İkinci Dereceden Denklemlerde Kök Katsayı İlişkisi

Kökler toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)

Kökler çarpımı aşağıdaki formülle hesaplanır.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)

Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır.

\( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -\dfrac{b}{c} \)

Köklerin karelerinin toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır.

\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2 \)

(a) seçeneği:

\( 3x^2 - 2x - 16 = 0 \)

\( a = 3, \quad b = -2, \quad c = -16 \)

Kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{-2}{3} = \dfrac{2}{3} \)

Kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{-16}{3} \)

Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını bulalım.

\( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -\dfrac{-2}{16} = \dfrac{1}{8} \)

Köklerin karelerinin toplamını bulalım.

\( x_1^2 + x_2^2 = (\dfrac{2}{3})^2 - 2(-\dfrac{16}{3}) \)

\( = \dfrac{100}{9} \)

(b) seçeneği:

\( x^2 - 14 = 0 \)

\( a = 1, \quad b = 0, \quad c = -14 \)

Kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{0}{1} = 0 \)

Kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{-14}{1} = -14 \)

Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını bulalım.

\( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -\dfrac{0}{-14} = 0 \)

Köklerin karelerinin toplamını bulalım.

\( x_1^2 + x_2^2 = 0^2 - 2(-14) \)

\( = 28 \)

(c) seçeneği:

\( -4x^2 + 8x + 1 = 0 \)

\( a = -4, \quad b = 8, \quad c = 1 \)

Kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{8}{-4} = 2 \)

Kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{1}{-4} \)

Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını bulalım.

\( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -\dfrac{8}{1} = -8 \)

Köklerin karelerinin toplamını bulalım.

\( x_1^2 + x_2^2 = 2^2 - 2(-\dfrac{1}{4}) \)

\( = \dfrac{9}{2} \)

Kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) şeklinde verilen ikinci dereceden bir denklem aşağıdaki şekilde yazılır.

\( x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0 \)

(a) seçeneği:

\( x_1 = -5, \quad x_2 = 13 \)

Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.

\( x^2 - (-5 + 13)x + (-5) \cdot 13 = 0 \)

\( x^2 - 8x - 65 = 0 \)

(b) seçeneği:

\( x_1 = -\sqrt{7}, \quad x_2 = \sqrt{7} \)

Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.

\( x^2 - (-\sqrt{7} + \sqrt{7})x + (-\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}) = 0 \)

\( x^2 - 7 = 0 \)

(c) seçeneği:

\( x_1 = 4 - \sqrt{5}, \quad x_2 = 4 + \sqrt{5} \)

Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.

\( x^2 - [(4 - \sqrt{5}) + (4 + \sqrt{5})]x + (4 - \sqrt{5})(4 + \sqrt{5}) = 0 \)

\( x^2 - 8x + (4^2 - (\sqrt{5})^2) = 0 \)

\( x^2 - 8x + 11 = 0 \)

Kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) şeklinde verilen ikinci dereceden bir denklem aşağıdaki şekilde yazılır.

\( x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0 \)

(a) seçeneği:

\( x_1 = \sqrt{13}i, \quad x_2 = -\sqrt{13}i \)

Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.

\( x^2 - (\sqrt{13}i + (-\sqrt{13}i))x + (\sqrt{13}i)(-\sqrt{13}i) = 0 \)

\( x^2 - (\sqrt{13})^2i^2 = 0 \)

\( x^2 + 13 = 0 \)

(b) seçeneği:

\( x_1 = -3 - 2i, \quad x_2 = -3 + 2i \)

Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.

\( x^2 - [(-3 - 2i) + (-3 + 2i)]x + (-3 - 2i)(-3 + 2i) = 0 \)

\( x^2 + 6x + [(-3)^2 - (2i)^2]= 0 \)

\( x^2 + 6x + 9 - 4i^2 = 0 \)

\( x^2 + 6x + 13 = 0 \)

(c) seçeneği:

\( x_1 = \dfrac{7 - 3i}{4}, \quad x_2 = \dfrac{7 + 3i}{4} \)

Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.

\( x^2 - [(\dfrac{7 - 3i}{4}) + (\dfrac{7 + 3i}{4})]x + (\dfrac{7 - 3i}{4})(\dfrac{7 + 3i}{4}) = 0 \)

\( x^2 - \dfrac{7}{2}x + \dfrac{7^2 - (3i)^2}{4^2} = 0 \)

\( x^2 - \dfrac{7}{2}x + \dfrac{29}{8} = 0 \)

\( x_1 = -2 \) ve \( x_2 = 3 \) ise denklemin kökler toplamı ve çarpımını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)

\( -2 + 3 = -\dfrac{-(p - 2)}{3} \)

\( p - 2 = 3 \)

\( p = 5 \)

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)

\( -2 \cdot 3 = \dfrac{k + 4}{3} \)

\( k + 4 = -18 \)

\( k = -22 \)

\( p \cdot k = 5 \cdot (-22) = -110 \) bulunur.

Kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{4a - 3}{2a + 5} = -3 \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 4a - 3 = 3(2a + 5) \)

\( 4a - 3 = 6a + 15 \)

\( a = -9 \)

Kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{4 - a}{2a + 5} \)

\( a = -9 \) yazalım.

\( = \dfrac{4 - (-9)}{2(-9) + 5} \)

\( = \dfrac{13}{-13} = -1 \) bulunur.

Denklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.

Kökler arasında aşağıdaki özdeşliği yazabiliriz.

\( (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 \)

Kökler toplamı ve çarpımı formüllerini kullanalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = 5 \)

\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = -8 \)

Bu değerleri özdeşlikte yerine koyalım.

\( (x_1 - x_2)^2 = 5^2 - 4(-8) \)

\( (x_1 - x_2)^2 = 57 \)

Tarafların karekökünü alalım.

\( \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{57} \)

Bir ifadenin karesinin karekökü ifadenin mutlak değerine eşittir.

\( \abs{x_1 - x_2} = \sqrt{57} \) bulunur.

İkinci dereceden denklemin katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = m, \quad c = n \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( m \cdot n = \dfrac{c}{a} = n \)

\( n \ne 0 \) olarak veriliyor.

\( m = 1 \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -m \)

\( n = -2m = -2 \)

\( m + n = 1 + (-2) = -1 \) olarak bulunur.

Verilen bağıntıyı çarpanlarına ayıralım.

\( x_1^2 \cdot x_2 + x_2^2 \cdot x_1 = x_1 \cdot x_2 \cdot (x_1 + x_2) = 3 \)

Bu ifade kökler çarpımı ile toplamının çarpımına eşittir.

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(2m - 1)}{3} \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{3} \)

Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.

\( \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2m - 1}{3} = 3 \)

\( 2m - 1 = 27 \)

\( m = 14 \) bulunur.

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = 16 \)

Bu ifadede \( x_1 = x_2^3 \) yazalım.

\( x_2^3 \cdot x_2 = x_2^4 = 16 \)

Her iki kök de pozitiftir.

\( x_2 = 2 \)

Denklemin kökleri eşitliği sağlayacağı için denklemde \( x = 2 \) yazalım.

\( 2^2 + (m + 2) \cdot 2 + 16 = 0 \)

\( 4 + 2m + 4 + 16 = 0 \)

\( m = -12 \) bulunur.

Denklemin diskriminantını bulalım.

\( \Delta = b^2 - 4ac = k^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) \)

\( = k^2 + 24 \)

Denklemin kökler farkı formülünü yazalım.

\( \abs{x_1 - x_2} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\abs{a}} \)

\( = \dfrac{\sqrt{k^2 + 24}}{2} = 4 \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( \sqrt{k^2 + 24} = 8 \)

\( k^2 + 24 = 64 \)

\( k = \pm 2\sqrt{10} \)

\( k \in \mathbb{R^+} \) olduğundan \( k = 2\sqrt{10} \) bulunur.

Denklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.

Denklemin kökleri birbirinin çarpmaya göre tersidir.

\( x_1 = \dfrac{1}{x_2} \)

\( x_1\ x_2 = 1 \)

Kökler çarpımı formülünü yazalım.

\( x_1\ x_2 = \dfrac{c}{a} \)

\( 1 = \dfrac{c}{a} \)

\( a = c \)

Buna göre cevap (d) seçeneğidir.

2. denklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.

1. denklemin kökleri \( 2x_1 \) ve \( 2x_2 \) olur.

2. denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{m + 2}{1} = m + 2 \)

1. denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( 2x_1 \cdot 2x_2 = \dfrac{m - 7}{1} = m - 7 \)

\( 4x_1 \cdot x_2 = m - 7 \)

\( 4(m + 2) = m - 7 \)

\( 4m + 8 = m - 7 \)

\( m = -5 \) bulunur.

İkinci dereceden iki denklemin çözüm kümeleri aynı ise denklemlerin katsayılarının oranı birbirine eşittir.

\( \dfrac{a}{3} = \dfrac{b + 2}{-2} = \dfrac{-4}{1} \)

\( a = -4 \cdot 3 = -12 \)

\( b + 2 = -4 \cdot (-2) = 8 \)

\( b = 6 \)

\( a + b = -12 + 6 = -6 \) bulunur.

Denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) ise aritmetik ortalaması \( \frac{x_1 + x_2}{2} \) olur.

\( \dfrac{x_1 + x_2}{2} = -4 \)

\( x_1 + x_2 = -8 \)

Denklemin kökler toplamı formülünü yazalım.

\( -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(4m - 2)}{1} = -8 \)

\( 4m - 2 = -8 \)

\( m = -\dfrac{3}{2} \) bulunur.

Denklemin kökleri çakışık ise denklemin deltası sıfıra eşit olur.

\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)

\( a = 1, \quad b = 2(m - 1), \quad c = 3m - 5 \)

\( (2m - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3m - 5) = 0 \)

\( 4m^2 - 8m + 4 - 12m + 20 = 0 \)

\( 4m^2 - 20m + 24 = 0 \)

\( m^2 - 5m + 6 = 0 \)

\( m \)'nin alabileceği değerlerin toplamı bu denklemin kökler toplamına eşittir.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{-5}{1} = 5 \) bulunur.

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( a = 1, \quad b = 7, \quad c = -6 + k \)

\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{7}{1} = -7 \)

\( m = -7 - n \)

Verilen eşitsizlikte \( m \) yerine \( -7 - n \) yazalım.

\( 3 \lt -7 - n \lt 7 \)

Eşitsizliğin taraflarını 7 ile toplayalım.

\( 10 \lt -n \lt 14 \)

Eşitsizlik taraflarını \( -1 \) ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.

\( -14 \lt n \lt -10 \) bulunur.

Denklemin katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -(5m - 2n), \quad c = 8m \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( m \cdot n = \dfrac{c}{a} = \dfrac{8m}{1} \)

\( n = 8 \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(5m - 2n)}{1} \)

\( m + 8 = 5m - 16 \)

\( 4m = 24 \)

\( m = 6 \)

\( m + n = 6 + 8 = 14 \) bulunur.

Denklemin simetrik iki kökü varsa kökler toplamı sıfır olur.

\( x_1 = -x_2 \Longrightarrow x_1 + x_2 = 0 \)

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = 0 \)

\( -\dfrac{m - 2}{m + 1} = 0 \)

\( m = 2 \)

Denklemde \( m = 2 \) yazalım.

\( (2 + 1)x^2 + (2 - 2)x - 24 \cdot 2 = 0 \)

\( 3x^2 - 48 = 0 \)

\( 3(x - 4)(x + 4) = 0 \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{-4, 4\} \)

İkinci dereceden reel katsayılı bir denklemin köklerinden biri \( a + \sqrt{b} \) formunda ise diğer kök bu kökün eşleniği olur.

\( x_1 = 4 + \sqrt{3} \)

\( x_2 = 4 - \sqrt{3} \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( A = x_1 + x_2 = 4 + \sqrt{3} + 4 - \sqrt{3} = 8 \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( B = x_1 \cdot x_2 = (4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 13 \)

Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( x^2 - Ax + B = 0 \)

\( x^2 - 8x + 13 = 0 \)

Denklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.

Kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = \dfrac{a}{6 + \sqrt{3}} \)

Kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{3\sqrt{6}}{6 + \sqrt{3}} \)

\( x_1 \) ve \( x_2 \) sayılarının harmonik ortalaması aşağıdaki formülle bulunur.

\( H.O. = \dfrac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}} = \dfrac{2x_1x_2}{x_1 + x_2} \)

Bulduğumuz kökler toplamını ve çarpımını yerine yazalım.

\( 2\dfrac{(\frac{3\sqrt{6}}{6 + \sqrt{3}})}{\frac{a}{6 + \sqrt{3}}} = -6 \)

\( 2\dfrac{3\sqrt{6}}{6 + \sqrt{3}} \cdot \dfrac{6 + \sqrt{3}}{a} = -6 \)

\( \dfrac{6\sqrt{6}}{a} = -6 \)

\( a = -\sqrt{6} \) bulunur.

Denklemin köklerine \( m \) ve \( n \) diyelim.

\( (x - m)(x - n) = x^2 + bx + 24 \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -b \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( m \cdot n = \dfrac{c}{a} = 24 \)

Buna göre denklemin kökler çarpımı 24'tür.

24'ün tam sayı bölenlerini bulalım.

\( \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\} \)

Çarpımları 24 olan kök ikilileri için kökler toplamını bulalım.

\( 24 = 1 \cdot 24 \Longrightarrow 1 + 24 = 25 \)

\( 24 = 2 \cdot 12 \Longrightarrow 2 + 12 = 14 \)

\( 24 = 3 \cdot 8 \Longrightarrow 3 + 8 = 11 \)

\( 24 = 4 \cdot 6 \Longrightarrow 4 + 6 = 10 \)

\( 24 = -1 \cdot (-24) \Longrightarrow -1 + (-24) = -25 \)

\( 24 = -2 \cdot (-12) \Longrightarrow -2 + (-12) = -14 \)

\( 24 = -3 \cdot (-8) \Longrightarrow -3 + (-8) = -11 \)

\( 24 = -4 \cdot (-6) \Longrightarrow -4 + (-6) = -10 \)

Buna göre \( b \) 8 farklı değer alabilir.

\( b \in \{\pm 10, \pm 11, \pm 14, \pm 25\} \)

1. denklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(3m - 2)}{3} \)

2. denklemin kökleri \( 3x_1 - 1 \) ve \( 3x_2 - 1 \) olur.

\( (3x_1 - 1) + (3x_2 - 1) = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(2m + 1)}{1} \)

\( 3x_1 + 3x_2 - 2 = 2m + 1 \)

\( 3(x_1 + x_2) = 2m + 3 \)

Kökler toplamı yerine 1. denklem için bulduğumuz değeri yazalım.

\( 3 \cdot \dfrac{3m - 2}{3} = 2m + 3 \)

\( 3m - 2 = 2m + 3 \)

\( m = 5 \) bulunur.

İkinci dereceden denklemin kökleri simetrik ise kökler toplamı sıfır olur.

\( x_1 = -x_2 \Longrightarrow x_1 + x_2 = 0 \)

\( x_1 + x_2 = - \dfrac{b}{a} = 0 \)

\( -\dfrac{-(m^2 - 6m + 5)}{3} = 0 \)

\( m^2 - 6m + 5 = 0 \)

\( m \)'nin alabileceği değerlerin çarpımı bu denklemin kökler çarpımına eşittir.

\( m_1 \cdot m_2 = \dfrac{5}{1} = 5 \) bulunur.

Eşitliğin sol tarafını düzenleyelim.

\( (x^2 + 3x)^2 - 6(x^2 + 3x) + 5 = 0 \)

\( x^2 + 3x = t \) şeklinde değişken değiştirme yapalım.

\( t^2 - 6t + 5 = 0 \)

Denklemi çarpanlarına ayıralım.

\( (t - 1)(t - 5) = 0 \)

\( t \) yerine \( x^2 + 3x \) yazalım.

\( (x^2 + 3x - 1)(x^2 + 3x - 5) = 0 \)

Bu denklemin kökleri her bir çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.

1. denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{-1}{1} = -1 \)

2. denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( x_3 \cdot x_4 = \dfrac{-5}{1} = -5 \)

İki denklemin de deltaları 0'dan büyük olduğu için reel ve birbirinden farklı 2'şer kökü vardır.

Denklemlerin ortak kökü olmadığını denklemleri ortak çözerek teyit edebiliriz.

\( x^2 + 3x - 1 = x^2 + 3x - 5 \)

\( -1 \ne -5 \)

Buna göre denklemlerin toplam dört farklı reel kökünün çarpımı \( (-5) \cdot (-1) = 5 \) olarak bulunur.

\( \dfrac{x - 1}{x - m} + \dfrac{x}{x - n} = 1 \)

Paydaları eşitleyelim.

\( \dfrac{(x - 1)(x - n)}{(x - m)(x - n)} + \dfrac{x(x - m)}{(x - n)(x - m)} = 1 \)

\( \dfrac{x^2 - nx - x + n + x^2 - mx}{x^2 - mx - nx + mn} = 1 \)

\( \dfrac{2x^2 - nx - x + n - mx}{x^2 - mx - nx + mn} = 1 \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 2x^2 - nx - x + n - mx = x^2 - mx - nx + mn \)

Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.

\( x^2 - x + n - mn = 0 \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)

\( = -\dfrac{-1}{1} = 1 \) bulunur.

Paydaki ifadeyi üç terime dağıtalım.

\( \dfrac{x^2}{y^2} - \dfrac{5xy}{y^2} + \dfrac{y^2}{y^2} = 4 \)

\( (\dfrac{x}{y})^2 - 5(\dfrac{x}{y}) - 3 = 0 \)

\( \dfrac{x}{y} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( t^2 - 5t - 3 = 0 \)

\( t = \frac{x}{y} \) ifadesinin alabileceği değerler toplamı denklemin kökler toplamına eşittir.

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-5}{1} = 5 \) bulunur.

İkinci dereceden denklemin katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -7, \quad c = 6 \)

\( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \)

\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-7}{1} = 7 \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{1} = 6 \)

Bulduğumuz değerleri değeri sorulan ifadede yerine koyalım.

\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)

\( = 7^2 - 2 \cdot 6 \)

\( = 37 \) bulunur.

\( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-8!}{1} = 8! \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{7!}{1} = 7! \)

Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.

\( \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \dfrac{8!}{7!} \)

\( = \dfrac{8 \cdot 7!}{7!} = 8 \) bulunur.

\( x^2 + bx + c = 0 \)

1. denklemin köklerine \( x_1 = 3 \) ve \( x_3 \) diyelim.

1. denklemin kökler toplamını bulalım.

\( 3 + x_3 = -\dfrac{b}{1} = -b \)

\( x^2 - mx + 2n = 0 \)

2. denklemin köklerine \( x_2 = 2 \) ve \( x_3 \) diyelim.

2. denklemin kökler toplamını bulalım.

\( 2 + x_3 = -\dfrac{-m}{1} = m \)

İkinci kökler toplamı eşitliğinden birinci eşitliği çıkaralım.

\( m - (-b) = 2 - 3 \)

\( m + b = -1 \) bulunur.

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{-5}{a} = \dfrac{5}{a} \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{1}{a} \)

Buna göre denklemin kökler toplamı kökler çarpımının 5 katıdır.

\( x_1 + x_2 = 5x_1 \cdot x_2 \)

\( x_1 - 5x_1 \cdot x_2 = -x_2 \)

\( x_1(1 - 5x_2) = -x_2 \)

\( x_1 = \dfrac{-x_2}{1 - 5x_2} = \dfrac{x_2}{5x_2 - 1} \) bulunur.

\( x_2 - 3x + 2 = 0 \)

Denklemin katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = 2 \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = 3 \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = 2 \)

Soruda istenen, kökleri \( \dfrac{1}{x_1} \) ve \( \dfrac{1}{x_2} \) olan ikinci dereceden denklemdir.

Yeni denklemin kökler toplamını bulalım.

\( A = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \dfrac{3}{2} \)

Yeni denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( B = \dfrac{1}{x_1} \cdot \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{1}{x_1 \cdot x_2} = \dfrac{1}{2} \)

Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( x^2 - Ax + B = 0 \)

\( x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2} = 0 \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( a + b = -\dfrac{-3}{1} = 3 \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( ab = \dfrac{-5}{1} = -5 \)

İstenen denklemin kökler toplamını bulalım.

\( A = (2 - 3a) + (2 - 3b) = 4 - 3(a + b) \)

\( = 4 - 3 \cdot 3 = -5 \)

İstenen denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( B = (2 - 3a) \cdot (2 - 3b) = 4 - 6(a + b) + 9ab \)

\( = 4 - 6 \cdot 3 + 9 \cdot (-5) = -59 \)

Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( x^2 - Ax + B = 0 \)

\( x^2 - (-5)x + (-59) = 0 \)

\( x^2 + 5x - 59 = 0 \) bulunur.

Kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerini kullanarak istenen denklemi elde etmeye çalışalım.

Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.

\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-9}{1} \)

\( m + n = 9 \)

Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( m \cdot n = \dfrac{c}{a} = \dfrac{16}{1} \)

\( m \cdot n = 16 \)

İstenen denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( \sqrt{2m} \cdot \sqrt{2n} = \sqrt{4m \cdot n} \)

\( = \sqrt{64} = 8 \)

İstenen denklemin kökler toplamına \( k \) diyelim.

\( \sqrt{2m} + \sqrt{2n} = k \)

Eşitliğin taraflarının karesini alalım.

\( (\sqrt{2m} + \sqrt{2n})^2 = k^2 \)

\( 2m + 2\sqrt{2m}\sqrt{2n} + 2n = k^2 \)

\( 2(m + n) + 2\sqrt{4m \cdot n} = k^2 \)

Yukarıda bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( 2 \cdot 9 + 2\sqrt{64} = k^2 \)

\( k = \pm \sqrt{34} \)

\( \sqrt{2m} + \sqrt{2n} \) ifadesi negatif olamaz.

\( k = \sqrt{2m} + \sqrt{2n} = +\sqrt{34} \)

Kökler toplamı \( A \) ve kökleri çarpımı \( B \) olan denklemi yazalım.

\( x^2 - Ax + B = 0 \)

\( x^2 - \sqrt{34}x + 8 = 0 \) bulunur.

Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.

\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-4}{2} = 2 \)

Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( m \cdot n = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{2} \)

\( m + n = 2 \) ifadesinin karesini alalım.

\( (m + n)^2 = 4 \)

\( m^2 + 2mn + n^2 = 4 \)

\( m^2 + 2 \cdot \dfrac{3}{2} + n^2 = 4 \)

\( m^2 + n^2 = 1 \)

İstenen denklemin kökler toplamını bulalım.

\( A = (m^2 + 3) + (n^2 + 3) = (m^2 + n^2) + 6 = 7 \)

İstenen denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( B = (m^2 + 3)(n^2 + 3) = (mn)^2 + 3(m^2 + n^2) + 9 \)

\( = (\dfrac{3}{2})^2 + 3(1) + 9 \)

\( = \dfrac{57}{4} \)

Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( x^2 - Ax + B = 0 \)

\( x^2 - 7x + \dfrac{57}{4} = 0 \)

Verilen eşitliği düzenleyelim.

\( \dfrac{3x_1x_2 - 6}{x_2} = 3 \)

\( 3x_1x_2 - 6 = 3x_2 \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} \)

\( = \dfrac{12}{2} = 6 \)

Bulduğumuz kökler çarpımını denklemde yerine yazalım.

\( 3 \cdot 6 - 6 = 3x_2 \)

\( x_2 = 4 \)

Bulduğumuz kökü denklemde yerine yazarak \( m \) değerini bulalım.

\( 2x^2 - (m + 3)x + 12 = 0 \)

\( 2(4)^2 - (m + 3)4 + 12 = 0 \)

\( 32 - 4m - 12 + 12 = 0 \)

\( m = 8 \) bulunur.

\( \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = a \) diyelim.

Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.

\( x_1 + 2\sqrt{x_1x_2} + x_2 = a^2 \)

\( x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1x_2} = a^2 \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)

\( = -\dfrac{27}{3} = -9 \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} \)

\( = \dfrac{432}{3} = 144 \)

Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.

\( x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1x_2} = a^2 \)

\( -9 + 2\sqrt{144} = a^2 \)

\( 15 = a^2 \)

\( a = \sqrt{15} \) bulunur.

\( x^2 + 8x - 4 = 0 \) denkleminin köklerinden biri olan \( m \) değeri denklemi sağlar.

\( m^2 + 8m - 4 = 0 \)

\( m^2 = 4 - 8m \)

Bu değeri verilen ifadede yerine yazalım.

\( m^2 + n(m - 8) = 4 - 8m + n(m - 8) \)

\( = 4 - 8m + mn - 8n \)

\( = 4 - 8(m + n) + mn \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( m + n = -\dfrac{b}{a} \)

\( = -\dfrac{8}{1} = -8 \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( mn = \dfrac{c}{a} \)

\( = \dfrac{-4}{1} = -4 \)

Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.

\( 4 - 8(m + n) + mn = 4 - 8(-8) + (-4) = 64 \) bulunur.

Birinci denklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \), ikinci denklemin köklerine \( x_1 - 1 \) ve \( x_2 - 1 \) diyelim.

Birinci denklemin kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{m + 2}{1} = -m - 2 \)

Birinci denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-1}{1} = -1 \)

İkinci denklemin kökler toplamını bulalım.

\( (x_1 - 1) + (x_2 - 1) = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-6}{1} \)

\( x_1 + x_2 - 2 = 6 \)

\( x_1 + x_2 = 8 \)

\( x_1 + x_2 \) yerine \( -m - 2 \) yazalım.

\( -m - 2 = 8 \)

\( m = -10 \)

İkinci denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( (x_1 - 1) \cdot (x_2 - 1) = \dfrac{c}{a} = \dfrac{n - 5}{1} \)

\( x_1 \cdot x_2 -(x_1 + x_2) + 1 = n - 5 \)

\( x_1 \cdot x_2 = -1 \) ve \( x_1 + x_2 = 8 \) yazalım.

\( (-1) - 8 + 1 = n - 5 \)

\( n = -3 \)

\( m + n = -10 + (-3) = -13 \) bulunur.

Birinci öğrenci \( b \) değerini doğru kullandığı için bulduğu köklerin çarpımı gerçek denklemin kökler çarpımına eşit olmalıdır.

\( \dfrac{b}{1} = b = -3 \cdot (-15) = 45 \)

İkinci öğrenci \( a \) değerini doğru kullandığı için bulduğu köklerin toplamı gerçek denklemin kökler toplamına eşit olmalıdır.

\( -\dfrac{-a}{1} = a = 6 + 8 = 14 \)

\( a = 14 \)

Buna göre denklemin doğru şekli aşağıdaki gibidir.

\( x^2 - ax + b = 0 \)

\( x^2 - 14x + 45 = 0 \)

\( (x - 5)(x - 9) = 0 \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{5, 9\} \)

Verilen denklemin katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -k, \quad c = 3k^3 \)

Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.

\( \alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{(-k)}{1} = k \)

Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( \alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3k^3}{1} = 3k^3 \)

İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.

\( A = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} + \dfrac{\beta}{ \alpha + \beta} = \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha + \beta} \)

\( = 1 \)

İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( B = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} \cdot \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} = \dfrac{\alpha \cdot \beta}{(\alpha + \beta)^2} \)

\( = \dfrac{3k^3}{k^2} = 3k \)

Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( x^2 - Ax + B = 0 \)

\( x^2 - x + 3k = 0 \) olarak bulunur.

Verilen denklemin katsayılarını yazalım.

\( a = 3, \quad b = -4, \quad c = 2 \)

Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.

\( \alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{(-4)}{3} = \dfrac{4}{3} \)

Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( \alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3} \)

İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.

\( A = (5\alpha - 2\beta) + (5\beta - 2\alpha) = 3\alpha + 3\beta \)

\( = 3(\alpha + \beta) = 3 \cdot \dfrac{4}{3} = 4 \)

İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( B = (5\alpha - 2\beta) \cdot (5\beta - 2\alpha) \) \( = 29\alpha \cdot \beta - 10(\alpha^2 + \beta^2) \)

\( = 29\alpha \cdot \beta - 10((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta) \)

\( \alpha \cdot \beta \) ve \( \alpha + \beta \) değerlerini yerine koyalım.

\( = 29 \cdot \dfrac{2}{3} - 10((\dfrac{4}{3})^2 - 2 \cdot \dfrac{2}{3}) \)

\( = \dfrac{58}{3} - 10(\dfrac{16}{9} - \dfrac{12}{9}) \)

\( = \dfrac{134}{9} \)

Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.

\( x^2 - Ax + B = 0 \)

\( x^2 - 4x + \dfrac{134}{9} = 0 \)

Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 9 ile çarpalım.

\( 9x^2 - 36x + 134 = 0 \) olarak bulunur.

Verilen denklemin katsayılarını yazalım.

\( a = 2, \quad b = 6, \quad c = 7 \)

Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.

\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{6}{2} = -3 \)

Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{7}{2} \)

İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.

\( A = (4 - m^2) + (4 - n^2) = 8 - (m^2 + n^2 \))

\( = 8 - [(m + n)^2 - 2mn] \)

\( = 8 - [(-3)^2 - 2 \cdot \dfrac{7}{2}] \)

\( = 6 \)

İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( B = (4 - m^2)(4 - n^2) \) \( = 16 - 4m^2 - 4n^2 + (mn)^2 \)

\( = 16 - 4[(m + n)^2 - 2mn] + (mn)^2 \)

\( = 16 - 4[(-3)^2 - 2 \cdot \dfrac{7}{2}] + ( \dfrac{7}{2})^2 \)

\( = \dfrac{81}{4} \)

Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.

\( x^2 - Ax + B = 0 \)

\( x^2 - 6x + \dfrac{81}{4} = 0 \)

Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 4 ile çarpalım.

\( 4x^2 - 24x + 81 = 0 \) olarak bulunur.

Verilen denklemin katsayılarını yazalım.

\( a = 4, \quad b = 8, \quad c = 3 \)

Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.

\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{8}{4} = -2 \)

Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{4} \)

İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.

\( A = \dfrac{m^2}{n} + \dfrac{n^2}{m} = \dfrac{m^3 + n^3}{mn} \)

\( = \dfrac{(m + n)(m^2 - mn + n^2)}{mn} \)

\( = \dfrac{(m + n)(m^2 + 2mn + n^2 - 3mn)}{mn} \)

\( = \dfrac{(m + n)((m + n)^2 - 3mn)}{mn} \)

\( = \dfrac{(-2)((-2)^2 - 3 \cdot \frac{3}{4})}{\frac{3}{4}} \)

\( = -\dfrac{14}{3} \)

İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( B = \dfrac{m^2}{n} \cdot \dfrac{n^2}{m} = mn \)

\( = \dfrac{3}{4} \)

Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.

\( x^2 - Ax + B = 0 \)

\( x^2 + \dfrac{14}{3}x + \dfrac{3}{4} = 0 \)

Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 3 ve 4'ün EKOK'u olan 12 ile çarpalım.

\( 12x^2 + 56x + 9 = 0 \) olarak bulunur.

Denklemin köklerine \( m \) ve \( n \) diyelim.

İkinci dereceden ifadenin katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = k, \quad c = 30 \)

Kökler toplamını bulalım.

\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{k}{1} = -k \)

Kökler çarpımını bulalım.

\( m \cdot n = \dfrac{c}{a} = \dfrac{30}{1} = 30 \)

Köklerin tam sayı olduğu durumları bulalım.

Çarpımları 30 olan tam sayı ikilileri aşağıdaki sekiz ikili ve bunların tersidir.

\( (m, n) \in \{(30, 1), (15, 2), (10, 3), (6, 5), (-30, -1), (-15, -2), (-10, -3), (-6, -5)\} \)

Bu farklı durumlarda oluşan \( k \) değerleri aşağıdaki gibi olur.

\( k \in \{-31, -17, -13, -11, 11, 13, 17, 31\} \)

Buna göre, istenen koşulları sağlayan 8 farklı \( k \) değeri vardır.

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = 4x_2 \)

\( x_2 = 0 \) olup olmamasına göre iki farklı çözüm oluşur.

\( x_2 \ne 0 \) için:

\( x_2 \) değerleri sadeleşir.

\( x_1 = 4 \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -x_1 - 2 \)

\( 4 + x_2 = -4 - 2 \)

\( x_2 = -10 \)

Kökler toplamı: \( x_1 + x_2 = 4 + (-10) = -6 \)

\( x_2 = 0 \) için:

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -x_1 - 2 \)

\( x_1 = -x_1 - 2 \)

\( x_1 = -1 \)

Kökler toplamı: \( x_1 + x_2 = -1 + 0 = -1 \)

Kökler toplamının alabileceği en büyük değer \( -1 \) olarak bulunur.

Parantez karesi ifadelerinin açılımını yazalım.

\( (1^2x^2 + x + \dfrac{1}{4}) + (2^2x^2 + 2x + \dfrac{1}{4}) + \ldots + (16^2x^2 + 16x + \dfrac{1}{4}) = 5 \)

Benzer terimleri ortak paranteze alalım.

\( (1^2 + 2^2 + \ldots + 16^2)x^2 + (1 + 2 + \ldots + 16)x + 16 \cdot \dfrac{1}{4} = 5 \)

\( (1^2 + 2^2 + \ldots + 16^2)x^2 + (1 + 2 + \ldots + 16)x - 1 = 0 \)

İkinci dereceden denklemin katsayılarını bulalım.

\( a = 1^2 + 2^2 + \ldots + 16^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)

\( = \dfrac{16 \cdot 17 \cdot 33}{6} \)

\( b = 1 + 2 + \ldots + 16 = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)

\( = \dfrac{16 \cdot 17}{2} \)

\( c = -1 \)

Denklemin deltası sıfırdan büyüktür.

\( \Delta = b^2 - 4ac = b^2 + 4a \gt 0 \)

Kökler toplamı formülü ile denklemin kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)

\( = -\dfrac{\frac{16 \cdot 17}{2}}{\frac{16 \cdot 17 \cdot 33}{6}} \)

\( = -\dfrac{1}{11} \) bulunur.

Denklemin iki farklı reel kökü olduğuna göre deltası (diskriminantı) sıfırdan büyük olmalıdır.

\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)

\( k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5k \gt 0 \)

\( k^2 - 20k \gt 0 \)

\( k(k - 20) \gt 0 \)

Eşitsizliğin sağlanması için \( k \) ifadesi \( (-\infty, 0) \) ya da \( (20, \infty) \) aralığında değer alabilir.

\( k \in \mathbb{R^+} \) olarak veriliyor.

\( k \in (20, \infty) \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = 5k \)

Kökler çarpımının en küçük değerini bulmak için \( k \) değer aralığını kullanalım.

\( k \gt 20 \)

\( 5k \gt 100 \)

Kökler çarpımının alabileceği en küçük tam sayı değer 101'dir.

\( x_2 \le x_1 \lt 0 \) olduğuna göre denklemin iki farklı ya da çift katlı tek bir reel kökü vardır ve kökler negatiftir.

Buna göre \( \Delta \ge 0 \) olmalıdır, ayrıca kökler toplamı negatif ve kökler çarpımı pozitif olmalıdır.

Denklemin deltasını bulalım.

\( \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 \)

\( (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 \ge 0 \)

\( m^2 - 36 \ge 0 \)

\( (m - 6)(m + 6) \ge 0 \)

\( m \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty) \)

Kökler toplamı negatif olmalıdır.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-m}{1} \lt 0 \)

\( m \lt 0 \)

\( m \) değer aralığı bulduğumuz iki aralığın kesişim kümesidir.

Çözüm kümesi: \( m \in (-\infty, -6] \)

Denklemin biri pozitif diğeri negatif iki reel kökü varsa denklemin köklerin çarpımı negatiftir ve deltası sıfırdan büyüktür.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \lt 0 \)

\( \dfrac{m + 2}{5 - m} \lt 0 \)

Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan \( m \in \{-2, 5\} \) değerleri eşitsizliğin kritik noktalarıdır.

Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 5) \) ve \( (5, \infty) \) aralıklarını oluşturur.

Bir işaret tablosu hazırlayalım.

Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.

Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.

Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan \( x = 5 \) değerinde tanımsız, payı sıfır yapan \( x = -2 \) değerinde sıfır olur.

Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin negatif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.

\( m \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty) \)

Ayrıca verilen denklemin deltası sıfırdan büyük olmalıdır.

\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)

\( 4^2 - 4(5 - m)(m + 2) \gt 0 \)

\( 16 - 12m - 40 + 4m^2 \gt 0 \)

\( m^2 - 3m - 6 \gt 0 \)

Bu ikinci dereceden ifadenin başkatsayısı ve deltası sıfırdan büyük olduğu için her \( m \) değeri için ifade pozitiftir, dolayısıyla eşitsizlik sağlanır.

Buna göre istenen koşulu sağlayan \( m \) değer aralığı aşağıdaki gibidir.

\( m \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty) \)

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( m + n = -\dfrac{2a - 3}{1} = -(2a - 3) \)

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( m \cdot n = \dfrac{3a^2}{1} = 3a^2 \)

Kökler toplamının parantez karesini alalım.

\( (m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 \)

Kökler toplamı ve kökler çarpımını \( a \) cinsinden yazalım.

\( (-(2a - 3))^2 = m^2 + n^2 + 2(3a^2) \)

\( 4a^2 - 12a + 9 = m^2 + n^2 + 6a^2 \)

\( m^2 + n^2 \) ifadesini eşitlikte yalnız bırakalım.

\( m^2 + n^2 = -2a^2 - 12a + 9 \)

\( -2a^2 - 12a + 9 \) ifadesinin maksimum değerini bulmak için ifadeyi tam kareye tamamlayalım.

\( = -((\sqrt{2}a)^2 + 2 \cdot \sqrt{2}a \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 - 18 - 9) \)

\( = -(\sqrt{2}a + 3\sqrt{2})^2 + 27 \)

Bu ifade en büyük değerini parantez içindeki negatif işaretli ifade sıfır olduğunda alır.

Buna göre \( m^2 + n^2 \) ifadesinin alabileceği en büyük değer 27'dir.

\( x^2 + 2ax + 2b = 0 \) denkleminin kökleri \( a \) ve \( b \) olur.

Kökler çarpımını bulalım.

\( a \cdot b = 2b \)

\( b \ne 0 \Longrightarrow a = 2 \)

Kökler toplamını bulalım.

\( a + b = -2a \)

\( 3a + b = 0 \)

\( a = 2 \) yazalım.

\( b = -6 \)

Bulduğumuz değerleri denklemde yerine yazalım.

\( x^2 + 2(2)x + 2(-6) = 0 \)

\( x^2 + 4x - 12 = 0 \)

\( x^2 + 4x - 12 \) ifadesinin en küçük değerini bulmak için ifadeyi tam kareye tamamlayalım, bunun için de ifadeye 16 ekleyip çıkaralım.

\( x^2 + 4x - 12 + 16 - 16 \)

\( = x^2 + 4x + 4 - 16 \)

\( = (x + 2)^2 - 16 \)

Parantez karesinin en küçük değeri sıfır olduğu için tüm ifadenin en küçük değeri \( -16 \) olur.

\( x_1 \) ve \( x_2 \) verilen denklemin kökleri olsun.

Kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -a \)

Kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = 4 \)

Kökler farkı \( \sqrt{20} \)'den küçük olarak veriliyor.

\( \abs{x_1 - x_2} \lt \sqrt{20} \)

Eşitsizliğin solunu köklü ifade şeklinde yazalım.

\( \sqrt{(x_1 - x_2)^2} \lt \sqrt{20} \)

\( \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} \lt \sqrt{20} \)

Bulduğumuz kökler toplamını ve kökler çarpımını yerine yazalım.

\( \sqrt{(-a)^2 - 4(4)} \lt \sqrt{20} \)

\( \sqrt{a^2 - 16} \lt \sqrt{20} \)

Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.

\( a^2 - 16 \lt 20 \)

\( a^2 \lt 36 \)

\( -6 \lt a \lt 6 \)

Elde ettiğimiz bu aralık denklemin karmaşık köklerini de kapsamaktadır.

Denklemin birbirinden farklı iki reel kökü olduğu belirtildiği için ek olarak delta sıfırdan büyük olmalıdır.

\( \Delta = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \gt 0 \)

\( a^2 - 16 \gt 0 \)

\( a \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty) \)

Bulduğumuz iki aralığın kesişimi \( a \) değer aralığını verir.

\( a \in (-6, -4) \cup (4, 6) \)