Kümelerde Kombinasyon
Bu tip kombinasyon problemlerinde bir kümenin belirli koşulları sağlayan kaç farklı alt kümesi olduğu ya da kaç farklı küme yazılabileceği hesaplanır.
8 elemanlı bir kümenin en çok iki elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \) elemanlı alt kümelerinin sayısı \( C(n, r) \) ile hesaplanır.
8 elemanlı bir kümenin en çok 2 elemanlı alt kümeleri 0, 1 ve 2 elemanlı alt kümelerinden oluşur.
\( C(8, 0) + C(8, 1) + C(8, 2) \)
\( = 1 + 8 + 28 = 37 \) bulunur.
4 elemanlı alt kümelerinin sayısı 5 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en az 7 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözümü GösterKümenin eleman sayısına \( n \) diyelim.
\( C(n, r) = C(n, k) \) ise \( r = k \) veya \( r + k = n \) olur.
\( C(n, 4) = C(n, 5) \) olduğuna göre, \( n = 4 + 5 = 9 \) olur.
9 elemanlı bir kümenin en az 7 elemanlı alt kümeleri 7, 8 ve 9 elemanlı alt kümelerinden oluşur.
\( C(9, 7) + C(9, 8) + C(9, 9) \)
\( = 36 + 9 + 1 = 46 \) bulunur.
9 elemanlı bir kümenin eleman sayısı tek sayı olan kaç alt kümesi vardır?
Çözümü Göster\( n \) elemanlı bir kümenin \( r \) elemanlı alt kümelerinin sayısı \( C(n, r) \) ile hesaplanır.
Belirli bir \( n \) sayısının çift sayı kombinasyonlarının toplamı tek sayı kombinasyonlarının toplamına eşittir.
\( C(n, 0) + C(n, 2) + C(n, 4) + \ldots = 2^{n - 1} \)
\( C(n, 1) + C(n, 3) + C(n, 5) + \ldots = 2^{n - 1} \)
Buna göre 9 elemanlı bir kümenin eleman sayısı tek sayı olan alt kümelerinin sayısı \( 2^{9 - 1} = 256 \) olur.
\( A = \{a, b, c, d, e, i, f, g, h\} \) kümesinin elemanları ile 5 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler yazılacaktır.
Her harf bir kez kullanılmak koşuluyla 2 sesli ve 3 sessiz harften oluşan kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözümü Göster\( A \) kümesinin 9 elemanından 3'ü sesli, 6'sı sessiz harftir.
2 sesli harf \( C(3, 2) = 3 \) farklı şekilde, 3 sessiz harf \( C(6, 3) = 20 \) farklı şekilde seçilebilir.
Dolayısıyla \( A \) kümesinin elemanları içinden 2 sesli ve 3 sessiz harf \( 3 \cdot 20 = 60 \) farklı şekilde seçilebilir.
Seçilen bu 5 harf kendi aralarında \( 5! = 120 \) farklı şekilde yer değiştirebilir.
Buna göre istenen şekilde 5 harf seçilerek \( 60 \cdot 120 = 7200 \) farklı kelime yazılabilir.
\( A = \{ 1, 2, 3, 4 \} \)
\( B = \{ a, b, c, d, e \} \)
kümelerinin elemanları ile birbirinden farklı 3 rakam ve 2 harften oluşan kaç farklı şifre yazılabilir?
Çözümü Göster\( A \) kümesinden 3 rakam \( C(4, 3) = 4 \) farklı şekilde seçilebilir.
\( B \) kümesinden 2 harf \( C(5, 2) = 10 \) farklı şekilde seçilebilir.
Seçilen 5 karakter kendi aralarında \( 5! = 120 \) farklı şekilde sıralanarak farklı birer şifre oluşturur.
Buna göre 3 rakam ve 2 harften oluşan \( 4 \cdot 10 \cdot 120 = 4800 \) farklı şifre yazılabilir.
\( A = \{ 1, 3, 5, 7, 9, 11 \} \) kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaçında elemanların çarpımı 5'in katıdır?
Çözümü Göster\( A \) kümesinin elemanları içinde 5'in bir tam sayı katı olan tek eleman "5" olduğu için, elemanların çarpımının 5'in katı olması için alt kümenin elemanlarından biri "5" olmalıdır.
Buna göre, "5" elemanı seçildikten sonra yanına diğer 5 elemandan ikisi \( C(5, 2) = 10 \) farklı şekilde seçilebilir.
\( B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \} \) ve \( A \subseteq B \) olmak üzere,
\( A \cap \{ 1,2,3 \} = \{ 3 \} \) eşitliğini sağlayan üç elemanlı kaç farklı \( A \) kümesi yazılabilir?
Çözümü GösterVerilen kesişim işlemine göre "3" \( A \) kümesinin elemanıdır, "1" ve "2" ise değildir.
\( A \) kümesi 3 elemanlı olacak şekilde diğer \( \{ 4, 5, 6, 7, 8 \} \) elemanları içinden 2 eleman \( C(5, 2) = 10 \) farklı şekilde seçilebilir.
\( a \gt b \gt c \) olmak üzere, 3 basamaklı kaç farklı \( (abc) \) sayısı yazılabilir?
Çözümü Göster10 rakam arasından seçilecek birbirinden farklı 3 rakam, \( a \gt b \gt c \) olacak şekilde tek bir şekilde sıralanabilir.
Örneğin seçilen rakamlar \( \{ 5, 0, 8 \} \) ise bu rakamların sadece 850 şeklindeki dizilişi istenen koşulu sağlar.
Buna göre 10 rakam içinden 3 rakamın farklı seçim sayısı kadar istenen koşulu sağlayan sayı yazılabilir.
\( C(10, 3) = 120 \) bulunur.
\( A \) kümesinin \( \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} \) kümesinin bir alt kümesi olduğu ve \( A \cap \{ 1, 2, 3 \} \) kümesinin eleman sayısının 2 olduğu biliniyor.
Buna göre bu şartları sağlayan kaç farklı \( A \) kümesi vardır?
Çözümü Göster\( A \) kümesi \( \{ 1, 2, 3 \} \) kümesinin elemanlarından 2'sini içerir. Bu 3 elemandan 2 eleman \( C(3, 2) = 3 \) farklı şekilde seçilebilir.
Ek olarak \( A \) kümesi \( \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} - \{ 1, 2, 3 \} = \{ 4, 5, 6 \} \) kümesinin herhangi bir alt kümesini de içerebilir. 3 elemanlı \( \{ 4, 5, 6 \} \) kümesinin alt küme sayısı \( 2^3 = 8 \)'dir.
Buna göre verilen koşulları sağlayan \( 3 \cdot 8 = 24 \) farklı \( A \) kümesi vardır.
\( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) kümesinin üç elemanlı alt kümeleri yazılıyor.
Buna göre bu alt kümelerin kaç tanesinin elemanları toplamı çift sayı olur?
Çözümü Göster\( A \) kümesinin 9 elemanının 5'i tek, 4'ü çift sayıdır.
Üç tam sayının toplamı iki durumda çift sayı olabilir.
Durum 1: Üç sayı da çift
4 çift sayı içinden 3 sayı seçilir.
\( C(4, 3) = 4 \)
Durum 2: 1 sayı çift, 2 sayı tek
4 çift sayı içinden 1 sayı, 5 tek sayı içinden 2 sayı seçilir.
\( C(4, 1) \cdot C(5, 2) = 4 \cdot 10 = 40 \)
İstenen koşulu sağlayan alt küme sayısı bu iki durumun toplamına eşittir.
\( 4 + 40 = 44 \) bulunur.
\( A = \{ 1, 8, 11, 25, 30, 44, 83 \} \) kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaçında tüm elemanların çarpımı 11'e tam bölünür?
Çözümü Göster11 asal sayı olduğu için bir sayının 11'e tam bölünebilmesi için o sayı 11 çarpanı içermelidir.
\( A \) kümesinin elemanları içinde 11 çarpanı içeren sayılar 11 ve 44'tür. Dolayısıyla \( A \) kümesinin bir alt kümesinin elemanlarının çarpımının 11'e tam bölünmesi için alt küme 11 ya da 44 elemanlarından en az birini içermelidir.
\( A \) kümesinin 4 elemanlı tüm alt kümelerinin sayısından 4 elemanlı ve bu iki sayının ikisini de içermeyen alt kümelerin sayısını çıkarırsak bu iki sayıdan en az birini içeren alt küme sayısını elde ederiz.
7 elemanlı \( A \) kümesinin 4 elemanlı \( C(7, 4) = 35 \) alt kümesi vardır.
\( A \) kümesinin 11 ya da 44 elemanlarını içermeyen 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı, kalan 5 elemanla yazılabilecek 4 elemanlı alt kümelerin sayısına eşittir, bu da \( C(5, 4) = 5 \) olur.
Buna göre \( A \) kümesinin istenen koşulu sağlayan 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı \( 35 - 5 = 30 \) olarak bulunur.
\( A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \) kümesi veriliyor.
\( A \) kümesinin alt kümelerinin kaçında, alt kümenin tüm elemanları alt kümenin eleman sayısından büyüktür?
Çözümü GösterBelirli bir alt kümenin eleman sayısına \( k \) diyelim.
Seçilecek alt kümenin tüm elemanlarının \( k \)'dan büyük olması gerektiğinden, \( A \) kümesinin \( 10 - k \) elemanı içinden \( k \) elemanlı alt kümeler seçmemiz gerekir.
\( k = 1 \) için, \( C(10 - k, k) = C(9, 1) \)
\( k = 2 \) için, \( C(10 - 2, 2) = C(8, 2) \)
\( k = 6 \) için \( C(4, 6) \) olacağı için \( k \) en çok 5 olabilir.
\( C(9, 1) + C(8, 2) + C(7, 3) + C(6, 4) + C(5, 5) \)
\( = 9 + \dfrac{8 \cdot 7}{2!} + \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!} + \dfrac{6 \cdot 5}{2!} + 1 \)
\( = 9 + 28 + 35 + 15 + 1 \)
\( = 88 \) bulunur.
\( X = \{a, b, c, d, e, f\} \)
\( Y = \{a, b, c, d\} \)
\( A \subseteq X, B \subseteq Y \)
\( s(A \cap B) = 3, s(A \cup B) = 5 \)
koşullarını sağlayan kaç farklı \( A \) kümesi yazılabilir?
Çözümü Göster\( A \) kümesinin olası elemanları: \( \{a, b, c, d, e, f\} \)
\( B \) kümesinin olası elemanları: \( \{a, b, c, d\} \)
\( B \) kümesi 3 ya da 4 elemanlı olabilir. Her iki durum için kaç farklı \( A \) kümesi yazılabileceğini sayalım.
Durum 1: \( B \) kümesi 4 elemanlıdır.
Bu durumda verilen koşulların sağlanması için \( A \) kümesi 4 elemanlı olmalıdır. Bu elemanların 3'ü \( B \) ile aynı, 1'i farklı olur.
\( A \) kümesinin 3 elemanı \( \{a, b, c, d\} \) içinden \( C(4, 3) \) farklı şekilde, diğer 1 elemanı da \( \{e, f\} \) içinden \( C(2, 1) \) farklı şekilde seçilebilir.
\( C(4, 3) \cdot C(2, 1) = 8 \)
Durum 2: \( B \) kümesi 3 elemanlıdır.
Bu durumda verilen koşulların sağlanması için \( A \) kümesi 5 elemanlı olmalıdır. Bu elemanların 3'ü \( B \) ile aynı, 2'si farklı olur.
\( B \) kümesinin 3 elemanı \( \{a, b, c, d\} \) içinden \( C(4, 3) \) farklı şekilde seçilebilir. Ek olarak \( A \) kümesinin diğer 2 elemanı kalan üç eleman içinden \( C(3, 2) \) farklı şekilde seçilebilir.
\( C(4, 3) \cdot C(3, 2) = 12 \)
Buna göre \( 8 + 12 = 20 \) farklı \( A \) kümesi yazılabilir.