Kare

Tüm iç açıları dik açı ve kenar uzunlukları birbirine eşit olan dörtgene kare denir.

$m (\hat{A}) = m (\hat{B}) = m (\hat{C}) = m (\hat{D}) = 90 °$

$| A B | = | B C | = | C D | = | A D | = a$

Bir dörtgenin aşağıdaki özelliklerden en az birini taşıdığı biliniyorsa bu dörtgen bir karedir ve diğer özellikleri de taşır.

Tüm iç açılar dik ve kenar uzunlukları eşit (kare tanımı)
Köşegen uzunlukları eşit ve birbirine dik

Kare aynı zamanda bir paralelkenar, eşkenar dörtgen ve dikdörtgen olduğu için, dörtgenler, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen bölümünde bahsettiğimiz tüm özellikler kare için de geçerlidir.

Karenin Kenar ve Köşegen Özellikleri

Karenin karşılıklı kenarları birbirine paraleldir ve tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.

Karenin köşegenleri birbirini ortalar, dik keser ve uzunlukları birbirine eşittir.

Karenin köşegen uzunluğu bir kenar uzunluğunun katıdır (Pisagor teoremi).

Karenin Açı Özellikleri

Tüm dörtgenlerde olduğu gibi, karenin hem iç açıları hem de dış açıları toplamı 360°'dir.

Karenin iç açıları eşit ve her biri 90°'dir.

Karenin köşegenleri her bir dik köşenin açıortayıdır.

Karenin Çevresi ve Alanı

Karenin çevresi, bir kenar uzunluğunun dört katına eşittir.

Karenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesine eşittir.

Karenin alanı aynı zamanda bir köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.

İSPATI GÖSTER

İspatta hata bildirin

Köşegenler karenin alanını dört eşit parçaya böler. Aşağıda bu kuralın tüm paralelkenarlar için geçerli olan ispatı verilmiştir.

İSPATI GÖSTER

üçgeni paralelkenarla aynı tabana ve yüksekliğe sahip olduğu için, alanı paralelkenarın alanının yarısıdır.

Paralelkenarda köşegenler birbirini ortaladığı için, ve üçgenlerinin köşegeni üzerindeki taban uzunlukları eşittir.

Bu iki üçgenin tepe noktaları aynı ( noktası) ve yükseklikleri eşit olduğu için, alanları da eşittir.

İspatta hata bildirin

SORU 1 :

olmak üzere,

Bir karenin köşegeni cm uzunluğundadır.

İkinci bir karenin alanı birinci karenin alanının dörtte biri olduğuna göre, ikinci karenin bir kenarı kaç cm'dir?

Çözümü Göster

Bir kenar uzunluğu birim olan karenin köşegen uzunluğu birim olur.

Buna göre birinci karenin bir kenar uzunluğu cm, alanı cm olur.

İkinci karenin alanı birinci karenin alanının dörtte biri ise alanı cm olur.

Buna göre, ikinci karenin bir kenarı cm uzunluğundadır.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 2 :

Yukarıdaki şekilde bir kare ve bir eşkenar üçgendir.

birim kare olduğuna göre, eşkenar üçgeninin bir kenarı kaç birimdir?

Çözümü Göster

birim diyelim.

Bu durumda birim olur.

ve olduğu için iki dik üçgenin üçüncü kenarları da eş olur.

Bu durumda birim olur.

dik üçgenine Pisagor teoremini uygulayalım.

ikizkenar dik üçgeninin hipotenüs uzunluğunu bulalım.

eşkenar üçgen olduğu için bulduğumuz iki hipotenüs uzunluğu eşittir.

İkinci dereceden denklemlerin kök bulma formülünü kullanalım.

Verilen kare birim kare olduğu için birden küçük olmalıdır.

eşkenar üçgeninin bir kenar uzunluğu birimdir.

bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 3 :

Özdeş 4 yamuk şekildeki gibi birleştirilerek bir çerçeve oluşturuluyor.

İçte ve dışta oluşan karelerin bir kenar uzunlukları oranı olduğuna göre, içteki karenin alanının bir yamuğun alanına oranı kaçtır?

Çözümü Göster

İçteki karenin bir kenarına dersek (yamuğun üst tabanı) dıştaki karenin bir kenarı olur (yamuğun alt tabanı) .

Buna göre içteki karenin alanı , dıştaki karenin alanı bulunur, dolayısıyla iki kare arasında kalan ve 4 eş yamuğun birleşiminden oluşan toplam alan olur.

4 eş yamuktan birinin alanı olur.

İçteki karenin alanının bir yamuğun alanına oranı olarak bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 4 :

Şekildeki karesinin bir kenar uzunluğu 4 birimdir.

karesinin kenarları üzerinde bulunan noktalarının oluşturduğu eşkenar altıgeninin bir kenar uzunluğu kaçtır?

Çözümü Göster

Altıgenin bir kenar uzunluğuna diyelim.

ve ikizkenar dik üçgenlerdir.

ve üçgenleri 45-45-90° üçgeni olur. 45-45-90° üçgeninde kenar uzunlukları arasındaki orantı sırasıyla şeklinde olur.

Payı ve paydayı paydanın eşleniği olan ile çarpalım.

bulunur.

Soru sorun Soruda hata bildirin

SORU 5 :

Köşegen uzunluğu cm olan bir kare, alanı 289 cm olan başka bir karenin içerisine şekildeki gibi yerleştiriliyor. İçteki karenin köşeleri dıştaki karenin kenarlarını uzunlukları ve cm olacak şekilde ikiye bölmektedir. Buna göre oranı nedir?

Çözümü Göster

Karenin kenarları eşit uzunlukta olduğu için dıştaki karenin tüm kenarları cm olur.

Oluşan 4 üçgen eş üçgenler olduğu için içteki karenin tüm köşeleri dıştaki karenin kenarlarını uzunlukları ve cm olacak şekilde ikiye böler.

Dıştaki karenin alanı 289 cm olarak veriliyor.

İçteki karenin bir kenar uzunluğuna diyelim.