İkinci türden Stirling sayıları, elemanlı bir kümenin elemanlarının boş olmayan alt kümeye parçalanış sayısını hesaplar. elemanlı bir kümenin alt kümeye parçalanışı için Stirling sayısı ya da şeklinde gösterilir.
Örnek olarak 4 elemanlı kümesinin 2 alt kümeye parçalanışları aşağıdaki farklı şekilde olabilir.
3 + 1 şeklindeki parçalanışlar:
2 + 2 şeklindeki parçalanışlar:
Bu parçalanış görsel olarak aşağıda gösterilmiştir.
S(4, 2) parçalanışları
Aynı kümenin 3 alt kümeye parçalanışları aşağıdaki farklı şekilde olabilir.
2 + 1 + 1 şeklindeki gruplar:
Bu parçalanış görsel olarak aşağıda gösterilmiştir.
S(4, 3) parçalanışları
Aynı kümenin 1 alt kümeye parçalanışları aşağıdaki şekilde olabilir.
Aynı kümenin 4 alt kümeye parçalanışları aşağıdaki şekilde olabilir.
Dikkat edilirse önceki bölümde gördüğümüz kümelerin parçalanışı bir kümenin elemanlarının ve arasında herhangi bir sayıda alt kümeye parçalanışını hesaplarken, ikinci türden Stirling sayıları sadece sayıda alt kümeye parçalanış sayısını hesaplamaktadır. Bu açıdan baktığımızda, bir kümenin elemanlarının tüm parçalanış sayısını hesaplayan Bell sayıları () ile ikinci türden Stirling sayıları () arasında aşağıdaki ilişki vardır.
ÖRNEK:
Yukarıdaki 4 elemanlı küme örneği için:
olduğunu önceki bölümde görmüştük.
İkinci Türden Stirling Sayılarının Hesaplaması
İkinci türden Stirling sayıları aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
2. TÜRDEN STİRLİNG SAYILARI:
: Kümenin eleman sayısı
: Parçalanıştaki alt küme sayısı
ÖRNEK:
ve 'nın 1 - 9 arası değerleri için ikinci türden Stirling sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
İkinci türden Stirling sayıları tablosu
İkinci türden Stirling sayıları özyinelemeli bir şekilde aşağıdaki formül ile de hesaplanabilir.
elemanlı kümesinin elemanlarının alt kümeye dağılımı iki farklı şekilde gerçekleşebilir.
1. durum: Sonuncu elemanı tek başına bir alt kümede
Bu durumda diğer eleman alt kümeye farklı şekilde dağıtılabilir ve elemanı alt kümeye tek eleman olarak 1 farklı şekilde konabilir. Buna göre bu durumda oluşan toplam dağıtım sayısı olur.
2. durum: Sonuncu elemanı başka eleman(lar)la bir alt kümede
Bu durumda elemanı dışarıda tutularak ilk eleman gruba farklı şekilde dağıtılabilir. Sonrasında elemanı bu gruptan birine farklı şekilde dağıtılabilir. Buna göre bu durumda oluşan toplam dağıtım sayısı olur.
Bu iki durum birbirinden ayrık olaylar olduğu için toplama yoluyla sayma ile dağıtım sayılarını toplayabiliriz.
elemanlı kümesinin alt kümesinin herhangi birine , bu kümenin tümleyenine de diyelim.
olduğu ve olduğu iki durumu hariç tutarsak, ve alt kümeleri kümesinin 2 alt kümeli bir parçalanışı olur.
Buna göre, boş olmayan ve birleşimleri kümesini veren farklı ve kümesi yazabiliriz.
Bu durumun her biri için ve kümesinin elemanlarının aralarında yer değiştirdiği bir durum vardır. Parçalanışlarda alt kümelerin sırası önemli olmadığı için bu durum ikilileri aynı parçalanışa karşılık gelir, dolayısıyla 2 alt kümeli parçalanış sayısı bu sayının yarısına, yani 'e eşittir.
5 elemanlı kümesinden 4 elemanlı kümesine tanımlanabilecek fonksiyonlar içinde görüntü kümesi 1, 2, 3 ve 4 elemanlı olan fonksiyonların sayısı ayrı ayrı kaçtır?
Görüntü kümesi 4 elemanlı olan fonksiyonların sayısı bu iki küme arasında tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısına eşittir.
Örten fonksiyon sayısı
3 elemanlı görüntü kümeleri:
Görüntü kümesi 3 elemanlı olan fonksiyonların sayısı, kümesinden kümesinin her bir 3 elemanlı alt kümesine tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısına eşittir.
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı
Örten fonksiyon sayısı
Görüntü kümesi 3 elemanlı olan fonksiyonların sayısı
2 elemanlı görüntü kümeleri:
Görüntü kümesi 2 elemanlı olan fonksiyonların sayısı, kümesinden kümesinin her bir 2 elemanlı alt kümesine tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısına eşittir.
kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı
Örten fonksiyon sayısı
Görüntü kümesi 2 elemanlı olan fonksiyonların sayısı
1 elemanlı görüntü kümeleri:
Görüntü kümesi 1 elemanlı olan fonksiyonların sayısı, kümesinden kümesinin her bir 1 elemanlı alt kümesine tanımlanabilecek örten fonksiyon sayısına eşittir.
kümesinin 1 elemanlı alt kümelerinin sayısı
Örten fonksiyon sayısı
Görüntü kümesi 1 elemanlı olan fonksiyonların sayısı
Görüntü kümesinin farklı eleman sayıları için yukarıda hesapladığımız fonksiyon sayılarını topladığımızda, 5 elemanlı bir küme ile 4 elemanlı bir küme arasında tanımlanabilecek toplam fonksiyon sayısını elde ederiz.
