Kişilerin ve Nesnelerin Dizilişi

1. koltuğa 7, 2. koltuğa 6, 3. koltuğa 5, 4. koltuğa 4 farklı yolcu oturabilir.

Buna göre, duraktaki yolcular boş koltuklara \( 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \) farklı şekilde oturabilirler.

(a) seçeneği:

7 öğrenci bir sırada yan yana \( 7! \) farklı şekilde oturabilir.

(b) seçeneği:

Kızları tek bir grup olarak düşünelim. 1 kız grubu ve 4 erkek öğrenci \( 5! \) farklı şekilde dizilebilir. Bu dizilişlerin her birinde yan yana oturan kızlar kendi aralarında \( 3! \) farklı şekilde yer değiştirebilir.

Buna göre öğrenciler istenen koşulu sağlayacak şekilde \( 5! \cdot 3! = 720 \) farklı şekilde oturabilirler.

(c) seçeneği:

Grupta 4 erkek ve 3 kız öğrenci olduğu için, bir erkek bir kız oturma düzeni için sıranın iki ucunda birer erkek öğrenci olmalıdır. Buna göre, 1. koltuğa 4 erkek öğrenciden biri, 2. koltuğa 3 kız öğrenciden biri oturabilir. Sonraki koltuklara sırasıyla bir erkek bir kız öğrenci seçenek sayıları birer eksiltilere yerleştirilir.

Her kutu için seçenek sayılarını çarpma kuralı ile çarptığımızda toplam oturma düzeni sayısı 144 olarak bulunur.

(a) seçeneği: Anne ve baba sıranın iki ucunda ayrı ayrı

Anne ve baba sıranın iki ucunda \( 2! \) farklı şekilde dizilebilirler (anne sol başta, baba sağ başta, ya da tersi).

4 çocuk anne ve babanın arasında \( 4! \) farklı şekilde dizilebilirler.

Buna göre toplam farklı diziliş sayısı \( 2! \cdot 4! = 48 \) olur.

(b) seçeneği: Anne ve baba sıranın başında ya da sonunda, yan yana

Anne ve babanın sıranın sol başında yan yana olduğunu varsayalım. Bu durumda anne ve baba aralarında \( 2! \) farklı şekilde yer değiştirebilirler.

4 çocuk anne-babanın sağında \( 4! \) farklı şekilde dizilebilirler.

Buna göre anne ve babanın sıranın sol başında olduğu durumda toplam farklı diziliş sayısı \( 2! \cdot 4! = 48 \) olur.

Anne ve baba sıranın sağ başında olduğunda da aynı sayıda diziliş oluşur, buna göre toplam diziliş sayısı \( 2 \cdot 48 = 96 \) olur.

(c) seçeneği: Anne ve baba yan yana

Anne ve babayı bir grup olarak düşünelim. Grup olarak anne-baba ve 4 çocuk \( 5! \) farklı şekilde dizilebilirler.

Anne ve baba da kendi aralarındaki \( 2! \) farklı şekilde yer değiştirebilirler.

Buna göre toplam farklı diziliş sayısı \( 5! \cdot 2! = 240 \) olur.

(d) seçeneği: Çocuklar yan yana

4 çocuğu bir grup olarak düşünelim. Anne, baba ve çocuk grubu \( 3! \) farklı şekilde dizilebilirler.

Çocuklar da kendi aralarındaki \( 4! \) farklı şekilde yer değiştirebilirler.

Buna göre toplam farklı diziliş sayısı \( 3! \cdot 4! = 144 \) olur.

Bu sayı aynı zamanda yukarıda (a) ve (b) seçeneklerinde bulduğumuz dizilişlerin toplamına eşittir.

(e) seçeneği: Anne ve babanın arasında en az bir çocuk

İstenen diziliş sayısını çıkarma yoluyla sayma kuralı ile bulabiliriz.

[Anne ve babanın arasında en az bir çocuk olan dizilişler] = [Tüm dizilişler] - [Anne ve babanın yan yana olduğu dizilişler]

Tüm aile hiçbir koşul olmadan \( 6! = 720 \) farklı şekilde dizilebilir.

Anne ve babanın yan yana olduğu dizilişleri önceki soruda \( 5! \cdot 2! = 240 \) olarak hesaplamıştık, buna göre istenen diziliş sayısı \( 720 - 240 = 480 \) olur.

(f) seçeneği: Anne ve babanın arasında tek çocuk

Anne, baba ve bir çocuğu tek bir grup olarak düşünelim. Öncelikle anne ve babanın arasında olacak çocuğu 4 çocuk arasından \( C(4, 1) \) farklı şekilde seçebiliriz.

Diğer 3 çocuk ve anne/baba/1 çocuktan oluşan 3'lü grup \( 4! \) farklı şekilde dizilebilirler.

Anne ve baba da kendi aralarındaki \( 2! \) farklı şekilde yer değiştirebilirler.

Buna göre toplam farklı diziliş sayısı \( C(4, 1) \cdot 4! \cdot 2! = 192 \) olur.

Aralarında birer boş koltuk bırakacakları için üç arkadaş 5 koltukluk yer kaplarlar. 10 koltuğun bulunduğu bir sıradan yan yana 5 koltuk 6 farklı şekilde seçilebilir.

Örnek bir oturma düzeni aşağıda verilmiştir.

\( \_\ \_\ \_\ P\ \_\ M\ \_\ N\ \_\ \_ \)

3 arkadaş aralarında \( 3! \) farklı şekilde yer değiştirebilir.

Buna göre üç arkadaş koltuklara istenen koşulu sağlayacak şekilde \( 6 \cdot 3! = 36 \) farklı şekilde oturabilirler.

Arabayı kimin kullandığına göre oluşan iki durumu ayrı ayrı hesaplayalım.

Durum 1: Arabayı anne kullanıyor.

Yan koltuğa sadece baba oturabilir.

Üç çocuk arkaya \( 3! = 6 \) farklı şekilde oturabilir.

Durum 2: Arabayı baba kullanıyor.

Anne ve üç çocuk önde ve arkadaki 4 koltuğa \( 4! = 24 \) farklı şekilde oturabilir.

Buna göre aile arabaya toplam \( 6 + 24 = 30 \) farklı şekilde binebilir.

Her meslek grubunu ayrı birer grup olarak düşünelim. Bu durumda 3 meslek grubu \( 3! \) farklı şekilde oturabilir.

Bu dizilişlerin her birinde doktorlar, mühendisler ve avukatlar kendi aralarında sırasıyla \( 2! \), \( 4! \) ve \( 5! \) farklı şekilde yer değiştirebilir.

Buna göre tüm kişiler istenen koşulu sağlayacak şekilde \( 3! \cdot 2! \cdot 4! \cdot 5! \) farklı şekilde oturabilirler.

Evli çiftleri birer grup olarak düşünelim. Çiftler sıraya \( 3! \) farklı şekilde geçebilirler, ayrıca her çiftteki eşler kendi aralarında \( 2! \) farklı şekilde yer değiştirebilirler.

Buna göre evli çiftler \( 3! \cdot (2!)^3 = 48 \) farklı şekilde dizilebilirler.

Evli çiftlerin arasında ve sıranın iki ucunda olmak üzere 4 boş yer vardır. 4 bekar yan yana olmayacak şekilde bu 4 boşluğa \( 4! = 24 \) farklı şekilde geçebilirler.

Buna göre bu 10 kişilik grup istenen şekilde \( 48 \cdot 24 = 1152 \) farklı şekilde dizilebilirler.

Önce 6 kız \( 6! \) farklı şekilde sıraya dizilebilir.

İki erkek yan yana olmayacağı için, erkekler kızların aralarında 5, sıranın iki başında 2 olmak üzere toplam 7 boşluğa her boşlukta en fazla bir erkek olacak şekilde yerleştirilir.

_K_K_K_K_K_K_

Birinci erkek için 7, ikinci için 6, üçüncü için 5 ve dördüncü için 4 yer seçeneği vardır.

Buna göre 6 kız ve 4 erkek, iki erkek yan yana olmamak şartıyla \( 6! \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 15 \cdot 8! \) farklı şekilde dizilebilirler.

İlk önce kız öğrenciler kendi aralarında \( 8! \) farklı şekilde sıralanabilir.

K K K K K K K K

8 kız öğrencinin arasında ve sıranın iki başında toplam 9 yer vardır.

_K_K_K_K_K_K_K_K_

6 erkek öğrenci için bu 9 yer arasından 6 yer \( C(9, 6) \) farklı şekilde seçilebilir.

Erkek öğrenciler bu 6 yere \( 6! \) farklı şekilde dizilebilir.

Buna göre öğrenciler herhangi iki erkek arka arkaya olmayacak şekilde \( 8! \cdot C(9, 6) \cdot 6! \) farklı şekilde tahtaya kalkabilir.

İlk önce doktorların oturduğunu varsayalım. Buna göre doktorlar \( b! \) farklı şekilde dizilebilirler.

Hemşirelerin doktorların arasında ve sıranın iki ucunda oturabilecekleri toplam \( b + 1 \) yer vardır. Hemşirelerin oturması için \( b + 1 \) yer arasından \( a \) yer \( C(b + 1, a) \) farklı şekilde seçilebilir.

Seçilen bu yerlere hemşireler \( a! \) farklı şekilde oturabilirler.

Buna göre istenen şekilde farklı oturma düzeni aşağıdaki sayıda oluşur.

\( b! \cdot C(b + 1, a) \cdot a! \)

Bu formül alternatif olarak aşağıdaki şekilde de yazılabilir.

\( b! \cdot P(b + 1, a) \)

8 kişi hiçbir koşul olmadan \( 8! \) farklı şekilde sıraya girebilir.

Her evli çiftten sadece kadının erkeğin önünde bir yerde olduğu dizilişler geçerli olduğu için, bu diziliş sayısını her çift için \( 2! \)'e bölmeliyiz.

\( \dfrac{8!}{2!\ 2!\ 2!\ 2!} = 2520 \) bulunur.

(a) seçeneği:

Aynı branştaki kitaplar birbirinden farklı olduğu için 9 farklı kitap \( 9! \) farklı şekilde dizilebilir.

(b) seçeneği:

Biyoloji kitaplarını tek bir kitap seti olarak düşünelim. Bu durumda 4 fizik kitabı, 2 kimya kitabı ve 1 biyoloji kitap seti \( 7! \) farklı şekilde dizilebilir.

Bu dizilişlerin her birinde biyoloji kitap setindeki 3 kitap kendi aralarında \( 3! \) farklı şekilde dizilebilir.

Buna göre tüm kitaplar istenen koşulu sağlayacak şekilde \( 7! \cdot 3! \) farklı şekilde dizilebilir.

(c) seçeneği:

Her branştaki kitapları birer kitap seti olarak düşünelim. Bu durumda 1 fizik, 1 kimya ve 1 biyoloji kitap seti \( 3! \) farklı şekilde dizilebilir.

Bu dizilişlerin her birinde fizik kitap setindeki kitaplar kendi aralarında \( 4! \) farklı şekilde, kimya kitap setindeki kitaplar kendi aralarında \( 2! \) farklı şekilde, biyoloji kitap setindeki kitaplar da kendi aralarında \( 3! \) farklı şekilde dizilebilir.

Buna göre tüm kitaplar istenen koşulu sağlayacak şekilde \( 3! \cdot 4! \cdot 2! \cdot 3! \) farklı şekilde dizilebilir.

(d) seçeneği:

Öncelikle 3 biyoloji kitabı kendi aralarında \( 3! \) farklı şekilde dizilebilir.

Biyoloji kitaplarının tam ortada olması için 4 fizik ve 2 kimya kitabının 3'ü biyoloji kitaplarının solunda, 3'ü sağında olmalıdır. Fizik ve kimya kitapları bu 6 yere \( 6! \) farklı şekilde dizilebilir.

Buna göre tüm kitaplar istenen koşulu sağlayacak şekilde \( 3! \cdot 6! \) farklı şekilde dizilebilir.

(e) seçeneği:

Önce iki uca birer biyoloji kitabı yerleştirelim. Rafın sol başına koymak için 3, sağ başına koymak için 2 biyoloji kitabı seçeneği vardır.

Kalan 7 kitap bu iki kitap arasına \( 7! \) farklı şekilde dizilebilir.

Buna göre tüm kitaplar istenen koşulu sağlayacak şekilde \( 3 \cdot 2 \cdot 7! \) farklı şekilde dizilebilir.

4 branşa ait kitaplar kitaplığın 4 rafına \( 4! \) farklı şekilde dağıtılabilir.

Matematik kitapları bulundukları rafta kendi aralarında \( 5! \), fizik kitapları \( 4! \), kimya kitapları \( 3! \), biyoloji kitapları da \( 2! \) farklı şekilde dizilebilir.

Kitapların kitaplığa farklı yerleştirme sayısı bu diziliş sayılarının çarpımına eşittir.

\( 4! \cdot 5! \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2! \) bulunur.

Mavi arabalar biri başta diğeri sonda olmak üzere \( 2! \) farklı şekilde park edebilir.

Siyah ve beyaz arabalar iki mavi araba arasında ya bir siyah bir beyaz, ya da bir beyaz bir siyah dizilebilirler.

MSBSBSBM ya da MBSBSBSM

Her iki durumda siyah arabalar kendi aralarında \( 3! \) farklı şekilde, beyaz arabalar da kendi aralarında \( 3! \) farklı şekilde yer değiştirebilirler.

Arabaların farklı park sayısı yukarıdaki farklı durumların çarpımına eşittir.

\( 2! \cdot 2 \cdot 3! \cdot 3! = 144 \)

Konserler istenen koşullar sağlanacak şekilde 8 güne aşağıdaki 5 şekilde dağıtılabilir.

1, 3, 5, 7

1, 3, 5, 8

1, 3, 6, 8

1, 4, 6, 8

2, 4, 6, 8

Konserlerin günlere bu 5 farklı dağıtımının her birinde konserler aralarında \( 4! = 24 \) farklı şekilde yer değiştirebilir.

Buna göre konserler \( 5 \cdot 24 = 120 \) farklı şekilde organize edilebilir.

1. yöntem:

Rafta en soldaki pozisyona 6 kupadan biri 2 farklı şekilde (düz ya da ters), toplam \( 6 \cdot 2 = 12 \) farklı şekilde konabilir.

2. pozisyona 5 kupadan biri 2 farklı şekilde, toplam \( 5 \cdot 2 = 10 \) farklı şekilde konabilir.

3. pozisyona 4 kupadan biri 2 farklı şekilde, toplam \( 4 \cdot 2 = 8 \) farklı şekilde konabilir.

Tüm kupaları bu şekilde rafa dizdiğimizde toplam farklı diziliş sayısı aşağıdaki gibi oluşur.

\( 12 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 \)

2. yöntem:

6 kupa rafa \( 6! \) farklı şekilde dizilebilir.

Bu \( 6! \) dizilişin her birinde her kupa rafa ters ya da düz yerleştirilebileceği için her kupa için 2, tüm kupalar için \( 2^6 \) farklı durum oluşur.

Kupaların rafa farklı diziliş sayısı bu iki sayının çarpımına eşittir.

\( 6! \cdot 2^6 \)

Basit bir işlemle iki yöntemde bulduğumuz sonucun birbirine eşit olduğu görülebilir.

Park yerlerini soldan sağa doğru 1, 2, 3, 4, 5 şeklinde numaralandıralım.

İlk gelen iki araç aşağıdaki gibi 10 farklı şekilde park edebilir.

\( (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 5) \)

\( (3, 1), (4, 1), (5, 1), (4, 2), (5, 2), (5, 3) \)

Sonraki üç araç için iki farklı durum oluşur.

Durum 1:

Bu durumda ilk iki araç aşağıdaki şekilde parkeder.

\( (1, 3), (1, 5), (3, 5) \)

\( (3, 1), (5, 1), (5, 3) \)

Her bir durumda üçüncü aracın parkedebileceği (iki yanında da araç olmayan) tek seçenek vardır.

\( (1, 3, 5), (1, 5, 3), (3, 5, 1) \)

\( (3, 1, 5), (5, 1, 3), (5, 3, 1) \)

Dördüncü ve beşinci araçlar kalan iki park yerine diledikleri sırada \( 2! \) farklı şekilde park edebilir.

Buna göre, bu durumda \( 6 \cdot 2! = 12 \) farklı diziliş vardır.

Durum 2:

Bu durumda ilk iki araç aşağıdaki şekilde parkeder.

\( (1, 4), (2, 4), (2, 5) \)

\( (4, 1), (4, 2), (5, 2) \)

Diğer üç araç kalan üç park yerine diledikleri sırada \( 3! \) farklı şekilde park edebilir.

Buna göre, bu durumda \( 6 \cdot 3! = 36 \) farklı diziliş vardır.

Buna göre, araçlar iki durumda toplamda \( 12 + 36 = 48 \) farklı şekilde parkedebilir.