Vektörlerin Açıları
Bu bölümde vektörlerin birbirleriyle ve eksenlerle yaptıkları açıları inceleyeceğiz. Bu bölümde örnek olarak kullanacağımız iki vektörü aşağıdaki gibi tanımlayalım.
\( \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) \)
\( \vec{b} = (b_x, b_y, b_z) \)
İki Vektör Arasındaki Açı
İki vektör arasındaki açı, vektörlerin nokta çarpımı formülünden yola çıkılarak bulunabilir. Tekrar hatırlamak gerekirse, iki vektörün nokta çarpımı, vektörlerin büyüklükleri ile aralarındaki açının kosinüs değerinin çarpımına eşittir.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \norm{\vec{b}} \norm{\vec{a}} \cos{\alpha} \)
Bu ifadede kosinüs fonksiyonunu yalnız bırakalım.
\( \cos{\alpha} = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}}} \)
\( \cos{\alpha} = \dfrac{\vec{a}}{\norm{\vec{a}}} \cdot \dfrac{\vec{b}}{\norm{\vec{b}}} \)
Yukarıdaki ifadede nokta çarpımı alınan iki ifade, \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörlerinin birim vektörleridir.
\( \cos{\alpha} = \hat{a} \cdot \hat{b} \)
Yukarıda en son satırdaki eşitliğe göre, iki vektör arasındaki açının kosinüs değeri, bu iki vektörle aynı yöndeki birim vektörlerin nokta çarpımına eşittir.
\( \cos{\alpha} = \hat{a} \cdot \hat{b} \)
\( \alpha = \arccos(\hat{a} \cdot \hat{b}) \)
Bir Vektörün Eksenlerle Yaptığı Açılar
Bir \( \vec{a} \) vektörünün \( x \), \( y \) ve \( z \) eksenleriyle yaptığı açılara sırasıyla \( \alpha_x \), \( \alpha_y \) ve \( \alpha_z \) diyelim. Her bir eksen birer vektör olarak düşünülürse, her bir eksenin birim vektörü yukarıdaki formülde kullanılarak vektörün her bir eksenle yaptığı açının kosinüs değeri bulunabilir.
\( \cos{\alpha_x} = \hat{a} \cdot \hat{i} \)
\( \cos{\alpha_y} = \hat{a} \cdot \hat{j} \)
\( \cos{\alpha_z} = \hat{a} \cdot \hat{k} \)