Eşlenik İfadeler
İki terimli bir ifadede terimler arasındaki işaretin tersine (pozitif ise negatife, negatif ise pozitife) çevrildiği ifadeye o ifadenin eşleniği denir.
Reel sayılar kümesinden bazı ifade ve sayıların eşlenikleri aşağıda verilmiştir.
| İfade | Eşleniği |
|---|---|
| \( x - 1 \) | \( x + 1 \) |
| \( a + b \) | \( a - b \) |
| \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \) | \( \sqrt{3} + \sqrt{2} \) |
Aşağıdaki ifadeler iki terimli olmadıkları için birbirlerinin eşleniği değildir.
| İfade 1 | İfade 2 |
|---|---|
| \( \sqrt{x + y} \) | \( \sqrt{x - y} \) |
| \( (a - b)^3 \) | \( (a + b)^3 \) |
Bir ifadenin eşleniği ile çarpımı terimlerin kare farkı özdeşliğini verir.
\( (a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 \) \( = a^2 - b^2 \)
\( (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) \) \( = \sqrt{3}^2 - 1^2 = 2 \)
Eşleniklerin kullanım yerlerden biri, paydası iki terimden oluşan ve köklü terim içeren rasyonel ifadelerde paydayı kök işaretinden kurtardığımız durumdur.
\( \dfrac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5}^2 - \sqrt{2}^2} = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3} \)
Karmaşık Sayıların Eşleniği
Bir karmaşık sayının eşleniği, sayının sanal kısmının işaretinin tersine (pozitif ise negatife, negatif ise pozitife) çevrildiği sayıdır.
| İfade | Eşleniği |
|---|---|
| \( 3 + 2i \) | \( 3 - 2i \) |
| \( 7 = 7 + 0i \) | \( 7 = 7 - 0i \) |
| \( 5i = 0 + 5i \) | \( -5i = 0 - 5i \) |
Dikkat edilirse \( 7 \) sayısı reel sayılarda tek terimli bir ifadedir ve eşleniği yoktur. Karmaşık sayılarda ise sanal kısmı sıfır olan bir karmaşık sayıya karşılık geldiği için eşleniği vardır ve kendisidir.
\( \dfrac{2\sqrt{5n} + 8}{n} \) ve \( \dfrac{2\sqrt{5n} - 8}{n} \) ifadeleri birbirinin çarpmaya göre tersi olduğuna göre, \( n \)'nin alabileceği değerlerin toplamı nedir?
Çözümü Gösterİfadeler birbirinin çarpmaya göre tersi ise çarpımları 1'e eşittir.
\( \dfrac{2\sqrt{5n} + 8}{n} \cdot \dfrac{2\sqrt{5n} - 8}{n} = 1 \)
\( \dfrac{(2\sqrt{5n})^2 - 8^2}{n^2} = 1 \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( (2\sqrt{5n})^2 - 8^2 = n^2 \)
\( 4 \cdot 5n - 64 = n^2 \)
\( n^2 - 20n + 64 = 0 \)
\( (n - 4)(n - 16) = 0 \)
\( n \)'nin alabileceği değerler bu eşitlikteki çarpanları sıfır yapan değerlerdir.
\( 4 + 16 = 20 \) bulunur.