Pascal Üçgeni
İsmini Fransız matematikçi Blaise Pascal'dan alan Pascal üçgeninin kümeler, kombinasyon, olasılık ve binom açılımı gibi farklı konularda uygulamaları vardır.
Pascal üçgeninin ilk satırında bir kutu bulunur ve sonraki satırlarda kutu sayısı birer artarak ilerler.
Pascal üçgenini oluşturmak için ilk satırdaki kutuya 1 yazılır. Sonraki her satırın ilk ve son kutularına 1, aralarındaki her kutuya da kutunun üst kenarına komşu iki kutudaki sayıların toplamı yazılır.
Pascal Üçgeninin Özellikleri
Pascal üçgeninin içerdiği bazı sayı dizileri aşağıdaki gibidir.
- En dıştaki köşegen 1 sayısından oluşur.
- Onun bir içindeki köşegen sayma sayılarından oluşur (\( 1, 2, 3, 4, \ldots \)).
- Onun bir içindeki köşegen üçgensel sayılardan oluşur (\( 1, 3, 6, 10, \ldots \)).
Pascal üçgeni ortasından geçen dikey bir doğruya göre simetriktir, yani üçgen bu doğru etrafında katlandığında üst üste gelen kutular aynı sayıları içerir.
Pascal üçgeninin ilk satırı dışında herhangi bir satırında 1. 3. 5. vb. (yeşil) kutulardaki sayıların toplamı 2. 4. 6. vb. (gri) kutulardaki sayıların toplamına eşit olur.
Pascal üçgeninin \( n \). satırındaki sayılar soldan sağa tek bir sayı gibi okunduğunda 11'in \( n \). kuvvetini verir. \( n = 5 \)'ten itibaren kutular iki ya da daha çok basamaklı sayılar içerebildiği için, bir kutudaki sayının birler basamağı dışındaki basamaklarındaki sayı soldaki kutudaki sayıya eklenerek ilerlenir.
\( n = 5 \) satırı:
\( 1 - 5 - 10 - \textcolor{red}{10} - 5 - 1 \)
10'un onlar basamağındaki sayıyı soldaki kutuya ekleyelim.
\( 1 - 5 - \textcolor{red}{11} - 0 - 5 - 1 \)
11'in onlar basamağındaki sayıyı soldaki kutuya ekleyelim.
\( 1 - 6 - 1 - 0 - 5 - 1 \)
\( 11^5 = 161,051 \)
\( n = 8 \) satırı:
\( 1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - \textcolor{red}{28} - 8 - 1 \)
28'in onlar basamağındaki sayıyı soldaki kutuya ekleyelim.
\( 1 - 8 - 28 - 56 - 70 - \textcolor{red}{58} - 8 - 8 - 1 \)
58'in onlar basamağındaki sayıyı soldaki kutuya ekleyelim.
\( 1 - 8 - 28 - 56 - \textcolor{red}{75} - 8 - 8 - 8 - 1 \)
75'in onlar basamağındaki sayıyı soldaki kutuya ekleyelim.
\( 1 - 8 - 28 - \textcolor{red}{63} - 5 - 8 - 8 - 8 - 1 \)
63'ün onlar basamağındaki sayıyı soldaki kutuya ekleyelim.
\( 1 - 8 - \textcolor{red}{34} - 3 - 5 - 8 - 8 - 8 - 1 \)
34'ün onlar basamağındaki sayıyı soldaki kutuya ekleyelim.
\( 1 - \textcolor{red}{11} - 4 - 3 - 5 - 8 - 8 - 8 - 1 \)
11'in onlar basamağındaki sayıyı soldaki kutuya ekleyelim.
\( 2 - 1 - 4 - 3 - 5 - 8 - 8 - 8 - 1 \)
\( 11^8 = 214,358,881 \)
\( n = 9 \) satırı:
\( 1 - 9 - 36 - 84 - 126 - 126 - 84 - \textcolor{red}{36} - 9 - 1 \)
36'nın onlar basamağındaki sayıyı soldaki kutuya ekleyelim.
\( 1 - 9 - 36 - 84 - 126 - 126 - \textcolor{red}{87} - 6 - 9 - 1 \)
87'nin onlar basamağındaki sayıyı soldaki kutuya ekleyelim.
\( 1 - 9 - 36 - 84 - 126 - \textcolor{red}{134} - 7 - 6 - 9 - 1 \)
134'ün onlar ve yüzler basamağındaki sayıyı soldaki kutuya ekleyelim.
\( 1 - 9 - 36 - 84 - \textcolor{red}{139} - 4 - 7 - 6 - 9 - 1 \)
139'un onlar ve yüzler basamağındaki sayıyı soldaki kutuya ekleyelim.
\( 1 - 9 - 36 - \textcolor{red}{97} - 9 - 4 - 7 - 6 - 9 - 1 \)
97'nin onlar basamağındaki sayıyı soldaki kutuya ekleyelim.
\( 1 - 9 - \textcolor{red}{45} - 7 - 9 - 4 - 7 - 6 - 9 - 1 \)
45'in onlar basamağını soldaki kutuya ekleyelim.
\( 1 - \textcolor{red}{13} - 5 - 7 - 9 - 4 - 7 - 6 - 9 - 1 \)
13'ün onlar basamağını soldaki kutuya ekleyelim.
\( 2 - 3 - 5 - 7 - 9 - 4 - 7 - 6 - 9 - 1 \)
\( 11^9 = 2,357,947,691 \)
Pascal Üçgeni ve Kombinasyon
Pascal üçgeninin \( n \). satırındaki kutular \( n \)'in sırasıyla 0'dan \( n \)'e kadarki kombinasyonlarını içerir (\( \binom{n}{r} = C(n, r) \)).
Bir \( n \) sayısının tüm kombinasyonlarının toplamı \( 2^n \)'e eşit olduğu için, Pascal üçgeninin \( n \). satırındaki sayıların toplamı \( 2^n \)'e eşittir.
\( C(n, 0) + C(n, 1) + \ldots + C(n, n) = 2^n \)
\( 1 = 2^0 = 1 \)
\( 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 2^4 = 16 \)
Kombinasyon ile ilişkisi sebebiyle Pascal üçgeni aşağıdaki konularda da kullanılır.
- \( n \) elemanlı bir kümenin \( k \) elemanlı alt kümelerinin sayısı \( C(n, k) \) formülü ile hesaplanır. Buna göre bir kümenin \( 0, 1, \ldots, n \) elemanlı alt kümelerin toplam sayısı \( 2^n \) olur.
- \( n \) kişi içinden seçilebilecek \( k \) kişilik ekiplerin sayısı \( C(n, k) \) formülü ile hesaplanır. Buna göre seçilebilecek \( 0, 1, \ldots, n \) elemanlı ekiplerin toplam sayısı \( 2^n \) olur.
- \( (x + y)^n \) şeklindeki bir binom ifadenin açılımındaki \( (k + 1). \) terimin binom katsayısı \( \binom{n}{k} = C(n, k) \) formülü ile hesaplanır. Buna göre bir binom açılımının terimlerinin binom katsayıları toplamı \( 2^n \) olur.
Pascal üçgeninde 9 sayının bulunduğu satırdaki en büyük eleman \( a \) ile, bu satırdaki tüm elemanların toplamı \( b \) ile ifade edildiğine göre, \( b - a \) kaçtır?
Çözümü GösterPascal üçgeninde 9 sayının bulunduğu satır \( n = 8 \) olan satırdır.
Bu satırdaki en büyük eleman en ortadaki terim olan \( a = \binom{8}{4} = \dfrac{8!}{4!4!} = 70 \) olur.
Pascal üçgeninde \( n = 8 \) olan satırdaki sayıların toplamı \( b = 2^8 = 256 \) olur.
\( b - a = 256 - 70 = 186 \) bulunur.