Sayı ve Kelime Oluşturma

Permütasyon bir kümenin elemanlarının her eleman bir kez kullanılacak şekilde farklı dizilişidir. Bu soruda rakamların tekrarlı kullanımı söz konusu olduğu için permütasyon formüllerini kullanamayız.

(a) seçeneği:

Rakamlar tekrarlı kullanılabildiği için her basamakta 5 rakam da kullanılabilir.

(b) seçeneği:

Rakamlar tekrarlı kullanılabildiği için ilk üç basamakta 5 rakam da kullanılabilir, son basamakta ise sadece çift rakamlar kullanılabilir.

(c) seçeneği:

Soldan ve sağdan okunuşu aynı olan 5 basamaklı sayılara örnek olarak 12321, 51515 ve 33333 verilebilir. Bu şekildeki sayılarda sadece ilk 3 basamak için rakam seçmemiz yeterlidir, çünkü sayının soldan ve sağdan okunuşlarının aynı olması için 4. basamak 2. basamakla, 5. basamak da 1. basamakla aynı olmalıdır, dolayısıyla 4. ve 5. basamaklar için sadece birer seçenek olacaktır.

(a) seçeneği:

Rakamları basamaklara soldan sağa doğru yerleştirdiğimizi varsayalım. 1. basamak için 5 seçenek vardır ve sağa doğru ilerledikçe her basamakta seçenek sayısı bir azalır. Örneğin, 1. basamakta "1" rakamı kullanıldıysa 2. basamak için kalan seçenekler \( \{2, 3, 4, 5\} \) olur.

Her basamak için seçenek sayılarını çarptığımızda istenen koşulu sağlayan sayı adedini buluruz.

(b) seçeneği:

Soruda 4. basamakla ilgili bir koşul verildiği için rakamları yerleştirmeye bu basamaktan başlamamız gerekir. 4. basamak için \( A \) kümesindeki tek rakamlar olmak üzere 3 seçenek vardır. 4. basamağa bu 3 rakamdan birini yazdıktan sonra 1. basamak için 4 seçenek kalır ve sağa doğru ilerledikçe her basamakta seçenek sayısı bir azalır.

Her basamak için seçenek sayılarını çarptığımızda istenen koşulu sağlayan sayı adedini buluruz.

Not: Rakamları yerleştirmeye 4. basamak dışında bir basamaktan (örneğin 1. basamaktan) başlarsak bir çift rakam seçmemiz durumunda 4. basamaktaki seçenek sayısı 3, tek rakam seçmemiz durumunda ise 2 olacaktır. Bir basamakta yaptığımız seçim diğer bir basamaktaki seçenek sayısını değiştirdiği için de çarpma kuralını kullanamayız.

(c) seçeneği:

Soruda 1. basamakla ilgili bir koşul verildiği için rakamları yerleştirmeye bu basamaktan başlamamız gerekir. Sayının 3000'den büyük olması için 1. basamağın \( \{3, 4, 5\} \) rakamlarından biri olması gerekir. 1. basamağa bu 3 rakamdan birini yazdıktan sonra diğer basamaklar için 4 seçenek kalır ve sağa doğru ilerledikçe her basamakta seçenek sayısı bir azalır.

Her basamak için seçenek sayılarını çarptığımızda istenen koşulu sağlayan sayı adedini buluruz.

(d) seçeneği:

Soruda 4. basamakla ilgili bir koşul verildiği için rakamları yerleştirmeye bu basamaktan başlamamız gerekir. Sayının 5'e tam bölünmesi için 4. basamak \( A \) kümesinin elemanları içinden sadece 5 olabilir. 4. basamağa "5" yazdıktan sonra 1. basamak için 4 seçenek kalır ve sağa doğru ilerledikçe her basamakta seçenek sayısı bir azalır.

Her basamak için seçenek sayılarını çarptığımızda istenen koşulu sağlayan sayı adedini buluruz.

Rakamları tekrarlı tüm sayıların rakamları tekrarsız tüm sayılardan farkı, en az iki basamağı aynı olan sayıların adedini verir.

[En az iki basamağı aynı olan sayı adedi] = [Rakamları tekrarlı tüm sayıların adedi] - [Rakamları tekrarsız tüm sayıların adedi]

Her iki sayı adedini yukarıdaki iki soruda sırasıyla \( 5^4 \) ve \( 120 \) olarak bulmuştuk. Bu iki sayının farkı en az iki basamağı aynı olan sayı adedini verir.

\( 5^4 - 120 = 505 \) bulunur.

1. yöntem:

İçinde "3" bulunan 4 basamaklı sayıları aşağıdaki formülle bulabiliriz.

[İçinde "3" bulunan 4 basamaklı sayı adedi] = [Tüm 4 basamaklı sayıların adedi] - [İçinde "3" bulunmayan 4 basamaklı sayıların adedi]

4 basamaklı toplam sayı adedini yukarıda \( 5! = 120 \) olarak bulmuştuk.

İçinde "3" bulunmayan 4 basamaklı sayı adedi, \( A \) kümesinin "3" elemanını içermeyen alt kümesi ile yazılabilecek 4 basamaklı sayı adedine, yani \( 4! \)'e eşittir.

Buna göre, istenen koşulu sağlayan \( 5! - 4! = 96 \) sayı yazılabilir.

2. yöntem:

Önce "3" rakamını 4 basamaktan birine \( 4 \) farklı şekilde yerleştirebiliriz.

Diğer 4 rakamın kalan 3 basamak için farklı diziliş sayısı \( P(4, 3) \) olur.

Buna göre, yazılabilecek sayı adedi \( 4 \cdot P(4, 3) = 96 \) olur.

Birbirinden farklı ve toplamları 20 olan 4 rakam üçlüsü vardır.

\( 9 + 8 + 3 = 20 \)

\( 9 + 7 + 4 = 20 \)

\( 9 + 6 + 5 = 20 \)

\( 8 + 7 + 5 = 20 \)

Bu 4 sayı üçlüsünün hep birinde rakamlar kendi aralarında \( 3! \) farklı şekilde dizilebilir.

Buna göre verilen koşulu sağlayan \( 4 \cdot 3! = 24 \) sayı vardır.

İstenen 3 basamaklı sayıya \( (abc) \) diyelim

3 basamaklı \( (abc) \) sayısı aşağıdaki iki koşulu sağlar.

\( a \ne b \ne c \)

\( 1 \lt a \cdot b \cdot c \lt 11 \)

Bu iki koşulu sağlayan üç rakam üçlüsü vardır.

Durum 1: \( 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \)

1, 2 ve 3 rakamları kullanılarak 3 basamaklı \( 3! = 6 \) farklı sayı yazılabilir.

Durum 2: \( 1 \cdot 2 \cdot 4 = 8 \)

1, 2 ve 4 rakamları kullanılarak 3 basamaklı \( 3! = 6 \) farklı sayı yazılabilir.

Durum 3: \( 1 \cdot 2 \cdot 5 = 10 \)

1, 2 ve 5 rakamları kullanılarak 3 basamaklı \( 3! = 6 \) farklı sayı yazılabilir.

Buna göre verilen koşulları sağlayan \( 3 \cdot 6 = 18 \) sayı vardır.

0 rakamını içeren kümelerin permütasyonlarında 0 rakamının ilk basamakta kullanımının sayının basamak sayısını bir eksilteceği dikkate alınmalıdır.

(a) seçeneği:

1. basamakta 0 rakamını kullanmamız durumunda sayı 3 basamaklı olacağı için bu basamakta seçenek sayısı 5 değil 4 olur. 1. basamağa 0 dışındaki 4 rakamdan birini yazdıktan sonra 2. basamak için 4 seçenek kalır ve sağa doğru ilerledikçe her basamakta seçenek sayısı bir azalır.

Her basamak için seçenek sayılarını çarptığımızda istenen koşulu sağlayan sayı adedini buluruz.

(b) seçeneği:

1. basamak için yine 4 seçenek, 4. basamak için de \( B \) kümesindeki tek rakamlar olmak üzere 2 seçenek vardır. 4. basamaktaki seçenekler 1. basamaktaki seçeneklerin bir alt kümesi olduğu için, 4. basamakta hangi rakamı seçersek seçelim 1. basamaktaki seçenek sayısı bir eksilecektir, dolayısıyla ilk önce 4. basamak için bir rakam seçmemiz durumunda hangi rakam seçilirse seçilsin diğer basamakların seçenek sayıları değişmeyecektir.

Buna göre önce 4. basamak için 2 rakamdan biri seçilir, sonra 1. basamağa kullanılan rakam dışındaki 3 rakamdan biri yazılır. Geriye 2. basamak için 3 seçenek, 3. basamak için 2 seçenek kalır.

Her basamak için seçenek sayılarını çarptığımızda istenen koşulu sağlayan sayı adedini buluruz.

(c) seçeneği:

1. basamak için yine 4 seçenek, 4. basamak için de \( B \) kümesindeki çift rakamlar olmak üzere 3 seçenek vardır. Önceki sorudan farklı olarak bu soruda 1. ve 4. basamaklardaki seçenekler hem ortak hem de farklı değerler içerir, dolayısıyla herhangi birinde yapacağımız seçim diğer basamaktaki seçenek sayısını etkiler. Örneğin 1. basamak için 2 seçersek 4. basamağın seçenek sayısı 2'ye düşecektir. 1. basamak için 3 seçmemiz durumunda ise 4. basamağın seçenek sayısı değişmeyecektir. Bu durum çarpma kuralını kullanmamıza engel teşkil eder, bu yüzden problemi iki alt probleme bölmemiz ve toplama kuralı ile her iki durumda bulduğumuz sayı adetlerinin toplamını almamız gerekir.

İlk durumda 4. basamakta 1. basamakta bulunmayan seçenekleri, ikinci durumda iki basamakta da bulunan seçenekleri dikkate alalım. 4. basamaktaki seçenek sayılarını bu şekilde iki duruma böldüğümüzde 4. basamak için yapacağımız seçim 1. basamaktaki seçenek sayısını etkilemeyecektir.

İki durum için sayı adetlerini topladığımızda soruda istenen toplam sayı adedini \( 24 + 36 = 60 \) olarak buluruz.

Yukarıda problemi 4. basamağın seçeneklerini ikiye bölerek çözdük. Problemi 1. basamağın seçeneklerini ikiye bölerek çözersek de aynı sonucu elde ederiz.

(d) seçeneği:

Bir sayının 5'e tam bölünmesi için birler basamağı 0 ya da 5 olmalıdır. Buna göre 1. basamak için seçenekler \( \{2, 3, 4, 5\} \), 4. basamak için de \( \{0, 5\} \) olur.

Bir önceki soruda olduğu gibi 1. ve 4. basamaklar hem ortak hem de farklı seçenekler içermektedir, dolayısıyla bir basamak için yapacağımız seçim diğer basamaktaki seçenek sayısını etkilemektedir. Bu yüzden problemi 4. basamak üzerinden ikiye bölelim ve toplama kuralı ile her iki durumda bulduğumuz sayı adetlerinin toplamını alalım.

İki durum için sayı adetlerini topladığımızda soruda istenen toplam sayı adedini \( 24 + 18 = 42 \) olarak buluruz.

Bu soruyu en pratik şekilde permütasyon ve kombinasyon yöntemlerini birlikte kullanarak çözebiliriz.

İstenen sayıların "1", "4" ve ek iki rakam içermesi gerektiğini biliyoruz, dolayısıyla "1" ve "4"ün zaten seçildiğini varsayalım. \( A \) kümesinin diğer 3 elemanı arasından 2 rakamı \( C(3, 2) \) farklı şekilde seçebiliriz.

"1", "4" ve seçtiğimiz diğer 2 rakam \( 4! \) farklı şekilde dizilebilir.

Son olarak, bu sayılardan kaçında "4" rakamının "1"in solunda olduğunu hesaplayalım. "1" ve "4" rakamları kendi aralarında \( 2! = 2 \) farklı şekilde dizilebilir ve "4" bunların birinde "1"in solunda, diğerinde sağındadır, dolayısıyla bulduğumuz toplam diziliş sayısını ikiye bölmemiz gerekir.

Buna göre istenen koşulu sağlayan \( \frac{C(3, 2) \cdot 4!}{2!} = 36 \) farklı sayı yazılabilir.

Çarpımları 36 olan 5 rakam üçlüsü vardır. Her durum için yazılabilecek 3 basamaklı sayı adedini bulalım.

Durum 1: \( \{9, 4, 1\} \)

Bu üç rakam ile \( 3! = 6 \) farklı sayı yazılabilir.

Durum 2: \( \{9, 2, 2\} \)

Bu üç rakam ile \( \frac{3!}{2!} = 3 \) farklı sayı yazılabilir.

Durum 3: \( \{6, 6, 1\} \)

Bu üç rakam ile \( \frac{3!}{2!} = 3 \) farklı sayı yazılabilir.

Durum 4: \( \{6, 3, 2\} \)

Bu üç rakam ile \( 3! = 6 \) farklı sayı yazılabilir.

Durum 5: \( \{4, 3, 3\} \)

Bu üç rakam ile \( \frac{3!}{2!} = 3 \) farklı sayı yazılabilir.

Buna göre istenen koşulları sağlayan \( 6 + 3 + 3 + 6 + 3 = 21 \) sayı yazılabilir.

Birbirinden farklı ve toplamları 7 olan 4 rakam üçlüsü vardır. Her durum için yazılabilecek 3 basamaklı sayı adedini bulalım.

Durum 1: \( \{6, 1, 0\} \)

Bu rakam üçlüsü ile (ilk basamakta 0 olmayacak şekilde) \( 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4 \) sayı yazılabilir.

Durum 2: \( \{5, 2, 0\} \)

Bu rakam üçlüsü ile (ilk basamakta 0 olmayacak şekilde) \( 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4 \) sayı yazılabilir.

Durum 3: \( \{4, 3, 0\} \)

Bu rakam üçlüsü ile (ilk basamakta 0 olmayacak şekilde) \( 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4 \) sayı yazılabilir.

Durum 4: \( \{4, 2, 1\} \)

Bu rakam üçlüsü ile \( 3! = 6 \) sayı yazılabilir.

Buna göre istenen koşulları sağlayan \( 4 + 4 + 4 + 6 = 18 \) sayı yazılabilir.

Yüz binler basamağına gelecek rakama göre 5 durum oluşur.

Durum 1: Yüz binler basamağı 9

Bu durumda on binler basamağı \( 8, 7, 6, 5, 4 \) olmak üzere 5 farklı değer alabilir. Kullanılan 2 rakam dışındaki 4 rakam kalan 4 basamağa yerleştirilir.

\( 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \) farklı sayı

Durum 2: Yüz binler basamağı 8

Bu durumda on binler basamağı \( 7, 6, 5, 4 \) olmak üzere 4 farklı değer alabilir. Kullanılan 2 rakam dışındaki 4 rakam kalan 4 basamağa yerleştirilir.

\( 1 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 96 \) farklı sayı

Durum 3: Yüz binler basamağı 7

Bu durumda on binler basamağı \( 6, 5, 4 \) olmak üzere 3 farklı değer alabilir. Kullanılan 2 rakam dışındaki 4 rakam kalan 4 basamağa yerleştirilir.

\( 1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 72 \) farklı sayı

Durum 4: Yüz binler basamağı 6

Bu durumda on binler basamağı \( 5, 4 \) olmak üzere 2 farklı değer alabilir. Kullanılan 2 rakam dışındaki 4 rakam kalan 4 basamağa yerleştirilir.

\( 1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48 \) farklı sayı

Durum 5: Yüz binler basamağı 5

Bu durumda on binler basamağı \( 4 \) olmak üzere 1 farklı değer alabilir. Kullanılan 2 rakam dışındaki 4 rakam kalan 4 basamağa yerleştirilir.

\( 1 \cdot 1 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 \) farklı sayı

Buna göre istenen koşulları sağlayan \( 120 + 96 + 72 + 48 + 24 = 360 \) farklı sayı oluşturulabilir.

Fazladan yazılan basamak sayısı kullanılan 7 sayısı kadar olacaktır.

Soruda verilen koşulları sağlayan ve ek olarak 7 rakamını içeren rakam kümeleri aşağıdaki gibidir.

\( \{9, 8, 7, 2\} \)

\( \{9, 7, 6, 4\} \)

\( \{8, 7, 6, 5\} \)

Her sayı kümesindeki rakamlarla 4 basamaklı \( 4! = 24 \) farklı sayı yazılabilir.

Buna göre istenen koşulları sağlayan \( 3 \cdot 24 = 72 \) sayı vardır, dolayısıyla ekrandaki sayı yazması gerekenden 72 basamak fazladır.

(a) seçeneği:

Tek rakamlar 1, 3, 5, 7 ve 9'dur.

Sayıların rakamları farklı olacağı için en fazla 5 basamaklı sayı oluşturulabilir.

1 basamaklı \( P(5, 1) = 5 \) farklı sayı yazılabilir (1, 3, 5, 7, 9).

2 basamaklı \( P(5, 2) = 20 \) farklı sayı yazılabilir.

3 basamaklı \( P(5, 3) = 60 \) farklı sayı yazılabilir.

4 basamaklı \( P(5, 4) = 120 \) farklı sayı yazılabilir.

5 basamaklı \( P(5, 5) = 5! = 120 \) farklı sayı yazılabilir.

Buna göre istenen koşulu sağlayan toplam \( 5 + 20 + 60 + 120 + 120 = 325 \) sayı yazılabilir.

(b) seçeneği:

Çift rakamlar 0, 2, 4, 6 ve 8'dir.

Sayıların rakamları farklı olacağı için en fazla 5 basamaklı sayı oluşturulabilir.

Oluşturulacak sayılarda sıfır ilk basamakta yer alamaz.

1 basamaklı \( 4 \) farklı sayı yazılabilir (2, 4, 6, 8).

2 basamaklı \( 4 \cdot 4 = 16 \) farklı sayı yazılabilir.

3 basamaklı \( 4 \cdot 4 \cdot 3 = 48 \) farklı sayı yazılabilir.

4 basamaklı \( 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 96 \) farklı sayı yazılabilir.

5 basamaklı \( 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 96 \) farklı sayı yazılabilir.

Buna göre istenen koşulu sağlayan toplam \( 4 + 16 + 48 + 96 + 96 = 260 \) sayı yazılabilir.

Birler basamağında 4 olan 4 basamaklı palindromik sayılar \( (4aa4) \) formundadır.

\( a \) yerine 10 farklı rakam gelebileceği için bu şekilde 10 farklı sayı yazılabilir.

Onlar basamağında 7 olan 7 basamaklı palindromik sayılar \( (a7cdc7a) \) formundadır. \( a \) yerine 0 gelmesi sayıyı 6 basamaklı yapacağı için bu basamağa 9 farklı rakam gelebilir.

\( a \) yerine 9, \( c \) ve \( d \) yerine 10'ar farklı rakam gelebileceği için bu şekilde \( 9 \cdot 10 \cdot 10 = 900 \) farklı sayı yazılabilir.

Sayıların oranı \( \dfrac{10}{900} = \dfrac{1}{90} \) olarak bulunur.

Dikkate almamız gereken sayılar 1 ve 5 içeren sayılardır.

Soruyu birbirinden bağımsız 2 durum altında inceleyelim ve her durum için bulduğumuz sonuçları toplayalım.

Durum 1: 5 rakamı binler basamağında

Bu durumda sayılar \( 51xy \), \( 5x1y \) ya da \( 5xy1 \) formlarından birinde olabilir.

Her bir durumda \( x \) ve \( y \) yerine sırasıyla (sıfır dahil) 8 ve 7 rakam gelebilir.

Bu durumda toplam \( 3 \cdot 8 \cdot 7 = 168 \) farklı sayı yazılabilir.

Durum 2: 5 rakamı binler basamağında değil

Bu durumda sayılar \( x51y \), \( x5y1 \) ya da \( xy51 \) formlarından birinde olabilir.

Her bir durumda \( x \) ve \( y \) yerine sırasıyla (binler basamağında sıfır hariç) 7 ve 7 rakam gelebilir.

Bu durumda toplam \( 3 \cdot 7 \cdot 7 = 147 \) farklı sayı yazılabilir.

Buna göre istenen koşulu sağlayan toplam \( 168 + 147 = 315 \) farklı sayı yazılabilir.

Bu soruyu iki farklı yöntemle çözelim.

1. yöntem:

Verilen 5 rakam kullanılarak 3 basamaklı \( 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \) sayı yazılabilir. Herhangi 3 rakam aralarında \( 3! = 6 \) farklı şekilde dizilebilir ve bu 6 dizilişten sadece birinde \( a \gt b \gt c \) koşulu sağlanır. Buna göre yazılabilecek 60 sayıdan \( \frac{60}{3!} = 10 \) sayı verilen koşulu sağlar.

2. yöntem:

5 rakam içinden 3 rakam \( C(5, 3) = \frac{5!}{3!\ 2!} = 10 \) farklı şekilde seçilebilir. Seçilen her 3 rakam için \( a \gt b \gt c \) koşulunu sağlayan 3 basamaklı tek bir sayı yazılabilir, dolayısıyla cevap 10 olur.

\( A \) kümesinin elemanları ile 8 basamaklı ve rakamları farklı \( 8! \) sayı yazılabilir.

Bu sayılardan herhangi birini aldığımızda, \( 8! \) sayı içinde tek rakamların bu sayı ile aynı basamaklarda bulunduğu \( 4! \) farklı sayı vardır (4 rakamın kendi aralarındaki farklı diziliş sayısı kadar) ve bu \( 4! \) farklı dizilişten sadece birinde tek rakamlar küçükten büyüğe sıralanmıştır.

Dolayısıyla \( 8! \) sayının \( 4! = 24 \)'te birinde tek rakamlar küçükten büyüğe sıralanmıştır.

\( \dfrac{8!}{4!} = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680 \) bulunur.

\( 1234 \) sayısının rakamları ile dört basamaklı \( 4! = 24 \) sayı oluşturulabilir.

"1" rakamı bu sayıların 6'sında binler, 6'sında yüzler, 6'sında onlar, 6'sında birler basamağındadır.

Buna göre, "1" rakamının bu 24 sayıdaki basamak değerlerinin toplamı \( 6(1000 + 100 + 10 + 1) = 6 \cdot 1111 \) olur.

Diğer rakamlar da her basamakta 6'şar kez bulunur.

"2" rakamının 24 sayıdaki basamak değerlerinin toplamı \( 6(2000 + 200 + 20 + 2) = 6 \cdot 2222 \) olur.

"3" rakamının 24 sayıdaki basamak değerlerinin toplamı \( 6(3000 + 300 + 30 + 3) = 6 \cdot 3333 \) olur.

"4" rakamının 24 sayıdaki basamak değerlerinin toplamı \( 6(4000 + 400 + 40 + 4) = 6 \cdot 4444 \) olur.

Bu sayıları topladığımızda \( 6(1111 + 2222 + 3333 + 4444) = 66660 \) bulunur.

\( A \) kümesinin elemanları ile 4 basamaklı ve rakamları farklı \( P(6, 4) = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360 \) sayı yazılabilir.

Herhangi bir rakam ile başlayan sayı adedi, kalan 5 rakamla yazılabilecek 3 basamaklı sayı adedi kadar, yani \( P(5, 3) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \) sayıdır.

Buna göre yazılabilecek 360 sayıdan 60'ı 1 ile, 60'ı 2 ile, ..., 60'ı 6 ile başlar.

Dolayısıyla sayılar küçükten büyüğe doğru sıralandığında 1. sayı 1 ile başlayan en küçük sayıdır.

61. sayı 2 ile başlayan en küçük sayıdır.

121. sayı 3 ile başlayan en küçük sayıdır.

181. sayı 4 ile başlayan en küçük sayıdır.

241. sayı 5 ile başlayan en küçük sayıdır, bu sayı da \( 5123 \) sayısıdır.

5 ile başlayan sayılardan 2. basamağı herhangi bir rakam olan sayı adedi, kalan 4 rakamla yazılabilecek 2 basamaklı sayı adedi kadar, yani \( P(4, 2) = 4 \cdot 3 = 12 \) sayıdır.

Buna göre 5 ile başlayan 60 sayıdan 12'si 51 ile, 12'si 52 ile, ..., 12'si 56 ile başlar.

241. sayı 51 ile başlayan en küçük sayıdır.

253. sayı 52 ile başlayan en küçük sayıdır.

265. sayı 53 ile başlayan en küçük sayıdır.

268. sayıyı bulmak istediğimiz için sırayla küçükten büyüğe sayıları sayalım.

265. sayı 5312 sayısıdır.

266. sayı 5314 sayısıdır.

267. sayı 5316 sayısıdır.

268. sayı 5321 sayısıdır.

Buna göre 268. sayının rakamları toplamı \( 5 + 3 + 2 + 1 = 11 \) olur.

Bu 5 rakamın yerleri değiştirilerek 5 basamaklı \( \frac{5!}{2!} = 60 \) farklı sayı oluşturulabilir.

Bu sayılar küçükten büyüğe sıralandığında sayıların ilk \( \frac{60}{5} = 12 \) tanesi 1 rakamı ile, ikinci ve üçüncü 12 tanesi 2 rakamıyla ve dördüncü 12 tanesi 3 ile başlar.

Buna göre 4 ile başlayan en küçük sayı, 49. sayı olan \( 41223 \) olur.

49. sayı dahil geri kalan sayıların ilk \( \frac{12}{4} = 3 \) tanesinin 2. basamağı 1'dir.

42 ile başlayan en küçük sayı, 52. sayı olan \( 42123 \) olur.

Buna göre \( 42132 \) sayısı bir sonraki, yani 53. sayı olur.

64 ve 444 sayılarının şifrede ayrı ayrı ya da 6444 şeklinde birlikte bulunduğu iki durumu ayrı ayrı inceleyelim.

Durum 1:

64 ve 444 sayılarının şifrede ayrı ayrı bulunduğu durumu inceleyelim.

Bu durumda şifre 64444 ya da 44464 olmak üzere 2 şekilde olabilir.

Durum 2:

64 ve 444 sayılarının 6444 şeklinde birlikte bulunduğu durumu inceleyelim.

Kalan 5. rakam \( C(10, 1) = 10 \) farklı şekilde seçilebilir. Seçilen rakam ve 6444 sayısı aralarında \( 2! \) farklı şekilde yer değiştirebilir.

Bu koşulu sağlayan \( 2! \cdot 10 = 20 \) farklı sayı vardır.

İki durum için toplamda \( 20 + 2 = 22 \) sayı vardır.

64444 sayısı iki durum için de geçerli olduğu için toplamda farklı \( 22 - 1 = 21 \) sayı vardır.

Buna göre, Ege telefonunun şifresini bulabilmek için en az 21 deneme yapmalıdır.

Tek sayılar 1, 3, 5, 7 ya da 9 rakamları ile biter.

İstenen koşulun sağlanması için, sayının son rakamı \( a \) ile bitiyorsa ilk iki rakam \( \{1, 2, \ldots, a - 1\} \) kümesinden seçilmelidir.

İlk iki basamak için seçilecek 2 rakamın artarak ilerlediği tek bir diziliş olacaktır.

\( a = 1 \) için yüzler ve onlar basamağına istenen koşulu sağlayacak şekilde rakam seçemeyiz.

\( a = 3 \) için: \( \{1, 2\} \) kümesinden iki sayı \( C(2, 2) = 1 \) farklı şekilde seçilebilir.

\( a = 5 \) için: \( \{1, 2, 3, 4\} \) kümesinden iki sayı \( C(4, 2) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.

\( a = 7 \) için: \( \{1, 2, \ldots, 6\} \) kümesinden iki sayı \( C(6, 2) = 15 \) farklı şekilde seçilebilir.

\( a = 9 \) için: \( \{1, 2, \ldots, 8\} \) kümesinden iki sayı \( C(8, 2) = 28 \) farklı şekilde seçilebilir.

İstenen koşulu sağlayan \( 1 + 6 + 15 + 28 = 50 \) farklı sayı yazılabilir.

İlk haneye 4 yerleştirdikten sonra diğer 6 hane için 10 rakam arasından 2 rakam \( C(10, 2) = 45 \) farklı şekilde seçilebilir.

Seçilen 2 rakam (\( a \) ve \( b \)) 6 haneye \( 2^6 \) farklı şekilde yerleştirilebilir. Ancak bu dizilişlerin ikisi \( 4aa aaaa \) ve \( 4bb bbbb \) formunda olduğu için, seçilen her iki rakam için 2 farklı rakamdan oluşan \( 2^6 - 2 = 62 \) farklı numara vardır.

Buna göre toplamda \( 45 \cdot 62 = 2790 \) farklı numara seçilebilir.

Asal rakamlar 4 tanedir.

\( A = \{2, 3, 5, 7\} \)

Asal olmayan rakamlar geri kalan 6 rakamdır.

2 basamağı asal olan ve 3 basamağı asal olan sayıları ayrı ayrı bulup toplamını alalım. 1 ve 4 asal olmadığı için 1 ve 4 basamağı asal olan sayıları dikkate almamıza gerek yoktur.

Durum 1: 2 basamak asal

Asal 4 rakam arasından 2 rakam \( C(4, 2) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.

Asal olmayan 6 rakam arasından 2 rakam \( C(6, 2) = 15 \) farklı şekilde seçilebilir.

Seçilen 4 rakam \( 4! = 24 \) farklı şekilde dizilebilir.

Buna göre 2 basamağı asal olan 4 basamaklı \( 6 \cdot 15 \cdot 24 = 2160 \) farklı sayı yazılabilir.

Ancak bu sayılardan binler basamağı 0 olanlar 3 basamaklı olacağı için bu sayıları bulduğumuz sayıdan çıkarmalıyız.

Binler basamağının 0 olduğunu varsayalım ve 0 içermeyen ve 2 basamağı asal olan 3 basamaklı kaç sayı olduğunu bulalım.

Asal 4 rakam arasından 2 rakam \( C(4, 2) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.

0 hariç asal olmayan 5 rakam arasından 1 rakam \( C(5, 1) = 5 \) farklı şekilde seçilebilir.

Seçilen 3 rakam \( 3! = 6 \) farklı şekilde dizilebilir.

Buna göre 2 basamağı asal olan ve 0 içermeyen 3 basamaklı \( 6 \cdot 5 \cdot 6 = 180 \) farklı sayı yazılabilir.

Bulduğumuz iki sayının farkı 2 basamağı asal olan 4 basamaklı sayı adedini verir.

\( 2160 - 180 = 1980 \)

Durum 2: 3 basamak asal

Asal 4 rakam arasından 3 rakam \( C(4, 3) = 4 \) farklı şekilde seçilebilir.

Asal olmayan 6 rakam arasından 1 rakam \( C(6, 1) = 6 \) farklı şekilde seçilebilir.

Seçilen 4 rakam \( 4! = 24 \) farklı şekilde dizilebilir.

Buna göre 3 basamağı asal olan 4 basamaklı \( 4 \cdot 6 \cdot 24 = 576 \) farklı sayı yazılabilir.

Ancak bu sayılardan binler basamağı 0 olanlar 3 basamaklı olacağı için bu sayıları bulduğumuz sayıdan çıkarmalıyız.

Binler basamağının 0 olduğunu varsayalım ve 0 içermeyen ve 3 basamağı asal olan 3 basamaklı kaç sayı olduğunu bulalım.

Asal 4 rakam arasından 3 rakam \( C(4, 3) = 4 \) farklı şekilde seçilebilir.

Seçilen 3 rakam \( 3! = 6 \) farklı şekilde dizilebilir.

Buna göre 3 basamağı asal olan ve 0 içermeyen 3 basamaklı \( 4 \cdot 6 = 24 \) farklı sayı yazılabilir.

Bulduğumuz iki sayının farkı 3 basamağı asal olan 4 basamaklı sayı adedini verir.

\( 576 - 24 = 552 \)

Soruda istenen sayıların adedi, bulduğumuz 2 basamağı asal olan sayılarla 3 basamağı asal olan sayıların toplamına eşittir.

\( 1980 + 552 = 2532 \) bulunur.

1700 ile 1999 arasında istenen koşulu sağlayan tek sayı 1789'dur.

2000 ile 2999 arasında istenen koşulu sağlayan sayılara bakalım.

\( (2abc) \) sayısında son üç basamağa \( \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) rakamlarından herhangi üçü gelebilir.

Bu 7 rakam içinden seçilecek her sayı üçlüsü için istenen koşulu sağlayan tek bir sayı yazılabilir.

\( C(7, 3) = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!} = 35 \)

3000 ile 3999 arasında istenen koşulu sağlayan sayılara bakalım.

\( (3abc) \) sayısında son üç basamağa \( \{4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) rakamlarından herhangi üçü gelebilir.

Bu 6 rakam içinden seçilecek her sayı üçlüsü için istenen koşulu sağlayan tek bir sayı yazılabilir.

\( C(6, 3) = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3!} = 20 \)

4000 ile 4600 arasında istenen koşulu sağlayan sayılara bakalım.

Bu aralıkta sadece 4567, 4568, 4569, 4578, 4579, 4589 sayıları istenen koşulu sağlar.

Her aralık için bulduğumuz sayıları toplayalım.

\( 1 + 35 + 20 + 6 = 62 \) bulunur.

Rakamları soldan sağa arttığı için aşağıdaki sayılar istenen koşulu sağlar.

15, 379, 1579, 123456

Aşağıdaki sayılar ise istenen koşulu sağlamaz.

32, 668, 3079, 123454

Rakamlar artarak ilerleyeceği ve sıfır ilk basamakta bulunamayacağı için bu sayıların hiçbir basamağında sıfır bulunamaz.

Buna göre 1-9 arasındaki 9 rakamdan oluşan kümenin boş küme ve 1 elemanlı alt kümeleri hariç herhangi bir alt kümesinin elemanları ile istenen koşulu sağlayan tek bir sayı, alt kümedeki rakamlar küçükten büyüğe sıralanarak yazılabilir.

\( C(9, 2) + C(9, 3) + C(9, 4) + \ldots + C(9, 9) \)

Bu toplama \( C(9, 0) \) ve \( C(9, 1) \) eklendiğinde 9 elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı formülü elde edilir.

\( \displaystyle\sum_{n = 1}^{9}{C(9, n)} = 2^9 \)

\( C(9, 0) + C(9, 1) + C(9, 2) + C(9, 3) + \ldots + C(9, 9) = 2^9 \)

\( C(9, 2) + C(9, 3) + \ldots + C(9, 9) = 2^9 - C(9, 0) - C(9, 1) \)

\( = 512 - 1 - 9 = 502 \) bulunur.

KİTAP kelimesinin harflerini bir küme olarak tanımlayalım.

\( A = \{K, İ, T, A, P\} \)

(a) seçeneği:

Bu kümenin 5 elemanlı her permütasyonu 5 harfli anlamlı ya da anlamsız bir kelimeye karşılık gelir.

(b) seçeneği:

Soruda kelimenin uzunluğu belirtilmediği için 1, 2, 3, 4 ve 5 harfli kelimelerin tümünü hesaplamaya dahil etmemiz gerekir (1 harfi de bir kelime olarak kabul ederek). Problemi bu şekilde 5'e bölerek her durum için yazılabilecek kelime sayısını aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz.

Her durum için kelime sayılarını topladığımızda yazılabilecek toplam kelime sayısını buluruz.

\( 120 + 120 + 60 + 20 + 5 = 325 \)

(a) seçeneği:

4 harfli ŞİŞE kelimesinde "Ş" harfi iki kez, diğer harfler birer kez bulunur.

ŞİŞE kelimesinin farklı permütasyonlarının sayısını tekrarlı permütasyon formülü ile hesaplayalım.

\( \dfrac{4!}{2!} = 12 \)

(b) seçeneği:

8 harfli MARMARİS kelimesinde "M", "A" ve "R" harfleri ikişer kez, diğer harfler birer kez bulunur.

MARMARİS kelimesinin farklı permütasyonlarının sayısını tekrarlı permütasyon formülü ile hesaplayalım.

\( \dfrac{8!}{2!\ 2!\ 2!} = 5040 \)

(c) seçeneği:

9 harfli BİRDİRBİR kelimesinde "İ" ve "R" harfleri üçer kez, "B" harfi iki kez, diğer harfler birer kez bulunur.

BİRDİRBİR kelimesinin farklı permütasyonlarının sayısını tekrarlı permütasyon formülü ile hesaplayalım.

\( \dfrac{9!}{3!\ 3!\ 2!} = 5040 \)

Bu soruyu en pratik şekilde permütasyon ve kombinasyonu birlikte kullanarak çözebiliriz.

(a) seçeneği:

Oluşturulacak kelimelerin "d" ve "e" harflerini içermesi gerektiğini biliyoruz. Diğer 6 harf içinden 3 harf \( C(6, 3) \) farklı şekilde seçilebilir.

"d" ve "e" harfleri ve seçilen ek üç harf \( 5! \) farklı şekilde dizilebilir.

Bu iki adımda elde ettiğimiz farklı durumların çarpımı toplam kelime sayısını verir.

\( C(6, 3) \cdot 5! = 20 \cdot 120 = 2400 \)

(b) seçeneği:

"d" ve "e" harflerine ek olarak üç harf \( C(6, 3) \) farklı şekilde seçilebilir.

"d" ve "e" harflerinin yan yana olması istendiği için bu iki harfi tek bir harf ve kelimeyi 3 harf ve 1 harf grubundan oluşan 4 harfli bir kelime olarak düşünebiliriz.

4 harfin farklı diziliş sayısı \( 4! \) olur. Bu dizilişlerin her birinde yan yana olan "d" ve "e" harfleri kendi aralarında \( 2! \) farklı şekilde yer değiştirebilir.

Bu üç adımda elde ettiğimiz farklı durumların çarpımı toplam kelime sayısını verir.

\( C(6, 3) \cdot 4! \cdot 2! = 960 \)

(c) seçeneği:

Oluşturulacak kelimelerin "a", "b" ve "c" harflerini içermesi gerektiğini biliyoruz. Diğer 5 harf içinden 2 harf \( C(5, 2) \) farklı şekilde seçilebilir.

"a", "b" ve "c" harflerinin yan yana olması istendiği için bu üç harfi tek bir harf ve kelimeyi 2 harf ve 1 harf grubundan oluşan 3 harfli bir kelime olarak düşünebiliriz.

3 harfin farklı diziliş sayısı \( 3! \) olur. Bu dizilişlerin her birinde yan yana olan "a", "b" ve "c" harfleri kendi aralarında \( 3! \) farklı şekilde yer değiştirebilir.

Bu üç adımda elde ettiğimiz farklı durumların çarpımı toplam kelime sayısını verir.

\( C(5, 2) \cdot 3! \cdot 3! = 360 \)

10 harfli DERSPRESSO kelimesinde "S" harfi üç kez, "E" ve "R" harfleri ikişer kez, diğer harfler birer kez bulunur.

(a) seçeneği:

DERSPRESSO kelimesinin farklı permütasyonlarının sayısını tekrarlı permütasyon formülü ile hesaplayalım.

\( \dfrac{10!}{3!\ 2!\ 2!} = 151200 \)

(b) seçeneği:

Kelimenin "D" harfi ile başlaması istendiği için ilk önce bu harfi kelimenin ilk harfi olarak ayıralım.

"D" harfi dışında kalan 9 harfle kaç kelime yazılabileceğini tekrarlı permütasyon formülü ile hesaplayalım.

\( \dfrac{9!}{3!\ 2!\ 2!} = 15120 \)

Bu kelimelerin her birinin başına "D" harfini eklediğimizde istenen koşulu sağlayan birer kelime elde etmiş oluruz.

(c) seçeneği:

Kelimenin "D" harfi ile başlayıp "P" harfi ile bitmesi istendiği için ilk önce bu iki harfi kelimenin ilk ve son harfi olarak ayıralım.

"D" ve "P" harfleri dışında kalan 8 harfle kaç kelime yazılabileceğini tekrarlı permütasyon formülü ile hesaplayalım.

\( \dfrac{8!}{3!\ 2!\ 2!} = 1680 \)

Bu kelimelerin her birinin başına "D" ve sonuna "P" harfini eklediğimizde istenen koşulu sağlayan birer kelime elde etmiş oluruz.

(d) seçeneği:

Bu soruda (c) seçeneğinde oluşturulan her kelimede "D" ve "P" harfleri kendi aralarında her değiştirebilir, dolayısıyla bulduğumuz farklı kelime sayısını \( 2! \) ile çarpmamız gerekir.

\( 1680 \cdot 2! = 3360 \)

(e) seçeneği:

Aynı harfleri kendi aralarında grupladığımızda DERSPO kelimesini elde ederiz.

Bu 6 harf ve harf grubu \( 6! = 720 \) farklı şekilde dizilebilir. Yan yana bulunan aynı harfler özdeş oldukları için kendi aralarında yer değiştirmeleri yeni birer diziliş oluşturmaz.

7 harfli ABARTMA kelimesinde "A" harfi üç kez, diğer harfler birer kez bulunur.

(a) seçeneği:

Üç "A" harfinin yan yana olmadığı diziliş sayısını aşağıdaki formülle bulabiliriz.

[Üç "A" harfinin yan yana olmadığı diziliş sayısı] = [Tüm farklı diziliş sayısı] - [Üç "A" harfinin de yan yana olduğu diziliş sayısı]

ABARTMA kelimesinin farklı permütasyonlarının sayısını tekrarlı permütasyon formülü ile hesaplayalım.

\( \dfrac{7!}{3!} = 840 \)

Üç "A" harfinin de yan yana olduğu diziliş sayısını hesaplayalım.

Üç "A" harfini kendi aralarında grupladığımızda ABRTM kelimesini elde ederiz.

Bu 5 harf ve harf grubu \( 5! = 120 \) farklı şekilde dizilebilir. Yan yana bulunan "A" harfleri özdeş oldukları için kendi aralarında yer değiştirmeleri yeni birer diziliş oluşturmaz.

Bulduğumuz iki sayının farkı üç "A" harfinin yan yana olmadığı diziliş sayısını verir.

\( 840 - 120 = 720 \)

(b) seçeneği:

Herhangi iki "A" harfinin yan yana olmadığı 10 durum vardır.

\( A\_A\_A\_\ \_ \)

\( A\_A\_\ \_A\_ \)

\( A\_A\_\ \_\ \_A \)

\( A\_\ \_A\_A\_ \)

\( A\_\ \_A\_\ \_A \)

\( A\_\ \_\ \_A\_A \)

\( \_A\_A\_A\_ \)

\( \_A\_A\_\ \_A \)

\( \_A\_\ \_A\_A \)

\( \_\ \_A\_A\_A \)

Bu 10 farklı durumun her birinde diğer BRTM harfleri 4 boşluğa \( 4! = 24 \) farklı şekilde yerleştirilebilir.

Buna göre istenen koşulu sağlayan \( 10 \cdot 24 = 240 \) farklı kelime yazılabilir.

KUYRUKSALLAYANGİLLER kelimesinde 20 harf vardır, bu harflerin 13'ü sessiz, 7'si seslidir.

Sessiz harfler: LLLLKKRRYYGNS

Sesli harfler: AAAUUEİ

Kelimedeki sesli harfleri bir grup olarak düşünelim. Buna göre 13 sessiz harf ve 1 sesli harf grubu için farklı permütasyon sayısını, sessiz harfler içinde tekrar eden harfleri dikkate alarak tekrarlı permütasyon formülü ile hesaplayalım.

\( \dfrac{14!}{4!\ 2!\ 2!\ 2!} \)

Bu dizilişlerin her birinde sesli harf grubundaki harflerin kendi aralarındaki farklı diziliş sayısını, yine tekrar eden harfleri dikkate alarak tekrarlı permütasyon formülü ile hesaplayalım.

\( \dfrac{7!}{3!\ 2!} \)

Bulduğumuz iki sayının çarpımı sesli harflerin yan yana olduğu toplam diziliş sayısını verir.

\( \dfrac{14!}{4!\ 2!\ 2!\ 2!} \cdot \dfrac{7!}{3!\ 2!} \) bulunur.

(a) seçeneği:

6 harfli MATİNE kelimesinin harfleriyle \( 6! = 720 \) farklı kelime yazılabilir.

Sesli harfler olan "A", "E" ve "İ" harfleri kendi aralarında aşağıdaki gibi \( 3! = 6 \) farklı şekilde dizilebilir.

AEİ, AİE, EAİ, EİA, İAE, İEA

720 kelime içinde bu 6 dizilişin her biri eşit sayıda (120) kelimede bulunur.

Bu 6 farklı dizilişten sadece biri alfabetik sıradadır (AEİ).

Dolayısıyla toplam farklı kelime sayısını 6'ya böldüğümüzde istenen diziliş sayısını buluruz.

\( \dfrac{6!}{6} = 120 \)

(b) seçeneği:

"T", "E" ve "M" harfleri kendi aralarında aşağıdaki gibi \( 3! = 6 \) farklı şekilde dizilebilir.

EMT, ETM, MET, MTE, TEM, TME

720 kelime içinde bu 6 dizilişin her biri eşit sayıda (120) kelimede bulunur.

Bu 6 farklı dizilişten ikisinde "T" harfi "E" ve "M" harflerinin solundadır (TME ve TEM).

Dolayısıyla toplam farklı kelime sayısını 6'ya bölüp koşulu sağlayan diziliş sayısı olan 2 ile çarptığımızda istenen diziliş sayısını buluruz.

\( 6! \cdot \dfrac{2}{6} = 240 \)

DENİZ kelimesinin harflerinin alfabetik dizilişi DEİNZ şeklinde olur.

DENİZ kelimesinin harfleri ile anlamlı ya da anlamsız \( 5! = 120 \) farklı kelime yazılabilir.

Bu kelimelerden "D" harfi ile başlayanların sayısı, diğer 4 harfin farklı diziliş sayısı kadar, yani \( 4! = 24 \) adettir.

Buna göre 120 kelimenin 24'ü "D" ile, 24'ü "E" ile, ..., 24'ü "Z" ile başlar.

Dolayısıyla 1. kelime "D" harfi ile başlayan ilk kelime, 25. kelime "E" harfi ile başlayan ilk kelime, 49. kelime "İ" harfi ile başlayan ilk kelime, 73. kelime de "N" harfi ile başlayan ilk kelimedir.

73. kelime NDEİZ olur.

"N" ile başlayan kelimelerden 2. harfi "D" olanların sayısı, diğer 3 harfin farklı diziliş sayısı kadar, yani \( 3! = 6 \) adettir.

Buna göre "N" ile başlayan 24 kelimenin 6'sının 2. harfi "D", 6'sının 2. harfi "E", ..., 6'sının 2. harfi "Z" olur.

Dolayısıyla 73. kelime "ND" harfleri ile başlayan ilk kelime, 79. kelime "NE" harfleri ile başlayan ilk kelime, 85. kelime "Nİ" harfleri ile başlayan ilk kelime, 91. kelime de "NZ" harfleri ile başlayan ilk kelimedir.

91. kelime NZDEİ olur.

92. kelime NZDİE olur.

NZDİE kelimesinin tersten yazılışı EİDZN kelimesidir.

Yukarıda kullandığımız mantığı EİDZN kelimesinin sırasını bulmak için kullanalım.

1. kelime "D" harfi ile başlayan ilk kelime, 25. kelime "E" harfi ile başlayan ilk kelimedir.

25. kelime "ED" harfleri ile başlayan ilk kelime, 31. kelime "Eİ" harfleri ile başlayan ilk kelimedir.

31. kelime EİDNZ olur.

32. kelime EİDZN olur.

Buna göre 92. sıradaki NZDİE kelimesinin tersten yazılışı olan EİDZN kelimesi 32. sıradadır.

8 harfli GODZILLA kelimesinde "L" harfi iki kez, diğer harfler birer kez bulunur.

Bu kelimenin harfleri ile 8 harfli kaç kelime oluşturulabileceği sorulmuş olsa cevap tekrarlı permütasyon formülü ile \( \frac{8!}{2!} \) olurdu.

Ya da kelimede her harf bir kez bulunuyor olsa 4 harfli \( P(8, 4) \) farklı kelime yazılabilirdi.

Hem bir harfin tekrarladığı hem de oluşturulacak kelimelerde harflerden sadece dördünün kullanılacağı durumda tüm kelimelerin sayısını tek bir adımda hesaplayamayız.

Problemi 4 harfli kelimelerin hiç "L" harfi içermemesi, bir "L" harfi içermesi ve iki "L" harfi içermesi şeklinde üç durum altında inceleyelim.

Durum 1: 4 harfli kelimede "L" harfi yok

"L" harfi hariç GODZIA harfleri ile 4 harfli \( P(6, 4) \) farklı kelime yazılabilir.

\( P(6, 4) = 360 \)

Durum 2: 4 harfli kelimede bir "L" harfi

GODZIA harflerinden üç harf \( C(6, 3) \) farklı şekilde, LL harflerinden bir harf \( 1 \) farklı şekilde seçilebilir. Seçilen bu 4 harf aralarında \( 4! \) farklı şekilde dizilebilir.

\( C(6, 3) \cdot 1 \cdot 4! = 480 \)

Durum 3: 4 harfli kelimede iki "L" harfi

GODZIA harflerinden iki harf \( C(6, 2) \) farklı şekilde, LL harflerinden iki harf \( 1 \) farklı şekilde seçilebilir. Seçilen bu 4 harf aralarında tekrarlı permütasyon formülü ile \( \frac{4!}{2!} \) farklı şekilde dizilebilir.

\( C(6, 2) \cdot 1 \cdot \dfrac{4!}{2!} = 180 \)

4 harfli farklı kelime sayısı bu üç durum için bulduğumuz kelime sayılarının toplamına eşittir.

\( 360 + 480 + 180 = 1020 \) bulunur.