De Morgan Kuralları
Mantık konusunda gördüğümüz De Morgan kurallarının benzerleri kümeler için de geçerlidir.
| Mantık | Kümeler |
|---|---|
| \( (p \land q)' \equiv p' \lor q' \) | \( (A \cap B)' = A' \cup B' \) |
| \( (p \lor q)' \equiv p' \land q' \) | \( (A \cup B)' = A' \cap B' \) |
Bu kuralların geçerliliğini mantıkta doğruluk tabloları yardımıyla göstermiştik, burada birer Venn şeması yardımıyla gösterebiliriz.
Birinci De Morgan kuralına göre; iki kümenin kesişiminin tümleyeni, bu iki kümenin ayrı ayrı tümleyenlerinin birleşimine eşittir.
\( (A \cap B)' = A' \cup B' \)
\( E = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( A = \{ 0, 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ 2, 3, 4, 5 \} \)
\( A' = \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( B' = \{ 0, 1, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( A \cap B = \{ 2, 3 \} \)
\( (A \cap B)' = \{ 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( A' \cup B' = \{ 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
İSPATI GÖSTER
\( (A \cap B)' \) ve \( A' \cup B' \) kümelerinin birebir aynı elemanları içerdiğini gösterelim.
\( (A \cap B)' \) kümesinden herhangi bir \( x \) elemanı seçelim.
\( x \in (A \cap B)' \)
\( x \) elemanı \( (A \cap B)' \) kümesinin elemanı olduğuna göre, bu kümenin tümleyeni olan \( A \cap B \) kümesinin elemanı değildir.
\( \Longleftrightarrow x \notin (A \cap B) \)
\( x \) elemanı \( A \cap B \) kümesinin elemanı değilse kesişim kümesinde bulunma koşulu yanlış demektir.
\( \Longleftrightarrow (x \in A \land x \in B)' \)
Mantıkta gördüğümüz De Morgan kuralını uygulayalım.
\( \Longleftrightarrow x \notin A \lor x \notin B \)
Bir eleman bir kümenin elemanı değilse tümleyeninin elemanıdır.
\( \Longleftrightarrow x \in A' \lor x \in B' \)
Bir eleman iki kümeden birinin elemanı ise bu kümelerin birleşim kümesinin de elemanıdır.
\( \Longleftrightarrow x \in (A' \cup B') \)
Her adımdaki önermeler birbirine çift yönlü koşullu önerme ile bağlı olduğu için, iki küme birebir aynı elemanlardan oluşur, dolayısıyla eşit kümelerdir.
İkinci De Morgan kuralına göre; iki kümenin birleşiminin tümleyeni, bu iki kümenin ayrı ayrı tümleyenlerinin kesişimine eşittir.
\( (A \cup B)' = A' \cap B' \)
\( E = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( A = \{ 0, 1, 2, 3 \} \)
\( B = \{ 2, 3, 4, 5 \} \)
\( A' = \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( B' = \{ 0, 1, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( A \cup B = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( (A \cup B)' = \{ 6, 7, 8, 9 \} \)
\( A' \cap B' = \{ 6, 7, 8, 9 \} \)
İSPATI GÖSTER
\( (A \cup B)' \) ve \( A' \cap B' \) kümelerinin birebir aynı elemanları içerdiğini gösterelim.
\( (A \cup B)' \) kümesinden herhangi bir \( x \) elemanı seçelim.
\( x \in (A \cup B)' \)
\( x \) elemanı \( (A \cup B)' \) kümesinin elemanı olduğuna göre, bu kümenin tümleyeni olan \( A \cup B \) kümesinin elemanı değildir.
\( \Longleftrightarrow x \notin (A \cup B) \)
\( x \) elemanı \( A \cup B \) kümesinin elemanı değilse birleşim kümesinde bulunma koşulu yanlış demektir.
\( \Longleftrightarrow (x \in A \lor x \in B)' \)
Mantıkta gördüğümüz De Morgan kuralını uygulayalım.
\( \Longleftrightarrow x \notin A \land x \notin B \)
Bir eleman bir kümenin elemanı değilse tümleyeninin elemanıdır.
\( \Longleftrightarrow x \in A' \land x \in B' \)
Bir eleman iki kümenin birden elemanı ise bu kümelerin kesişim kümesinin de elemanıdır.
\( \Longleftrightarrow x \in (A' \cap B') \)
Her adımdaki önermeler birbirine çift yönlü koşullu önerme ile bağlı olduğu için, iki küme birebir aynı elemanlardan oluşur, dolayısıyla eşit kümelerdir.
Evrensel küme tüm rakamlar olmak üzere,
\( A = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \)
\( B = \{ 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
kümeleri için aşağıdaki De Morgan kurallarının sağlandığını gösteriniz.
(a) \( (A \cap B)' = A' \cup B' \)
(b) \( (A \cup B)' = A' \cap B' \)
Çözümü GösterEvrensel küme tüm rakamlardan oluşur.
\( E = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( A \) ve \( B \) kümelerinin tümleyenlerini bulalım.
\( A' = E - A = \{ 0, 6, 7, 8, 9 \} \)
\( B' = E - B = \{ 0, 1, 2, 8, 9 \} \)
(a) seçeneği:
\( (A \cap B)' = A' \cup B' \)
Eşitliğin sol tarafını bulalım.
\( A \cap B = \{ 3, 4, 5 \} \)
\( (A \cap B)' = E - (A \cap B) = \{ 0, 1, 2, 6, 7, 8, 9 \} \)
Eşitliğin sağ tarafını bulalım.
\( A' \cup B' = \{ 0, 6, 7, 8, 9 \} \cup \{0, 1, 2, 8, 9 \} = \{ 0, 1, 2, 6, 7, 8, 9 \} \)
Her iki taraf da eşit olduğundan \( (A \cap B)' = A' \cup B' \) eşitliği sağlanır.
(b) seçeneği:
\( (A \cup B)' = A' \cap B' \)
Eşitliğin sol tarafını bulalım.
\( A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \} \)
\( (A \cup B)' = E - (A \cup B) = \{0, 8, 9\} \)
Eşitliğin sağ tarafını bulalım.
\( A' \cap B' = \{ 0, 6, 7, 8, 9 \} \cap \{ 0, 1, 2, 8, 9 \} = \{ 0, 8, 9 \} \)
Her iki taraf da eşit olduğundan \( (A \cup B)' = A' \cap B' \) eşitliği sağlanır.
\( A \) ve \( B \) kümeleri \( E \) evrensel kümesinin alt kümeleridir.
\( (A \cap B)' \cup B \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü GösterVerilen ifadeye De Morgan kuralını uygulayalım.
\( (A \cap B)' \cup B = A' \cup B' \cup B \)
Bir kümenin tümleyeni ile birleşimi evrensel kümedir.
\( = A' \cup E \)
Bir kümenin evrensel küme ile birleşimi evrensel kümedir.
\( = E \) bulunur.
\( K \) ve \( L \) kümeleri \( E \) evrensel kümesinin alt kümeleridir.
Buna göre, \( [(K' \cap L)' \cup L] \cap K' \) ifadesinin en sade hali nedir?
Çözümü Göster\( [(K' \cap L)' \cup L] \cap K' \)
En içteki paranteze De Morgan kuralını uygulayalım.
\( = [(K \cup L') \cup L] \cap K' \)
Kümelerde birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.
\( = (K \cup L' \cup L) \cap K' \)
Bir kümenin tümleyeni ile birleşimi evrensel kümedir.
\( = (K \cup E) \cap K' \)
Bir kümenin evrensel küme ile birleşimi evrensel kümedir.
\( = E \cap K' \)
Bir kümenin evrensel küme ile kesişimi kendisidir.
\( = K' \) bulunur.