Matrislerle İşlemler
Sayılar ve vektörler arasında yapabildiğimiz gibi matrisler arasında da toplama, çıkarma, çarpma gibi işlemler yapabiliriz.
Matrislerin Eşitliği
Boyutları ve karşılıklı elemanları birbirine eşit olan matrislere eşit matrisler denir. \( A \) ve \( B \) matrislerinin eşitliği \( A = B \) şeklinde gösterilir.
\( A_{m \times n} = B_{m \times n} \) ise,
Her \( i = 1, \ldots, m \) ve \( j = 1, \ldots, n \) için,
\( a_{ij} = b_{ij} \)
\( A = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)
\( B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ b & 4 \end{bmatrix} \)
\( A = B \) ise,
\( a = 2, \quad b = 3\) olur.
\( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \)
Toplama İşlemi
Boyutu \( m \times n \) olan bir matris sadece boyutu \( m \times n \) olan bir matrisle toplanabilir ve sonuç yine aynı boyutta bir matris olur.
İki ya da daha fazla matrisi toplarken satır ve sütun numaraları aynı olan elemanlar toplanır ve sonuç toplam matrisinde aynı satır ve sütuna yazılır.
\( A_{m \times n} + B_{m \times n} = C_{m \times n} \) ise,
Her \( i = 1, \ldots, m \) ve \( j = 1, \ldots, n \) için,
\( c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \)
\( \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & -1 \\ 9 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 7 & 6 \\ 8 & 1 \end{bmatrix} \)
Toplama İşleminin Özellikleri
Matrislerde toplama işleminin değişme ve birleşme özellikleri vardır.
\( A + B = B + A \)
\( (A + B) + C = A + (B + C) \)
Sıfır matrisi toplama işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.
\( A_{m \times n} + O_{m \times n} = A_{m \times n} \)
Çıkarma İşlemi
Boyutu \( m \times n \) olan bir matristen sadece boyutu \( m \times n \) olan bir matris çıkarılabilir ve sonuç yine aynı boyutta bir matris olur.
Bir matristen diğer bir matrisi çıkarırken satır ve sütun numaraları aynı olan elemanlar birbirinden çıkarılır ve sonuç fark matrisinde aynı satır ve sütuna yazılır.
\( A_{m \times n} - B_{m \times n} = C_{m \times n} \) ise,
Her \( i = 1, \ldots, m \) ve \( j = 1, \ldots, n \) için,
\( c_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \)
\( \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 7 & 3 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & -1 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 4 \\ -6 & 0 \end{bmatrix} \)
Çıkarma İşleminin Özellikleri
Matrislerde çıkarma işleminin değişme özelliği yoktur.
\( A - B \ne B - A \)
Bir matrisin sıfır matrisinden farkı kendisine eşittir.
\( A_{m \times n} - O_{m \times n} = A_{m \times n} \)
Skaler Çarpma İşlemi
Boyutu \( m \times n \) olan bir matris bir reel sayı ile çarpıldığında sonuç yine aynı boyutta bir matris olur.
Bir reel sayı ile bir matrisi çarparken matrisin tüm elemanları bu reel sayı ile çarpılır ve sonuç çarpım matrisinde aynı satır ve sütuna yazılır.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( k \cdot A_{m \times n} = C_{m \times n} \) ise,
Her \( i = 1, \ldots, m \) ve \( j = 1, \ldots, n \) için,
\( c_{ij} = k \cdot a_{ij} \)
\( 3 \cdot \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 7 & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 15 \\ 21 & 0 \\ -9 & 3 \end{bmatrix} \)
Skaler Çarpma İşleminin Özellikleri
Matrislerde skaler çarpma işleminin değişme ve birleşme özellikleri vardır.
\( c \cdot A = A \cdot c \)
\( c \cdot (d \cdot A) = d \cdot (c \cdot A) = (c \cdot d) \cdot A \)
Matrislerde skaler çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( c \cdot (A + B) = c \cdot A + c \cdot B \)
\( c \cdot (A - B) = c \cdot A - c \cdot B \)
\( (A + B) \cdot c = A \cdot c + B \cdot c \)
\( (A - B) \cdot c = A \cdot c - B \cdot c \)
Bir matrisin 1 ile çarpımı kendisine, 0 ile çarpımı sıfır matrisine eşittir.
\( 1 \cdot A_{m \times n} = A_{m \times n} \)
\( 0 \cdot A_{m \times n} = O_{m \times n} \)
Bir matrisin \( -1 \) ile çarpımı o matrisin toplamaya göre tersini verir. Bir matrisin toplamaya göre tersi ile toplamı sıfır matrisini verir.
\( (-1) \cdot A = -A \)
\( A_{m \times n} + (-A_{m \times n}) = 0_{m \times n} \)
\( -\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & -5 \end{bmatrix} \)
Bir skaler çarpma işleminin sonucu sıfır matrisi ise ya skaler sıfırdır veya çarpılan matris sıfır matrisidir.
\( k \cdot A_{m \times n} = 0_{m \times n} \) ise,
\( k = 0 \) veya \( A_{m \times n} = 0_{m \times n} \)
Çarpma İşlemi
Matrislerde çarpma işlemi toplama ve çıkarma işlemlerinden birkaç açıdan farklıdır.
- İki matris arasında çarpma işlemi yapılabilmesinin koşulu matrislerin boyutlarının aynı olması değil, birinci matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olmasıdır.
- Çarpma işlemi matrislerin aynı satır ve sütun numaralı elemanları arasında değil, birinci matrisin her satırı ile ikinci matrisin her sütunu arasında yapılır.
Matrislerde çarpma işleminin mantığını önce biri tek satırlı diğeri tek sütunlu iki matris üzerinde gösterelim. Aşağıdaki gibi \( 1 \times 3 \) satır matrisi ile \( 3 \times 1 \) sütun matrisi arasındaki çarpma işleminin sonucu \( 1 \times 1 \) bir matris olur ve bu matrisin tek elemanı 1. matrisin tek satırı ile 2. matrisin tek sütunundaki elemanların sıralı bir şekilde çarpımlarının toplamına eşittir.
\( A_{1 \times 3} \cdot B_{3 \times 1} = C_{1 \times 1} \)
\( c_{11} = ad + be + cf \)
Bu işlemi daha büyük boyutlu matrislere uyarlarsak, boyutu \( m \times n \) olan bir matris sadece satır sayısı kendisinin sütun sayısına eşit olan \( n \times p \) bir matrisle çarpılabilir ve sonuç boyutu \( m \times p \) olan bir matris olur. Bir diğer ifadeyle, sonuç matrisinin satır sayısı birinci matrisin satır sayısı, sütun sayısı ikinci matrisin sütun sayısı olur.
İki matrisin çarpımında 1. matrisin her satırı ile 2. matrisin her sütunu arasında yukarıda bahsettiğimiz çarpma işlemi yapılır ve 1. matrisin \( i \). satırı ile 2. matrisin \( j \). sütunu arasındaki çarpma işleminin sonucu sonuç matrisinde \( c_{ij} \) elemanı yerine yazılır.
\( A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} = C_{m \times p} \)
Her \( i = 1, \ldots, m \), \( j = 1, \ldots, n \) ve \( k = 1, \ldots, p \) için,
\( c_{ik} = \sum_{j = 1}^{n} a_{ij}b_{jk} \)
\( = a_{i1}b_{1k} + a_{i2}b_{2k} + \ldots + a_{in}b_{nk} \)
\( \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 7 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 + 5 \cdot 4 & 2 \cdot 0 + 5 \cdot (-1) \\ 7 \cdot 1 + 3 \cdot 4 & 7 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 22 & -5 \\ 19 & -3 \end{bmatrix} \)
\( \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 2 \\ 5 & 2 & -3 \\ 4 & 6 & -2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ -1 & 4 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 2 \cdot 3 + 1(-1) + (-1) \cdot 2 & 2 \cdot 5 + 1 \cdot 4 + (-1)0 \\ 0 \cdot 3 + 3(-1) + 2 \cdot 2 & 0 \cdot 5 + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 0 \\ 5 \cdot 3 + 2(-1) + (-3)2 & 5 \cdot 5 + 2 \cdot 4 + (-3)0 \\ 4 \cdot 3 + 6(-1) + (-2)2 & 4 \cdot 5 + 6 \cdot 4 + (-2)0 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 3 & 14 \\ 1 & 12 \\ 7 & 33 \\ 2 & 44 \end{bmatrix} \)
Çarpma İşleminin Özellikleri
Matrislerde çarpma işleminin genel kural olarak değişme özelliği yoktur, ...
\( A \cdot B \ne B \cdot A \)
... ancak aşağıdaki gibi bazı özel durumlarda eşitlik sağlanabilir.
\( A \cdot I = I \cdot A = A \)
\( A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I \)
Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
\( (A_{m \times n} \cdot B_{n \times p}) \cdot C_{p \times q} = A_{m \times n} \cdot (B_{n \times p} \cdot C_{p \times q}) \)
Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır.
\( A_{m \times n} \cdot (B_{n \times p} + C_{n \times p}) = A_{m \times n} \cdot B_{n \times p} + A_{m \times n} \cdot C_{n \times p} \)
\( (B_{m \times n} + C_{m \times n}) \cdot A_{n \times p} = B_{m \times n} \cdot A_{n \times p} + C_{m \times n} \cdot A_{n \times p} \)
Bir matrisin birim matris ile çarpımının sonucu kendisidir.
\( A_{m \times n} \cdot I_n = A_{m \times n} \)
\( I_m \cdot A_{m \times n} = A_{m \times n} \)
\( \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 5 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 5 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot 1 + 7 \cdot 0 & 4 \cdot 0 + 7 \cdot 1 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} \)
Bir matrisin sıfır matrisi ile çarpımının sonucu sıfır matrisidir.
\( A_{m \times n} \cdot O_{n \times p} = O_{m \times p} \)
\( O_{p \times m} \cdot A_{m \times n} = O_{p \times n} \)
\( \begin{bmatrix} 8 & 1 \\ 9 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 8 \cdot 0 + 1 \cdot 0 & 8 \cdot 0 + 1 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 + 2 \cdot 0 & 9 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
Önümüzdeki bölümde göreceğimiz üzere, bir matrisin tersi ile çarpımının sonucu birim matristir.
\( A \cdot A^{-1} = I \)
İki reel sayının çarpımı sıfır ise bu sayılardan en az birinin sıfır olduğunu biliyoruz. Bu kural matrisler için her zaman doğru olmayabilir, yani çarpımı sıfır matrisi olan iki matristen en az biri sıfır matrisi olmak zorunda değildir.
\( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 \cdot 3 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 4 + 1 \cdot 0 \\ 0 \cdot 3 + 2 \cdot 0 & 0 \cdot 4 + 2 \cdot 0 \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \)
\( A \) matrisinin tersi varsa aşağıdaki eşitliklerin iki tarafındaki \( A \) matrisleri sadeleşir.
\( AB = AC \Longrightarrow B = C \)
\( BA = CA \Longrightarrow B = C \)
İSPATI GÖSTER
\( A \) matrisi tersi alınabilir bir matris olsun.
\( BA = CA \)
Eşitliğin iki tarafını \( A \) matrisinin tersi ile çarpalım.
\( (BA)A^{-1} = (CA)A^{-1} \)
Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
\( B(AA^{-1}) = C(AA^{-1}) \)
Bir matrisin tersi ile çarpımının sonucu birim matristir.
\( BI = CI \)
Bir matrisin birim matris ile çarpımının sonucu kendisidir.
\( B = C \)
Bir Matrisin Transpozu (Devriği)
Transpoz işleminde bir matrisin satırları sütunlara, sütunları da satırlara taşınır. Buna göre, transpozu alınan matriste \( i \). satır ve \( j \). sütunda bulunan bir \( a_{ij} \) elemanı sonuç matrisinde \( j \). satır ve \( i \). sütuna taşınır ve matrisin \( a_{ji} \) elemanı olur. Bir \( A \) matrisinin transpozu \( A^T \) ile gösterilir.
\( m \times n \) boyutlarındaki bir matrisin transpoz matrisinin boyutları \( n \times m \) olur.
\( A_{m \times n}^T = C_{n \times m} \) ise,
Her \( i = 1, \ldots, m \) ve \( j = 1, \ldots, n \) için,
\( c_{ji} = a_{ij} \)
\( \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 7 & 3 \\ 0 & -4 \\ \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 2 & 7 & 0 \\ 5 & 3 & -4 \end{bmatrix} \)
Bir matrisin transpozunun transpozu kendisine eşittir.
\( (A^T)^T = A \)
Simetrik matrislerin transpozu kendisine eşittir. Birer simetrik matris olan birim ve sıfır matrislerinin de transpozları kendilerine eşittir.
\( A \) simetrik bir matris ise,
\( A^T = A \)
\( I^T = I \)
\( O^T = O \)
Ters simetrik matrislerin transpozu matrisin toplamaya göre tersine eşittir.
\( A \) bir ters simetrik matris ise,
\( A^T = -A \)
\( A = \begin{bmatrix} 0 & -2 & 7 \\ 2 & 0 & 5 \\ -7 & -5 & 0 \end{bmatrix} \)
\( A^T = \begin{bmatrix} 0 & 2 & -7 \\ -2 & 0 & -5 \\ 7 & 5 & 0 \end{bmatrix} \)
Matrisler arasındaki bazı işlemlerin sonucunun transpozu ile ilgili kurallar aşağıdaki gibidir.
\( (A + B)^T = A^T + B^T \)
\( (A - B)^T = A^T - B^T \)
\( (k \cdot A)^T = k \cdot A^T \)
\( (A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T \)
\( (A \cdot B \cdot C)^T = C^T \cdot B^T \cdot A^T \)
\( (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} \)