I. öncül verilen sayıya eşittir.
II. Öncül:
\( 160000 \cdot 10^{-9} \)
Katsayı 16 olana kadar sayıyı 10'un artan kuvvetleri şeklinde yazalım.
\( = 16000 \cdot 10^{-8} \)
\( = 1600 \cdot 10^{-7} \)
\( = 160 \cdot 10^{-6} \)
\( = 16 \cdot 10^{-5} \ne 16 \cdot 10^{-4} \)
II. öncül verilen sayıya eşit değildir.
III. Öncül:
\( 0,0016 = 0,0016 \cdot 10^0 \)
Katsayı 16 olana kadar sayıyı 10'un azalan kuvvetleri şeklinde yazalım.
\( = 0,016 \cdot 10^{-1} \)
\( = 0,16 \cdot 10^{-2} \)
\( = 1,6 \cdot 10^{-3} \)
\( = 16 \cdot 10^{-4} \)
III. öncül verilen sayıya eşittir.
Buna göre I. ve III. öncüller verilen sayıya eşittir.
Ahmet \( 3,6 \cdot 10^3 \) saniyelik bir videonun \( \frac{1}{4} \)'ünü izlediğine göre, videonun bitmesine kaç dakika kalmıştır?
Çözümü Göster\( 3,6 \cdot 10^3 \) saniyenin \( \frac{1}{4} \)'ünü bulalım.
\( 3,6 \cdot 10^3 \cdot \dfrac{1}{4} \)
\( = 36 \cdot 10^2 \cdot \dfrac{1}{4} \)
\( = 9 \cdot 10^2 \) saniye
Videonun tüm süresinden izlenen kısmı çıkarak kalan süreyi bulalım.
\( 3,6 \cdot 10^3 - 9 \cdot 10^2 \)
\( = 36 \cdot 10^2 - 9 \cdot 10^2 \)
\( = (36 - 9) \cdot 10^2 \)
\( = 27 \cdot 10^2 \) saniye
Videonun saniye cinsinden kalan süresini dakikaya çevirelim.
\( \dfrac{27 \cdot 10^2}{60} = \dfrac{27 \cdot 10}{6} \)
\( = 45 \) dakika bulunur.
Bir çiftçi mısır ektiği 23500 dekar tarlasında bir dekar için \( 0,18 \cdot 10^3 \) kg gübre kullanmaktadır. Bu tarlada yılda 4 kez gübreleme işlemi yapıldığına göre, bu çiftçi tarlasında yılda toplam kaç ton gübre kullanmaktadır?
Çözümü Göster1 ton = 1000 kg
Bir dekarlık alanda bir yılda kullanılan gübre miktarını bulalım.
\( 0,18 \cdot 10^3 \cdot 4 \)
\( = \dfrac{18}{100} \cdot 10^3 \cdot 4 \)
\( = 18 \cdot 10 \cdot 4 \)
\( = 720 \) kg
23500 dekar tarlada bir yılda kullanılan toplam gübre miktarını bulalım.
\( 720 \cdot 23500 = 72 \cdot 235 \cdot 10^3 \)
\( = 16920 \cdot 10^3 \) kg
Bulduğumuz değeri ton cinsinden yazalım.
\( \dfrac{16920 \cdot 10^3}{1000} = 16920 \) ton bulunur.
\( 20^{1944} \) sayısının sağdan sıfır olmayan ilk basamağı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen sayıyı 10'un kuvveti şeklinde yazalım.
\( 20^{1944} = (2 \cdot 10)^{1944} = 2^{1944} \cdot 10^{1944} \)
\( 10^{1944} \) sayısının ilk basamağı hariç tüm basamakları 0 olduğu için başka bir sayı ile çarpıldığında sayının sonuna üssü kadar 0 eklenir.
Bu nedenle \( 2^{1944} \) ve \( 20^{1944} \) sayıları en sondaki 0 basamakları hariç aynıdır.
2'nin tam sayı üslerinin son basamakları her 4 sayıda bir kendini tekrar eder.
\( 2^1 = 2, \quad 2^2 = 4, \quad 2^3 = 8, \quad 2^4 = 16 \)
\( 2^5 = 32, \quad 2^6 = 64, \quad 2^7 = 128, \quad 2^8 = 256 \)
1944 sayısı 4'ün tam katı olduğu için \( 2^{1944} \) sayısı 6 ile biter.
\( 2^{1944} = (\ldots 6) \)
Buna göre \( 20^{1944} \) sayısının sağdan sıfır olmayan ilk basamağı 6 olur.
\( 10^{55} - 99 \) işleminin sonucunun rakamları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( 10 \)'un farklı kuvvetleri için sonucu bulalım.
\( 10^2 - 99 = 100 - 99 = 1 \)
\( 10^3 - 99 = 1000 - 99 = 901 \)
\( 10^4 - 99 = 10000 - 99 = 9901 \)
\( 10^5 - 99 = 100000 - 99 = 99901 \)
Buna göre, sonucun son iki basamağı her zaman "01" olur ve sayının başında 10'un kuvvetinin iki eksiği kadar 9 bulunur.
\( 10^{55} - 99 = \underbrace{999\ldots9}_\text{53 adet}01 \)
Sonucun rakamlarının toplamını bulalım.
\( 53 \cdot 9 + 1 = 478 \) bulunur.