Binom Açılımı
İki terimli (binom) bir ifadenin bir doğal sayı kuvvetinin açılımına binom açılımı denir.
\( (x + y)^n \) şeklindeki bir ifadenin açılımı aşağıdaki gibidir.
\( \binom{n}{k} \) ifadesi \( n \)'nin \( k \)'lı kombinasyonu olmak üzere,
\( (x + y)^n = \binom{n}{0} x^{n - 0}y^0 \) \( + \binom{n}{1} x^{n - 1}y^1 \) \( + \binom{n}{2} x^{n - 2}y^2 \) \( + \ldots + \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \) \( + \ldots + \binom{n}{n} x^{n - n}y^n \)
Bu ifadeyi aşağıdaki şekilde sadeleştirebiliriz.
\( (x + y)^n = x^n \) \( + \binom{n}{1} x^{n - 1}y \) \( + \binom{n}{2} x^{n - 2}y^2 \) \( + \ldots + \binom{n}{k} x^{n - k}y^k \) \( + \ldots + y^n \)
\( (x + y)^2 = \binom{2}{0} x^2 + \binom{2}{1} x^1y^1 + \binom{2}{2} y^2 \)
\( = x^2 + 2xy + y^2 \)
\( (x + y)^3 = \binom{3}{0} x^3 + \binom{3}{1} x^2y^1 \) \( + \binom{3}{2} x^1y^2 \) \( + \binom{3}{3} y^3 \)
\( = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \)
İSPATI GÖSTER
Bir binom açılımındaki binom katsayılarının nasıl oluştuğunu bir binom ifadenin 4. kuvveti üzerinden örneklendirerek gösterelim.
Binom ifadenin 4. kuvvetini ifadenin 4 kez kendisiyle çarpımı şeklinde yazalım.
\( (x + y)^4 = \underbrace{(x + y)}_{1}\underbrace{(x + y)}_{2}\underbrace{(x + y)}_{3}\underbrace{(x + y)}_{4} \)
Binom açılımının (benzer terimler aralarında toplanmadan önceki) terimleri bu 4 çarpanın her birinden seçilen \( x \) ya da \( y \) değişkenlerinin birbiri ile çarpımı sonucunda oluşur.
\( = xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + \ldots + yyyy \)
Örneğin \( x^3y \) terimi yukarıdaki açılımdaki aşağıdaki terimlere karşılık gelmektedir.
\( = \ldots + xxxy + xxyx + \ldots + xyxx + \ldots + yxxx + \ldots \)
Birbirine benzer olan bu terimlerin sayısı \( x^3y \) teriminin binom katsayısını verir.
\( = \ldots + 4x^3y + \ldots \)
Buna göre \( x^ky^{n - k} \) şeklindeki bir terimin katsayısı binom açılımında bu değişken permütasyonunun kaç kez tekrarlandığını gösterir.
Her değişken permütasyonunun binom açılımında kaç kez tekrarlandığını bir kombinasyon (seçme) problemi olarak kurgulayabiliriz.
Buna göre \( x^3y \) değişkeninin tekrar sayısı 4 çarpanın 3'ünden \( x \), 1'inden \( y \) değişkenini kaç farklı şekilde seçebileceğimize eşittir.
\( C(4, 3) \cdot C(1, 1) = C(4, 3) \)
Benzer şekilde \( x^ky^{n - k} \) değişkeninin tekrar sayısı \( n \) çarpanın \( k \)'sından \( x \) değişkenini, \( (n - k) \)'sından \( y \) değişkenini kaç farklı şekilde seçebileceğimize eşittir.
\( C(n, k) \cdot C(n - k, n - k) = C(n, k) \)
Dolayısıyla bir binom açılımında \( x^ky^{n - k} \) teriminin tekrarlanma sayısının, dolayısıyla katsayısının \( C(n, k) = \binom{n}{k} \) olacağını söyleyebiliriz.
Dikkat edilirse yukarıdaki iki örnekteki binom açılımları daha önce özdeşlikler konusunda gördüğümüz parantez karesi ve küpü açılımları ile aynı sonucu vermektedir.
Binom açılımında vurgulanması gereken önemli bazı noktalar şunlardır.
- \( n \). dereceden bir binom ifadenin açılımında \( (n + 1) \) terim vardır.
- Binom açılımında terimler binomun ilk teriminin azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
- Buna göre açılımda birinci terimin kuvveti \( n \) ile başlar ve her terimde birer azalarak son terimde 0 olur (\( x^n \to x^{n-1} \to \ldots \to x^1 \to x^0 \)).
- İkinci terimin kuvveti ise 0 ile başlar ve her terimde birer artarak son terimde \( n \) olur (\( y^0 \to y^1 \to \ldots \to y^{n-1} \to y^n \)).
- Açılımın her teriminde binom terimlerinin kuvvetlerinin toplamı \( n \)'ye eşittir.
\( (x + y)^n \) ifadesinin binom açılımının bir teriminin bileşenleri aşağıdaki gibidir.
Binom açılımındaki \( \binom{n}{k} \) ifadelerine binom katsayısı adı verilir ve her biri \( n \)'nin \( k \)'lı kombinasyonuna karşılık gelir.
\( \binom{n}{k} = C(n, k) = \dfrac{n!}{k!(n - k)!} \)
Binom açılımını toplama işlemi ile aşağıdaki gibi kısa şekilde yazabiliriz.
\( (x + y)^n = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}x^{n - k}y^k \)
\( (x + y)^6 \) ifadesinin açılımını yazınız.
Çözümü GösterBinom açılımında kullanacağımız 6'nın farklı kombinasyonlarını bulalım.
\( \binom{6}{0} = \binom{6}{6} = \dfrac{6!}{0!6!} = 1 \)
\( \binom{6}{1} = \binom{6}{5} = \dfrac{6!}{1!5!} = 6 \)
\( \binom{6}{2} = \binom{6}{4} = \dfrac{6!}{2!4!} = 15 \)
\( \binom{6}{3} = \dfrac{6!}{3!3!} = 20 \)
İfadenin açılımını yazalım.
\( (x + y)^6 = \binom{6}{0} x^6y^0 + \binom{6}{1} x^5y^1 \) \( + \binom{6}{2} x^4y^2 \) \( + \binom{6}{3} x^3y^3 \) \( + \binom{6}{4} x^2y^4 \) \( + \binom{6}{5} x^1y^5 \) \( + \binom{6}{6} x^0y^6 \)
\( = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 \) \( + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 \) \( + 6xy^5 + y^6 \)
Farklı Binom İfadelerin Açılımı
Yukarıda açılımını yaptığımız \( (x + y)^n \) ifadesinin iki terimi de katsayıları ve kuvvetleri 1 olan değişkenlerdi, ancak bu terimlerde katsayılar negatif olabilir, değişkenlerin dereceleri birden farklı olabilir ya da terimler sadece katsayıdan oluşabilir.
\( (2x + 3y)^n \)
\( (5a^2 - 4)^n \)
\( (x - \frac{1}{x})^n \)
Yukarıda paylaştığımız binom açılım formülü her formdaki iki terimli ifadeye uygulanabilir. Yapılması gereken işlem bu formüldeki \( x \) ve \( y \) değişkenleri yerine ilgili ifadedeki terimleri parantez içinde yerleştirmek, daha sonra bu parantezleri açarak terimleri sadeleştirmek olacaktır.
\( (\textcolor{red}{2a} \textcolor{blue}{- 3b})^2 = \binom{2}{0} (\textcolor{red}{2a})^2 (\textcolor{blue}{-3b})^0 + \binom{2}{1} (\textcolor{red}{2a})^1(\textcolor{blue}{-3b})^1 \) \( + \binom{2}{2} (\textcolor{red}{2a})^0 (\textcolor{blue}{-3b})^2 \)
\( = 4a^2 + 2(2a)(-3b) + 9b^2 \)
\( = 4a^2 - 12ab + 9b^2 \)
\( (\textcolor{red}{3x^2} + \textcolor{blue}{2y^3})^3 = \binom{3}{0} (\textcolor{red}{3x^2})^3 (\textcolor{blue}{2y^3})^0 \) \( + \binom{3}{1} (\textcolor{red}{3x^2})^2(\textcolor{blue}{2y^3})^1 \) \( + \binom{3}{2} (\textcolor{red}{3x^2})^1(\textcolor{blue}{2y^3})^2 \) \( + \binom{3}{3} (\textcolor{red}{3x^2})^0(\textcolor{blue}{2y^3})^3 \)
\( = (27x^6) + 3(9x^4)(2y^3) \) \( + 3(3x^2)(4y^6) \) \( + (8y^9) \)
\( = 27x^6 + 54x^4y^3 + 36x^2y^6 + 8y^9 \)
\( (\textcolor{red}{x^2} \textcolor{blue}{-\frac{2}{x}})^4 = \binom{4}{0} (\textcolor{red}{x^2})^4(\textcolor{blue}{-\frac{2}{x}})^0 + \binom{4}{1} (\textcolor{red}{x^2})^3(\textcolor{blue}{-\frac{2}{x}})^1 + \binom{4}{2} (\textcolor{red}{x^2})^2(\textcolor{blue}{-\frac{2}{x}})^2 \) \( + \binom{4}{3} (\textcolor{red}{x^2})^1(\textcolor{blue}{-\frac{2}{x}})^3 + \binom{4}{4} (\textcolor{red}{x^2})^0(\textcolor{blue}{-\frac{2}{x}})^4 \)
\( = (x^8) + 4(x^6)(-\frac{2}{x}) + 6(x^4)(\frac{4}{x^2}) \) \( + 4(x^2)(-\frac{8}{x^3}) + (\frac{16}{x^4}) \)
\( = x^8 - 8x^5 + 24x^2 - \frac{32}{x} + \frac{16}{x^4} \)
Bu örneklerde görebileceğimiz gibi, binom açılımlarındaki terimlerin katsayıları sadece binom katsayısından oluşmaz ve binom terimlerinden gelen katsayıları da içerir. Binom katsayısının sadece \( \binom{n}{k} \) ifadesine karşılık geldiğine dikkat edilmelidir.
Binom ifadenin ikinci teriminin katsayısı negatif ise (\( (x - y) \) gibi) açılımdaki terimlerin katsayıları \( y \)'nin çift kuvvetleri için pozitif, tek kuvvetleri için negatif olur. Dolayısıyla \( (x - y)^n \) şeklindeki bir ifadenin açılımında terimlerin katsayıları pozitif ile başlar ve bir pozitif bir negatif şeklinde ilerler (\( + - + - + - \ldots \)).
Aşağıda verilen ifadelerin açılımlarını yazınız.
(a) \( (4x + 5y)^3 \)
(b) \( (2x - 3y)^4 \)
(c) \( (x + 2y)^5 \)
Çözümü GösterBinom açılım formülü aşağıdaki gibidir.
\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n - 1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}x^1y^{n - 1} + \binom{n}{n}x^0y^n \)
(a) seçeneği:
\( (4x + 5y)^3 = \binom{3}{0}(4x)^3(5y)^0 + \binom{3}{1}(4x)^2(5y)^1 + \binom{3}{2}(4x)^1(5y)^2 + \binom{3}{3}(4x)^0(5y)^3 \)
\( = 1 \cdot 64x^3 \cdot 1 + 3 \cdot 16x^2 \cdot 5y + 3 \cdot 4x \cdot 25y^2 + 1 \cdot 1 \cdot 125y^3 \)
\( = 64x^3 + 240x^2y + 300xy^2 + 125y^3 \)
(b) seçeneği:
\( (2x - 3y)^4 = \binom{4}{0}(2x)^4(-3y)^0 + \binom{4}{1}(2x)^3(-3y)^1 + \binom{4}{2}(2x)^2(-3y)^2 + \binom{4}{3}(2x)^1(-3y)^3 + \binom{4}{4}(2x)^0(-3y)^4 \)
\( = 1 \cdot 16x^4 \cdot 1 + 4 \cdot 8x^3 \cdot (-3y) + 6 \cdot 4x^2 \cdot 9y^2 + 4 \cdot 2x \cdot (-27y^3) + 1 \cdot 1 \cdot 81y^4 \)
\( = 16x^4 - 96x^3y + 216x^2y^2 - 216xy^3 + 81y^4 \)
(c) seçeneği:
\( (x + 2y)^5 = \binom{5}{0}x^5(2y)^0 + \binom{5}{1}x^4(2y)^1 + \binom{5}{2}x^3(2y)^2 + \binom{5}{3}x^2(2y)^3 + \binom{5}{4}x^1(2y)^4 + \binom{5}{5}x^0(2y)^5 \)
\( = 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot 2y + 10 \cdot x^3 \cdot 4y^2 + 10 \cdot x^2 \cdot 8y^3 + 5 \cdot x \cdot 16y^4 + 1 \cdot 1 \cdot 32y^5 \)
\( = x^5 + 10x^4y + 40x^3y^2 + 80x^2y^3 + 80xy^4 + 32y^5 \)
Aşağıda verilen ifadelerin açılımlarını yazınız.
(a) \( (2x + 5)^4 \)
(b) \( (4x - 1)^5 \)
(c) \( (-x + 3)^6 \)
Çözümü GösterBinom açılım formülü aşağıdaki gibidir.
\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n - 1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}x^1y^{n - 1} + \binom{n}{n}x^0y^n \)
(a) seçeneği:
\( (2x + 5)^4 = \binom{4}{0}(2x)^4(5)^0 + \binom{4}{1}(2x)^3(5)^1 + \binom{4}{2}(2x)^2(5)^2 + \binom{4}{3}(2x)^1(5)^3 + \binom{4}{4}(2x)^0(5)^4 \)
\( = 1 \cdot 16x^4 \cdot 1 + 4 \cdot 8x^3 \cdot 5 + 6 \cdot 4x^2 \cdot 25 + 4 \cdot 2x \cdot 125 + 1 \cdot 1 \cdot 625 \)
\( = 16x^4 + 160x^3 + 600x^2 + 1000x + 625 \)
(b) seçeneği:
\( (4x - 1)^5 = \binom{5}{0}(4x)^5(-1)^0 + \binom{5}{1}(4x)^4(-1)^1 + \binom{5}{2}(4x)^3(-1)^2 + \binom{5}{3}(4x)^2(-1)^3 + \binom{5}{4}(4x)^1(-1)^4 + \binom{5}{5}(4x)^0(-1)^5 \)
\( = 1 \cdot 1024x^5 \cdot 1 + 5 \cdot 256x^4 \cdot (-1) + 10 \cdot 64x^3 \cdot 1 + 10 \cdot 16x^2 \cdot (-1) + 5 \cdot 4x \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1) \)
\( = 1024x^5 - 1280x^4 + 640x^3 - 160x^2 + 20x - 1 \)
(c) seçeneği:
\( (-x + 3)^6 = \binom{6}{0}(-x)^6(3)^0 + \binom{6}{1}(-x)^5(3)^1 + \binom{6}{2}(-x)^4(3)^2 + \binom{6}{3}(-x)^3(3)^3 + \binom{6}{4}(-x)^2(3)^4 + \binom{6}{5}(-x)^1(3)^5 + \binom{6}{6}(-x)^0(3)^6 \)
\( = 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot (-x^5) \cdot 3 + 15 \cdot x^4 \cdot 9 + 20 \cdot (-x^3) \cdot 27 + 15 \cdot x^2 \cdot 81 + 6 \cdot (-x) \cdot 243 + 1 \cdot 1 \cdot 729 \)
\( = x^6 - 18x^5 + 135x^4 - 540x^3 + 1215x^2 - 1458x + 729 \)
Aşağıda verilen ifadelerin açılımlarını yazınız.
(a) \( (2x + \dfrac{3}{x})^3 \)
(b) \( (x - \dfrac{4}{x})^5 \)
(c) \( (x + \dfrac{1}{2x})^6 \)
Çözümü GösterBinom açılım formülü aşağıdaki gibidir.
\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n - 1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}x^1y^{n - 1} + \binom{n}{n}x^0y^n \)
(a) seçeneği:
\( (2x + \dfrac{3}{x})^3 = \binom{3}{0}(2x)^3(\dfrac{3}{x})^0 + \binom{3}{1}(2x)^2(\dfrac{3}{x})^1 + \binom{3}{2}(2x)^1(\dfrac{3}{x})^2 + \binom{3}{3}(2x)^0(\dfrac{3}{x})^3 \)
\( = 1 \cdot 8x^3 \cdot 1 + 3 \cdot 4x^2 \cdot \dfrac{3}{x} + 3 \cdot 2x \cdot \dfrac{9}{x^2} + 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{27}{x^3} \)
\( = 8x^3 + 36x + \dfrac{54}{x} + \dfrac{27}{x^3} \)
(b) seçeneği:
\( (x - \dfrac{4}{x})^5 = \binom{5}{0}x^5(-\dfrac{4}{x})^0 + \binom{5}{1}x^4(-\dfrac{4}{x})^1 + \binom{5}{2}x^3(-\dfrac{4}{x})^2 + \binom{5}{3}x^2(-\dfrac{4}{x})^3 + \binom{5}{4}x^1(-\dfrac{4}{x})^4 + \binom{5}{5}x^0(-\dfrac{4}{x})^5 \)
\( = 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot (-\dfrac{4}{x}) + 10 \cdot x^3 \cdot \dfrac{16}{x^2} + 10 \cdot x^2 \cdot (-\dfrac{64}{x^3}) + 5 \cdot x \cdot \dfrac{256}{x^4} + 1 \cdot 1 \cdot (-\dfrac{1024}{x^5}) \)
\( = x^5 - 20x^3 + 160x - \dfrac{640}{x} + \dfrac{1280}{x^3} - \dfrac{1024}{x^5} \)
(c) seçeneği:
\( (x + \dfrac{1}{2x})^6 = \binom{6}{0}x^6(\dfrac{1}{2x})^0 + \binom{6}{1}x^5(\dfrac{1}{2x})^1 + \binom{6}{2}x^4(\dfrac{1}{2x})^2 + \binom{6}{3}x^3(\dfrac{1}{2x})^3 + \binom{6}{4}x^2(\dfrac{1}{2x})^4 + \binom{6}{5}x^1(\dfrac{1}{2x})^5 + \binom{6}{6}x^0(\dfrac{1}{2x})^6 \)
\( = 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot \dfrac{1}{2x} + 15 \cdot x^4 \cdot \dfrac{1}{4x^2} + 20 \cdot x^3 \cdot \dfrac{1}{8x^3} + 15 \cdot x^2 \cdot \dfrac{1}{16x^4} + 6 \cdot x \cdot \dfrac{1}{32x^5} + 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{64x^6} \)
\( = x^6 + 3x^4 + \dfrac{15x^2}{4} + \dfrac{5}{2} + \dfrac{15}{16x^2} + \dfrac{3}{16x^4} + \dfrac{1}{64x^6} \)
Aşağıda verilen ifadelerin açılımlarını yazınız.
(a) \( (2x^2 + 5)^3 \)
(b) \( (3x^4 - 2)^4 \)
(c) \( (x^3 + 1)^6 \)
Çözümü GösterBinom açılım formülü aşağıdaki gibidir.
\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^ny^0 + \binom{n}{1}x^{n - 1}y^1 + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}x^1y^{n - 1} + \binom{n}{n}x^0y^n \)
(a) seçeneği:
\( (2x^2 + 5)^3 = \binom{3}{0}(2x^2)^3(5)^0 + \binom{3}{1}(2x^2)^2(5)^1 + \binom{3}{2}(2x^2)^1(5)^2 + \binom{3}{3}(2x^2)^0(5)^3 \)
\( = 1 \cdot 8x^6 \cdot 1 + 3 \cdot 4x^4 \cdot 5 + 3 \cdot 2x^2 \cdot 25 + 1 \cdot 1 \cdot 125 \)
\( = 8x^6 + 60x^4 + 150x^2 + 125 \)
(b) seçeneği:
\( (3x^4 - 2)^4 = \binom{4}{0}(3x^4)^4(-2)^0 + \binom{4}{1}(3x^4)^3(-2)^1 + \binom{4}{2}(3x^4)^2(-2)^2 + \binom{4}{3}(3x^4)^1(-2)^3 + \binom{4}{4}(3x^4)^0(-2)^4 \)
\( = 1 \cdot 81x^{16} \cdot 1 + 4 \cdot 27x^{12} \cdot (-2) + 6 \cdot 9x^8 \cdot 4 + 4 \cdot 3x^4 \cdot (-8) + 1 \cdot 1 \cdot 16 \)
\( = 81x^{16} - 216x^{12} + 216x^8 - 96x^4 + 16 \)
(c) seçeneği:
\( (x^3 + 1)^6 = \binom{6}{0}(x^3)^6(1)^0 + \binom{6}{1}(x^3)^5(1)^1 + \binom{6}{2}(x^3)^4(1)^2 + \binom{6}{3}(x^3)^3(1)^3 + \binom{6}{4}(x^3)^2(1)^4 + \binom{6}{5}(x^3)^1(1)^5 + \binom{6}{6}(x^3)^0(1)^6 \)
\( = 1 \cdot x^{18} \cdot 1 + 6 \cdot x^{15} \cdot 1 + 15 \cdot x^{12} \cdot 1 + 20 \cdot x^9 \cdot 1 + 15 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 \)
\( = x^{18} + 6x^{15} + 15x^{12} + 20x^9 + 15x^6 + 6x^3 + 1 \)
\( \binom{12}{0} \cdot 10^{12} - \binom{12}{1} \cdot 10^{11} \) \( + \binom{12}{2} \cdot 10^{10} \) \( - \binom{12}{3} \cdot 10^9 \) \( + \ldots + \binom{12}{12} \)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterVerilen açılım \( (k + 1) \). terimi aşağıdaki ifade olan binom açılımıdır.
\( T_{k + 1} = \binom{12}{k} 10^{12 - k}(-1)^k \)
Buna göre ifade aşağıdaki gibidir.
\( (10 - 1)^{12} = 9^{12} = 3^{24} \) bulunur.
\( (0,84)^5 \) sayısının virgülden sonraki 2. basamağı kaçtır?
Çözümü GösterSorunun çözümünde binom açılımını kullanalım.
\( (0,84)^5 = (1 - 0,16)^5 \)
Elde ettiğimiz ifadenin açılımını yazalım.
\( (1 - 0,16)^5 = \binom{5}{0}1^5(-0,16)^0 + \binom{5}{1}1^4(-0,16)^1 + \binom{5}{2}1^3(-0,16)^2 + \binom{5}{3}1^2(-0,16)^3 + \binom{5}{4}1^1(-0,16)^4 + \binom{5}{5}1^0(-0,16)^5 \)
\( = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1 \cdot \dfrac{-16}{10^2} + 10 \cdot 1 \cdot \dfrac{16^2}{10^4} + 10 \cdot 1 \cdot \dfrac{-16^3}{10^6} + 5 \cdot 1 \cdot \dfrac{16^4}{10^8} + 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{-16^5}{10^{10}} \)
Bu açılımda virgülden sonraki 2. basamağı etkileyebilecek olan terimleri dikkate almamız yeterlidir.
\( = 1 - 0,8 + 0,256 - 0,04096 + \ldots \)
\( = 0,41\ldots \)
Buna göre virgülden sonraki ikinci basamak 1'dir.
\( 11^{75} \) sayısının son iki basamağındaki rakamların toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeyi bir binom ifade şeklinde yazıp açılımını yapalım.
\( 11^{75} = (1 + 10)^{75} \)
\( = \binom{75}{0} \cdot 1^{75} \cdot 10^0 + \binom{75}{1} \cdot 1^{74} \cdot 10^1 + \binom{75}{2} \cdot 1^{73} \cdot 10^2 + \binom{75}{3} \cdot 1^{72} \cdot 10^3 + \ldots \)
\( = \binom{75}{0} \cdot 1 + \binom{75}{1} \cdot 10 + \binom{75}{2} \cdot 100 + \binom{75}{3} \cdot 1000 + \ldots \)
Görebileceğimiz üzere, sayının son iki basamağını bu açılımın ilk iki terimi belirler, diğer terimlerin son iki basamağa bir etkisi yoktur.
Buna göre açılımın ilk iki teriminin toplamını 100 modülünde hesaplayalım.
\( (\binom{75}{0} \cdot 1 + \binom{75}{1} \cdot 10) \pmod{100} \)
\( = (1 \cdot 1 + 75 \cdot 10) \pmod{100} \)
\( = (1 + 750) \pmod{100} \)
\( = (1 + 50) \pmod{100} \)
\( = 51 \)
İfadenin son iki basamağındaki rakamların toplamı \( 5 + 1 = 6 \) bulunur.
Terim Sayısı
\( (x + y)^n \) şeklindeki bir ifadede \( n \) tane \( (x + y) \) ifadesinin çarpımı sonucunda \( 2^n \) terim oluşur. Bu açılımdaki benzer terimler aralarında toplandığında geriye \( (n + 1) \) terim kalır.
\( (x + y)^3 = (x + y)(x + y)(x + y) \)
\( = (x^2 + xy + xy + y^2)(x + y) \)
\( = x^3 + x^2y + x^2y + xy^2 \) \( + x^2y + xy^2 \) \( + xy^2 + y^3 \)
Tüm çarpanların çarpımı sonucunda \( 2^n = 2^3 = 8 \) terim oluşur.
\( = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \)
Benzer terimler toplandığında açılımda \( n + 1 = 3 + 1 = 4 \) terim kalır.
\( (4x + 5y)^n \) ifadesinin açılımında 13 terim olduğuna göre, \( n \) doğal sayısı kaçtır?
Çözümü Göster\( n. \) dereceden bir binom ifadenin açılımında \( n + 1 \) terim vardır.
\( n + 1 = 13 \)
\( n = 12 \) bulunur.
\( (x + 2)^5 \cdot (x - y)^8 \) ifadesinin tam açılımında kaç terim vardır?
Çözümü Göster\( (x + 2)^5 \) ifadesinin açılımında \( 5 + 1 = 6 \) terim vardır.
\( (x - y)^8 \) ifadesinin açılımında \( 8 + 1 = 9 \) terim vardır.
\( (x + 2)^5 \cdot (x - y)^8 \) ifadesinin açılımı birinci ifadenin açılımındaki 6 terimin her birinin ikinci ifadenin açılımındaki 9 terimin her biri ile çarpılması ile oluşur, dolayısıyla bu iki ifadenin açılımlarının çarpılması sonucunda oluşan ifadede \( 6 \cdot 9 = 54 \) terim vardır.
Bu iki ifadenin \( x \) terimleri benzer olsa da ikinci terimleri benzer olmadığı için (\( 2 \) ve \( -y \)), her iki ifadenin açılımlarının çarpımları sonucunda oluşan 54 terimli ifadede benzer terimler oluşmayacak, dolayısıyla benzer terimlerin aralarında toplanması sonucunda terim sayısı azalmayacaktır.
Sabit Terim
Bir binom ifadenin açılımındaki sabit terimi bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 0 değeri verilir ve açılımda değişken içeren terimlerin yok olması sağlanır.
\( (x + y)^8 \) ifadesinin sabit terimi \( = (0 + 0)^8 = 0 \)
\( (2x + 3)^3 \) ifadesinin sabit terimi \( = (2 \cdot 0 + 3)^3 = 27 \)
\( (x^2 - 3)^4 \) ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?
Çözümü GösterBir binom ifadenin açılımındaki sabit terimi bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 0 değeri verilir ve açılımda değişken içeren terimlerin yok olması sağlanır.
\( x = 0 \) yazalım.
\( (0^2 - 3)^4 = (-3)^4 = 81 \) bulunur.
Binom ifadelerde sabit terimin oluştuğu bir diğer durum, binom ifadenin terimlerinin pay ve paydada aynı değişkeni içerdiği ve açılımdaki bazı terimlerde bu değişkenlerin birbirini götürdüğü ve terimin değişken kısmının \( x^0 \) olarak kaldığı durumlardır.
Aşağıdaki örnekte ikinci terimde bu şekilde bir sabit terim oluşmuştur.
\( (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2x\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \)
\( = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \)
Katsayılar Toplamı
Bir binom ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki değişkenlerin yok olması sağlanır.
\( (x + y)^8 \) ifadesinin katsayılar toplamı \( = (1 + 1)^8 = 2^8 \)
\( (2x + 3)^3 \) ifadesinin katsayılar toplamı \( = (2 \cdot 1 + 3)^3 = 125 \)
\( (a - 3b)^6 \) ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir binom ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki değişkenlerin yok olması sağlanır.
\( a = b = 1 \) yazalım.
\( (1 - 3(1))^6 = (-2)^6 = 64 \) bulunur.
\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( (x^3 - \dfrac{3}{x^2})^n \) ifadesinin açılımındaki katsayıların aritmetik ortalaması \( -2 \) olduğuna göre, \( n \) kaçtır?
Çözümü GösterBir binom ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki değişkenlerin yok olması sağlanır.
\( (1^3 - \dfrac{3}{1^2})^n = (-2)^n \)
\( n \). dereceden bir binom ifadenin açılımında \( n + 1 \) terim vardır.
Katsayılar toplamını terim sayısına bölerek katsayıların aritmetik ortalamasına eşitleyelim.
\( \dfrac{(-2)^n}{n + 1} = -2 \)
Bu eşitliği sağlayan \( n \) değeri 3'tür.