Toplama Yoluyla Sayma

Film ve dizi seçenekleri ayrık kümelerdir. Ayrıca Sena verilen program seçeneklerinden sadece birini izleyecektir.

Buna göre, Sena'nın arasından seçim yapacağı birleşim kümesinde toplam $$ farklı program seçeneği vardır. Sena bu programlardan sadece birini 16 farklı şekilde seçebilir.

$$ ve $$ sırasıyla film ve dizi seçenek kümeleri olmak üzere,

$$ ve $$ ayrık kümeler oldukları için,

Tıp, dişçilik ve eczacılık tercih seçenekleri ikişerli ayrık kümelerdir. Ayrıca Ozan verilen tercih seçeneklerinden sadece birine yerleşecektir.

Buna göre, Ozan'ın arasından seçim yapacağı birleşim kümesinde toplam $$ farklı program vardır. Ozan bu programlardan sadece birine 47 farklı şekilde yerleşebilir.

$$, $$ ve $$ sırasıyla tıp, dişçilik ve eczacılık seçenek kümeleri olmak üzere,

$$, $$ ve $$ ikişerli ayrık kümeler oldukları için,

Her şubedeki öğrenciler ikişerli ayrık kümelerdir. Ayrıca tüm şubelerdeki öğrencilerden sadece biri seçilecektir.

Buna göre, tüm şubelerin birleşim kümesinde toplam $$ öğrenci vardır. Bu öğrencilerden sadece biri 91 farklı şekilde seçilebilir.

$$, $$ ve $$ sırasıyla her şubedeki öğrencilerin kümesi olmak üzere,

$$, $$ ve $$ ikişerli ayrık kümeler oldukları için,

Burgerci, pizzacı ve pideci seçenekleri ikişerli ayrık kümelerdir. Ayrıca Umut ve kardeşi verilen restoran seçeneklerinden sadece birine gidecektir.

Buna göre, Umut'un içinden seçim yapacağı birleşim kümesinde toplam $$ farklı restoran seçeneği vardır. Umut bu restoranlardan sadece birini 11 farklı şekilde seçebilir.

ab:ba şeklinde kaç farklı zaman olduğunu bulalım.

$$ olabilir.

$$'nın alabileceği her değer için $$'nin alabileceği değerleri bulalım ve oluşan farklı durumların toplamını alalım.

Durum 1: $$

Durum 2: $$

Durum 3: $$

Buna göre istenen koşulu sağlayan $$ farklı $$ ikilisi, dolayısıyla ab:ba şeklinde zaman vardır.

Kırmızı bilye içeren toplam fincan sayısı 2, 3, 4, 5, 6, 7 ya da 8 olabilir.

Bu durumları teker teker inceleyelim ve her durumda oluşan farklı yerleşimlerin toplamını alalım.

Durum 1: Kırmızı bilye içeren 2 fincan

Kırmızı bilye içeren fincanlar 7 şekilde olabilir.

1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8

Durum 2: Kırmızı bilye içeren 3 fincan

Kırmızı bilye içeren fincanlar 6 şekilde olabilir.

1-2-3, 2-3-4, 3-4-5, 4-5-6, 5-6-7, 6-7-8

Durum 3: Kırmızı bilye içeren 4 fincan

Kırmızı bilye içeren fincanlar 5 şekilde olabilir.

1-2-3-4, 2-3-4-5, 3-4-5-6, 4-5-6-7, 5-6-7-8

Durum 4: Kırmızı bilye içeren 5 fincan

Kırmızı bilye içeren fincanlar 4 şekilde olabilir.

1-2-3-4-5, 2-3-4-5-6, 3-4-5-6-7, 4-5-6-7-8

Durum 5: Kırmızı bilye içeren 6 fincan

Kırmızı bilye içeren fincanlar 3 şekilde olabilir.

1-2-3-4-5-6, 2-3-4-5-6-7, 3-4-5-6-7-8

Durum 6: Kırmızı bilye içeren 7 fincan

Kırmızı bilye içeren fincanlar 2 şekilde olabilir.

1-2-3-4-5-6-7, 2-3-4-5-6-7-8

Durum 7: Kırmızı bilye içeren 8 fincan

Kırmızı bilye içeren fincanlar 1 şekilde olabilir.

1-2-3-4-5-6-7-8

Buna göre bilyeler fincanlara istenen koşulda $$ farklı şekilde yerleştirilebilir.

Problemi alt durumlara bölerek her durumu ayrı ayrı inceleyelim ve oluşan farklı durumların toplam sayısını bulalım.

Durum 1: 1-99 arası sayılar

1'den 99'a kadar olan sayılar içinde 42 sayısı, birincisi 42 sayısı yazıldığında, ikincisi 24-25 sayıları yazıldığında olmak üzere iki kez geçer.

Durum 2: 100-999 arası sayılar

Üç basamaklı sayılar içinde; 4 rakamının yüzler, onlar ve birler basamağında olduğu üç durumu ayrı ayrı inceleyelim.

Durum 2.1:

Yüzler basamağında 4, onlar basamağında 2 rakamı olan 10 tane sayı vardır.

420, 421, 422, ..., 492

Durum 2.2:

Onlar basamağında 4, birler basamağında 2 rakamı olan 9 tane sayı vardır.

142, 242, 342, ..., 942

Durum 2.3:

Birler basamağında 4, bir sonraki sayının yüzler basamağında 2 rakamı olan 10 tane sayı vardır.

204-205, 214-215, 224-225, ..., 294-295

Buna göre, oluşan satırda 42 sayısı toplam $$ kere geçer.

Her basamak sayısı için farklı durumları ayrı ayrı inceleyelim ve her durumda oluşan farklı sayıların toplam sayısını bulalım.

Durum 1: 1 basamaklı sayılar

Bir basamaklı ve birler basamağı 1 olan 1 tane sayı vardır.

Durum 2: 2 basamaklı sayılar

İki basamaklı ve birler basamağı 2 olan 9 tane sayı vardır.

Durum 3: 3 basamaklı sayılar

Üç basamaklı ve birler basamağı 3 olan 90 tane sayı vardır.

Durum 4: 4 basamaklı sayılar

Dört basamaklı ve birler basamağı 4 olan 900 tane sayı vardır.

Görülebileceği üzere, $$ basamak sayısı olmak üzere, basamak sayısı birler basamağındaki rakamla aynı olan $$ sayı vardır.

$$'ye 1'den 9'a kadar değer verelim ve sayıların toplam sayısını bulalım.

Buna göre 100.000.000 tane pozitif tam sayının basamak sayısı birler basamağındaki rakamla aynıdır.

Verilen ifadeyi düzenleyelim.

İlk dört terimi çarpanlarına ayıralım.

$$ ve $$ sayılarının farklı değerleri için bu ifadenin farklı değerlerini bulalım.

Durum 1: $$

Bu durumda $$ ifadesi aşağıdaki değerleri alır.

Durum 2: $$

Bu durumda $$ ifadesi aşağıdaki değerleri alır.

Durum 3: $$

Bu durumda $$ ifadesi aşağıdaki değerleri alır.

Durum 4: $$

Bu durumda $$ ifadesi aşağıdaki değerleri alır.

Durum 5: $$

Bu durumda $$ ifadesi aşağıdaki değerleri alır.

$$ için bulunacak $$ değerleri için $$ olacağı için, bu ikililer için oluşacak değerler $$ ve $$ aralarında yer değiştirilerek yukarıda durumlarda elde edilebilir.

Yukarıda bulduğumuz tüm farklı $$ değerlerini sayma kolaylığı açısından tek ve çift sayılar ayrı ayrı listeleyelim.

İstenen koşulu sağlayan $$ sayı bulunur.

Kahveli ve soğuk içecekler arasında ortak seçenekler olduğu için, Mısra'nın arasından sipariş verebileceği seçenek sayısı iki kümenin eleman sayılarının toplamından daha az olur.

Bu iki küme ayrık kümeler olmadığı için toplam seçenek sayısını bulmak için toplama kuralı kullanılamaz.

$$ ve $$ sırasıyla kahveli ve soğuk içecek kümeleri olmak üzere,

K = {Latte, Buzlu Kahve, Frappe, ..., Espresso}

S = {Limonata, Buzlu Kahve, Frappe, ..., Soda}

$$ = {Buzlu Kahve, Frappe}

Buna göre, Mısra'nın toplam 18 farklı içecek seçeneği vardır.