Vektörlerde Açılar
Bu bölümde vektörlerin birbirleriyle ve eksenlerle yaptıkları açıları inceleyeceğiz. Bu bölümde örnek olarak kullanacağımız iki vektörü aşağıdaki gibi tanımlayalım.
\( \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) \)
\( \vec{b} = (b_x, b_y, b_z) \)
İki Vektör Arasındaki Açı
İki vektör arasındaki açı, vektörlerin nokta çarpımı formülünden yola çıkılarak bulunabilir. Tekrar hatırlamak gerekirse, iki vektörün nokta çarpımı, vektörlerin büyüklükleri ile aralarındaki açının kosinüs değerinin çarpımına eşittir.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \norm{\vec{b}} \norm{\vec{a}} \cos{\alpha} \)
Bu ifadede kosinüs fonksiyonunu yalnız bırakalım.
\( \cos{\alpha} = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}}} \)
\( \cos{\alpha} = \dfrac{\vec{a}}{\norm{\vec{a}}} \cdot \dfrac{\vec{b}}{\norm{\vec{b}}} \)
Yukarıdaki ifadede nokta çarpımı alınan iki ifade, \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörlerinin birim vektörleridir.
\( \cos{\alpha} = \hat{a} \cdot \hat{b} \)
Yukarıda en son satırdaki eşitliğe göre, iki vektör arasındaki açının kosinüs değeri, bu iki vektörle aynı yöndeki birim vektörlerin nokta çarpımına eşittir.
\( \cos{\alpha} = \hat{a} \cdot \hat{b} \)
\( \alpha = \arccos(\hat{a} \cdot \hat{b}) \)
Bir Vektörün Eksenlerle Yaptığı Açılar
Bir \( \vec{a} \) vektörünün \( x \), \( y \) ve \( z \) eksenleriyle yaptığı açılara sırasıyla \( \alpha_x \), \( \alpha_y \) ve \( \alpha_z \) diyelim. Her bir eksen birer vektör olarak düşünülürse, her bir eksenin birim vektörü yukarıdaki formülde kullanılarak vektörün her bir eksenle yaptığı açının kosinüs değeri bulunabilir.
\( \cos{\alpha_x} = \hat{a} \cdot \hat{i} \)
\( \cos{\alpha_y} = \hat{a} \cdot \hat{j} \)
\( \cos{\alpha_z} = \hat{a} \cdot \hat{k} \)
Aşağıdaki vektör çiftleri arasındaki \( \alpha \) açısını bulunuz.
(a) \( \vec{a} = (2, 6, 2), \vec{b} = (1, 4, 4) \)
(b) \( \vec{a} = (0, 10, 5), \vec{b} = (2, -6, -10) \)
(c) \( \vec{a} = (-4, 6, 12), \vec{b} = (20, 5, 4) \)
Çözümü Gösterİki vektör arasındaki açıyı bulmak için nokta çarpımı formülünü kullanalım.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \cos{\alpha} \)
\( \cos{\alpha} = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}}} \)
İki vektör arasındaki nokta çarpımında, vektörlerin bileşenlerinin çarpımlarının toplamı alınır.
(a) seçeneği:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (2, 6, 2) \cdot (1, 4, 4) \)
\( = 2 \cdot 1 + 6 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \)
\( = 34 \)
\( \vec{a} \) vektörünün normunu bulalım.
\( \norm{\vec{a}} = \sqrt{2^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{44} \)
\( \vec{b} \) vektörünün normunu bulalım.
\( \norm{\vec{b}} = \sqrt{1^2 + 4^2 + 4^2} \)
\( = \sqrt{33} \)
Bulduğumuz değerleri nokta çarpımı formülünde yerine koyalım.
\( \cos{\alpha} = \dfrac{34}{\sqrt{44}\sqrt{33}} \)
\( = \dfrac{17\sqrt{3}}{33} \)
\( \alpha = \arccos{\dfrac{17\sqrt{3}}{33}} \)
(b) seçeneği:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (0, 10, 5) \cdot (2, -6, -10) \)
\( = 0 \cdot 2 + 10 \cdot (-6) + 5 \cdot (-10) \)
\( = -110 \)
\( \vec{a} \) vektörünün normunu bulalım.
\( \norm{\vec{a}} = \sqrt{0^2 + 10^2 + 5^2} = 5\sqrt{5} \)
\( \vec{b} \) vektörünün normunu bulalım.
\( \norm{\vec{b}} = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + (-10)^2} = 2\sqrt{35} \)
Bulduğumuz değerleri nokta çarpımı formülünde yerine koyalım.
\( \cos{\alpha} = \dfrac{-110}{5\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{35}} \)
\( = -\dfrac{11\sqrt{7}}{35} \)
\( \alpha = \arccos(-\dfrac{11\sqrt{7}}{35}) \)
(c) seçeneği:
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (-4, 6, 12) \cdot (20, 5, 4) \)
\( = -4 \cdot 20 + 6 \cdot 5 + 12 \cdot 4 \)
\( = -2 \)
\( \vec{a} \) vektörünün normunu bulalım.
\( \norm{\vec{a}} = \sqrt{(-4)^2 + 6^2 + 12^2} = 14 \)
\( \vec{b} \) vektörünün normunu bulalım.
\( \norm{\vec{b}} = \sqrt{20^2 + 5^2 + 4^2} = 21 \)
Bulduğumuz değerleri nokta çarpımı formülünde yerine koyalım.
\( \cos{\alpha} = \dfrac{-2}{14 \cdot 21} \)
\( = -\dfrac{1}{147} \)
\( \alpha = \arccos(-\dfrac{1}{147}) \)
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
Aşağıda \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörleri ile aralarındaki \( \alpha \) açısı verilmiştir.
Buna göre her bir durum için \( k \) değeri nedir?
(a) \( \alpha = 0° \)
\( \vec{a} = (3, k, 24), \vec{b} = (\dfrac{k}{12}, 4, 8) \)
(b) \( \alpha = 90° \)
\( \vec{a} = (k, k + 4, 7), \vec{b} = (4k, 8, -4) \)
(c) \( \alpha = 180° \)
\( \vec{a} = (k, -2k, 4), \vec{b} = (1, -2, -1) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \alpha = 0° \)
\( \vec{a} = (3, k, 24), \vec{b} = (\dfrac{k}{12}, 4, 8) \)
İki vektör arasındaki açının 0° olması bu vektörlerin aynı yönlü olduğu anlamına gelir.
Aynı yönlü iki vektörün bileşenlerinin oranı eşit ve pozitiftir.
\( \dfrac{3}{\frac{k}{12}} = \dfrac{k}{4} = \dfrac{24}{8} = 3 \)
\( \dfrac{k}{4} = 3 \)
\( k = 12 \) bulunur.
(b) seçeneği:
\( \alpha = 90° \)
\( \vec{a} = (k, k + 4, 7), \vec{b} = (4k, 8, -4) \)
Aralarındaki açı 90° (birbirine dik) olan iki vektörün nokta çarpımı sıfıra eşittir.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)
İki vektör arasındaki nokta çarpımında, vektörlerin bileşenlerinin çarpımlarının toplamı alınır.
\( (k, k + 4, 7) \cdot (4k, 8, -4) = 0 \)
\( k \cdot 4k + (k + 4) \cdot 8 + 7 \cdot (-4) = 0 \)
\( 4k^2 + 8k + 32 - 28 = 0 \)
\( (2k + 2)^2 = 0 \)
\( k = -1 \) bulunur.
(c) seçeneği:
\( \alpha = 180° \)
\( \vec{a} = (k, -2k, 4), \vec{b} = (1, -2, -1) \)
İki vektör arasındaki açının 180° olması bu vektörlerin zıt yönlü olduğu anlamına gelir.
Zıt yönlü iki vektörün bileşenlerinin oranı eşit ve negatiftir.
\( \dfrac{k}{1} = \dfrac{-2k}{-2} = \dfrac{4}{-1} = -4 \)
\( \dfrac{k}{1} = -4 \)
\( k = -4 \) bulunur.