Kısmi Türev
Konu tekrarı için: Çok Değişkenli Fonksiyonlar
İki ya da daha fazla değişkene bağlı bir fonksiyonun diğer değişkenler sabit varsayılarak tek bir değişken için hesaplanan anlık değişim oranına fonksiyonun o değişken için kısmi türevi denir.
Örnek olarak, iki değişkenli \( z = f(x, y) \) fonksiyonunun \( x \) değişkenine göre kısmi türevinde \( y \) değişkeni sabit olarak kabul edilir ve fonksiyonun \( x \)'e göre türevi alınır. Benzer şekilde, fonksiyonun \( y \) değişkenine göre kısmi türevinde \( x \) değişkeni sabit olarak kabul edilir ve fonksiyonun \( y \)'ye göre türevi alınır.
İki değişkenli \( z = f(x, y) \) fonksiyonunun \( x \) ve \( y \) değişkenlerine göre türevlerinin en sık karşılaşacağımız gösterimleri aşağıdaki gibidir.
\( f_x = \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}f(x, y) = \dfrac{\partial z}{\partial x} = D_xf \)
\( f_y = \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}f(x, y) = \dfrac{\partial z}{\partial y} = D_yf \)
\( f(x, y) = 4x^3 - 3y^2 + 2x^2y \)
\( f \) fonksiyonunun \( x \) ve \( y \)'ye göre kısmi türevleri:
\( f_x = 12x^2 - 0 + 4xy \)
\( f_y = 0 - 6y + 2x^2 \)
Kısmi türevlerin \( (x, y) = (1, 2) \) noktasındaki değerleri:
\( f_x(1, 2) = 12(1)^2 + 4(1)(2) = 20 \)
\( f_y(1, 2) = -6(2) + 2(1)^2 = -10 \)
Kısmi türevde kullanılan \( \partial f, \partial x, \partial y \) sembolleri tek değişkenli fonksiyonların türevinde kullandığımız \( df, dx, dy \) sembolleri ile benzer anlam taşısalar da yapılan işlemin bir kısmi türev işlemi olduğunu belirtmek açısından diğerlerinden farklıdır.
Kısmi türevin limit tanımında da hangi değişkene göre türev alınıyorsa sadece o değişken için limiti alınan noktaya gitgide yaklaşan değerler verilir ve diğer değişkenler sabit kabul edilir.
\( f_x = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(\textcolor{red}{x + h}, y) - f(x, y)}{h} \)
\( f_y = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x, \textcolor{red}{y + h}) - f(x, y)}{h} \)
\( z = f(x, y) \) şeklindeki bir fonksiyonun kısmi türevlerini fonksiyonun \( x \), \( y \) ve \( z \) eksenlerinden oluşan üç boyutlu koordinat sistemindeki grafiği açısından aşağıdaki gibi yorumlayabiliriz.
- \( f_x(a, b) \) değeri fonksiyonun \( (a, b, f(a, b)) \) noktasındaki \( x \) ekseni yönündeki teğetinin eğimini verir.
- \( f_y(a, b) \) değeri fonksiyonun \( (a, b, f(a, b)) \) noktasındaki \( y \) ekseni yönündeki teğetinin eğimini verir.
Kısmi Türev İşlem Kuralları
Tek değişkenli fonksiyonların türevinde kullandığımız türev kuralları kısmi türevde de geçerlidir.
Çarpma Kuralı
İki değişkenli iki fonksiyonun çarpımının kısmi türevi, birinci fonksiyonun kısmi türevi ile ikinci fonksiyonun kendisinin çarpımı ve birinci fonksiyonun kendisi ile ikinci fonksiyonun kısmi türevinin çarpımının toplamına eşittir.
\( h(x, y) = f(x, y) \cdot g(x, y) \) ise,
\( h_x = f_x \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g_x \)
\( h_y = f_y \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g_y \)
\( f(x, y) = x^3y^2 \)
\( g(x, y) = e^{xy} \)
\( h(x, y) = f(x, y) \cdot g(x, y) \) ise,
\( h \) fonksiyonunun \( x \) ve \( y \)'ye göre kısmi türevleri:
\( h_x = 3x^2y^2 \cdot e^{xy} + x^3y^2 \cdot e^{xy} \cdot y \)
\( h_y = 2x^3y \cdot e^{xy} + x^3y^2 \cdot e^{xy} \cdot x \)
\( f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2)} \cdot \sin(x^2 + y^2) \) fonksiyonunun \( x \) ve \( y \) değişkenlerine göre kısmi türevlerini bulun.
Çözümü GösterÖnce \( y \) değişkenini sabit kabul edip \( x \)'e göre kısmi türev alalım.
\( f_x = e^{-(x^2 + y^2)} \cdot (-2x) \cdot \sin(x^2 + y^2) + e^{-(x^2 + y^2)} \cdot \cos(x^2 + y^2) \cdot (2x) \)
\( = 2xe^{-(x^2 + y^2)} \cdot (\cos(x^2 + y^2) - \sin(x^2 + y^2)) \)
Şimdi de \( x \) değişkenini sabit kabul edip \( y \)'ye göre kısmi türev alalım.
\( f_y = e^{-(x^2 + y^2)} \cdot (-2y) \cdot \sin(x^2 + y^2) + e^{-(x^2 + y^2)} \cdot \cos(x^2 + y^2) \cdot (2y) \)
\( = 2ye^{-(x^2 + y^2)} \cdot (\cos(x^2 + y^2) - \sin(x^2 + y^2)) \)
Bölme Kuralı
İki değişkenli iki fonksiyonun bölümünün kısmi türevinin formülü aşağıdaki gibidir.
\( g(x, y) \ne 0 \) olmak üzere,
\( h(x, y) = \dfrac{f(x, y)}{g(x, y)} \) ise,
\( h_x = \dfrac{f_x \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g_x}{[g(x, y)]^2} \)
\( h_y = \dfrac{f_y \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g_y}{[g(x, y)]^2} \)
\( f(x, y) = e^{3xy} \)
\( g(x, y) = \sin(xy^2) \)
\( h(x, y) = \dfrac{f(x, y)}{g(x, y)} \) ise,
\( h \) fonksiyonunun \( x \) ve \( y \)'ye göre kısmi türevleri:
\( h_x = \frac{e^{3xy} \cdot 3y \cdot \sin(xy^2) - e^{3xy} \cdot \cos(xy^2) \cdot y^2}{[\sin(xy^2)]^2} \)
\( h_y = \frac{e^{3xy} \cdot 3x \cdot \sin(xy^2) - e^{3xy} \cdot \cos(xy^2) \cdot 2xy}{[\sin(xy^2)]^2} \)
\( f(x, y) = \dfrac{x^2y^3}{x^2 + y^3} \) fonksiyonunun \( x \) ve \( y \) değişkenlerine göre kısmi türevlerini bulun.
Çözümü GösterÖnce \( y \) değişkenini sabit kabul edip \( x \)'e göre kısmi türev alalım.
\( f_x = \dfrac{2xy^3 \cdot (x^2 + y^3) - x^2y^3 \cdot 2x}{(x^2 + y^3)^2} \)
Şimdi de \( x \) değişkenini sabit kabul edip \( y \)'ye göre kısmi türev alalım.
\( f_y = \dfrac{3x^2y^2 \cdot (x^2 + y^3) - x^2y^3 \cdot 3y^2}{(x^2 + y^3)^2} \)
Zincir Kuralı (Tek Bağımsız Değişken)
İki değişkenli bir fonksiyonun değişkenlerinin ikisi de üçüncü ortak bir değişkene bağlı tek değişkenli fonksiyonlar ise fonksiyonun bu üçüncü değişkene göre kısmi türevini aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( z = f(x, y) \), \( x \) ve \( y \) değişkenlerine bağlı ve
\( x = g(t) \) ve \( y = h(t) \), \( t \) değişkenine bağlı türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere,
\( z \) fonksiyonunu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( z = f(g(t), h(t)) \)
\( z \) fonksiyonunun \( t \)'ye göre kısmi türevi aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \cdot \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial z}{\partial y} \cdot \dfrac{dy}{dt} \)
\( z = f(x, y) = 2x^2 + 3y^2 \)
\( x = g(t) = \sin{t} \)
\( y = h(t) = \cos{t} \)
Zincir kuralı için gerekli türevleri bulalım.
\( \dfrac{\partial z}{\partial x} = 4x + 0 \)
\( \dfrac{dx}{dt} = \cos{t} \)
\( \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0 + 6y \)
\( \dfrac{dy}{dt} = -\sin{t} \)
Zincir kuralını uygulayalım.
\( \dfrac{\partial z}{\partial t} = 4x \cdot \cos{t} - 6y \cdot \sin{t} \)
İfadedeki \( x \) ve \( y \) değişkenlerini \( t \) cinsinden yazalım.
\( = 4\sin{t}\cos{t} - 6\cos{t}\sin{t} \)
\( = -2\sin{t}\cos{t} = -\sin{2t} \)
Dikkat edilirse yukarıdaki formülde iki değişkenli \( z \) fonksiyonunun \( x \) ve \( y \)'ye göre türevleri kısmi türev olduğu için \( \partial z \), \( \partial x \) ve \( \partial y \) sembolleri, bir değişkenli \( g \) ve \( h \) fonksiyonlarının \( t \)'ye göre türevleri normal türev olduğu için \( dx \), \( dy \) ve \( dt \) sembolleri kullanılmıştır.
\( z = 4x^2 + 2y^3 - 2xy \)
\( x = 2t^2 \)
\( y = t^3 \) ise,
\( \dfrac{dz}{dt} \) türevini bulun.
Çözümü Göster\( \dfrac{dz}{dt} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \cdot \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial z}{\partial y} \cdot \dfrac{dy}{dt} \)
İki değişkenli fonksiyonun değişkenlerinin ikisi de üçüncü ortak bir değişkene bağlı tek değişkenli fonksiyonlar olduğu için yukarıdaki zincir kuralını kullanarak türevi bulabiliriz.
Önce zincir kural formülünde ihtiyacımız olan türevleri bulalım.
\( \dfrac{\partial z}{\partial x} = 8x + 0 - 2y \)
\( \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0 + 6y^2 - 2x \)
\( \dfrac{dx}{dt} = 4t \)
\( \dfrac{dy}{dt} = 3t^2 \)
Bulduğumuz türevleri zincir kuralı formülünde yerine koyalım.
\( \dfrac{dz}{dt} = (8x - 2y) \cdot 4t + (6y^2 - 2x) \cdot 3t^2 \)
İfadedeki \( x \) ve \( y \) değişkenlerini \( t \) cinsinden yazalım.
\( = (8(2t^2) - 2(t^3)) \cdot 4t + (6(t^3)^2 - 2(2t^2)) \cdot 3t^2 \)
\( = (16t^2 - 2t^3) \cdot 4t + (6t^6 - 4t^2) \cdot 3t^2 \)
\( = 64t^3 - 8t^4 + 18t^8 - 12t^4 \)
\( = 18t^8 - 20t^4 + 64t^3 \)
Zincir Kuralı (İki Bağımsız Değişken)
İki değişkenli bir fonksiyonun değişkenlerinin ikisi de aynı iki değişkene bağlı iki değişkenli fonksiyonlar ise fonksiyonun bu değişkenlere göre kısmi türevlerini aşağıdaki formülle bulabiliriz.
\( z = f(x, y) \), \( x \) ve \( y \) değişkenlerine bağlı ve
\( x = g(u, v) \) ve \( y = h(u, v) \), \( u \) ve \( v \) değişkenlerine bağlı türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere,
\( z \) fonksiyonunu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( z = f(g(u, v), h(u, v)) \)
\( z \) fonksiyonunun \( u \) ve \( v \)'ye göre kısmi türevleri aşağıdaki gibi olur.
\( \dfrac{\partial z}{\partial u} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \cdot \dfrac{\partial x}{\partial u} + \dfrac{\partial z}{\partial y} \cdot \dfrac{\partial y}{\partial u} \)
\( \dfrac{\partial z}{\partial v} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \cdot \dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial z}{\partial y} \cdot \dfrac{\partial y}{\partial v} \)
\( z = f(x, y) = 2x^2 - xy + 3y^2 \)
\( x = g(u, v) = 2u - 5v \)
\( y = h(u, v) = 3u + 4v \)
Zincir kuralı için gerekli türevleri bulalım.
\( \dfrac{\partial z}{\partial x} = 4x - y + 0 \)
\( \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0 - x + 6y \)
\( \dfrac{\partial x}{\partial u} = 2 - 0 = 2 \)
\( \dfrac{\partial x}{\partial v} = 0 - 5 = -5 \)
\( \dfrac{\partial y}{\partial u} = 3 + 0 = 3 \)
\( \dfrac{\partial y}{\partial v} = 0 + 4 = 4 \)
Zincir kuralını uygulayalım.
\( \dfrac{\partial z}{\partial u} = (4x - y) \cdot 2 + (6y - x) \cdot 3 \)
\( = 8x - 2y + 18y - 3x \)
\( = 5x + 16y \)
\( \dfrac{\partial z}{\partial v} = (4x - y) \cdot (-5) + (6y - x) \cdot 4 \)
\( = -20x + 5y + 24y - 4x \)
\( = -24x + 29y \)
İfadedeki \( x \) ve \( y \) değişkenlerini \( u \) ve \( v \) cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\partial z}{\partial u} = 5(2u - 5v) + 16(3u + 4v) \)
\( = 58u + 39v \)
\( \dfrac{\partial z}{\partial v} = -24(2u - 5v) + 29(3u + 4v) \)
\( = 39u + 236v \)
\( z = x^4 + y^2 \)
\( x = s \cdot \sin{t} \)
\( y = s \cdot \cos{t} \) olmak üzere,
\( z \) fonksiyonunun \( s \) ve \( t \) değişkenlerine göre kısmi türevini bulun.
Çözümü Göster\( \dfrac{\partial z}{\partial s} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \cdot \dfrac{\partial x}{\partial s} + \dfrac{\partial z}{\partial y} \cdot \dfrac{\partial y}{\partial s} \)
\( \dfrac{\partial z}{\partial t} = \dfrac{\partial z}{\partial x} \cdot \dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial z}{\partial y} \cdot \dfrac{\partial y}{\partial t} \)
İki değişkenli fonksiyonun değişkenlerinin ikisi de aynı iki değişkene bağlı iki değişkenli fonksiyonlar olduğu için yukarıdaki zincir kuralını kullanarak türevleri bulabiliriz.
Önce zincir kural formülünde ihtiyacımız olan türevleri bulalım.
\( \dfrac{\partial z}{\partial x} = 4x^3 + 0 \)
\( \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0 + 2y \)
\( \dfrac{\partial x}{\partial s} = \sin{t} \)
\( \dfrac{\partial x}{\partial t} = s \cdot \cos{t} \)
\( \dfrac{\partial y}{\partial s} = \cos{t} \)
\( \dfrac{\partial y}{\partial t} = -s \cdot \sin{t} \)
Bulduğumuz türevleri zincir kuralı formülünde yerine koyalım.
\( \dfrac{\partial z}{\partial s} = 4x^3 \cdot \sin{t} + 2y \cdot \cos{t} \)
\( \dfrac{\partial z}{\partial t} = 4x^3 \cdot s \cdot \cos{t} - 2y \cdot s \cdot \sin{t} \)
İfadelerdeki \( x \) ve \( y \) değişkenlerini \( s \) ve \( t \) cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\partial z}{\partial s} = 4(s \cdot \sin{t})^3 \cdot \sin{t} \) \( + 2s \cdot \cos{t} \cdot \cos{t} \)
\( = 4s^3 \cdot (\sin{t})^4 + 2s \cdot (\cos{t})^2 \)
\( \dfrac{\partial z}{\partial t} = 4(s \cdot \sin{t})^3 \cdot s \cdot \cos{t} \) \( - 2s \cdot \cos{t} \cdot s \cdot \sin{t} \)
\( = 4s^4 \cdot (\sin{t})^3 \cdot \cos{t} \) \( - 2s^2 \cdot \cos{t} \cdot \sin{t} \)
Yüksek Dereceli Kısmi Türev
Çok değişkenli fonksiyonların birden fazla kez kısmi türevini alarak yüksek dereceli kısmi türev fonksiyonlarını elde edebiliriz. Bir fonksiyonun arka arkaya alınan kısmi türevleri aşağıda göreceğimiz gibi aynı değişkene göre olmak zorunda değildir.
Bir \( f \) fonksiyonunun örneğin üçüncü dereceden kısmi türevi \( f_{ijk} \) şeklinde gösterilir. Bu gösterimde \( i \) birinci sırada, \( j \) ikinci sırada, \( k \) da üçüncü sırada kısmi türevi alınan değişkeni ifade eder.
\( f(x, y) \) fonksiyonunun,
\( x \)'e göre ikinci dereceden kısmi türevi:
\( f_{xx} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right) = \dfrac{\partial f_x}{\partial x} \)
Önce \( x \)'e sonra \( y \)'ye göre ikinci dereceden kısmi türevi:
\( f_{xy} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right) = \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \)
Önce \( y \)'ye sonra \( x \)'ye göre ikinci dereceden kısmi türevi:
\( f_{yx} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right) = \dfrac{\partial f_y}{\partial x} \)
\( y \)'ye göre ikinci dereceden kısmi türevi:
\( f_{yy} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \dfrac{\partial }{\partial y} \left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right) = \dfrac{\partial f_y}{\partial y} \)
\( f(x, y) = 3x^2y + 2x^3y^4 \)
\( f \)'in birinci dereceden kısmi türevleri:
\( f_x = 6xy + 6x^2y^4 \)
\( f_y = 3x^2 + 8x^3y^3 \)
\( f \)'in ikinci dereceden kısmi türevleri:
\( f_{xx} = 6y + 12xy^4 \)
\( f_{xy} = 6x + 24x^2y^3 \)
\( f_{yx} = 6x + 24x^2y^3 \)
\( f_{yy} = 0 + 24x^3y^2 \)
\( f(x, y) = x^5 \ln{y} \)
olduğuna göre, \( f_{yxyxy} \) kısmi türevini bulun.
Çözümü Göster\( f(x, y) = x^5 \ln{y} \)
\( f_{y} = \dfrac{x^5}{y} \)
\( f_{yx} = \dfrac{5x^4}{y} \)
\( f_{yxy} = -\dfrac{5x^4}{y^2} \)
\( f_{yxyx} = -\dfrac{20x^3}{y^2} \)
\( f_{yxyxy} = \dfrac{40x^3}{y^3} \)
Clairaut Teoremi
Yukarıdaki örnekte de görülebileceği gibi, hem \( x \) hem de \( y \)'ye göre alınan ikinci dereceden kısmi türevde hangi değişkene göre önce türev alındığı sonucu değiştirmez. Buna göre iki değişkenli bir fonksiyonun ikinci dereceden türevinde süreklilik koşulu sağlandığı sürece aşağıdaki eşitlik geçerlidir.
\( f \)'in birinci ve ikinci kısmi türevleri sürekli fonksiyonlar olmak üzere,
\( f_{xy} = f_{yx} \)
Benzer şekilde, hem \( x \) hem de \( y \)'ye göre alınan üçüncü dereceden kısmi türevde her değişkenin aynı sayıda türevinin alındığı durumlar aynı sonucu verir.
\( f \)'in birinci, ikinci ve üçüncü kısmi türevleri sürekli fonksiyonlar olmak üzere,
\( f_{xyy} = f_{yxy} = f_{yyx} \)
\( f_{xxy} = f_{xyx} = f_{yxx} \)
Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonların Kısmi Türevi
Bir fonksiyon aşağıdaki gibi üç ya da daha fazla sayıda değişkene bağlı ise iki değişkenli duruma benzer şekilde diğer değişkenleri sabit varsayarak her değişkenine göre ayrı ayrı kısmi türevini alabiliriz.
\( z = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \)
\( f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^3x_2 - 3x_1x_2^3x_3^2 + x_3 \)
\( f_{x_1} = 6x_1^2x_2 - 3x_2^3x_3^2 + 0 \)
\( f_{x_2} = 2x_1^3 - 9x_1x_2^2x_3^2 + 0 \)
\( f_{x_3} = 0 - 6x_1x_2^3x_3 + 1 \)
Çok değişkenli kısmi türevin limit tanımını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( f_{x_1} = \lim_{h \to 0} \frac{f(\textcolor{red}{x_1 + h}, x_2, \ldots, x_n) - f(x_1, x_2, \ldots, x_n)}{h} \)
\( f_{x_2} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1, \textcolor{red}{x_2 + h}, \ldots, x_n) - f(x_1, x_2, \ldots, x_n)}{h} \)
\( f_{x_n} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1, x_2, \ldots, \textcolor{red}{x_n + h}) - f(x_1, x_2, \ldots, x_n)}{h} \)