Kombinasyon Yöntemleri
Özdeş Gruplar
1'den 12'ye kadar numaralandırılmış tişörtler giyen 12 kişi arasından farklı ekipler seçilecek olsun.
Önceki bölümde gördüğümüz kombinasyon formülüne göre, bu 12 kişi arasından 8 kişilik bir ekip \( C(12, 8) \) farklı şekilde seçilebilir.
12 kişi arasından 8 kişilik bir ekibin farklı seçim sayısı:
\( = C(12, 8) \)
Aynı kişiler arasından 8 ve 4 kişilik iki ekip ise \( C(12, 8) \cdot C(4, 4) \) farklı şekilde seçilebilir. \( C(4, 4) = 1 \) olduğu için bu formül yukarıdaki seçim ile aynı sonucu verir, bunun sebebi 12 kişi arasından 8 kişilik bir ekip seçildiğinde kalan 4 kişinin otomatik olarak ikinci bir ekip oluşturmasıdır.
12 kişi arasından 8 ve 4 kişilik iki ekibin farklı seçim sayısı:
\( = C(12, 8) \cdot C(4, 4) = C(12, 8) \)
12 kişi arasından 6 kişilik bir ekip seçilmek istenirse farklı seçim sayısı benzer şekilde \( C(12, 6) \) olur.
12 kişi arasından 6 kişilik bir ekibin farklı seçim sayısı:
\( = C(12, 6) \)
12 kişi arasından 6'şar kişilik iki ekip seçilmek istendiğinde ise farklı bir durum ortaya çıkmaktadır. İlk önce 1 - 6 numaralı kişiler seçildiğinde oluşan 6'şar kişilik iki ekip, ilk önce 7 - 12 numaralı kişiler seçildiğinde oluşan 6'şar kişilik iki ekip ile özdeş olmaktadır. Bu iki durum birbirinden farklı iki seçim oluşturmadığı için, \( C(12, 6) \cdot C(6, 6) = C(12, 6) \) sonucu bu iki ekibin kendi aralarında diziliş sayısı olan \( 2! \)'ye bölünür.
12 kişi arasından 6'şar kişilik iki ekibin farklı seçim sayısı:
\( = \dfrac{C(12, 6) \cdot C(6, 6)}{2!} \)
12 kişi arasından 4'er kişilik üç ekip seçilmek istendiğinde yapılabilecek \( C(12, 4) \cdot C(8, 4) \cdot C(4, 4) \) farklı seçim, benzer bir yaklaşımla oluşan üç ekibin kendi aralarında diziliş sayısı olan \( 3! \)'e bölünür.
12 kişi arasından 4'er kişilik üç ekibin farklı seçim sayısı:
\( = \dfrac{C(12, 4) \cdot C(8, 4) \cdot C(4, 4)}{3!} \)
12 kişi arasından 3'er kişilik iki, 2'şer kişilik üç ekip seçilmek istendiğinde oluşan farklı seçim sayısı, aynı sayıdaki ekiplerin kendi aralarındaki diziliş sayıları olan \( 2! \) ve \( 3!\)'e bölünür.
12 kişi arasından 3'er kişilik iki, 2'şer kişilik üç ekibin farklı seçim sayısı:
\( = \frac{C(12, 3) \cdot C(9, 3) \cdot C(6, 2) \cdot C(4, 2) \cdot C(2, 2)}{2! \cdot 3!} \)
Seçilen ekipler arasında ayırt edici bir ayrım söz konusu ise (birinci ekip A işinden, ikinci ekip B işinden sorumlu ya da birinci ekip A şehrine, ikinci ekip B şehrine geziye gidecek gibi) yukarıdaki örneklerdeki özdeş durumlar oluşmaz, dolayısıyla kombinasyon formülü ile bulunan farklı seçim sayılarının farklı diziliş sayılarına bölünmesine gerek kalmaz.
12 kişilik bir grup kaç farklı şekilde aşağıda belirtilen şekillerde gruplara ayrılabilir?
(a) 5, 4 ve 3 kişilik üç grup
(b) 5'er kişilik iki ve 2 kişilik bir grup
(c) 6'şar kişilik iki grup
(d) 4'er kişilik üç grup
(e) 3'er kişilik dört grup
(f) 4'er kişilik iki ve 2'şer kişilik iki grup
Çözümü Göster(a) seçeneği:
5, 4 ve 3 kişilik üç grup
12 kişi arasından 5 kişi, kalan 7 kişi arasından 4 kişi, kalan 3 kişi arasında 3 kişi seçilir.
\( C(12, 5) \cdot C(7, 4) \cdot C(3, 3) \)
\( = 792 \cdot 35 \cdot 1 \)
\( = 27720 \)
(b) seçeneği:
5'er kişilik iki ve 2 kişilik bir grup
12 kişi arasından 5 kişi, kalan 7 kişi arasından 5 kişi, kalan 2 kişi arasında 2 kişi seçilir.
\( C(12, 5) \cdot C(7, 5) \cdot C(2, 2) \)
\( = 792 \cdot 21 \cdot 1 \)
\( = 16632 \)
5 kişilik iki grup aralarında yer değiştirdiğinde yeni gruplar oluşmadığı için bulduğumuz sonucu \( 2! \)'e bölmeliyiz.
\( \dfrac{16632}{2!} = 8316 \)
(c) seçeneği:
6'şar kişilik iki grup
12 kişi arasından 6 kişi, kalan 6 kişi arasından 6 kişi seçilir.
\( C(12, 6) \cdot C(6, 6) \)
\( = 924 \cdot 1 \)
\( = 924 \)
6 kişilik iki grup aralarında yer değiştirdiğinde yeni gruplar oluşmadığı için bulduğumuz sonucu \( 2! \)'e bölmeliyiz.
\( \dfrac{924}{2!} = 462 \)
(d) seçeneği:
4'er kişilik üç grup
12 kişi arasından 4 kişi, kalan 8 kişi arasından 4 kişi, kalan 4 kişi arasında 4 kişi seçilir.
\( C(12, 4) \cdot C(8, 4) \cdot C(4, 4) \)
\( = 495 \cdot 70 \cdot 1 \)
\( = 34650 \)
4 kişilik üç grup aralarında yer değiştirdiğinde yeni gruplar oluşmadığı için bulduğumuz sonucu \( 3! \)'e bölmeliyiz.
\( \dfrac{34650}{3!} = 5775 \)
(e) seçeneği:
3'er kişilik dört grup
12 kişi arasından 3 kişi, kalan 9 kişi arasından 3 kişi, kalan 6 kişi arasında 3 kişi, kalan 3 kişi arasında 3 kişi seçilir.
\( C(12, 3) \cdot C(9, 3) \cdot C(6, 3) \cdot C(3, 3) \)
\( = 220 \cdot 84 \cdot 20 \cdot 1 \)
\( = 369600 \)
3 kişilik dört grup aralarında yer değiştirdiğinde yeni gruplar oluşmadığı için bulduğumuz sonucu \( 4! \)'e bölmeliyiz.
\( \dfrac{369600}{4!} = 15400 \)
(f) seçeneği:
4'er kişilik iki ve 2'şer kişilik iki grup
12 kişi arasından 4 kişi, kalan 8 kişi arasından 4 kişi, kalan 4 kişi arasında 2 kişi, kalan 2 kişi arasında 2 kişi seçilir.
\( C(12, 4) \cdot C(8, 4) \cdot C(4, 2) \cdot C(2, 2) \)
\( = 495 \cdot 70 \cdot 6 \cdot 1 \)
\( = 207900 \)
4 kişilik iki grup kendi aralarında, 2 kişilik iki grup kendi aralarında yer değiştirdiğinde yeni gruplar oluşmadığı için bulduğumuz sonucu \( 2!\ 2! \)'e bölmeliyiz.
\( \dfrac{207900}{2!\ 2!} = 51975 \)
Kaz Dağları'na kamp yapmaya giden 12 arkadaş 3'er kişilik 4 çadırda kalacaklardır.
Aşağıdaki iki durumda arkadaşlar bu çadırlarda kaç farklı şekilde kalabilirler?
(a) Her çadır farklı renkte
(b) Çadırlar özdeş
Çözümü Göster(a) seçeneği:
12 kişi arasından 3 kişi 1. çadır için \( C(12, 3) = 220 \) farklı şekilde, kalan 9 kişi arasından 3 kişi 2. çadır için \( C(9, 3) = 84 \) farklı şekilde, kalan 6 kişi arasından 3 kişi 3. çadır için \( C(6, 3) = 20 \) farklı şekilde, kalan 3 kişi arasından 3 kişi 4. çadır için \( C(3, 3) = 1 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre 12 kişinin bu çadırlarda farklı konaklama sayısı \( 220 \cdot 84 \cdot 20 \cdot 1 = 369600 \) farklı şekilde olabilir.
(b) seçeneği:
Çadırların özdeş olduğu ikinci durumda yukarıda bulduğumuz sayıyı özdeş çadırların kendi aralarında yer değiştirme sayısına bölmemiz gerekir. 3'er kişilik 4 çadır olduğu için farklı konaklama sayısı \( \frac{369600}{4!} = 15400 \) olur.
4 evli çiftin katıldığı bir yarışma programında yarışmacılar 4'er kişilik iki takıma ayrılacaktır.
Evli çiftler aynı takımda olmamak koşuluyla bu iki takım kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözümü GösterBirinci takım her çiftten birer kişi seçilerek \( C(2, 1) \cdot C(2, 1) \cdot C(2, 1) \cdot C(2, 1) = 16 \) farklı şekilde oluşturulabilir. Seçilmeyen dört kişi ikinci takımı oluşturur.
4 kişilik iki takım aralarında yer değiştirdiğinde farklı takımlar oluşmadığı için bulduğumuz sonucu \( 2! \)'e bölmeliyiz.
Buna göre bu iki takım istenen şekilde \( \frac{16}{2!} = 8 \) farklı şekilde oluşturulabilir.