Sayma Tanımı
Sonlu bir küme içindeki eleman sayısını belirleme işlemine sayma denir.
Fiziksel nesneleri ya da bir kümenin elemanlarını saymak için en sık kullanılan yöntem eşleme yoluyla saymadır. Bu yöntemde nesnelerin sayısı, nesnelerin her biri ardışık pozitif tam sayılarla birebir eşlenerek bulunur. Bir sınıftaki öğrencileri birer birer sayarak öğrenci sayısını bulma işlemi eşleme yoluyla saymaya örnek olarak verilebilir.
Sayma deyince akla ilk gelen fiziksel nesneler olsa da, bu bölümde daha çok aşağıdakilere benzer olayları, seçenekleri ya da olasılıkları sayma yöntemlerini inceleyeceğiz.
- Bir olayın ya da işin kaç farklı şekilde sonuçlanabileceği
- Bir kümenin elemanlarının kaç farklı şekilde sıralanabileceği
- Bir kümenin elemanları arasından belirli sayıda elemanın kaç farklı şekilde seçilebileceği
- Belirli sayıda nesnenin verilen kutulara kaç farklı şekilde dağıtılabileceği
- Belirli sayıda nesnenin kaç farklı şekilde gruplara ayrılabileceği
Gerçek hayattaki pek çok durum burada bahsi geçen olaylar, kümeler, nesneler ve kutular şeklinde kurgulanabilir ve öğreneceğimiz sayma yöntemleri oldukça farklı problemlere uyarlanabilir.
Tüm seçeneklerin listelenerek birer birer sayıldığı durumlara aşağıdaki gibi örnekler verilebilir.
Bir tavla oyununda arka arkaya iki oyun kazanan ya da toplam 3 oyun kazanan oyuncu maçı kazanmaktadır. Buna göre bir maç kaç farklı şekilde oynanabilir?
Çözümü GösterOyunculara A ve B diyelim.
A oyuncusunun maçı kazandığı tüm farklı durumları listeleyelim.
Bu 5 durumun tam tersi 5 durumda da oyunu B kazanır.
Buna göre oyun 10 farklı şekilde oynanabilir.
Mina kardeşi Sarp'a 50 TL borcunu sadece 5 TL, 10 TL, 20 TL ve 50 TL'lik kağıt paraları kullanarak kaç farklı şekilde verebilir?
Çözümü GösterTüm durumları listeleyerek toplam farklı ödeme sayısını bulalım.
En büyük 50 TL'lik banknot ile ödeme:
En büyük 20 TL'lik banknot ile ödeme:
En büyük 10 TL'lik banknot ile ödeme:
En büyük 5 TL'lik banknot ile ödeme:
Buna göre Mina borcunu 13 farklı şekilde verebilir.
\( a, b \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( a + b^3 = 7999 \) eşitliğini sağlayan kaç farklı \( (a, b) \) ikilisi vardır?
Çözümü GösterBu eşitliği sağlayan en büyük \( b \) değerini bulalım.
\( b = 20 \Longrightarrow b^3 = 8000 \)
\( b = 19 \Longrightarrow b^3 = 6859 \)
\( b \) sayısının 1'den 19'a kadar her tam sayı değeri için \( b^3 \) ifadesini 7999'a tamamlayan bir pozitif tam sayı \( a \) değeri vardır.
Buna göre verilen eşitliği sağlayan 19 farklı \( (a, b) \) ikilisi vardır.
Rakamları sıfırdan farklı ve rakamları toplamı 5 olan kaç tane pozitif tam sayı vardır?
Çözümü GösterSayıları basamak sayısına göre ayrı ayrı bulalım.
Durum 1: 1 basamaklı
İstenen koşulları sağlayan bir basamaklı 1 sayı vardır.
5
Durum 2: 2 basamaklı
İstenen koşulları sağlayan iki basamaklı 4 sayı vardır.
14, 41, 23, 32
Durum 3: 3 basamaklı
İstenen koşulları sağlayan üç basamaklı 6 sayı vardır.
113, 131, 311, 122, 212, 221
Durum 4: 4 basamaklı
İstenen koşulları sağlayan dört basamaklı 4 sayı vardır.
1112, 1121, 1211, 2111
Durum 5: 5 basamaklı
İstenen koşulları sağlayan beş basamaklı 1 sayı vardır.
11111
İstenen koşulları sağlayan altı ve daha fazla basamaklı sayı yoktur.
Buna göre, istenen koşulları sağlayan \( 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 \) sayı vardır.
\( a \lt b \lt c \lt d \) olmak üzere, 4000'den büyük kaç farklı \( (abcd) \) dört basamaklı sayısı yazılabilir?
Çözümü GösterSayının 4000'den büyük olması için \( a \) sayısı \( \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \) rakamlarından biri olmak zorundadır.
Soruda verilen koşulu sağlayan sayılar aşağıdaki gibi 15 tanedir.
4 ve 5 ile başlayan sayılar:
4 ve 6 ile başlayan sayılar:
4 ve 7 ile başlayan sayılar:
5 ve 6 ile başlayan sayılar:
5 ve 7 ile başlayan sayılar:
6 ve 7 ile başlayan sayılar:
226 TL'ye yemek siparişi veren bir kişi, yeteri kadar 100 TL'lik, 10 TL'lik ve 1 TL'lik banknotlara sahiptir.
Bu kişi elindeki banknotları kullanarak hesabı kaç farklı şekilde ödeyebilir?
Çözümü GösterSayma problemini hesabın 2 adet, 1 adet ya da 0 adet 100 TL'lik banknotla ödenmesine göre üç alt probleme bölelim ve her birindeki farklı durumları listeleyelim.
Durum 1: 2 adet 100 TL'lik banknot
Bu durumda 0, 1 ya da 2 adet 10 TL'lik banknot kullanılabilir, kalan bakiye 1 TL'lik banknotlarla ödenir.
1. durumda ödeme 3 şekilde yapılabilir.
Durum 2: 1 adet 100 TL'lik banknot
Bu durumda 0, 1, 2, ..., 12 adet 10 TL'lik banknot kullanılabilir, kalan bakiye 1 TL'lik banknotlarla ödenir.
2. durumda ödeme 13 şekilde yapılabilir.
Durum 3: 0 adet 100 TL'lik banknot
Bu durumda 0, 1, 2, ..., 22 adet 10 TL'lik banknot kullanılabilir, kalan bakiye 1 TL'lik banknotlarla ödenir.
3. durumda ödeme 23 şekilde yapılabilir.
Buna göre hesap toplamda \( 3 + 13 + 23 = 39 \) farklı şekilde ödenebilir.
Öğretmenler günü için öğretmenlerine çiçek buketi almak isteyen öğrenciler aralarında 35 lira toplamıştır.
Bukete koyabilecekleri karanfillerin tanesi 2 lira, güllerin tanesi 3 lira olduğuna ve öğrenciler 35 liranın tümünü kullanmak istediklerine göre, kaç farklı buket oluşturulabilir?
Çözümü GösterBukete koyulan gül sayısına \( k \), karanfil sayısına \( t \) diyelim.
\( 3k + 2t = 35 \)
\( 3k = 35 - 2t \)
Soruyu teklik, çiftlik kurallarını kullanarak çözelim.
\( 2t \) değeri \( t \) tek de çift de olsa çift sayıdır.
\( 35 - 2t \) tek sayı ile çift sayının farkı olduğu için tek sayıdır.
\( 3k = 35 - 2t \) olduğuna göre, \( 3k \) tek sayı olmalıdır.
Sadece iki tek sayının çarpımı tek sayı olacağı için \( k \) tek sayı olmalıdır.
Buna göre buketteki gül sayısının alabileceği en küçük değer \( k = 1 \), en büyük değer \( k = 11 \) olur.
\( (k, t) \in \{(1, 16), (3, 13), (5, 10), (7, 7), (9, 4), (11, 1)\} \)
Toplam 6 farklı buket oluşturulabilir.
Yeni inşaa edilen bir gökdelen kullanıma açılmadan önce daire kapıları 1'den başlayarak numaralandırılacaktır. Bir işçiye ilk daireden başlayarak sırayla daireleri numaralandırması için her rakamdan 50 tane olacak şekilde 500 metal rakam veriliyor.
Bu işçinin ihtiyaç duyduğu bir rakamın elinde kalmadığı ilk daire kaçıncı dairedir?
Çözümü Gösterİşçinin elinde her rakamdan eşit sayıda metal rakam vardır. Birler, onlar ve yüzler basamağında ilk kullanılacak rakam 1 olduğundan ilk olarak tükenecek rakam 1 olur.
Bu yüzden 50 tane 1 rakamının kaçıncı dairede tükeneceğini bulmamız yeterlidir.
\( [1, 9] \) aralığında sadece 1 no'lu daire için 1 tane 1 rakamı kullanılır.
\( [10, 19] \) aralığında 11 no'lu daire için 2 tane, diğer dairelerin her biri için 1 tane 1 rakamı, toplamda 11 tane 1 rakamı kullanılır.
\( [20, 99] \) aralığında \( 21, 31, 41, \ldots , 91 \) no'lu daireler için toplamda 8 tane 1 rakamı kullanılır.
\( [100, 109] \) aralığında 101 no'lu daire için 2, diğer dairelerin her biri için 1 tane 1 rakamı, toplamda 11 tane 1 rakamı kullanılır.
Buraya kadar toplamda \( 1 + 11 + 8 + 11 = 31 \) tane 1 rakamı kullanılır ve işçinin elinde \( 50 - 31 = 19 \) tane 1 rakamı kalır.
\( [110, 119] \) aralığında 111 no'lu daire için 3 tane, diğer her bir daire için 2 tane olmak üzere 21 tane 1 rakamı gereklidir.
Yani bu aralığı tamamlamak için 2 tane 1 rakamı eksik kalır.
Bu aralıkta 111 no'lu daire dışında her daire için 2 tane 1 rakamı kullanıldığından 118 no'lu daireyi numaralandırdıktan sonra işçinin elinde 1 rakamı kalmaz.
Numaralandırılamayacak ilk daire 119 no'lu dairedir.
Üzerlerinde 1'den 20'ye kadar tam sayıların yazılı olduğu 20 kart arasından rastgele bir kart çekiliyor ve aynı anda bir zar atılıyor. Çekilen kartın üzerindeki sayı ile zarda gelen sayının çarpımının bir tam küp sayı olduğu kaç farklı durum vardır?
Çözümü GösterTam küp sayılar bir tam sayının küpü olan sayılardır.
1, 8, 27, 64, 125, 216, ...
Gelen zara \( x \), çekilen kartın üzerindeki sayıya \( y \) diyelim.
\( x \) sayısı 1 ve 6 arasında, \( y \) sayısı 1 ve 20 arasında tam sayı değerler alabilir.
Çarpımları tam küp olan \( (x, y) \) ikililerini bulalım.
Durum 1: Tam küp sayı = 1
1'in tek pozitif böleni 1'dir.
\( (x, y) \in \{(1, 1)\} \)
Durum 2: Tam küp sayı = 8
8'in pozitif bölenleri 1, 2, 4 ve 8'dir.
\( (x, y) \in \{(1, 8), (2, 4), (4, 2)\} \)
Durum 3: Tam küp sayı = 27
27'nin pozitif bölenleri 1, 3, 9 ve 27'dir.
\( (x, y) \in \{(3, 9)\} \)
Durum 4: Tam küp sayı = 64
64'ün pozitif bölenleri 1, 2, 4, 8, 16, 32 ve 64'tür.
\( (x, y) \in \{(4, 16)\} \)
Durum 5: Tam küp sayı = 125
125'in pozitif bölenleri 1, 5, 25 ve 125' tir.
Zarın ve kartın üzerindeki sayıların çarpımını 125 yapan ikili yoktur.
Aynı şekilde daha büyük tam küp değerleri için de zarın ve kartın üzerindeki sayıların çarpımını tam küp sayı yapan ikili yoktur.
Buna göre istenen koşulu sağlayan \( 1 + 3 + 1 + 1 = 6 \) farklı \( (x, y) \) ikilisi vardır.
Pek çok durumda seçeneklerin tümünün listelenmesi ve sayılması pratik, hatta mümkün olmayabilir. Bu yüzden bu olasılıkları "saymadan saymak" için bazı matematiksel yöntemlere ihtiyaç duyulur. Önümüzdeki birkaç bölümde inceleyeceğimiz bu yöntemler aşağıda kısaca özetlenmiştir.
- Toplama ve çıkarma yoluyla sayma ile sayma problemleri hesaplaması daha kolay parçalara ayrılabilir.
- Çarpma yoluyla sayma ile birlikte gerçekleşen bağımsız olayların kaç farklı şekilde sonuçlanabileceği bulunur.
- Permütasyon ile bir kümenin elemanlarının kaç farklı şekilde sıralanabileceği hesaplanır.
- Kombinasyon ile bir kümenin içinden belirli sayıda elemanın kaç farklı şekilde seçilebileceği hesaplanır.
- Güvercin yuvası prensibi ile belirli sayıda nesne kutulara dağıtıldığında bir kutuda bulunduğundan emin olabileceğimiz en az nesne sayısı bulunur.
- Dahil etme - hariç tutma prensibi ile kümelerin birleşim kümesinin eleman sayısı kümelerin kesişim kümelerindeki elemanlar birden fazla kez sayılmadan bulunur.
- Düzensiz dizilişler ile bir kümenin belirli bir dizilişte olması beklenen elemanlarının hiçbirinin doğru pozisyonda bulunmadığı farklı diziliş sayısı bulunur.
- Tam sayıların parçalanışı ile bir doğal sayının pozitif tam sayıların toplamı olarak kaç farklı şekilde yazılabileceği bulunur.
- Kümelerin parçalanışı ile bir kümenin kaç farklı şekilde alt kümelere bölünebileceği bulunur.
- Nesnelerin dağıtımı ile özdeş ya da farklı nesnelerin yine özdeş ya da farklı kutulara farklı koşullar altında kaç farklı şekilde dağıtılabileceği hesaplanır.
Bu yöntemlerden genellikle lise seviyesinde öğretilenleri sayma I, permütasyon ve kombinasyon bölümlerinde, daha ileri yöntemleri sayma II bölümünde inceleyeceğiz.