Binom Açılımı
İki terimli cebirsel ifadelere binom denir.
Aşağıdaki ifadeler birer binomdur.
\( 3x + 2y, 4b^3 - 1, \sqrt{2x} + \dfrac{3}{\sqrt{x}} \)
Aşağıdaki ifadeler iki terimli olmadıkları için binom değildir.
\( x^3, a^2 - a + 1 \)
İki terimli (binom) bir ifadenin bir doğal sayı kuvvetinin açılımına binom açılımı denir. Bu bölümde önce \( (x + y)^n \) formundaki standart ifadelerin açılımını bulmaya çalışacağız, daha sonra bu yöntemin tüm binom açılımlarına nasıl uygulanabileceğini göreceğiz.
\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( (x + y)^n = \ldots \)
Bunun için ilk adımda \( (x + y) \) ifadesinin kendisiyle \( n \) kez çarpımını alalım.
\( (x + y)^n = \underbrace{(x + y)(x + y) \ldots (x + y)}_{n \text{ adet}} \)
İfadeyi parantezleri dağıtarak açtığımızda elde edilen her terim, bu \( n \) parantezin her birinden seçilen bir tane \( x \) ya da bir tane \( y \) değişkeninin çarpımından oluşur. Buna göre bazı \( n \) değerleri için açılımdaki farklı terimler aşağıdaki gibi olur.
| \( n \) | Binom Kuvveti | Açılımdaki Farklı Terimler | Farklı Terim Sayısı |
|---|---|---|---|
| \( 2 \) | \( (x + y)^2 \) | \( x^2, xy, y^2 \) | \( 3 \) |
| \( 3 \) | \( (x + y)^3 \) | \( x^3, x^2y, xy^2, y^3 \) | \( 4 \) |
| \( 4 \) | \( (x + y)^4 \) | \( x^4, x^3y, x^2y^2, xy^3, y^4 \) | \( 5 \) |
| \( 5 \) | \( (x + y)^5 \) | \( x^5, x^4y, x^3y^2, x^2y^3, xy^4, y^5 \) | \( 6 \) |
Bu doğrultuda bir binom ifadenin \( n \). kuvvetinin açılımındaki terimlerin aşağıdaki iki koşulu sağlayacağını tahmin etmek kolaydır.
- Açılımda \( n + 1 \) farklı terim bulunur.
- Her terimde \( x \) ve \( y \) kuvvetlerinin toplamı \( n \)'ye eşit olur.
Bir binom açılımındaki \( n + 1 \) farklı terim genel bir standart olarak \( x \)'in azalan kuvvetlerine göre sıralanırlar. Buna göre;
- \( x \)'in kuvveti ilk terimde \( n \) olur ve her terimde birer azalarak son terimde \( 0 \) olur (\( x^n \to x^{n-1} \to \ldots \to x^1 \to x^0 \)).
- \( y \)'nin kuvveti ilk terimde \( 0 \) olur ve her terimde birer artarak son terimde \( n \) olur (\( y^0 \to y^1 \to \ldots \to y^{n-1} \to y^n \)).
Buna göre bazı \( n \) değerleri için \( n + 1 \) terimli binom açılımı aşağıdaki formda olur.
| \( n \) | Binom Kuvveti | Açılım |
|---|---|---|
| \( 2 \) | \( (x + y)^2 \) | \( \textcolor{red}{a}x^2 + \textcolor{red}{b}xy + \textcolor{red}{c}y^2 \) |
| \( 3 \) | \( (x + y)^3 \) | \( \textcolor{red}{a}x^3 + \textcolor{red}{b}x^2y + \textcolor{red}{c}xy^2 + \textcolor{red}{d}y^3 \) |
| \( 4 \) | \( (x + y)^4 \) | \( \textcolor{red}{a}x^4 + \textcolor{red}{b}x^3y + \textcolor{red}{c}x^2y^2 + \textcolor{red}{d}xy^3 + \textcolor{red}{e}y^4 \) |
| \( 5 \) | \( (x + y)^5 \) | \( \textcolor{red}{a}x^5 + \textcolor{red}{b}x^4y + \textcolor{red}{c}x^3y^2 + \textcolor{red}{d}x^2y^3 + \textcolor{red}{e}xy^4 + \textcolor{red}{f}y^5 \) |
Yukarıda kırmızı ile işaretli katsayıları bulduğumuzda bir binom ifadenin kuvvetinin açılımını da bulmuş oluruz. Bu katsayıları bulmak için kullanabileceğimiz (temelde birbiri ile ilişkili) iki yöntem vardır.
Pascal Üçgeni ile Binom Açılımı
Önceki bölümde incelediğimiz Pascal üçgeninin \( n \) no'lu satırındaki sayılar bir binom ifadenin \( n \). kuvvetinin açılımındaki katsayıları verir.
Buna göre bilinmeyen katsayılar Pascal üçgeni kullanılarak aşağıdaki şekilde tamamlanabilir. Burada önemli olan açılımdaki terimlerin yukarıda paylaştığımız standarda göre sıralanmasıdır.
| \( n \) | Binom Kuvveti | Açılım |
|---|---|---|
| \( 2 \) | \( (x + y)^2 \) | \( \textcolor{red}{1}x^2 + \textcolor{red}{2}xy + \textcolor{red}{1}y^2 \) |
| \( 3 \) | \( (x + y)^3 \) | \( \textcolor{red}{1}x^3 + \textcolor{red}{3}x^2y + \textcolor{red}{3}xy^2 + \textcolor{red}{1}y^3 \) |
| \( 4 \) | \( (x + y)^4 \) | \( \textcolor{red}{1}x^4 + \textcolor{red}{4}x^3y + \textcolor{red}{6}x^2y^2 + \textcolor{red}{4}xy^3 + \textcolor{red}{1}y^4 \) |
| \( 5 \) | \( (x + y)^5 \) | \( \textcolor{red}{1}x^5 + \textcolor{red}{5}x^4y + \textcolor{red}{10}x^3y^2 + \textcolor{red}{10}x^2y^3 + \textcolor{red}{5}xy^4 + \textcolor{red}{1}y^5 \) |
Binom açılımındaki katsayıları Pascal üçgenini kullanarak belirlemek \( n \)'nin küçük değerleri için oldukça pratiktir, ancak \( n \) büyüdükçe (örneğin \( n = 80 \) için) Pascal yöntemi kullanılabilir olmaktan uzaktır. Bu durumlarda ikinci yöntem olarak göreceğimiz binom formülü her \( n \) için hesaplaması kolay bir alternatif sunmaktadır.
Aşağıdaki ifadelerin binom açılımını Pascal üçgenini kullanarak yazınız.
(a) \( (x + y)^6 \)
(b) \( (x + y)^7 \)
(c) \( (x + y)^8 \)
Çözümü GösterBir binom açılımındaki \( n + 1 \) farklı terim \( x \)'in azalan kuvvetlerine göre sıralanırlar. Buna göre;
- \( x \)'in kuvveti ilk terimde \( n \) olur ve her terimde birer azalarak son terimde \( 0 \) olur (\( x^n \to x^{n-1} \to \ldots \to x^1 \to x^0 \)).
- \( y \)'nin kuvveti ilk terimde \( 0 \) olur ve her terimde birer artarak son terimde \( n \) olur (\( y^0 \to y^1 \to \ldots \to y^{n-1} \to y^n \)).
(a) seçeneği:
\( (x + y)^6 \)
Yukarıdaki kuralları kullanarak binom açılımının terimlerini listeleyelim.
\( = ax^6 + bx^5y + cx^4y^2 + dx^3y^3 + ex^2y^4 + fxy^5 + gy^6 \)
Pascal üçgeninin \( n = 6 \) no'lu satırını kullanarak katsayıları yerlerine yazalım.
\( = 1x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + 1y^6 \)
\( = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6 \)
(b) seçeneği:
\( (x + y)^7 \)
Yukarıdaki kuralları kullanarak binom açılımının terimlerini listeleyelim.
\( = ax^7 + bx^6y + cx^5y^2 + dx^4y^3 + ex^3y^4 + fx^2y^5 + gxy^6 + hy^7 \)
Pascal üçgeninin \( n = 7 \) no'lu satırını kullanarak katsayıları yerlerine yazalım.
\( = 1x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + 1y^7 \)
\( = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7 \)
(c) seçeneği:
\( (x + y)^8 \)
Yukarıdaki kuralları kullanarak binom açılımının terimlerini listeleyelim.
\( = ax^8 + bx^7y + cx^6y^2 + dx^5y^3 + ex^4y^4 + fx^3y^5 + gx^2y^6 + hxy^7 + ky^8 \)
Pascal üçgeninin \( n = 8 \) no'lu satırını kullanarak katsayıları yerlerine yazalım.
\( = 1x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + 1y^8 \)
\( = x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + y^8 \)
Binom Formülü
Önceki bölümde Pascal üçgeninin \( n \) no'lu satırındaki sayıların \( n \)'nin sırasıyla 0'dan \( n \)'ye kadarki kombinasyonlarına karşılık geldiğini görmüştük, dolayısıyla binom açılımındaki katsayılar kombinasyon ifadesi şeklinde de ifade edilebilir.
Buna göre bir binom ifadenin kuvvetinin açılımı aşağıdaki şekilde de yazılabilir.
\( \binom{n}{k} \) ifadesi \( n \)'nin \( k \)'lı kombinasyonu olmak üzere,
\( (x + y)^n = \binom{n}{0} x^n + \binom{n}{1} x^{n - 1}y + \binom{n}{2} x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{k} x^{n - k}y^k + \ldots + \binom{n}{n} y^n \)
Bu formül toplam sembolü ile aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( (x + y)^n = \displaystyle\sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k}x^{n - k}y^k \)
İSPATI GÖSTER
Binom açılımındaki binom katsayılarının nasıl oluştuğunu bir binom ifadenin 4. kuvveti üzerinde gösterelim.
Binom ifadenin 4. kuvvetini ifadenin dört kez kendisiyle çarpımı şeklinde yazalım.
\( (x + y)^4 = \underbrace{(x + y)}_{1}\underbrace{(x + y)}_{2}\underbrace{(x + y)}_{3}\underbrace{(x + y)}_{4} \)
İfadeyi parantezleri dağıtarak açtığımızda elde edilen her terim, bu dört parantezin her birinden seçilen bir tane \( x \) ya da bir tane \( y \) değişkeninin çarpımından oluşur.
\( = \underbrace{xxxx + xxxy + xxyx + xxyy + \ldots + yyyy}_{2^4 = 16 \text{ terim}} \)
Örnek olarak bu açılımdaki aşağıdaki terimler benzer oldukları için \( x^3y \) terimine karşılık gelir.
\( = \ldots + xxxy + xxyx + \ldots + xyxx + \ldots + yxxx + \ldots \)
Birbirine benzer olan bu terimlerin sayısı \( x^3y \) teriminin binom katsayısını verir.
\( = \ldots + 4x^3y + \ldots \)
Buna göre \( x^ky^{n - k} \) formundaki bir terimin katsayısı, yukarıdaki 16 terim içinde bu değişken permütasyonunun kaç kez tekrarlandığını gösterir.
Her değişken permütasyonunun kaç kez tekrarlandığını bir kombinasyon (seçme) problemi olarak kurgulayabiliriz.
Buna göre \( x^3y \) permütasyonunun tekrar sayısı; dört parantezin üçünden \( x \), birinden \( y \) değişkeninin farklı seçim sayısına eşittir.
\( C(4, 3) \cdot C(1, 1) = C(4, 3) \)
Bu yaklaşımı genellersek, \( x^ky^{n - k} \) permütasyonunun tekrar sayısı \( n \) parantezin \( k \)'sından \( x \), \( (n - k) \)'sından \( y \) değişkeninin farklı seçim sayısına eşittir.
\( C(n, k) \cdot C(n - k, n - k) = C(n, k) \)
Dolayısıyla bir binom açılımında \( x^ky^{n - k} \) teriminin tekrarlanma sayısı, dolayısıyla katsayısı \( C(n, k) = \binom{n}{k} \) olur.
Binom Açılımındaki Terimler
\( (x + y)^n \) ifadesinin binom açılımındaki bir terimin bileşenleri aşağıdaki gibidir.
Binom açılımındaki \( \binom{n}{k} \) ifadelerine binom katsayısı adı verilir ve her biri \( n \)'nin \( k \)'lı kombinasyonuna karşılık gelir.
\( \binom{n}{k} = C(n, k) = \dfrac{n!}{k!\ (n - k)!} \)
Aşağıdaki ifadelerin binom açılımını binom formülünü kullanarak yazınız.
(a) \( (x + y)^6 \)
(b) \( (x + y)^7 \)
(c) \( (x + y)^8 \)
Çözümü GösterBir binom ifadenin \( n \). kuvvetinin açılımı aşağıdaki gibidir.
\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n - 1}y + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}xy^{n - 1} + \binom{n}{n}y^n \)
(a) seçeneği:
\( (x + y)^6 = \binom{6}{0}x^6 + \binom{6}{1}x^5y + \binom{6}{2}x^4y^2 + \binom{6}{3}x^3y^3 + \binom{6}{4}x^2y^4 + \binom{6}{5}xy^5 + \binom{6}{6}y^6 \)
Binom katsayılarının değerlerini bulalım.
\( \binom{6}{0} = \binom{6}{6} = \dfrac{6!}{0!\ 6!} = 1 \)
\( \binom{6}{1} = \binom{6}{5} = \dfrac{6!}{1!\ 5!} = 6 \)
\( \binom{6}{2} = \binom{6}{4} = \dfrac{6!}{2!\ 4!} = 15 \)
\( \binom{6}{3} = \dfrac{6!}{3!\ 3!} = 20 \)
Bulduğumuz değerleri açılımda yerlerine koyalım.
\( = 1x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + 1y^6 \)
\( = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6 \)
(b) seçeneği:
\( (x + y)^7 = \binom{7}{0}x^7 + \binom{7}{1}x^6y + \binom{7}{2}x^5y^2 + \binom{7}{3}x^4y^3 + \binom{7}{4}x^3y^4 + \binom{7}{5}x^2y^5 + \binom{7}{6}xy^6 + \binom{7}{7}y^7 \)
Binom katsayılarının değerlerini bulalım.
\( \binom{7}{0} = \binom{7}{7} = \dfrac{7!}{0!\ 7!} = 1 \)
\( \binom{7}{1} = \binom{7}{6} = \dfrac{7!}{1!\ 6!} = 7 \)
\( \binom{7}{5} = \binom{7}{2} = \dfrac{7!}{2!\ 5!} = 21 \)
\( \binom{7}{4} = \binom{7}{3} = \dfrac{7!}{3!\ 4!} = 35 \)
Bulduğumuz değerleri açılımda yerlerine koyalım.
\( = 1x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + 1y^7 \)
\( = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7 \)
(c) seçeneği:
\( (x + y)^8 = \binom{8}{0}x^8 + \binom{8}{1}x^7y + \binom{8}{2}x^6y^2 + \binom{8}{3}x^5y^3 + \binom{8}{4}x^4y^4 + \binom{8}{5}x^3y^5 + \binom{8}{6}x^2y^6 + \binom{8}{7}xy^7 + \binom{8}{8}y^8 \)
Binom katsayılarının değerlerini bulalım.
\( \binom{8}{0} = \binom{8}{8} = \dfrac{8!}{0!\ 8!} = 1 \)
\( \binom{8}{1} = \binom{8}{7} = \dfrac{8!}{1!\ 7!} = 8 \)
\( \binom{8}{2} = \binom{8}{6} = \dfrac{8!}{2!\ 6!} = 28 \)
\( \binom{8}{3} = \binom{8}{5} = \dfrac{8!}{3!\ 5!} = 56 \)
\( \binom{8}{4} = \dfrac{8!}{4!\ 4!} = 70 \)
Bulduğumuz değerleri açılımda yerlerine koyalım.
\( = 1x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + 1y^8 \)
\( = x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + y^8 \)
Farklı Binom İfadelerin Açılımı
Bir binom ifadede \( (x + y)^n \) formundan farklı olarak katsayılar negatif olabilir, değişkenlerin üsleri birden farklı olabilir ya da terimler sabit sayı olabilir.
\( (2x + 3y)^n \)
\( (5a^2 - 4)^n \)
\( (x - \frac{1}{x})^n \)
Yukarıda paylaştığımız binom açılım formülü her formdaki binom ifadeye uygulanabilir. Yapılması gereken işlem, bu formüldeki \( x \) ve \( y \) değişkenleri yerine ilgili ifadedeki terimleri (önlerindeki işaretle birlikte) parantez içinde yerleştirmek ve açılımı bu şekilde yapmak olacaktır.
\( (2a - 3b)^2 = ((\textcolor{red}{2a}) + (\textcolor{blue}{- 3b}))^2 \)
\( = \binom{2}{0} (\textcolor{red}{2a})^2 + \binom{2}{1} (\textcolor{red}{2a})(\textcolor{blue}{-3b}) + \binom{2}{2} (\textcolor{blue}{-3b})^2 \)
\( = 4a^2 + 2(2a)(-3b) + 9b^2 \)
\( = 4a^2 - 12ab + 9b^2 \)
\( (3x^2 + 2y^3)^3 = ((\textcolor{red}{3x^2}) + (\textcolor{blue}{2y^3}))^3 \)
\( = \binom{3}{0} (\textcolor{red}{3x^2})^3 + \binom{3}{1} (\textcolor{red}{3x^2})^2(\textcolor{blue}{2y^3}) + \binom{3}{2} (\textcolor{red}{3x^2})(\textcolor{blue}{2y^3})^2 + \binom{3}{3} (\textcolor{blue}{2y^3})^3 \)
\( = (27x^6) + 3(9x^4)(2y^3) + 3(3x^2)(4y^6) + (8y^9) \)
\( = 27x^6 + 54x^4y^3 + 36x^2y^6 + 8y^9 \)
\( (x^2 - \frac{2}{x})^4 = ((\textcolor{red}{x^2}) + (\textcolor{blue}{-\frac{2}{x}}))^4 \)
\( = \binom{4}{0} (\textcolor{red}{x^2})^4 + \binom{4}{1} (\textcolor{red}{x^2})^3(\textcolor{blue}{-\frac{2}{x}}) + \binom{4}{2} (\textcolor{red}{x^2})^2(\textcolor{blue}{-\frac{2}{x}})^2 + \binom{4}{3} (\textcolor{red}{x^2})(\textcolor{blue}{-\frac{2}{x}})^3 + \binom{4}{4} (\textcolor{blue}{-\frac{2}{x}})^4 \)
\( = (x^8) + 4(x^6)(-\frac{2}{x}) + 6(x^4)(\frac{4}{x^2}) + 4(x^2)(-\frac{8}{x^3}) + (\frac{16}{x^4}) \)
\( = x^8 - 8x^5 + 24x^2 - \frac{32}{x} + \frac{16}{x^4} \)
Bu örneklerde görülebileceği üzere, bir binom açılımındaki katsayılar sadece binom katsayısından oluşmaz, binom terimlerinden gelen katsayıları da içerir. Kavram olarak binom katsayısının sadece \( \binom{n}{k} \) ifadesine karşılık geldiğine dikkat edilmelidir.
Binom ifadenin ikinci teriminin katsayısı negatif ise (\( x - y \) gibi) açılımdaki terimlerin katsayıları \( y \)'nin çift sayı kuvvetleri için pozitif, tek sayı kuvvetleri için negatif olur. Dolayısıyla \( (x - y)^n \) şeklindeki bir ifadenin açılımında terimlerin katsayıları bir pozitif bir negatif şeklinde ilerler (\( + - + - + - \ldots \)).
Terim Sayısı
\( (x + y)^n \) şeklindeki bir ifadede \( n \) tane \( (x + y) \) ifadesinin çarpımı sonucunda \( 2^n \) terim oluşur. Bu açılımdaki benzer terimler aralarında toplandığında elde edilen binom açılımında \( n + 1 \) terim bulunur.
\( (x + y)^3 = (x + y)(x + y)(x + y) \)
\( = (xx + xy + yx + yy)(x + y) \)
\( = \underbrace{xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy}_{2^3 = 8 \text { terim}} \)
Benzer terimleri aralarında toplayalım.
\( = \underbrace{x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3}_{3 + 1 = 4 \text { terim}} \)
Sabit Terim
Bir binom ifadenin açılımında sabit terim iki şekilde oluşabilir. Birinci durumda binom ifadenin terimlerinden biri bir sabit sayıdır (\( c \)) ve açılımdaki \( c^n \) terimi sabit olur.
\( c \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (x + c)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}c + \ldots + \binom{n}{n}c^n \)
Bu sabit terimi bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 0 değeri verilir ve açılımda değişken içeren tüm terimlerin yok olması sağlanır.
\( (x + y)^8 \) ifadesinin sabit terimi:
\( (0 + 0)^8 = 0 \)
\( (2x + 3)^3 \) ifadesinin sabit terimi
\( (2(0) + 3)^3 = 27 \)
Sabit terim oluşabilen ikinci durum, binom ifadenin terimlerinin pay ve paydada aynı değişkeni içerdiği ve açılımdaki bazı terimlerde bu değişkenlerin sadeleştiği durumdur.
\( \left( x^2 + \dfrac{1}{x} \right)^3 = (x^2)^3 + 3(x^2)^2\dfrac{1}{x} + 3(x^2)\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3} \)
\( = x^6 + 3x^3 + 3 + \dfrac{1}{x^3} \)
Katsayılar Toplamı
Bir binom ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki terimler yerinde kalarak değişkenlerin yok olması sağlanır.
\( (x + y)^8 \) ifadesinin katsayılar toplamı:
\( (1 + 1)^8 = 256 \)
\( (2x + 3)^3 \) ifadesinin katsayılar toplamı
\( (2(1) + 3)^3 = 125 \)
Aşağıdaki ifadelerin açılımlarını yazınız.
(a) \( (4x + 5y)^3 \)
(b) \( (2x - 3y)^4 \)
(c) \( (x + 2y)^5 \)
Çözümü GösterBir binom ifadenin \( n \). kuvvetinin açılımı aşağıdaki gibidir.
\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n - 1}y + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}xy^{n - 1} + \binom{n}{n}y^n \)
(a) seçeneği:
\( (4x + 5y)^3 = ((4x) + (5y))^3 \)
\( = \binom{3}{0}(4x)^3 + \binom{3}{1}(4x)^2(5y) + \binom{3}{2}(4x)(5y)^2 + \binom{3}{3}(5y)^3 \)
\( = 1(64x^3) + 3(16x^2)(5y) + 3(4x)(25y^2) + 1(125y^3) \)
\( = 64x^3 + 240x^2y + 300xy^2 + 125y^3 \)
(b) seçeneği:
\( (2x - 3y)^4 = ((2x) + (-3y))^4 \)
\( = \binom{4}{0}(2x)^4 + \binom{4}{1}(2x)^3(-3y) + \binom{4}{2}(2x)^2(-3y)^2 + \binom{4}{3}(2x)(-3y)^3 + \binom{4}{4}(-3y)^4 \)
\( = 1(16x^4) + 4(8x^3)(-3y) + 6(4x^2)(9y^2) + 4(2x)(-27y^3) + 1(81y^4) \)
\( = 16x^4 - 96x^3y + 216x^2y^2 - 216xy^3 + 81y^4 \)
(c) seçeneği:
\( (x + 2y)^5 = (x + (2y))^5 \)
\( = \binom{5}{0}x^5 + \binom{5}{1}x^4(2y) + \binom{5}{2}x^3(2y)^2 + \binom{5}{3}x^2(2y)^3 + \binom{5}{4}x(2y)^4 + \binom{5}{5}(2y)^5 \)
\( = 1(x^5) + 5(x^4)(2y) + 10(x^3)(4y^2) + 10(x^2)(8y^3) + 5(x)(16y^4) + 1(32y^5) \)
\( = x^5 + 10x^4y + 40x^3y^2 + 80x^2y^3 + 80xy^4 + 32y^5 \)
Aşağıdaki ifadelerin açılımlarını yazınız.
(a) \( (2x + 5)^4 \)
(b) \( (4x - 1)^5 \)
(c) \( (-x + 3)^6 \)
Çözümü GösterBir binom ifadenin \( n \). kuvvetinin açılımı aşağıdaki gibidir.
\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n - 1}y + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}xy^{n - 1} + \binom{n}{n}y^n \)
(a) seçeneği:
\( (2x + 5)^4 = ((2x) + 5)^4 \)
\( = \binom{4}{0}(2x)^4 + \binom{4}{1}(2x)^3(5) + \binom{4}{2}(2x)^2(5)^2 + \binom{4}{3}(2x)(5)^3 + \binom{4}{4}(5)^4 \)
\( = 1(16x^4) + 4(8x^3)(5) + 6(4x^2)(25) + 4(2x)(125) + 1(625) \)
\( = 16x^4 + 160x^3 + 600x^2 + 1000x + 625 \)
(b) seçeneği:
\( (4x - 1)^5 = ((4x) + (-1))^5 \)
\( = \binom{5}{0}(4x)^5 + \binom{5}{1}(4x)^4(-1) + \binom{5}{2}(4x)^3(-1)^2 + \binom{5}{3}(4x)^2(-1)^3 + \binom{5}{4}(4x)(-1)^4 + \binom{5}{5}(-1)^5 \)
\( = 1(1024x^5) + 5(256x^4)(-1) + 10(64x^3)(1) + 10(16x^2)(-1) + 5(4x)(1) + 1(-1) \)
\( = 1024x^5 - 1280x^4 + 640x^3 - 160x^2 + 20x - 1 \)
(c) seçeneği:
\( (-x + 3)^6 = ((-x) + 3)^6 \)
\( = \binom{6}{0}(-x)^6 + \binom{6}{1}(-x)^5(3) + \binom{6}{2}(-x)^4(3)^2 + \binom{6}{3}(-x)^3(3)^3 + \binom{6}{4}(-x)^2(3)^4 + \binom{6}{5}(-x)(3)^5 + \binom{6}{6}(3)^6 \)
\( = 1(x^6) + 6(-x^5)(3) + 15(x^4)(9) + 20(-x^3)(27) + 15(x^2)(81) + 6(-x)(243) + 1(729) \)
\( = x^6 - 18x^5 + 135x^4 - 540x^3 + 1215x^2 - 1458x + 729 \)
Aşağıdaki ifadelerin açılımlarını yazınız.
(a) \( (2x + \frac{3}{x})^3 \)
(b) \( (x - \frac{4}{x})^5 \)
(c) \( (x + \frac{1}{2x})^6 \)
Çözümü GösterBir binom ifadenin \( n \). kuvvetinin açılımı aşağıdaki gibidir.
\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n - 1}y + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}xy^{n - 1} + \binom{n}{n}y^n \)
(a) seçeneği:
\( (2x + \frac{3}{x})^3 = ((2x) + (\frac{3}{x}))^3 \)
\( = \binom{3}{0}(2x)^3 + \binom{3}{1}(2x)^2(\frac{3}{x}) + \binom{3}{2}(2x)(\frac{3}{x})^2 + \binom{3}{3}(\frac{3}{x})^3 \)
\( = 1(8x^3) + 3(4x^2)(\frac{3}{x}) + 3(2x)(\frac{9}{x^2}) + 1(\frac{27}{x^3}) \)
\( = 8x^3 + 36x + \frac{54}{x} + \frac{27}{x^3} \)
(b) seçeneği:
\( (x - \frac{4}{x})^5 = (x + (-\frac{4}{x}))^5 \)
\( = \binom{5}{0}x^5 + \binom{5}{1}x^4(-\frac{4}{x}) + \binom{5}{2}x^3(-\frac{4}{x})^2 + \binom{5}{3}x^2(-\frac{4}{x})^3 + \binom{5}{4}x(-\frac{4}{x})^4 + \binom{5}{5}(-\frac{4}{x})^5 \)
\( = 1(x^5) + 5(x^4)(-\frac{4}{x}) + 10(x^3)(\frac{16}{x^2}) + 10(x^2)(-\frac{64}{x^3}) + 5(x)(\frac{256}{x^4}) + 1(-\frac{1024}{x^5}) \)
\( = x^5 - 20x^3 + 160x - \frac{640}{x} + \frac{1280}{x^3} - \frac{1024}{x^5} \)
(c) seçeneği:
\( (x + \frac{1}{2x})^6 = (x + (\frac{1}{2x}))^6 \)
\( = \binom{6}{0}x^6 + \binom{6}{1}x^5(\frac{1}{2x}) + \binom{6}{2}x^4(\frac{1}{2x})^2 + \binom{6}{3}x^3(\frac{1}{2x})^3 + \binom{6}{4}x^2(\frac{1}{2x})^4 + \binom{6}{5}x(\frac{1}{2x})^5 + \binom{6}{6}(\frac{1}{2x})^6 \)
\( = 1(x^6) + 6(x^5)(\frac{1}{2x}) + 15(x^4)(\frac{1}{4x^2}) + 20(x^3)(\frac{1}{8x^3}) + 15(x^2)(\frac{1}{16x^4}) + 6(x)(\frac{1}{32x^5}) + 1(\frac{1}{64x^6}) \)
\( = x^6 + 3x^4 + \frac{15x^2}{4} + \frac{5}{2} + \frac{15}{16x^2} + \frac{3}{16x^4} + \frac{1}{64x^6} \)
Aşağıdaki ifadelerin açılımlarını yazınız.
(a) \( (2x^2 + 5)^3 \)
(b) \( (3x^4 - 2)^4 \)
(c) \( (x^3 - \sqrt{2})^6 \)
Çözümü GösterBir binom ifadenin \( n \). kuvvetinin açılımı aşağıdaki gibidir.
\( (x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1}x^{n - 1}y + \binom{n}{2}x^{n - 2}y^2 + \ldots + \binom{n}{n - 1}xy^{n - 1} + \binom{n}{n}y^n \)
(a) seçeneği:
\( (2x^2 + 5)^3 = ((2x^2) + 5)^3 \)
\( = \binom{3}{0}(2x^2)^3 + \binom{3}{1}(2x^2)^2(5) + \binom{3}{2}(2x^2)(5)^2 + \binom{3}{3}(5)^3 \)
\( = 1(8x^6) + 3(4x^4)(5) + 3(2x^2)(25) + 1(125) \)
\( = 8x^6 + 60x^4 + 150x^2 + 125 \)
(b) seçeneği:
\( (3x^4 - 2)^4 = ((3x^4) + (-2))^4 \)
\( = \binom{4}{0}(3x^4)^4 + \binom{4}{1}(3x^4)^3(-2) + \binom{4}{2}(3x^4)^2(-2)^2 + \binom{4}{3}(3x^4)(-2)^3 + \binom{4}{4}(-2)^4 \)
\( = 1(81x^{16}) + 4(27x^{12})(-2) + 6(9x^8)(4) + 4(3x^4)(-8) + 1(16) \)
\( = 81x^{16} - 216x^{12} + 216x^8 - 96x^4 + 16 \)
(c) seçeneği:
\( (x^3 - \sqrt{2})^6 = (x^3 + (-\sqrt{2}))^6 \)
\( = \binom{6}{0}(x^3)^6 + \binom{6}{1}(x^3)^5(-\sqrt{2}) + \binom{6}{2}(x^3)^4(-\sqrt{2})^2 + \binom{6}{3}(x^3)^3(-\sqrt{2})^3 + \binom{6}{4}(x^3)^2(-\sqrt{2})^4 + \binom{6}{5}(x^3)(-\sqrt{2})^5 + \binom{6}{6}(-\sqrt{2})^6 \)
\( = 1(x^{18}) + 6(x^{15})(-\sqrt{2}) + 15(x^{12})(2) + 20(x^9)(-2\sqrt{2}) + 15(x^6)(4) + 6(x^3)(-4\sqrt{2}) + 1(8) \)
\( = x^{18} - 6\sqrt{2}x^{15} + 30x^{12} - 40\sqrt{2}x^9 + 60x^6 - 24\sqrt{2}x^3 + 8 \)
\( (x^2 - 3)^4 \) ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?
Çözümü GösterBir binom ifadenin açılımındaki sabit terimi bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 0 değeri verilir ve açılımda değişken içeren terimlerin yok olması sağlanır.
\( x = 0 \) yazalım.
\( (0^2 - 3)^4 = (-3)^4 = 81 \) bulunur.
\( (a - 3b)^6 \) ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBir binom ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki değişkenlerin yok olması sağlanır.
\( a = b = 1 \) yazalım.
\( (1 - 3(1))^6 = (-2)^6 = 64 \) bulunur.
\( (x + 2)^5(x - y)^8 \) ifadesinin açılımında kaç terim vardır?
Çözümü Göster\( (x + 2)^5 \) ifadesinin açılımında \( 5 + 1 = 6 \) terim vardır.
\( (x - y)^8 \) ifadesinin açılımında \( 8 + 1 = 9 \) terim vardır.
\( (x + 2)^5(x - y)^8 \) ifadesinin açılımı birinci ifadenin açılımındaki 6 terimin her birinin ikinci ifadenin açılımındaki 9 terimin her biri ile çarpılması ile oluşur, dolayısıyla bu iki ifadenin açılımlarının çarpılması sonucunda \( 6 \cdot 9 = 54 \) terimli bir ifade oluşur.
Bu iki ifadenin \( x \) değişkenleri aynı olsa da, ikinci terimleri benzer olmadığı için (\( 2 \) ve \( -y \)), 54 terimli ifadede benzer terimler oluşmayacak, dolayısıyla benzer terimlerin aralarında toplanması sonucunda terim sayısı azalmayacaktır.
\( \binom{12}{0} \cdot 10^{12} - \binom{12}{1} \cdot 10^{11} + \binom{12}{2} \cdot 10^{10} - \binom{12}{3} \cdot 10^9 + \ldots + \binom{12}{12} \)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterVerilen açılım \( (k + 1) \). terimi aşağıdaki ifade olan binom açılımıdır.
\( T_{k + 1} = \binom{12}{k} 10^{12 - k}(-1)^k \)
Buna göre ifadenin kapalı hali aşağıdaki gibidir.
\( (10 - 1)^{12} = 9^{12} = 3^{24} \) bulunur.
\( n \in \mathbb{N} \) olmak üzere,
\( (x^3 - \dfrac{3}{x^2})^n \) ifadesinin açılımındaki katsayıların aritmetik ortalaması \( -2 \) olduğuna göre, \( n \) kaçtır?
Çözümü GösterBir binom ifadenin açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için ifadedeki tüm değişkenlere 1 değeri verilir ve açılımdaki değişkenlerin yok olması sağlanır.
\( (1^3 - \dfrac{3}{1^2})^n = (-2)^n \)
\( n \). dereceden bir binom ifadenin açılımında \( n + 1 \) terim vardır.
Katsayılar toplamını terim sayısına bölerek katsayıların aritmetik ortalamasına eşitleyelim.
\( \dfrac{(-2)^n}{n + 1} = -2 \)
Bu eşitliği sağlayan \( n \) değeri 3'tür.
\( 580^3 - 18 \cdot 580^2 \cdot 80 + 108 \cdot 580 \cdot 80^2 - 216 \cdot 80^3 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeyi düzenleyelim.
\( 580^3 - 3 \cdot 6 \cdot 580^2 \cdot 80 + 3 \cdot 36 \cdot 580 \cdot 80^2 - 216 \cdot 80^3 \)
\( = 580^3 - 3 \cdot 580^2 \cdot 6 \cdot 80 + 3 \cdot 580 \cdot 6^2 \cdot 80^2 - 6^3 \cdot 80^3 \)
\( = 580^3 - 3 \cdot 580^2 \cdot (6 \cdot 80) + 3 \cdot 580 \cdot (6 \cdot 80)^2 - (6 \cdot 80)^3 \)
Bu ifade \( (580 - 6 \cdot 80)^3 \) ifadesinin binom açılımıdır.
\( = (580 - 6 \cdot 80)^3 \)
\( = (580 - 480)^3 \)
\( = 100^3 = 1000000 \) bulunur.
\( 11^{75} \) sayısının son iki basamağındaki rakamların toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeyi bir binom ifade şeklinde yazıp açılımını yapalım.
\( 11^{75} = (1 + 10)^{75} \)
\( = \binom{75}{0} \cdot 1^{75} + \binom{75}{1} \cdot 1^{74} \cdot 10 + \binom{75}{2} \cdot 1^{73} \cdot 10^2 + \binom{75}{3} \cdot 1^{72} \cdot 10^3 + \ldots \)
\( = \binom{75}{0} \cdot 1 + \binom{75}{1} \cdot 10 + \binom{75}{2} \cdot 100 + \binom{75}{3} \cdot 1000 + \ldots \)
Sonucun son iki basamağını bu açılımın ilk iki terimi belirler, diğer terimlerin son iki basamağı sıfır olduğu için bu bu iki basamağa bir etkisi yoktur.
\( \binom{75}{0} \cdot 1 + \binom{75}{1} \cdot 10 = 1 + 75 \cdot 10 = 751 \)
İfadenin son iki basamağındaki rakamların toplamı \( 5 + 1 = 6 \) bulunur.
\( (0,84)^5 \) sayısının virgülden sonraki 2. basamağı kaçtır?
Çözümü GösterSorunun çözümünde binom açılımını kullanalım.
\( (0,84)^5 = (1 - 0,16)^5 \)
Elde ettiğimiz ifadenin açılımını yazalım.
\( (1 - 0,16)^5 = \binom{5}{0}1^5 + \binom{5}{1}1^4(-0,16) + \binom{5}{2}1^3(-0,16)^2 + \binom{5}{3}1^2(-0,16)^3 + \binom{5}{4}1(-0,16)^4 + \binom{5}{5}(-0,16)^5 \)
\( = 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1 \cdot \dfrac{-16}{10^2} + 10 \cdot 1 \cdot \dfrac{16^2}{10^4} + 10 \cdot 1 \cdot \dfrac{-16^3}{10^6} + 5 \cdot 1 \cdot \dfrac{16^4}{10^8} + 1 \cdot \dfrac{-16^5}{10^{10}} \)
Bu açılımda virgülden sonraki 2. basamağı etkileyebilecek olan terimleri dikkate almamız yeterlidir.
\( = 1 - 0,8 + 0,256 - 0,04096 + \ldots \)
\( = 0,41\ldots \)
Buna göre virgülden sonraki ikinci basamak 1'dir.