Vektörel Çarpım
Vektörel çarpım işlemi sadece üç boyutlu uzayda tanımlı bir çarpma işlemidir ve işlemin sonucu yine bir vektördür. Vektörel çarpım işlemi \( \times \) sembolü ile gösterilir.
\( \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} \)
Vektörel çarpım işleminde sonucun büyüklüğü ve yönü ayrı ayrı bulunur.
Vektörel çarpım işleminin sonucunun büyüklüğü, bu iki vektör aşağıdaki şekildeki gibi bir paralelkenara tamamlandığında oluşan paralelkenarın alanına eşittir. Aralarındaki açı \( \alpha \) olan iki vektörün oluşturduğu paralelkenarın alanı aşağıdaki formülle hesaplanabilir. Bu formülde \( \norm{\vec{a}} \) paralelkenarın taban uzunluğunu, \( \norm{\vec{b}}\sin{\alpha} \) da yüksekliğini vermektedir.
\( \norm{\vec{c}} = \norm{\vec{a} \times \vec{b}} = \norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \sin{\alpha} \)
İki vektörün çarpım vektörü, bu iki vektörün bulunduğu düzleme dik bir yöndedir. Bu vektörün düzleme hangi yönde dik olduğu sağ el kuralı olarak bilinen yöntemle bulunabilir. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, sağ elimizi işaret parmağı birinci vektörü, orta parmak ikinci vektörü gösterecek şekilde tuttuğumuzda baş parmağımızın gösterdiği yön çarpım vektörünün yönüdür.
Bu kuralı yukarıdaki örneğe uyguladığımızda, vektörel çarpım vektörünün \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörlerine yukarı yönde dik olduğunu buluruz. Buna göre bu iki vektörün vektörel çarpımının sonucu olan \( \vec{c} \) vektörü, \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörlerinin bulunduğu \( xy \) düzlemine dik ve üçüncü bir \( z \) ekseni boyunca olur.
Vektörel çarpım işleminde koordinat sistemi sağ el kuralı ile tutarlı bir şekilde tanımlanmalıdır. Örneğin \( x \) ve \( y \) eksenlerinin aralarında yer değiştirdiği bir koordinat sistemi kullanılırsa sağ el kuralı ile bulunan çarpım vektörü ters ve yanlış yönlü olacaktır. Yukarıdaki üç boyutlu koordinat sistemi sağ el kuralı ile uyumlu olacak şekilde tanımlanmıştır.
İki konum vektörünün vektörel çarpımının büyüklüğü aşağıdaki formülle bulunabilir. Vektörel çarpımın sonucunun yönü yukarıda gördüğümüz sağ el kuralı kullanılarak bulunabilir.
\( \vec{a} = (x_1, y_1) \)
\( \vec{b} = (x_2, y_2) \) olmak üzere,
\( \norm{\vec{a} \times \vec{b}} = \abs{x_1 y_2 - x_2 y_1} \)
\( \vec{a} = (5, 2) \)
\( \vec{b} = (4, 3) \) olmak üzere,
\( \norm{\vec{a} \times \vec{b}} = \abs{5 \cdot 3 - 2 \cdot 4} = 7 \)
Vektörel çarpım vektörünün yönü, sağ el kuralına göre \( z \) ekseninin pozitif yönünde olur.
Vektörel Çarpımın İşlem Özellikleri
Vektörel çarpım işleminde vektörlerin sırası değiştirildiğinde, büyüklüğü aynı, yönü zıt yönde bir vektör elde edilir. Vektörlerin sırası değiştirildiğinde büyüklüğü temsil eden paralelkenarın alanı değişmez, ancak sağ el kuralı gereği baş parmağımızın gösterdiği yön ters yönde olur.
\( \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a} \)
Vektörel çarpım işleminin toplama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği vardır.
\( \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} \)
Vektörel Çarpımın İşlem Kuralları
Bir vektörün sıfır vektörü ile vektörel çarpımının sonucu sıfır vektörüdür (bir vektör ile sıfır vektörü arasında bir paralelkenar oluşmaz).
\( \vec{a} \cdot \vec{0} = \vec{0} \cdot \vec{a} = \vec{0} \)
Bir vektörün kendisiyle yaptığı açı 0° olduğu için, bir vektörün kendisiyle vektörel çarpımının sonucu sıfır vektörüdür (bir vektör ile kendisi arasında bir paralelkenar oluşmaz).
\( \vec{a} \cdot \vec{a} = \vec{0} \)
Skaler ve Vektörel Çarpım Karşılaştırması
İki vektörün nokta ve vektörel çarpımları aşağıdaki şekilde karşılaştırılabilir.
| Nokta Çarpımı | Vektörel Çarpım |
|---|---|
| Çarpım sonucu bir skalerdir (sayıdır). | Çarpım sonucu bir vektördür. |
| Sonucun büyüklüğü vektörler arasındaki açının kosinüs değerine göre değişir. | Sonuç vektörünün büyüklüğü vektörler arasındaki açının sinüs değerine göre değişir. |
| Vektörlerin arasındaki açı 0° olduğunda sonuç maksimum değerini alır, 90° olduğunda sıfır olur. | Vektörlerin arasındaki açı 0° olduğunda sonuç sıfır vektörü olur, 90° olduğunda vektörün büyüklüğü maksimum değerini alır. |
| Vektörlerin arasındaki açı 0-90° aralığında iken sonuç pozitif olur, açı arttıkça sonuç küçülür ve sıfıra yaklaşır. | Vektörlerin arasındaki açı 0-90° aralığında arttıkça sonuç vektörünün büyüklüğü artar. |
| Vektörlerin arasındaki açı 90-180° aralığında iken sonuç negatif olur, açı arttıkça sonuç küçülür ve sıfırdan uzaklaşır. | Vektörlerin arasındaki açı 90-180° aralığında arttıkça sonuç vektörünün büyüklüğü azalır. |