Koordinat Düzleminde Vektörler
Vektörleri şu ana kadar geometrik olarak ve herhangi bir koordinat sistemine bağlı kalmadan tanımladık ve gösterdik. Bu bölümde vektörlerin bir koordinat sistemi üzerinde nasıl tanımlanabileceğini ve vektörlerle işlemlerin gerçekleştirilebileceğini göreceğiz.
Vektörlerin Koordinat Düzleminde Gösterimi
Vektörlerin birer büyüklüğü ve yönü olduğunu ve bu iki özelliği aynı olan vektörlerin konumları farklı olsa da birbirine eşit olduğunu belirtmiştik. Buna göre, büyüklükleri ve yönleri eşit, koordinat düzlemindeki konumları farklı aşağıdaki üç vektör birbirine eşittir.
Başlangıç noktası sabit bir referans noktası olan vektörlere konum vektörü denir. Koordinat düzleminde bu sabit nokta \( (0, 0) \) noktası (orijin) olarak alınır. Koordinat düzleminde konum vektörleri uç noktalarının koordinatları ile ifade edilirler. Örnek olarak, başlangıç noktası orijin olan aşağıdaki \( \vec{a} \) vektörü bir konum vektörüdür ve uç noktası olan \( (8, 6) \) noktası ile ifade edilir.
Aşağıda uç noktaları koordinat düzleminin farklı bölgelerinde olan dört konum vektörü gösterilmiştir.
Konum vektörleri sıralı ikili ya da matris şeklinde gösterilebilir.
Sıralı İkili Gösterimi
Bu gösterimde vektörün uç noktasının koordinatları analitik düzlemde bir noktanın koordinatlarında olduğu gibi bir sıralı ikili şeklinde ifade edilir.
\( x \): Vektörün uç noktasının apsisi
\( y \): Vektörün uç noktasının ordinatı
\( \vec{v} = (x, y) \)
\( \vec{a} = (8, 6) \)
Matris Gösterimi
Matris gösteriminde vektörün uç noktasının koordinatları bir sütun matrisi şeklinde ifade edilir.
\( \vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)
\( \vec{a} = \begin{pmatrix} 8 \\ 6 \end{pmatrix} \)
Diğer bir gösterimde, vektörün uç noktasının koordinatları bir satır matrisi şeklinde de ifade edilebilir.
\( \vec{v} = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \)
\( \vec{a} = \begin{pmatrix} 8 & 6 \end{pmatrix} \)
Vektörün Büyüklüğü
\( (a, b) \) noktası ile ifade edilen bir konum vektörünün büyüklüğü, Pisagor teoremi kullanılarak aşağıdaki formülle hesaplanabilir.
\( \vec{a} = (a, b) \)
\( \norm{\vec{a}} = \sqrt{a^2 + b^2} \)
Koordinat Düzleminde Vektörlerle İşlemler
Vektörler koordinat düzleminde birer konum vektörü olarak ifade edildiğinde, önceki bölümde gördüğümüz toplama, çıkarma ve çarpma gibi işlemler oldukça kolaylaşmaktadır.
Vektörlerle Toplama
İki konum vektörünün toplamı, vektörlerin uç noktalarının koordinatlarının toplamıyla oluşan yeni noktanın temsil ettiği vektördür.
\( \vec{a} = (x_1, y_1) \)
\( \vec{b} = (x_2, y_2) \) olmak üzere,
\( \vec{a} + \vec{b} = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) \) \( = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \)
Aşağıdaki şekilde \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörlerinin toplamı olan vektör gösterilmiştir. \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörleri bir paralelkenara tamamlandığında, toplam vektörünün önceki bölümde gördüğümüz paralelkenar yöntemiyle elde edilen vektörle aynı olduğu görülebilir.
\( \vec{a} + \vec{b} = (3, 2) + (-4, 3) \) \( = (3 + (-4), 2 + 3) \) \( = (-1, 5) \)
Vektörlerle Çıkarma
İki konum vektörünün farkı, vektörlerin uç noktalarının koordinatlarının birbirinden çıkarılmasıyla oluşan yeni noktanın temsil ettiği vektördür.
\( \vec{a} = (x_1, y_1) \)
\( \vec{b} = (x_2, y_2) \) olmak üzere,
\( \vec{a} - \vec{b} = (x_1, y_1) - (x_2, y_2) \) \( = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) \)
Aşağıdaki şekilde \( \vec{a} \) ve \( \vec{b} \) vektörlerinin farkı olan vektör gösterilmiştir.
\( \vec{a} - \vec{b} = (1, -4) - (-4, 1) \) \( = (1 - (-4), -4 - 1) \) \( = (5, -5) \)
Bir Skaler Büyüklükle Çarpma
İki konum vektörünün bir skaler büyüklükle çarpımı, vektörlerin uç noktalarının koordinatlarının bu skaler büyüklükle ayrı ayrı çarpılmasıyla oluşan yeni noktanın temsil ettiği vektördür.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \vec{a} = (x_1, y_1) \)
\( k\vec{a} = k \cdot (x_1, y_1) \) \( = (k \cdot x_1, k \cdot y_1) \)
\( \vec{a} = (2, 1) \)
\( 3\vec{a} = 3 \cdot (2, 1) \) \( = (3 \cdot 2, 3 \cdot 1) \) \( = (6, 3) \)
\( \vec{b} = (2, -2) \)
\( -2 \vec{b} = -2 \cdot (2, -2) \) \( = (-2 \cdot 2, -2 \cdot (-2)) \) \( = (-4, 4) \)
Nokta Çarpımı
İki konum vektörünün nokta çarpımı, vektörlerin uç noktalarının apsislerin çarpımı ile ordinatlarının çarpımının toplamına eşittir ve skaler bir büyüklüktür.
\( \vec{a} = (x_1, y_1) \)
\( \vec{b} = (x_2, y_2) \) olmak üzere,
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) \) \( = x_1 x_2 + y_1 y_2 \)
\( \vec{a} = (5, 0) \)
\( \vec{b} = (4, 4) \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (5, 0) \cdot (4, 4) \) \( = 5 \cdot 4 + 0 \cdot 4 = 20 \)
Yukarıdaki formül önceki bölümde gördüğümüz aşağıdaki formülle aynı sonucu verir.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \norm{\vec{a}} \norm{\vec{b}} \cos{\alpha} \)
\( \vec{a} = (5, 0) \)
\( \vec{b} = (4, 4) \)
\( \norm{\vec{a}} = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5 \)
\( \norm{\vec{b}} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} \)
Vektörleri analitik düzlemde çizdiğimizde aralarındaki açının 45° olduğunu görebiliriz.
\( \cos{\alpha} = \cos{45°} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 20 \)
Vektörel Çarpım
İki konum vektörünün vektörel çarpımının büyüklüğü aşağıdaki formülle bulunabilir. Vektörel çarpımın sonucunun yönü önceki bölümde gördüğümüz sağ el kuralı kullanılarak bulunabilir.
\( \vec{a} = (x_1, y_1) \)
\( \vec{b} = (x_2, y_2) \) olmak üzere,
\( \norm{\vec{a} \times \vec{b}} = \abs{x_1 y_2 - x_2 y_1} \)
\( \vec{a} = (5, 2) \)
\( \vec{b} = (4, 3) \)
\( \norm{\vec{a} \times \vec{b}} = \abs{5 \cdot 3 - 2 \cdot 4} = 7 \)
Vektörel çarpım vektörünün yönü, sağ el kuralına göre \( z \) ekseninin pozitif yönünde olur.