İkinci dereceden denklemlerin kökleri ve katsayıları arasında aşağıdaki ilişkiler vardır.
Kökler toplamı denklemin katsayıları kullanılarak aşağıdaki formülle bulunur.
Çözüm kümesi:
Kökler toplamını iki kök değerini kullanarak hesaplayalım.
Şimdi de kökler toplamını yukarıdaki formülle hesaplayalım.
Denklemin iki kökünün toplamını bulalım.
Buna göre ikinci dereceden bir denklemin kökler toplamı formülünü aşağıdaki gibi buluruz.
Kökler çarpımı denklemin katsayıları kullanılarak aşağıdaki formülle bulunur.
Çözüm kümesi:
Kökler çarpımını iki kök değerini kullanarak hesaplayalım.
Şimdi de kökler çarpımını yukarıdaki formülle hesaplayalım.
Denklemin iki kökünün çarpımını bulalım.
Buna göre ikinci dereceden bir denklemin kökler çarpımı formülünü aşağıdaki gibi buluruz.
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı denklemin katsayıları kullanılarak aşağıdaki formülle bulunur.
Çözüm kümesi:
Kökler çarpmaya göre terslerinin toplamını iki kök değerini kullanarak hesaplayalım.
Şimdi de köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını yukarıdaki formülle hesaplayalım.
İfadenin paydalarını eşitleyelim.
Buna göre köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı kökler toplamının kökler çarpımına oranına eşittir.
Bu orandaki kökler toplamı ve çarpımının yerine yukarıda bulduğumuz formülleri yazalım.
Buna göre ikinci dereceden bir denklemin köklerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı formülünü aşağıdaki gibi buluruz.
Kökler farkının pozitif değeri aşağıdaki formülle bulunur.
Çözüm kümesi:
Kökler farkının pozitif değerini iki kök değerini kullanarak hesaplayalım.
Şimdi de kökler farkını yukarıdaki formülle hesaplayalım.
Denklemin iki kökünün farkının mutlak değerini bulalım.
Kökler
Çözüm kümesi:
Kökler toplamını iki kök değerini kullanarak hesaplayalım.
Şimdi de kökler toplamını yukarıdaki formülle hesaplayalım.
Köklerin kareleri toplamı formülü aşağıdaki gibidir.
Parantez karesi özdeşliğini yazalım.
Köklerin kareleri toplamını yalnız bırakalım.
Kökler toplamı ve çarpımı ifadelerinin formül karşılıklarını yazalım.
Köklerin küpleri toplamı formülü aşağıdaki gibidir.
Küp toplamı özdeşliğini yazalım.
Kökler toplamı, çarpımı ve kare toplamı ifadelerinin formül karşılıklarını yazalım.
Yukarıda paylaştığımız formüller aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
İfade | Formül |
---|---|
Kökler toplamı | |
Kökler çarpımı | |
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı | |
Kökler farkının mutlak değeri | |
Simetrik köklerde kökler toplamı | |
Köklerin kareleri toplamı | |
Köklerin küpleri toplamı |
Kökleri bilinen ikinci dereceden bir denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.
Kökleri
Kökleri
Kökleri
Çarpanların terimlerini dağıtalım.
Bu denklemin tüm terimlerinin bir
Aşağıdaki deklemlerin tümünün kökleri
Buna göre, ikinci dereceden iki denklemin kökleri birbirine eşitse bu iki denklemin katsayılarının oranları birbirine eşittir. Bu ifadenin karşıtı da doğrudur, yani ikinci dereceden iki denklemin katsayılarının oranları birbirine eşitse bu iki denklemin kökleri birbirine eşittir.
Aşağıdaki iki denklemin kökleri aynı ve
denklemlerin katsayılarının oranı birbirine eşittir.
Birinci denklemin kökleri
Denklemdeki çarpanları dağıtalım.
Buna göre denklemin
Aynı işlemi kökleri yine
Denklemdeki çarpanları dağıtalım.
Buna göre denklemin
Yukarıda elde ettiğimiz iki eşitlikte
Katsayılar arasındaki eşitliği düzenlersek aşağıdaki orantıyı elde ederiz.
Yukarıda elde ettiğimiz iki eşitlikte
Katsayılar arasındaki eşitliği düzenlersek aşağıdaki orantıyı elde ederiz.
İki orantıda
Aşağıdaki denklemlerin köklerinin toplamını, çarpımını, çarpmaya göre terslerinin toplamını ve kareleri toplamını bulunuz.
(a)
(b)
(c)
Kökler toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır.
Kökler çarpımı aşağıdaki formülle hesaplanır.
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır.
Köklerin karelerinin toplamı aşağıdaki formülle hesaplanır.
(a) seçeneği:
Kökler toplamını bulalım.
Kökler çarpımını bulalım.
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını bulalım.
Köklerin karelerinin toplamını bulalım.
(b) seçeneği:
Kökler toplamını bulalım.
Kökler çarpımını bulalım.
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını bulalım.
Köklerin karelerinin toplamını bulalım.
(c) seçeneği:
Kökler toplamını bulalım.
Kökler çarpımını bulalım.
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını bulalım.
Köklerin karelerinin toplamını bulalım.
Aşağıda kökleri verilen denklemleri yazınız.
(a)
(b)
(c)
Kökleri
(a) seçeneği:
Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.
(b) seçeneği:
Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.
(c) seçeneği:
Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.
Aşağıda kökleri verilen denklemleri yazınız.
(a)
(b)
(c)
Kökleri
(a) seçeneği:
Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.
(b) seçeneği:
Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.
(c) seçeneği:
Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.
denkleminin kökler toplamı
Kökler toplamını bulalım.
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
Kökler çarpımını bulalım.
Denklemin köklerine
Kökler arasında aşağıdaki özdeşliği yazabiliriz.
Kökler toplamı ve çarpımı formüllerini kullanalım.
Bu değerleri özdeşlikte yerine koyalım.
Tarafların karekökünü alalım.
Bir ifadenin karesinin karekökü ifadenin mutlak değerine eşittir.
İkinci dereceden denklemin katsayılarını yazalım.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Bu denklemin kökleri arasında
Verilen bağıntıyı çarpanlarına ayıralım.
Bu ifade kökler çarpımı ile toplamının çarpımına eşittir.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
Bu ifadede
Her iki kök de pozitiftir.
Denklemin kökleri eşitliği sağlayacağı için denklemde
Denklemin diskriminantını bulalım.
Denklemin kökler farkı formülünü yazalım.
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
denkleminin köklerinin birbirinin çarpmaya göre tersi olması için, aşağıdaki koşullardan hangisi sağlanmalıdır?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Denklemin köklerine
Denklemin kökleri birbirinin çarpmaya göre tersidir.
Kökler çarpımı formülünü yazalım.
Buna göre cevap (d) seçeneğidir.
2. denklemin köklerine
1. denklemin kökleri
2. denklemin kökler çarpımını bulalım.
1. denklemin kökler çarpımını bulalım.
denklemlerinin çözüm kümeleri aynı olduğuna göre,
İkinci dereceden iki denklemin çözüm kümeleri aynı ise denklemlerin katsayılarının oranı birbirine eşittir.
denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması
Denkleminin kökleri
Denklemin kökler toplamı formülünü yazalım.
denkleminin kökleri çakışık olduğuna göre,
Denklemin kökleri çakışık ise denklemin deltası sıfıra eşit olur.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Verilen eşitsizlikte
Eşitsizliğin taraflarını 7 ile toplayalım.
Eşitsizlik taraflarını
Buna göre
Denklemin katsayılarını yazalım.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Denklemin simetrik iki kökü varsa kökler toplamı sıfır olur.
Denklemde
Çözüm kümesi:
Köklerinden biri
İkinci dereceden reel katsayılı bir denklemin köklerinden biri
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
Kökler toplamı
denkleminin harmonik ortalaması
Denklemin köklerine
Kökler toplamını bulalım.
Kökler çarpımını bulalım.
Bulduğumuz kökler toplamını ve çarpımını yerine yazalım.
Denklemin köklerine
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Buna göre denklemin kökler çarpımı 24'tür.
24'ün tam sayı bölenlerini bulalım.
Çarpımları 24 olan kök ikilileri için kökler toplamını bulalım.
Buna göre
denkleminin köklerinin üçer katının birer eksiğini kök kabul eden denklem
1. denklemin köklerine
2. denklemin kökleri
Kökler toplamı yerine 1. denklem için bulduğumuz değeri yazalım.
denkleminin kökleri simetrik olduğuna göre,
İkinci dereceden denklemin kökleri simetrik ise kökler toplamı sıfır olur.
Eşitliğin sol tarafını düzenleyelim.
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
Bu denklemin kökleri her bir çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.
1. denklemin kökler çarpımını bulalım.
2. denklemin kökler çarpımını bulalım.
İki denklemin de deltaları 0'dan büyük olduğu için reel ve birbirinden farklı 2'şer kökü vardır.
Denklemlerin ortak kökü olmadığını denklemleri ortak çözerek teyit edebiliriz.
Buna göre denklemlerin toplam dört farklı reel kökünün çarpımı
denkleminin kökler toplamını bulunuz.
Çözümü GösterPaydaları eşitleyelim.
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
olduğuna göre,
Paydaki ifadeyi üç terime dağıtalım.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Buna göre,
İkinci dereceden denklemin katsayılarını yazalım.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
Bulduğumuz değerleri değeri sorulan ifadede yerine koyalım.
Buna göre
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.
İki denklemin birer kökü birbirine eşit olduğuna göre,
1. denklemin köklerine
1. denklemin kökler toplamını bulalım.
2. denklemin köklerine
2. denklemin kökler toplamını bulalım.
İkinci kökler toplamı eşitliğinden birinci eşitliği çıkaralım.
Buna göre,
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
Buna göre denklemin kökler toplamı kökler çarpımının 5 katıdır.
Bu köklerin çarpmaya göre terslerini kök kabul eden ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü GösterDenklemin katsayılarını yazalım.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
Soruda istenen, kökleri
Yeni denklemin kökler toplamını bulalım.
Yeni denklemin kökler çarpımını bulalım.
Kökler toplamı
Buna göre kökleri
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
İstenen denklemin kökler toplamını bulalım.
İstenen denklemin kökler çarpımını bulalım.
Kökler toplamı
Buna göre kökleri
Kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerini kullanarak istenen denklemi elde etmeye çalışalım.
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
İstenen denklemin kökler çarpımını bulalım.
İstenen denklemin kökler toplamına
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
Yukarıda bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
Kökler toplamı
Buna göre kökleri
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
İstenen denklemin kökler toplamını bulalım.
İstenen denklemin kökler çarpımını bulalım.
Kökler toplamı
Verilen eşitliği düzenleyelim.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
Bulduğumuz kökler çarpımını denklemde yerine yazalım.
Bulduğumuz kökü denklemde yerine yazarak
Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.
Bu değeri verilen ifadede yerine yazalım.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.
Birinci denklemin köklerine
Birinci denklemin kökler toplamını bulalım.
Birinci denklemin kökler çarpımını bulalım.
İkinci denklemin kökler toplamını bulalım.
İkinci denklemin kökler çarpımını bulalım.
İki öğrenci ikinci dereceden
Birinci öğrenci denklemi yanlış
Buna göre denklemin doğru kökleri nedir?
Çözümü GösterBirinci öğrenci
İkinci öğrenci
Buna göre denklemin doğru şekli aşağıdaki gibidir.
Çözüm kümesi:
Kökleri
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
Kökler toplamı
Kökleri
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
Kökler toplamı
Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 9 ile çarpalım.
Kökleri
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
Kökler toplamı
Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 4 ile çarpalım.
Kökleri
Verilen denklemin katsayılarını yazalım.
Verilen denklemin kökler toplamını bulalım.
Verilen denklemin kökler çarpımını bulalım.
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler toplamını bulalım.
İstenen ikinci dereceden denklemin kökler çarpımını bulalım.
Kökler toplamı
Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 3 ve 4'ün EKOK'u olan 12 ile çarpalım.
Denklemin köklerine
İkinci dereceden ifadenin katsayılarını yazalım.
Kökler toplamını bulalım.
Kökler çarpımını bulalım.
Köklerin tam sayı olduğu durumları bulalım.
Çarpımları 30 olan tam sayı ikilileri aşağıdaki sekiz ikili ve bunların tersidir.
Bu farklı durumlarda oluşan
Buna göre, istenen koşulları sağlayan 8 farklı
Buna göre kökler toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin kökler çarpımını bulalım.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Kökler toplamı:
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Kökler toplamı:
Kökler toplamının alabileceği en büyük değer
denkleminin kökler toplamı kaça eşittir?
Çözümü GösterParantez karesi ifadelerinin açılımını yazalım.
Benzer terimleri ortak paranteze alalım.
İkinci dereceden denklemin katsayılarını bulalım.
Denklemin deltası sıfırdan büyüktür.
Kökler toplamı formülü ile denklemin kökler toplamını bulalım.
Buna göre, denklemin kökler çarpımının alabileceği en küçük tam sayı değer kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin iki farklı reel kökü olduğuna göre deltası (diskriminantı) sıfırdan büyük olmalıdır.
Eşitsizliğin sağlanması için
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
Kökler çarpımının en küçük değerini bulmak için
Kökler çarpımının alabileceği en küçük tam sayı değer 101'dir.
Buna göre
Denklemin deltasını bulalım.
Kökler toplamı negatif olmalıdır.
Çözüm kümesi:
denkleminin biri pozitif diğeri negatif iki reel kökü olduğuna göre,
Denklemin biri pozitif diğeri negatif iki reel kökü varsa denklemin köklerin çarpımı negatiftir ve deltası sıfırdan büyüktür.
Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Pay ve paydadaki çarpanları ve her aralıktaki işaretlerini tabloya birer satır olarak ekleyelim.
Rasyonel ifadenin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan
Verilen eşitsizlikte
Ayrıca verilen denklemin deltası sıfırdan büyük olmalıdır.
Bu ikinci dereceden ifadenin başkatsayısı ve deltası sıfırdan büyük olduğu için her
Buna göre istenen koşulu sağlayan
denkleminin kökleri
Denklemin kökler toplamını bulalım.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
Kökler toplamının parantez karesini alalım.
Kökler toplamı ve kökler çarpımını
Bu ifade en büyük değerini parantez içindeki negatif işaretli ifade sıfır olduğunda alır.
Buna göre
Kökler çarpımını bulalım.
Kökler toplamını bulalım.
Bulduğumuz değerleri denklemde yerine yazalım.
Parantez karesinin en küçük değeri sıfır olduğu için tüm ifadenin en küçük değeri
Kökler farkı
Kökler toplamını bulalım.
Kökler çarpımını bulalım.
Kökler farkı
Eşitsizliğin solunu köklü ifade şeklinde yazalım.
Bulduğumuz kökler toplamını ve kökler çarpımını yerine yazalım.
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
Elde ettiğimiz bu aralık denklemin karmaşık köklerini de kapsamaktadır.
Denklemin birbirinden farklı iki reel kökü olduğu belirtildiği için ek olarak delta sıfırdan büyük olmalıdır.
Bulduğumuz iki aralığın kesişimi