Bu bölümde parametrik denklemlerin bazı analitik uygulamalarını inceleyeceğiz.
Parametrik Denklemin Eksenleri Kestiği Noktalar
Bir parametrik denklemin eksenini kestiği noktaları bulmak için denklemi, eksenini kestiği noktaları bulmak için denklemi için çözülür. Daha sonra bulunan değerleri denklemlerde yerine konarak eğrinin eksenleri kestiği noktaların kartezyen koordinatları bulunur.
ÖRNEK 1:
Aşağıdaki parametrik denklemin eksenleri kestiği noktaları bulalım.
Denklemin eksenini kestiği noktalarda olacağı için denklemini çözelim.
, ya da
Bu değerleri için değerlerini bulalım.
Buna göre parametrik eğri eksenini değerindeki , değerindeki ve değerindeki noktalarında keser.
Denklemin eksenini kestiği noktalarda olacağı için denklemini çözelim.
ya da
Bu değerleri için değerlerini bulalım.
Buna göre parametrik eğri eksenini değerindeki ve değerindeki noktalarında keser.
Aşağıdaki şekilde parametrik eğri ve eksenleri kestiği noktalar gösterilmiştir.
Parametrik ve Kartezyen Denklemlerinin Kesişimi
Bir parametrik denklemin bir kartezyen denklemi ile kesişim noktalarını bulmak için parametrik denklemin ve tanımları kartezyen denkleminde ve yerine konur ve denklem için çözülür. Daha sonra bulunan değerleri denklemlerde yerine konarak kesişim noktalarının kartezyen koordinatları bulunur.
parametrik denklemi ile
kartezyen denkleminin kesişim noktaları,
eşitliğinin çözümü olan değerlerinde oluşur.
ÖRNEK 2:
Aşağıda verilen parametrik ve kartezyen denklemlerinin kesişim noktalarını bulalım.
Parametrik denklem:
Kartezyen denklemi:
Bu iki denklem kesişiyorsa parametrik eğri üzerindeki tüm noktaları temsil eden sıralı ikilisi kartezyen denklemini sağlamalıdır.
Denklemler parametrik denklemin ve değerlerini aldığı noktalarda kesişir.
Bu değerlerini parametrik denklemde yerine koyarak kesişim noktalarının kartezyen koordinatlarını bulalım.
için:
için:
Buna göre denklemler değerindeki ve değerindeki noktalarında kesişir.
Aşağıdaki şekilde iki denklemin grafikleri ve kesişim noktaları gösterilmiştir.
İki Parametrik Denklemin Kesişimi
İki parametrik eğrinin kesişimi iki farklı şekilde olabilir.
Kesişim noktası olarak adlandırılan birinci tip noktada eğriler aynı noktasında, ama farklı parametre değerlerinde kesişir. Bir kesişim noktasını hareketli iki cismin farklı zamanlarda aynı noktada bulunması şeklinde düşünebiliriz.
Çarpışma noktası olarak adlandırılan ikinci tip noktada eğriler aynı noktasında ve aynı parametre değerinde kesişir. Bir çarpışma noktasını hareketli iki cismin aynı anda aynı noktada bulunması şeklinde düşünebiliriz.
parametresine bağlı iki parametrik denklemin kesişim ve çarpışma noktalarını nasıl bulabileceğimizi inceleyelim.
Kesişim Noktalarının Bulunması
parametresine bağlı iki parametrik denklemin kesişim noktaları aşağıdaki yöntemle bulunur.
Denklemlerden birinde parametresi (örneğin) parametresi olarak değiştirilir. Bunun sebebi eğrilerin farklı parametre değerlerindeki kesişim noktalarını bulabilmektir.
İki denklemin ve denklemleri ve şeklinde birbirine eşitlenir.
ve bilinmeyenlerinden oluşan iki denklemli sistem çözülür.
Denklem sisteminin çözümü olan ikililerinin ilgili denklemlerde karşılık geldiği noktaları bulunur. Bu noktalar parametrik eğrilerin kesişim noktalarıdır.
ÖRNEK 3:
Aşağıdaki iki parametrik denklemin kesişim noktalarını bulalım.
Kesişim noktaları iki denklemin parametre değerlerinden bağımsız olarak aynı ve değerlerini aldığı noktalardır.
Önce iki denklemin parametrelerini farklılaştırmak için birinci denklemin parametresini olarak değiştirelim.
Denklemlerin fonksiyonlarını eşitleyelim.
Denklemlerin fonksiyonlarını eşitleyelim.
İki bilinmeyenli iki denklemi taraf tarafa toplayıp ortak çözelim.
ve değerlerini denklemlerden herhangi birinde yerine koyup çözümlerin değerlerini bulalım.
Çözüm kümesi:
Buna göre değerlerinde denklemlerin birinci kesişim noktası, değerlerinde ikinci kesişim noktası oluşur.
Bu değerleri denklemlerde yerine koyarak hem eğrilerin kesişim noktalarını bulalım, hem de iki denklemin bu değerlerde aynı noktalarını verip vermediğini kontrol edelim.
için:
Buna göre ikilisi her iki denklemde de noktasına karşılık gelir, dolayısıyla iki eğri bu noktada kesişir.
için:
Buna göre ikilisi her iki denklemde de noktasına karşılık gelir, dolayısıyla iki eğri bu noktada kesişir.
Aşağıdaki şekilde iki denklemin grafikleri ve kesişim noktaları gösterilmiştir.
Çarpışma Noktalarının Bulunması
parametresine bağlı iki parametrik denklemin çarpışma noktaları aşağıdaki yöntemle bulunur.
İki denklemin ve denklemleri parametreleri değiştirmeden ve şeklinde birbirine eşitlenir.
Sadece bilinmeyeninden oluşan iki denklemli sistem çözülür.
Her iki denklemi de sağlayan değerlerinin ilgili denklemlerde karşılık geldiği noktaları bulunur. Bu noktalar parametrik eğrilerin çarpışma noktalarıdır.
ÖRNEK 4:
Aşağıdaki iki parametrik denklemin çarpışma noktalarını bulalım.
Çarpışma noktaları iki denklemin aynı ve değerlerini aynı değerlerinde aldığı noktalardır.
Denklemlerin fonksiyonlarını eşitleyelim.
olduğunda denklemlerin değeri aynı olur.
Denklemlerin fonksiyonlarını eşitleyelim.
ve olduğunda denklemlerin değeri aynı olur.
Buna göre olduğunda denklemlerin hem hem değeri aynı olur. olduğunda ise denklemlerin değeri aynı olsa da değeri farklı olur.
Dolayısıyla denklemlerin değerinde bir çarpışma noktası vardır.
değerini denklemlerden herhangi birinde yerine koyarak bu çarpışma noktasını bulalım.
Buna göre denklemlerin çarpışma noktası değerindeki noktasıdır.
Aşağıdaki grafikte denklemlerin değerini aldığında noktasında kesiştiklerini görebiliriz. Her ne kadar denklemler ikinci bir noktada da kesişiyor olsa da, bu noktada denklemlerin değerleri farklı olduğu için bu bir çarpışma değil kesişim noktasıdır. Bu kesişim noktası yukarıda paylaştığımız kesişim noktalarını bulma yöntemi ile bulunabilir.
SORU 1 :
olmak üzere,
Analitik düzlemde noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?