Determinant Özellikleri
Determinantın bazı özellikleri aşağıdaki gibidir.
Birim matrislerin determinantı 1'dir.
\( det(I_m) = 1 \)
\( I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
\( det(I_3) = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot 0 \) \( + 0 \cdot 0 \cdot 0 \) \( - (0 \cdot 1 \cdot 0 \) \( + 0 \cdot 0 \cdot 1 \) \( + 1 \cdot 0 \cdot 0) \)
\( = 1 \)
\( m \times m \) bir matrisin bir \( k \) reel sayısı ile skaler çarpımının determinantı, matrisin determinantının \( k^m \) katına eşittir.
\( det(kA) = k^m det(A) \)
\( 4I_3 = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \)
\( det(4I_3) = 4 \cdot 4 \cdot 4 + 0 \cdot 0 \cdot 0 \) \( + 0 \cdot 0 \cdot 0 \) \( - (0 \cdot 4 \cdot 0 \) \( + 0 \cdot 0 \cdot 4 \) \( + 4 \cdot 0 \cdot 0) \)
\( = 4^3 = 64 \)
İki matrisin çarpımının determinantı matrislerin determinantlarının çarpımına eşittir.
\( det(AB) = det(A)det(B) \)
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)
\( det(A) = 1 \cdot 4 - 3 \cdot 2 = -2 \)
\( B = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -3 & -1 \end{bmatrix} \)
\( det(B) = 2 \cdot (-1) - (-3) \cdot 4 = 10 \)
\( det(A)det(B) = -2 \cdot 10 = -20 \)
\( AB = \begin{bmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) & 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-3) & 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-1) \end{bmatrix} \)
\( = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ -6 & 8 \end{bmatrix} \)
\( det(AB) = -4 \cdot 8 - (-6) \cdot 2 = -20 \)
Bir matrisin kuvvetinin determinantı matrisin determinantının kuvvetine eşittir.
\( det(A^n) = [det(A)]^n \)
Bir matrisin ve transpozunun determinantları birbirine eşittir.
\( det(A^T) = det(A) \)
Bir matrisin tersinin determinantı o matrisin determinantının çarpmaya göre tersine eşittir.
\( det(A) \ne 0 \) olmak üzere,
\( det(A^{-1}) = \dfrac{1}{det(A)} \)
Bir (üst ya da alt) üçgen matrisin determinantı ana köşegeni üzerindeki elemanların çarpımına eşittir.
\( A = \begin{bmatrix} \textcolor{red}{3} & 0 & 0 \\ 5 & \textcolor{red}{-2} & 0 \\ 2 & -4 & \textcolor{red}{6} \end{bmatrix} \)
\( det(A) = 3 \cdot (-2) \cdot 6 = -36 \)
Tüm elemanları sıfır olan bir satır ya da sütun içeren matrisin determinantı sıfırdır.
\( A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} & \textcolor{red}{0} \\ g & h & k \end{bmatrix} \)
\( det(A) = 0 \)
\( B = \begin{bmatrix} a & \textcolor{red}{0} & c \\ d & \textcolor{red}{0} & f \\ g & \textcolor{red}{0} & k \end{bmatrix} \)
\( det(B) = 0 \)
İki satırının ya da sütununun tüm elemanları arasında sabit bir orantı olan matrisin determinantı sıfırdır.
\( A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ \textcolor{red}{2a} & \textcolor{red}{2b} & \textcolor{red}{2c} \end{bmatrix} \)
\( det(A) = 0 \)
Orantı sabitinin 1 olduğu durum için, birbirinin aynısı iki satırı ya da sütunu olan matrisin determinantı sıfırdır.
\( A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ \textcolor{red}{a} & \textcolor{red}{b} & \textcolor{red}{c} \end{bmatrix} \)
\( det(A) = 0 \)
\( B = \begin{bmatrix} a & b & \textcolor{red}{2b} \\ d & e & \textcolor{red}{2e} \\ g & h & \textcolor{red}{2h} \end{bmatrix} \)
\( det(B) = 0 \)
\(3 \times 3 \) boyutlarındaki \( A \) matrisi için \( det(A) = -2 \) olduğuna göre, aşağıdaki matrislerin determinantlarını bulunuz.
(a) \( 4A \)
(b) \( -A \)
(c) \( 2A^T \)
Çözümü GösterAşağıdaki determinant özelliklerini kullanalım.
\( m \times m \) bir matrisin bir \( k \) reel sayısı ile skaler çarpımının determinantı, matrisin determinantının \( k^m \) katına eşittir.
Bir matrisin ve transpozunun determinantları birbirine eşittir.
(a) seçeneği:
\( det(4A) = 4^3\ det(A) \)
\( = 64 \cdot (-2) = -128 \)
(b) seçeneği:
\( det(-A) = det((-1)A) \)
\( = (-1)^3\ det(A) \)
\( = -1 \cdot (-2) = 2 \)
(c) seçeneği:
\( det(2A^T) = 2^3\ det(A^T) \)
\( = 8\ det(A) \)
\( = 8 \cdot (-2) = -16 \)
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 9 & -2 & 0 & 0 \\ -5 & 10 & 3 & 0 \\ 8 & 7 & -1 & -1 \end{bmatrix} \)
olduğuna göre, aşağıdaki matrislerin determinantlarını bulunuz.
(a) \( A^3 \)
(b) \( AA^T \)
(c) \( I_4AI_4 \)
Çözümü GösterÖnce \( A \) matrisinin determinantını bulalım.
\( A \) matrisi alt üçgen matris olduğu için determinantı ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir.
\( det(A) = 1 \cdot (-2) \cdot 3 \cdot (-1) = 6 \)
Aşağıdaki determinant özelliklerini kullanalım.
İki matrisin çarpımının determinantı matrislerin determinantlarının çarpımına eşittir.
Bir matrisin ve transpozunun determinantları birbirine eşittir.
Birim matrislerin determinantı 1'dir.
(a) seçeneği:
\( det(A^3) = det(A \cdot A \cdot A) \)
\( = det(A)det(A)det(A) \)
\( = [det(A)]^3 \)
\( = 6^3 = 216 \)
(b) seçeneği:
\( det(AA^T) = det(A)det(A^T) \)
\( = det(A)det(A) \)
\( = [det(A)]^2 \)
\( = 6^2 = 36 \)
(c) seçeneği:
\( det(I_4AI_4) = det(I_4)det(A)det(I_4) \)
\( = 1 \cdot 6 \cdot 1 = 6 \)
\( X = \begin{bmatrix} 43 & 2 & 0 & 99 \\ -36 & -20 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 0 & 78 \\ -52 & 21 & 0 & -14 \end{bmatrix} \)
matrisinin determinantını bulunuz.
Çözümü GösterTüm elemanları sıfır olan bir satır ya da sütun içeren matrisin determinantı sıfırdır.
Verilen matrisin üçüncü sütunundaki tüm elemanlar sıfır olduğu için determinantı sıfırdır.
\( det(X) = 0 \)
\( Y = \begin{bmatrix} 2 & -32 & -7 & 44 & 32 \\ -45 & 1 & -1 & -23 & 12 \\ 61 & -13 & 11 & 8 & 56 \\ -52 & 21 & 0 & -14 & -9 \\ 90 & -2 & 2 & 46 & -24 \end{bmatrix} \)
matrisinin determinantını bulunuz.
Çözümü Gösterİki satırının ya da sütununun tüm elemanları arasında sabit bir orantı olan matrisin determinantı sıfırdır.
Verilen matrisin beşinci satırı ikinci satırının \( -2 \) katı olduğu için determinantı sıfırdır.
\( det(Y) = 0 \)