Kuvvet Fonksiyonlarının Grafikleri
Kuvvet fonksiyonlarının grafikleri fonksiyonun derecesinin tek ya da çift olmasına göre iki grup altında incelenebilir. Önceki bölümde gördüğümüz gibi bu iki farklı grup için fonksiyonun tanım kümeleri aynı, görüntü kümeleri farklıdır.
Çift Dereceli Kuvvet Fonksiyonları
Bu fonksiyonların derecesi çift sayıdır.
\( n \in \mathbb{Z^+}, \quad k \in \mathbb{R}, \quad k \ne 0 \) olmak üzere,
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = k \cdot x^{2n} \)
Aşağıda \( k \gt 0 \) olduğu durum için çift dereceli üç kuvvet fonksiyonunun grafiği verilmiştir. \( k \lt 0 \) olduğu durumda grafiklerin \( x \) eksenine göre yansıması oluşur.
Çift dereceli kuvvet fonksiyonlarının grafikleri ile ilgili şu yorumlar yapılabilir.
- Çift dereceli kuvvet fonksiyonları parabole benzer grafiğe sahiptir.
- Fonksiyonların tanım kümesi tüm reel sayılar, görüntü kümesi \( [0, \infty) \) aralığıdır.
- \( x = 0 \)'ın her dereceden üssü \( 0 \) olduğu için, grafik her zaman orijinden geçer.
- \( x = 1 \)'in her dereceden üssü \( 1 \) olduğu için, grafik her zaman \( (1, 1) \) noktasından geçer.
- \( x = -1 \)'in her çift sayı dereceden üssü \( 1 \) olduğu için, grafik her zaman \( (-1, 1) \) noktasından geçer.
- Fonksiyon \( (-\infty, 0) \) aralığında azalan, \( (0, \infty) \) aralığında artandır.
- \( 0 \lt \abs{x} \lt 1 \) arasında üs büyüdükçe fonksiyon değeri küçülür, dolayısıyla fonksiyon grafiği \( x \) eksenine yaklaşır.
- \( 1 \lt \abs{x} \) olduğunda üs büyüdükçe fonksiyon değeri de büyür, dolayısıyla fonksiyon grafiği \( x \) ekseninden uzaklaşır.
- Çift dereceli kuvvet fonksiyonları çift fonksiyondur ve \( y \) eksenine göre simetriktir.
Tek Dereceli Kuvvet Fonksiyonları
Bu fonksiyonların derecesi tek sayıdır.
\( n \in \mathbb{Z^+}, \quad k \in \mathbb{R}, \quad k \ne 0 \) olmak üzere,
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \)
\( f(x) = k \cdot x^{2n + 1} \)
Aşağıda \( k \gt 0 \) olduğu durum için tek dereceli üç kuvvet fonksiyonunun grafiği verilmiştir. \( k \lt 0 \) olduğu durumda grafiklerin \( x \) eksenine göre yansıması oluşur.
Tek dereceli kuvvet fonksiyonlarının grafikleri ile ilgili şu yorumlar yapılabilir.
- Fonksiyonun tanım ve görüntü kümeleri tüm reel sayılardır.
- \( x = 0 \)'ın her dereceden üssü \( 0 \) olduğu için, grafik her zaman orijinden geçer.
- \( x = 1 \)'in her dereceden üssü \( 1 \) olduğu için, grafik her zaman \( (1, 1) \) noktasından geçer.
- \( x = -1 \)'in her tek sayı dereceden üssü \( -1 \) olduğu için, grafik her zaman \( (-1, -1) \) noktasından geçer.
- Fonksiyon tüm tanım aralığında artandır.
- \( 0 \lt \abs{x} \lt 1 \) arasında üs büyüdükçe fonksiyon değeri küçülür, dolayısıyla fonksiyon grafiği \( x \) eksenine yaklaşır.
- \( 1 \lt \abs{x} \) olduğunda üs büyüdükçe fonksiyon değeri de büyür, dolayısıyla fonksiyon grafiği \( x \) ekseninden uzaklaşır.
- Tek dereceli kuvvet fonksiyonları tek fonksiyondur ve orijine göre simetriktir.