3 Boyutlu Koordinat Sisteminde Vektörler
Şu ana kadar gördüğümüz vektörler sadece \( x \) ve \( y \) bileşenleri olan iki boyutlu vektörlerdi. Bu bileşenlere üçüncü bir \( z \) bileşenin eklenmesiyle üç boyutlu vektörler elde edilir ve bu vektörler üç eksenli koordinat sisteminde gösterilir.
Üç Boyutlu Vektörlerin Sıralı Üçlü Gösterimi
Üç boyutlu vektörler, \( x \) ve \( y \) eksenlerine dik üçüncü bir \( z \) ekseninin eklenmesiyle elde edilen üç boyutlu koordinat sistemi kullanılarak gösterilebilir. Aşağıda örnek bir vektörün gösterimi verilmiştir.
Bu vektörün bir sıralı üçlü olarak gösterimi aşağıdaki gibidir. Bu gösterimde parantez içindeki bileşenler sırasıyla vektörün uç noktasının \( x \), \( y \) ve \( z \) koordinatlarını vermektedir.
\( \vec{a} = (6, 8, 10) \)
Sıralı Üçlü Gösterimi ile İşlemler
Başlangıç noktaları orijin olan ve uç noktalarının koordinatları verilen iki vektörün toplamı olan vektör, vektörlerin \( x \), \( y \) ve \( z \) koordinatları kendi aralarında toplanarak bulunabilir.
\( \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) \)
\( \vec{b} = (b_x, b_y, b_z) \)
\( \vec{a} + \vec{b} = (a_x, a_y, a_z) \) \( + (b_x, b_y, b_z) \)
\( = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z) \)
İki vektör ve toplamları üç boyutlu koordinat sisteminde aşağıdaki şekilde gösterilebilir. Bu gösterimde kesikli çizgi ile gösterilen içteki prizmanın köşegeni kırmızı ile çizilmiş \( \vec{a} \) vektörüne, dıştaki prizmanın köşegeni siyah ile çizilmiş \( \vec{a} + \vec{b} \) vektörüne karşılık gelmektedir.
Sıralı üçlü gösterimi kullanılarak iki vektör arasında çıkarma işlemi de benzer şekilde yapılabilir.
\( \vec{a} - \vec{b} = (a_x, a_y, a_z) \) \( - (b_x, b_y, b_z) \)
\( = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z) \)
Bir vektörün skaler bir büyüklükle çarpımında, vektörün her bir eksen için koordinatı skaler büyüklükle çarpılır.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( k \vec{a} = k \cdot (a_x, a_y, a_z) \)
\( = (k a_x, k a_y, k a_z) \)
Üç boyutlu iki vektörün nokta çarpımında, vektörlerin her bir eksen için koordinatlarının birbiriyle çarpımının toplamı alınır.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (a_x, a_y, a_z) \cdot (b_x, b_y, b_z) \)
\( = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \)
Üç Boyutlu Vektörlerin Bileşenleri Cinsinden Gösterimi
Üç boyutlu vektörleri bileşenleri cinsinden göstermek için öncelikle üçüncü bileşen için de bir birim vektör tanımlanmalıdır. Aşağıdaki şekilde, daha önce \( x \) ve \( y \) eksenleri için tanımladığımız \( \hat{i} \) ve \( \hat{j} \) birim vektörlerine ek olarak, \( z \) eksenine ait \( \hat{k} \) birim vektörü gösterilmiştir.
\( \hat{i} = (1, 0, 0) \)
\( \hat{j} = (0, 1, 0) \)
\( \hat{k} = (0, 0, 1) \)
\( \norm{\vec{i}} = \norm{\vec{j}} \) \( = \norm{\vec{k}} = 1 \)
Bir \( \vec{a} \) vektörünün bileşenlerinin koordinat sisteminde gösterimi ve bileşenleri cinsinden yazılışı aşağıda gösterilmiştir. İki boyutlu vektörlerde olduğu gibi, üç boyutlu vektörler de her bir eksen için bileşenlerinin vektörel toplamına eşittir.
\( \vec{a} = \vec{a_x} + \vec{a_y} + \vec{a_z} \)
\( \vec{a_x} = \norm{\vec{a_x}} \hat{i} \)
\( \vec{a_y} = \norm{\vec{a_y}} \hat{j} \)
\( \vec{a_z} = \norm{\vec{a_z}} \hat{k} \)
Bileşenlerin büyüklüklerine sırasıyla \( a_x \), \( a_y \) ve \( a_z \) diyelim.
\( \vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k} \)
Bileşen Gösterimi ile İşlemler
Bileşenleri cinsinden yazılmış iki vektörün toplamı olan vektör, vektörlerin \( x \), \( y \) ve \( z \) bileşenleri toplanarak bulunabilir.
\( \vec{a} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k} \)
\( \vec{b} = b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k} \)
\( \vec{a} + \vec{b} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \) \( + (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k}) \)
\( \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x) \hat{i} + (a_y + b_y) \hat{j} \) \( + (a_z + b_z) \hat{k} \)
Vektörlerin bileşenleri cinsinden gösterimi kullanılarak iki vektör arasında çıkarma işlemi de benzer şekilde yapılabilir.
\( \vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x) \hat{i} + (a_y - b_y) \hat{j} \) \( + (a_z - b_z) \hat{k} \)
Bir vektörün skaler bir büyüklükle çarpımında, vektörün her bir bileşeni skaler büyüklükle çarpılır.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( k \vec{a} = k \cdot (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \)
\( k \vec{a} = k a_x \hat{i} + k a_y \hat{j} + k a_z \hat{k} \)
Üç boyutlu iki vektörün nokta çarpımında, vektörlerin her bir eksen için koordinatlarının birbiriyle çarpımının toplamı alınır.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \)
Önceki bölümlerde iki vektörün vektörel çarpımını alırken çarpım vektörünün büyüklüğünü ve yönünü ayrı ayrı bulmuştuk. Üç boyutlu iki vektörün bileşenleri cinsinden yazılışlarının vektörel çarpımında ise çarpım vektörünün büyüklüğü ve yönü tek bir işlemle bulabiliriz.
\( \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z − a_z b_y) \hat{i} \) \( + (a_z b_x − a_x b_z) \hat{j} \) \( + (a_x b_y − a_y b_x) \hat{k} \)
n Boyutlu Vektörler
Görsel olarak ifade etmemiz mümkün olmasa da, üçten fazla boyuta sahip vektörler tanımlanabilir ve bu vektörler arasında işlemler yapılabilir. Burada bu vektörlerin tanımlanmasından ve işlem kurallarında kısaca bahsedeceğiz.
\( n \) boyutlu iki vektör aşağıdaki şekilde tanımlanır.
\( \vec{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \)
\( \vec{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n) \)
Bu iki vektör arasında toplama ve çıkarma işlemleri aşağıdaki şekilde gerçekleşir.
\( \vec{a} + \vec{b} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) \( + (b_1, b_2, \ldots, b_n) \))
\( = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n) \)
\( \vec{a} - \vec{b} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) \( - (b_1, b_2, \ldots, b_n) \)
\( = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, \ldots, a_n - b_n) \)
Bu iki vektör arasında skaler çarpma işlemi aşağıdaki şekilde gerçekleşir.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) \( \cdot (b_1, b_2, \ldots, b_n) \)
\( = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + \ldots + a_n \cdot b_n \)