Köklü Fonksiyonların Tanım ve Görüntü Kümesi
Köklü fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri köklü ifadenin derecesinin tek ya da çift olmasına göre değişir.
\( f(x) = \sqrt[n]{x} \)
Köklü ifadenin derecesi çift sayı ise köklü ifadenin içi negatif bir değer alamayacağı için tanım ve değer kümeleri sıfır ve pozitif reel sayılarla sınırlıdır.
Köklü ifadenin derecesi tek sayı ise köklü ifadenin içi tüm reel sayılar olabileceği için tanım ve değer kümeleri tüm reel sayılardır.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere, köklü fonksiyonların tanım ve görüntü kümeleri aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
| Fonksiyon | Denklem | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|---|
| Çift dereceli | \( f(x) = \sqrt[2n]{x} \) | \( [0, \infty) \) | \( [0, \infty) \) |
| Tek dereceli | \( f(x) = \sqrt[2n + 1]{x} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) |
\( f(x) = \sqrt{2 - \sqrt{1 + \sqrt{x^2 - 6x + 9}}} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözümü GösterEn dıştaki köklü ifadeden en içtekine adım adım ilerleyerek fonksiyonun tanım kümesini bulalım.
Derecesi çift sayı olan bir köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( 2 - \sqrt{1 + \sqrt{x^2 -6x + 9}} \ge 0 \)
\( \sqrt{1 + \sqrt{x^2 - 6x + 9}} \le 2 \)
Kök işaretinden kurtulmak için eşitsizliğin her iki tarafının karesini alalım. Ayrıca kök içi negatif olamaz.
\( 0 \le 1 + \sqrt{x^2 - 6x + 9} \le 4 \)
\( -1 \le \sqrt{x^2 - 6x + 9} \le 3 \)
Bir karekök ifadesinin sonucu negatif olamayacağı için eşitsizliğin alt sınır değerini sıfır yapalım.
\( 0 \le \sqrt{x^2 - 6x + 9} \le 3 \)
\( 0 \le \sqrt{(x - 3)^2} \le 3 \)
Kök içindeki ifade mutlak değerin tanımıdır.
\( 0 \le \abs{x - 3} \le 3 \)
\( -3 \le x - 3 \le 3 \)
\( 0 \le x \le 6 \)
Tanım kümesi: \( x \in [0, 6] \)
\( f(x) = \sqrt{\dfrac{4^{-x} - 2}{3^x - 1 }} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözümü GösterBu fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifade sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olmalıdır ve paydadaki ifade sıfırdan farklı olmalıdır.
\( \dfrac{4^{-x} - 2}{3^x - 1} \ge 0 \)
Payı sıfır yapan değeri bulalım.
\( 4^{-x} - 2 = 0 \)
\( 4^{-x} = 2 \)
\( 2^{-2x} = 2^1 \)
Üslü ifadeler arasındaki eşitlikte tabanlar birbirine eşit ve -1, 0, 1'den farklı ise üsler de eşittir.
\( -2x = 1 \)
\( x = -\dfrac{1}{2} \)
Paydayı sıfır yapan değeri bulalım.
\( 3^x - 1 = 0 \)
\( x = 0 \)
Bu değerleri kullanarak eşitsizlik için işaret tablosu yapalım.
Buna göre verilen ifade \( [-\frac{1}{2}, 0) \) aralığında tanımlıdır.
Tanım kümesi: \( x \in [-\frac{1}{2}, 0) \)
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 8x + 25} \) fonksiyonunun en geniş tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
Çözümü GösterKök içerisindeki ifadede tam kare elde etmeye çalışalım.
\( x^2 - 8x + 25 = x^2 - 8x + 16 + 9 \)
\( = (x - 4)^2 + 9 \)
\( f(x) = \sqrt{(x - 4)^2 + 9} \)
Derecesi çift sayı olan bir köklü ifadenin içi negatif olamaz.
\( (x - 4)^2 \) ifadesi negatif olamayacağı için \( (x - 4)^2 + 9 \) ifadesi de negatif olamaz.
Dolayısıyla fonksiyon her \( x \) değeri için tanımlıdır.
Tanım kümesi: \( x \in \mathbb{R} \)
Görüntü kümesini bulmak için verilen ifadeyi inceleyelim.
\( (x - 4)^2 + 9 \) ifadesi \( x^2 \) parabolünün 4 birim sağa, 9 birim yukarı ötelenmiş halidir.
Parabolün tepe noktası \( T(4, 9) \) noktası ve başkatsayısı pozitif olduğuna göre görüntü kümesi aşağıdaki aralıkta olur.
\( 9 \le (x - 4)^2 + 9 \lt \infty \)
Eşitsizliğin taraflarının karekökünü aldığımızda \( f(x) \)'i elde ederiz.
\( 3 \le \sqrt{(x - 4)^2 + 9} \lt \infty \)
\( 3 \le f(x) \lt \infty \)
Görüntü kümesi: \( f(x) = [3, \infty) \)