Kişilerin Seçimi
Bu tip kombinasyon problemlerinde belirli sayıda kişi arasından belirtilen koşulları sağlayan kaç farklı ekip/alt grup seçilebileceği hesaplanır.
12 kişilik bir grup kaç farklı şekilde aşağıda belirtilen şekillerde gruplara ayrılabilir?
(a) 5, 4 ve 3 kişilik üç grup
(b) 5'er kişilik iki ve 2 kişilik bir grup
(c) 6'şar kişilik iki grup
(d) 4'er kişilik üç grup
(e) 3'er kişilik dört grup
(f) 4'er kişilik iki ve 2'şer kişilik iki grup
Çözümü Göster(a) seçeneği:
5, 4 ve 3 kişilik üç grup
12 kişi arasından 5 kişi, kalan 7 kişi arasından 4 kişi, kalan 3 kişi arasında 3 kişi seçilir.
\( C(12, 5) \cdot C(7, 4) \cdot C(3, 3) \)
\( = 792 \cdot 35 \cdot 1 \)
\( = 27720 \)
(b) seçeneği:
5'er kişilik iki ve 2 kişilik bir grup
12 kişi arasından 5 kişi, kalan 7 kişi arasından 5 kişi, kalan 2 kişi arasında 2 kişi seçilir.
\( C(12, 5) \cdot C(7, 5) \cdot C(2, 2) \)
\( = 792 \cdot 21 \cdot 1 \)
\( = 16632 \)
5 kişilik iki grup aralarında yer değiştirdiğinde yeni gruplar oluşmadığı için bulduğumuz sonucu \( 2! \)'e bölmeliyiz.
\( \dfrac{16632}{2!} = 8316 \)
(c) seçeneği:
6'şar kişilik iki grup
12 kişi arasından 6 kişi, kalan 6 kişi arasından 6 kişi seçilir.
\( C(12, 6) \cdot C(6, 6) \)
\( = 924 \cdot 1 \)
\( = 924 \)
6 kişilik iki grup aralarında yer değiştirdiğinde yeni gruplar oluşmadığı için bulduğumuz sonucu \( 2! \)'e bölmeliyiz.
\( \dfrac{924}{2!} = 462 \)
(d) seçeneği:
4'er kişilik üç grup
12 kişi arasından 4 kişi, kalan 8 kişi arasından 4 kişi, kalan 4 kişi arasında 4 kişi seçilir.
\( C(12, 4) \cdot C(8, 4) \cdot C(4, 4) \)
\( = 495 \cdot 70 \cdot 1 \)
\( = 34650 \)
4 kişilik üç grup aralarında yer değiştirdiğinde yeni gruplar oluşmadığı için bulduğumuz sonucu \( 3! \)'e bölmeliyiz.
\( \dfrac{34650}{3!} = 5775 \)
(e) seçeneği:
3'er kişilik dört grup
12 kişi arasından 3 kişi, kalan 9 kişi arasından 3 kişi, kalan 6 kişi arasında 3 kişi, kalan 3 kişi arasında 3 kişi seçilir.
\( C(12, 3) \cdot C(9, 3) \cdot C(6, 3) \cdot C(3, 3) \)
\( = 220 \cdot 84 \cdot 20 \cdot 1 \)
\( = 369600 \)
3 kişilik dört grup aralarında yer değiştirdiğinde yeni gruplar oluşmadığı için bulduğumuz sonucu \( 4! \)'e bölmeliyiz.
\( \dfrac{369600}{4!} = 15400 \)
(f) seçeneği:
4'er kişilik iki ve 2'şer kişilik iki grup
12 kişi arasından 4 kişi, kalan 8 kişi arasından 4 kişi, kalan 4 kişi arasında 2 kişi, kalan 2 kişi arasında 2 kişi seçilir.
\( C(12, 4) \cdot C(8, 4) \cdot C(4, 2) \cdot C(2, 2) \)
\( = 495 \cdot 70 \cdot 6 \cdot 1 \)
\( = 207900 \)
4 kişilik iki grup kendi aralarında, 2 kişilik iki grup kendi aralarında yer değiştirdiğinde yeni gruplar oluşmadığı için bulduğumuz sonucu \( 2!\ 2! \)'e bölmeliyiz.
\( \dfrac{207900}{2!\ 2!} = 51975 \)
12 kişilik bir sınıftan;
(a) bir başkan kaç farklı şekilde seçilebilir?
(b) bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
(c) bir başkan ve iki başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü Göster(a) seçeneği:
Bir başkan kaç farklı şekilde seçilebilir?
12 kişi arasından bir başkan seçilir.
\( C(12, 1) \)
\( = \dfrac{12!}{1!\ (12 - 1)!} \)
\( = 12 \)
(b) seçeneği:
Bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
1. yöntem:
12 kişi arasından önce bir başkan seçilir, sonra kalan 11 kişi arasından bir başkan yardımcısı seçilir.
\( C(12, 1) \cdot C(11, 1) \)
\( = \dfrac{12!}{1!\ (12 - 1)!} \cdot \dfrac{11!}{1!\ (11 - 1)!} \)
\( = 12 \cdot 11 = 132 \)
2. yöntem:
12 kişi arasından önce iki kişi seçilir, sonra iki kişi arasından bir başkan seçilir.
\( C(12, 2) \cdot C(2, 1) \)
\( = \dfrac{12!}{2!\ (12 - 2)!} \cdot \dfrac{2!}{1!\ (2 - 1)!} \)
\( = \dfrac{12 \cdot 11}{2} \cdot 2 = 132 \)
(c) seçeneği:
Bir başkan ve iki başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
1. yöntem:
12 kişi arasından önce bir başkan seçilir, sonra kalan 11 kişi arasından iki başkan yardımcısı seçilir.
\( C(12, 1) \cdot C(11, 2) \)
\( = \dfrac{12!}{1!\ (12 - 1)!} \cdot \dfrac{11!}{2!\ (11 - 2)!} \)
\( = 12 \cdot \dfrac{11 \cdot 10}{2} \)
\( = 660 \)
2. yöntem:
12 kişi arasından önce üç kişi seçilir, sonra üç kişi arasından bir başkan seçilir.
\( C(12, 3) \cdot C(3, 1) \)
\( = \dfrac{12!}{3!\ (12 - 3)!} \cdot \dfrac{3!}{1!\ (3 - 1)!} \)
\( = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2} \cdot 3 \)
\( = 660 \)
4 kadın ve 6 erkekten oluşan 10 kişi arasından;
(a) 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
(b) Bir kişisi belli 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
(c) 4 kişilik komite ve bu komite içinden bir başkan kaç farklı şekilde seçilebilir?
(d) 2 kadın ve 3 erkekten oluşan 5 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü Göster(a) seçeneği:
4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
10 kişi arasından kadın/erkek farkı gözetmeden 4 kişi seçilir.
\( C(10, 4) \)
\( = \dfrac{10!}{4!\ (10 - 4)!} \)
\( = 210 \)
(b) seçeneği:
Bir kişisi belli 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
Belirlenen bir kişiye ek olarak 9 kişi arasından 3 kişi seçilir.
\( C(9, 3) \)
\( = \dfrac{9!}{3!\ (9 - 3)!} \)
\( = 84 \)
(c) seçeneği:
4 kişilik komite ve bu komite içinden bir başkan kaç farklı şekilde seçilebilir?
10 kişi arasından önce 4 kişilik bir komite seçilir, sonra bu 4 kişi arasından bir başkan seçilir.
\( C(10, 4) \cdot C(4, 1) \)
\( = \dfrac{10!}{4!\ (10 - 4)!} \cdot \dfrac{4!}{1!\ (4 - 1)!} \)
\( = 210 \cdot 4 = 840 \)
(d) seçeneği:
2 kadın ve 3 erkekten oluşan 5 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
4 kadın arasından 2 kadın, 6 erkek arasında 3 erkek seçilir.
\( C(4, 2) \cdot C(6, 3) \)
\( = \dfrac{4!}{2!\ (4 - 2)!} \cdot \dfrac{6!}{3!\ (6 - 3)!} \)
\( = 6 \cdot 20 = 120 \)
Bir sınıftaki öğrencilerle oluşturulabilecek 10 kişilik grupların sayısı 8 kişilik grupların sayısına eşittir.
Buna göre oluşturulabilecek 3 kişilik grupların sayısı kaçtır?
Çözümü GösterSınıftaki öğrenci sayısına \( n \) diyelim.
\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \)'li ve \( k \)'lı kombinasyonları birbirine eşitse bu sayılar ya birbirine eşittir ya da toplamları \( n \)'ye eşittir.
\( C(n, r) = C(n, k) \) ise \( r = k \) veya \( r + k = n \) olur.
\( C(n, 10) = C(n, 8) \) olduğuna göre, \( n = 10 + 8 = 18 \) olur.
18 öğrenci ile oluşturulabilecek 3 kişilik grupların sayısını bulalım.
\( C(18, 3) = \dfrac{18!}{3!\ (18 - 3)!} \)
\( = \dfrac{18 \cdot 17 \cdot 16}{3 \cdot 2} \)
\( = 816 \) bulunur.
Aralarında Doruk ve Özge'nin de bulunduğu 6 kişilik bir gruptan 4 kişi seçilecektir. Seçilenler arasında Doruk ve Özge de bulunacak şekilde bu grup kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözümü GösterÖnce Doruk ve Özge'yi seçtiğimizi varsayalım.
Kalan 4 kişi içinden 2 kişi \( C(4, 2) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.
4 evli çiftin katıldığı bir yarışma programında yarışmacılar 4'er kişilik iki takıma ayrılacaktır.
Evli çiftler aynı takımda olmamak koşuluyla bu iki takım kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözümü GösterBirinci takım her çiftten birer kişi seçilerek \( C(2, 1) \cdot C(2, 1) \cdot C(2, 1) \cdot C(2, 1) = 16 \) farklı şekilde oluşturulabilir. Seçilmeyen dört kişi ikinci takımı oluşturur.
4 kişilik iki takım aralarında yer değiştirdiğinde farklı takımlar oluşmadığı için bulduğumuz sonucu \( 2! \)'e bölmeliyiz.
Buna göre bu iki takım istenen şekilde \( \frac{16}{2!} = 8 \) farklı şekilde oluşturulabilir.
4 kadın ve 6 erkekten oluşan 10 kişi arasından;
(a) En az bir kadın ve en az bir erkekten oluşan 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
(b) En fazla iki erkekten oluşan 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü Göster(a) seçeneği:
En az bir kadın ve en az bir erkekten oluşan 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
En az bir kadın ve en az bir erkekten oluşan komite sayısını toplam komite sayısından sadece kadınlardan ve sadece erkeklerden oluşan komite sayılarını çıkararak (çıkarma yoluyla sayma) bulabiliriz.
10 kişi arasından 4 kişilik bir komite \( C(10, 4) = 210 \) farklı şekilde seçilebilir.
Sadece kadınlardan oluşan 4 kişilik komite \( C(4, 4) = 1 \) farklı şekilde, sadece erkeklerden oluşan 4 kişilik komite \( C(6, 4) = 15 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre, en az bir kadın ve en az bir erkekten oluşan 4 kişilik bir komite \( 210 - 1 - 15 = 194 \) farklı şekilde seçilebilir.
(b) seçeneği:
En fazla iki erkekten oluşan 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
İstenen 4 kişilik komite 0, 1 ya da 2 erkek ile oluşturulabilir.
Bu üç durumu ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: 4 kadın, 0 erkek
4 kadın arasından 4 kadın, 6 erkek arasından 0 erkek seçilir.
\( C(4, 4) \cdot C(6, 0) = 1 \cdot 1 = 1 \)
Durum 2: 3 kadın, 1 erkek
4 kadın arasından 3 kadın, 6 erkek arasından 1 erkek seçilir.
\( C(4, 3) \cdot C(6, 1) = 4 \cdot 6 = 24 \)
Durum 3: 2 kadın, 2 erkek
4 kadın arasından 2 kadın, 6 erkek arasından 2 erkek seçilir.
\( C(4, 2) \cdot C(6, 2) = 6 \cdot 15 = 90 \)
Toplam farklı seçim sayısı bu üç durumun toplamına eşittir.
\( 1 + 24 + 90 = 115 \) bulunur.
4 doktor ve 6 hemşire arasından 5 kişilik bir sağlık ekibi oluşturulacaktır. Ekipte en az bir doktor ve iki hemşire olması istendiğine göre, bu ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözümü Gösterİstenen 5 kişilik ekip 1, 2 ya da 3 doktor ile oluşturulabilir.
Bu üç durumu ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: 1 doktor, 4 hemşire
4 doktor arasından 1 doktor, 5 hemşire arasından 4 hemşire seçilir.
\( C(4, 1) \cdot C(5, 4) = 4 \cdot 5 = 20 \)
Durum 2: 2 doktor, 3 hemşire
4 doktor arasından 2 doktor, 5 hemşire arasından 3 hemşire seçilir.
\( C(4, 2) \cdot C(5, 3) = 6 \cdot 10 = 60 \)
Durum 3: 3 doktor, 2 hemşire
4 doktor arasından 3 doktor, 5 hemşire arasından 2 hemşire seçilir.
\( C(4, 3) \cdot C(5, 2) = 4 \cdot 10 = 40 \)
Toplam farklı seçim sayısı bu üç durumun toplamına eşittir.
\( 20 + 60 + 40 = 120 \) bulunur.
5 evli çift arasından 5 kişi seçilecektir. Bu 5 kişi;
(a) 2 evli çift içermek koşuluyla kaç farklı şekilde seçilebilir?
(b) Sadece 1 evli çift içermek koşuluyla kaç farklı şekilde seçilebilir?
(c) Hiç evli çift içermemek koşuluyla kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü Göster(a) seçeneği:
5 kişi 2 evli çift içermek koşuluyla kaç farklı şekilde seçilebilir?
Öncelikle 5 evli çift arasından 2 çift \( C(5, 2) = 10 \) farklı şekilde seçilebilir.
Kalan 6 kişi arasından bir kişi \( C(6, 1) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre istenen seçim \( 10 \cdot 6 = 60 \) farklı şekilde yapılabilir.
(b) seçeneği:
5 kişi sadece 1 evli çift içermek koşuluyla kaç farklı şekilde seçilebilir?
Öncelikle 5 evli çift arasından bir çift \( C(5, 1) = 5 \) farklı şekilde seçilebilir.
Kalan 3 kişiyi seçmek için 4 evli çiftten 3 çift \( C(4, 3) = 4 \) farklı şekilde seçilebilir.
Seçilen her çiftten bir kişi \( C(2, 1) = 2 \) farklı şekilde seçilebilir.
Seçilen 3 çiftin her birinden birer kişi olmak üzere 3 kişi \( 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre istenen seçim \( 5 \cdot 4 \cdot 8 = 160 \) farklı şekilde yapılabilir.
(c) seçeneği:
5 kişi hiç evli çift içermemek koşuluyla kaç farklı şekilde seçilebilir?
Her evli çiftten bir kişi \( C(2, 1) = 2 \) farklı şekilde seçilebilir.
Buna göre her evli çiftten birer kişi olmak üzere 5 kişi \( 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2 = 2^5 = 32 \) farklı şekilde seçilebilir.
Aralarında Merve ve Zeynep'in de olduğu 10 kişi arasından 4 kişilik bir proje ekibi seçilecektir.
Merve ve Zeynep aynı ekipte olmak istemediklerine göre, bu ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözümü Göster1. yöntem:
Merve ve Zeynep'in ikisinin de bulunmadığı ekiplerle yalnız birinin bulunduğu ekipleri toplayalım.
Merve ve Zeynep'in ikisinin de bulunmadığı 4 kişilik bir ekip, diğer 8 kişi arasından 4 kişi seçilerek \( C(8, 4) = 70 \) farklı şekilde oluşturulabilir.
Merve ve Zeynep'ten yalnız birinin bulunduğu 4 kişilik bir ekip, ikisinden biri ve diğer 8 kişi arasından 3 kişi seçilerek \( C(2, 1) \cdot C(8, 3) = 112 \) farklı şekilde oluşturulabilir.
Buna göre bu ekip \( 70 + 112 = 182 \) farklı şekilde oluşturulabilir.
2. yöntem:
Oluşturulabilecek tüm ekiplerden Merve ve Zeynep'in aynı ekipte olduğu durumları çıkaralım.
10 kişi arasından 4 kişi \( C(10, 4) = 210 \) farklı şekilde seçilebilir.
Merve ve Zeynep'ten ikisinin de bulunduğu 4 kişilik bir ekip, ikisine ek olarak 8 kişi arasından 2 kişi seçilerek \( C(8, 2) = 28 \) farklı şekilde oluşturulabilir.
Buna göre bu ekip \( 210 - 28 = 182 \) farklı şekilde oluşturulabilir.
Bir yemek davetinde salondaki \( n \) kişi birbiriyle tokalaşıyor. 210 farklı tokalaşma gerçekleştiğine göre \( n \) kaçtır?
Çözümü Göster\( n \) kişi arasından seçilebilecek iki kişilik grup sayısı kadar farklı tokalaşma olur, \( n \)'nin 2'li kombinasyonuna eşittir.
\( C(n, 2) = \dfrac{n(n - 1)}{2} = 210 \)
\( n(n - 1) = 420 \)
\( n = 21 \) bulunur.
Bir okulun voleybol takımında ikisi yeni olmak üzere 13 oyuncu vardır. Bu oyuncular arasından bir maç için 8 oyuncu seçilecektir.
Antrenör yeni oyunculardan en az birini takıma almak istediğine göre, bu takım kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözümü Göster8 kişilik takım 1 ya da 2 yeni oyuncu ile oluşturulabilir.
Bu iki durumu ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: 1 yeni oyuncu
2 yeni oyuncu arasından 1 oyuncu, diğer 11 oyuncu arasından 7 oyuncu seçilir.
\( C(2, 1) \cdot C(11, 7) = 2 \cdot 330 = 660 \)
Durum 2: 2 yeni oyuncu
2 yeni oyuncu arasından 2 oyuncu, diğer 11 oyuncu arasından 6 oyuncu seçilir.
\( C(2, 2) \cdot C(11, 6) = 1 \cdot 462 = 462 \)
Toplam farklı seçim sayısı bu üç durumun toplamına eşittir.
\( 660 + 462 = 1122 \) bulunur.
Quidditch kadın ve erkek birlikte oynanan bir takım sporudur. Oyunun kurallarına göre, bir takımın oyunda aktif 6 oyuncusu vardır ve bu oyunculardan en fazla 4'ü aynı cinsiyetten olabilir.
Bir turnuvaya katılan "Hogwarts United" quidditch takımının kadrosunda 5 kadın 6 erkek oyuncu bulunduğuna göre, bir maçın ilk 6 oyuncusu kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü Gösterİstenen takım 2, 3 ya da 4 kadın oyuncu ile oluşturulabilir.
Bu üç durumu ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: 2 kadın, 4 erkek
5 kadın oyuncu arasından 2 oyuncu, 6 erkek oyuncu arasından 4 oyuncu seçilir.
\( C(5, 2) \cdot C(6, 4) = 10 \cdot 15 = 150 \)
Durum 2: 3 kadın, 3 erkek
5 kadın oyuncu arasından 3 oyuncu, 6 erkek oyuncu arasından 3 oyuncu seçilir.
\( C(5, 3) \cdot C(6, 3) = 10 \cdot 20 = 200 \)
Durum 3: 4 kadın, 2 erkek
5 kadın oyuncu arasından 4 oyuncu, 6 erkek oyuncu arasından 2 oyuncu seçilir.
\( C(5, 4) \cdot C(6, 2) = 5 \cdot 15 = 75 \)
Toplam farklı seçim sayısı bu üç durumun toplamına eşittir.
\( 150 + 200 + 75 = 425 \) bulunur.
Bir okulda düzenlenen masa tenisi turnuvasında her oyuncu diğer her oyuncu ile bir maç yapacaktır. Oyuncuların ikisinin de kız olduğu 153, ikisinin de erkek olduğu 105 maç yapılacaktır.
Buna göre oyunculardan birinin kız diğerinin erkek olduğu maç sayısı kaçtır?
Çözümü GösterKız öğrencilerin sayısına \( x \), erkek öğrencilerin sayısına \( y \) diyelim.
\( x \) kişi arasından 2 kişinin farklı seçim sayısı \( x \)'in 2'li kombinasyonudur.
\( C(x, 2) = \dfrac{x(x - 1)}{2} = 153 \)
\( x(x - 1) = 306 \)
\( x = 18 \)
\( y \) kişi arasından 2 kişinin farklı seçim sayısı \( y \)'nin 2'li kombinasyonudur.
\( C(y, 2) = \dfrac{y(y - 1)}{2} = 105 \)
\( y(y - 1) = 210 \)
\( y = 15 \)
Oyunculardan birinin kız diğerinin erkek olduğu maç sayısı, kız ve erkek öğrenci sayılarının 1'li kombinasyonlarının çarpımına eşittir.
\( C(18, 1) \cdot C(15, 1) = 18 \cdot 15 = 270 \) bulunur.
8 kişi beşer kişilik iki araca, herkes bir araca binmek koşuluyla kaç farklı şekilde binebilir?
Çözümü GösterAraçlara A ve B diyelim.
A aracına 5, 4 ve 3 kişinin bindiği üç farklı durumu ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: A aracına 5 kişi, B aracına 3 kişi
A aracına binmek için 8 kişi arasından 5 kişi, B aracına binmek için kalan 3 kişi arasından 3 kişi seçilir.
\( C(8, 5) \cdot C(3, 3) \)
\( = 56 \cdot 1 = 56 \)
Durum 2: A aracına 4 kişi, B aracına 4 kişi
A aracına binmek için 8 kişi arasından 4 kişi, B aracına binmek için kalan 4 kişi arasından 4 kişi seçilir.
\( C(8, 4) \cdot C(4, 4) \)
\( = 70 \cdot 1 = 70 \)
Durum 3: A aracına 3 kişi, B aracına 5 kişi
A aracına binmek için 8 kişi arasından 3 kişi, B aracına binmek için kalan 5 kişi arasından 5 kişi seçilir.
\( C(8, 3) \cdot C(5, 5) \)
\( = 56 \cdot 1 = 56 \)
Toplam farklı seçim sayısı bu üç durumun toplamına eşittir.
\( 56 + 70 + 56 = 182 \) bulunur.
Bir okulda yıl sonu etkinliklerinin düzenlenmesi için oluşturulacak olan 6 kişilik komiteye 8. sınıflardan 5, 7. sınıflardan 4, 6. sınıflardan 3 öğrenci aday olmuştur.
Her sınıftan en az bir öğrencinin bulunduğu ve 8. sınıf öğrencilerinin çoğunlukta olduğu kaç farklı komite oluşturulabilir?
Çözümü GösterKomitedeki 8. sınıf, 7. sınıf ve 6. sınıf öğrenci sayılarına sırasıyla \( a \), \( b \) ve \( c \) diyelim.
\( (a, b, c) \) komitedeki her sınıftan öğrenci sayıları olmak üzere, her sınıftan en az bir öğrencinin bulunduğu ve 8. sınıf öğrencilerinin çoğunlukta olduğu bir komite aşağıdaki şekillerde olabilir.
\( (3, 2, 1), (3, 1, 2), (4, 1, 1) \)
Bu üç durumu ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: \( (a, b, c) = (3, 2, 1) \)
8. sınıftan 3, 7. sınıftan 2, 6. sınıftan 1 öğrenci seçilir.
\( C(5, 3) \cdot C(4, 2) \cdot C(3, 1) \)
\( = 10 \cdot 6 \cdot 3 = 180 \)
Durum 2: \( (a, b, c) = (3, 1, 2) \)
8. sınıftan 3, 7. sınıftan 1, 6. sınıftan 2 öğrenci seçilir.
\( C(5, 3) \cdot C(4, 1) \cdot C(3, 2) \)
\( = 10 \cdot 4 \cdot 3 = 120 \)
Durum 3: \( (a, b, c) = (4, 1, 1) \)
8. sınıftan 4, 7. sınıftan 1, 6. sınıftan 1 öğrenci seçilir.
\( C(5, 4) \cdot C(4, 1) \cdot C(3, 1) \)
\( = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \)
Toplam farklı seçim sayısı bu üç durumun toplamına eşittir.
\( 180 + 120 + 60 = 360 \) bulunur.
8 arkadaş öğretmenler gününde üç gruba ayrılıp matematik, fizik ve kimya öğretmenlerini ziyaret edecektir.
Her grupta en az iki kişi olmak koşuluyla bu ziyaretler kaç farklı şekilde organize edilebilir?
Çözümü GösterHer grupta en az iki kişi olmak koşuluyla, öğrenciler iki farklı şekilde üç gruba ayrılabilir.
\( \{ 4, 2, 2 \}, \{ 3, 3, 2 \} \)
Bu iki durumu ayrı ayrı inceleyelim.
Durum 1: \( \{ 4, 2, 2 \} \)
8 arkadaş arasından önce 4, sonra 2, sonra 2 kişi seçilir.
\( C(8, 4) \cdot C(4, 2) \cdot C(2, 2) \)
\( = 70 \cdot 6 \cdot 1 = 420 \)
2 kişilik iki grubun aralarında yer değiştirmesi yeni bir grup oluşturmadığı için farklı grup sayısı \( \frac{420}{2!} = 210 \) olur.
Bu gruplar üç öğretmeni \( 3! = 6 \) farklı şekilde ziyaret edebilir.
Buna göre bu durumda ziyaretler \( 210 \cdot 6 = 1260 \) farklı şekilde gerçekleşebilir.
Durum 2: \( \{ 3, 3, 2 \} \)
8 arkadaş arasından önce 3, sonra 3, sonra 2 kişi seçilir.
\( C(8, 3) \cdot C(5, 3) \cdot C(2, 2) \)
\( = 56 \cdot 10 \cdot 1 = 560 \)
3 kişilik iki grubun aralarında yer değiştirmesi yeni bir grup oluşturmadığı için farklı grup sayısı \( \frac{560}{2!} = 280 \) olur.
Bu gruplar üç öğretmeni \( 3! = 6 \) farklı şekilde ziyaret edebilir.
Buna göre bu durumda ziyaretler \( 280 \cdot 6 = 1680 \) farklı şekilde gerçekleşebilir.
Toplam farklı ziyaret sayısı bu iki durumun toplamına eşittir.
\( 1260 + 1680 = 2940 \) bulunur.
Elif 4 günlük Londra gezisi sırasında, en çok ziyaret edilen 6 sanat ve 5 tarih müzesinden ikişer tanesini seçip her gün birini ziyaret etmek istiyor.
Buna göre Elif bu ziyaret programını kaç farklı şekilde organize edebilir?
Çözümü GösterElif 6 sanat müzesi arasından ikisini \( C(6, 2) = 15 \) farklı şekilde, 5 tarih müzesi arasından ikisini \( C(5, 2) = 10 \) farklı şekilde seçebilir.
Elif daha sonra seçtiği bu 4 müzeyi günlere \( 4! = 24 \) farklı şekilde dağıtabilir.
Buna göre Elif müze ziyaretlerini \( 15 \cdot 10 \cdot 24 = 3600 \) farklı şekilde organize edebilir.
Bir şehirdeki 15 lise arasında düzenlenen voleybol turnuvasında takımlar 8 ve 7 takımdan oluşan iki gruba ayrılıyor.
Turnuva formatına göre; aynı gruptaki takımlar aralarında ikişer maç, farklı gruplardaki takımlar aralarında birer maç yapıyor ve en sonda her grupta birinci olan iki takım aralarında şampiyonluk maçı oynuyor.
Buna göre bu turnuvada toplam kaç maç oynanır?
Çözümü Göster8 takımdan oluşan gruba A grubu, 7 takımdan oluşan gruba B grubu diyelim.
A grubundaki takımlar kendi aralarında \( 2 \cdot C(8, 2) = 56 \) maç yapar.
B grubundaki takımlar kendi aralarında \( 2 \cdot C(7, 2) = 42 \) maç yapar.
A ve B grubundaki takımlar birbirleriyle \( 8 \cdot 7 = 56 \) maç yapar.
En son şampiyonluk maçını da eklersek turnuvada toplam \( 56 + 42 + 56 + 1 = 155 \) maç oynanır.
Bir tercüme bürosunda 4 kişi sadece İngilizce, 3 kişi sadece Almanca, 2 kişi sadece İspanyolca, 2 kişi de sadece Arapça biliyor. Şirket sahibi Sefer ise İngilizce, Almanca ve İspanyolca biliyor.
Bu tercüme bürosu uluslararası bir konferansta görevlendirilmek ve her dil için birer kişi olmak üzere, 4 kişilik bir ekibi kaç farklı şekilde oluşturabilir?
Çözümü GösterSefer'in ekibe dahil olup/olmama durumuna ve ekipteki rolüne göre problemi alt durumlara bölelim.
Durum 1: Sefer ekibe dahil değil
İngilizce, Almanca, İspanyolca ve Arapça için Sefer hariç birer kişi seçilir.
\( C(4, 1) \cdot C(3, 1) \cdot C(2, 1) \cdot C(2, 1) \)
\( = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 48 \)
Durum 2: Sefer İngilizce tercümanı olarak seçilir.
Almanca, İspanyolca ve Arapça için Sefer hariç birer kişi seçilir.
\( C(3, 1) \cdot C(2, 1) \cdot C(2, 1) \)
\( = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12 \)
Durum 3: Sefer Almanca tercümanı olarak seçilir.
İngilizce, İspanyolca ve Arapça için Sefer hariç birer kişi seçilir.
\( C(4, 1) \cdot C(2, 1) \cdot C(2, 1) \)
\( = 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \)
Durum 4: Sefer İspanyolca tercümanı olarak seçilir.
İngilizce, Almanca ve Arapça için Sefer hariç birer kişi seçilir.
\( C(4, 1) \cdot C(3, 1) \cdot C(2, 1) \)
\( = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \)
Toplam farklı seçim sayısı bu dört durumun toplamına eşittir.
\( 48 + 12 + 16 + 24 = 100 \) bulunur.
Aralarında Ayşe ve Damla'nın da bulunduğu 10 kişi, ikisi 3 diğeri 4 kişilik üç araca bineceklerdir.
Ayşe ve Damla aynı araca binmek istemediklerine göre, bu 10 kişi araçlara kaç farklı şekilde binebilir?
Çözümü Göster3 kişilik araçlara A ve B, 4 kişilik araca C diyelim.
Bu 10 kişinin üç araca binebilecekleri tüm farklı durumlardan Ayşe ve Damla'nın aynı araçta bulundukları durumları çıkaralım.
A aracına binmek için 10 kişi arasından 3 kişi \( C(10, 3) \) farklı şekilde, B aracına binmek için kalan 7 kişi arasından 3 kişi \( C(7, 3) \) farklı şekilde, C aracına binmek için kalan 4 kişi arasından 4 kişi \( C(4, 4) \) farklı şekilde seçilebilir.
\( C(10, 3) \cdot C(7, 3) \cdot C(4, 4) \)
\( = 120 \cdot 35 \cdot 1 = 4200 \)
Ayşe ve Damla'nın aynı araca bindikleri durumları A, B ve C araçları için ayrı ayrı hesaplayalım.
Durum 1: Ayşe ve Damla A aracında
A aracına binmek için 8 kişi arasından 1 kişi \( C(8, 1) \) farklı şekilde, B aracına binmek için kalan 7 kişi arasından 3 kişi \( C(7, 3) \) farklı şekilde, C aracına binmek için kalan 4 kişi arasından 4 kişi \( C(4, 4) \) farklı şekilde seçilebilir.
\( C(8, 1) \cdot C(7, 3) \cdot C(4, 4) \)
\( = 8 \cdot 35 \cdot 1 = 280 \)
Durum 2: Ayşe ve Damla B aracında
Bu durumda oluşan farklı seçim sayısı birinci durumla aynı ve 280 olur.
Durum 3: Ayşe ve Damla C aracında
A aracına binmek için 8 kişi arasından 3 kişi \( C(8, 3) \) farklı şekilde, B aracına binmek için kalan 5 kişi arasından 3 kişi \( C(5, 3) \) farklı şekilde, C aracına binmek için kalan 2 kişi arasından 2 kişi \( C(2, 2) \) farklı şekilde seçilebilir.
\( C(8, 3) \cdot C(5, 3) \cdot C(2, 2) \)
\( = 56 \cdot 10 \cdot 1 = 560 \)
Buna göre, Ayşe ve Damla'nın aynı araçta bulundukları \( 280 + 280 + 560 = 1120 \) farklı durum vardır.
Aynı araçta bulunmadıkları durumlar = Tüm durumlar - Aynı araçta bulundukları durumlar
\( = 4200 - 1120 = 3080 \) bulunur.