Ters Trigonometrik Fonksiyonların Tanım ve Görüntü Kümesi
Bir \( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için fonksiyon birebir ve örten olmalıdır. Trigonometrik fonksiyonlar periyodik oldukları için belirli bir değeri birden fazla (hatta sonsuz sayıda) açı değerinde alırlar, dolayısıyla birebir değildirler. Aşağıda sinüs fonksiyon grafiğine uygulanan yatay doğru testi fonksiyonun birebir olmadığını, dolayısıyla tüm reel sayılarda tanımlı sinüs fonksiyonunun tersinin tanımlı olamayacağını göstermektedir.
Bu sebeple, bir trigonometrik fonksiyonun ters fonksiyonunu tanımlayabilmek için fonksiyonun birebir ve örten olduğu bir alt tanım aralığı (kısıtlı tanım kümesi) seçilmelidir. Periyodik bir fonksiyonda bu seçim sonsuz farklı şekilde yapılabileceği için, genel bir standart olarak aşağıdaki kriterler kullanılır.
- Fonksiyon seçilen aralıkta birebir olmalıdır.
- Aralık fonksiyonun tüm görüntü kümesini kapsamalıdır.
- Tercihan fonksiyon bu aralıkta süreklidir.
- Yukarıdaki koşulları sağlayan tüm olasılıklar içinde, (kolaylık açısından) seçilen aralık orijini içerir ya da orijine pozitif tarafta en yakın aralıktır.
Aşağıda her bir trigonometrik fonksiyonun grafiği üzerinde fonksiyonun birebir olabilmesi için seçilen kısıtlı tanım kümeleri mavi zemin rengi ile gösterilmiştir. Görülebileceği üzere, bu aralıklar kırmızı kesikli çizgi ile gösterilen yatay doğru testini geçmektedir.
| Grafik | Fonksiyon | Kısıtlı Tanım Kümesi |
|---|---|---|
|
Sinüs fonksiyonu Tanım kümesi: \( \mathbb{R} \) Görüntü kümesi: \( [-1, 1] \) |
\( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) Fonksiyon bu aralıkta birebirdir, \( [-1, 1] \) aralığındaki tüm değerleri alır, süreklidir ve \( x = 0 \) noktasını içerir. |
|
Kosinüs fonksiyonu Tanım kümesi: \( \mathbb{R} \) Görüntü kümesi: \( [-1, 1] \) |
\( [0, \pi] \) Fonksiyon bu aralıkta birebirdir, \( [-1, 1] \) aralığındaki tüm değerleri alır, süreklidir ve \( x = 0 \) noktasına pozitif tarafta en yakın olan aralıktır. |
|
Tanjant fonksiyonu Tanım kümesi: \( \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \} \) Görüntü kümesi: \( \mathbb{R} \) |
\( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) Fonksiyon bu aralıkta birebirdir, tüm reel sayı değerleri alır, süreklidir ve \( x = 0 \) noktasını içerir. |
|
Kotanjant fonksiyonu Tanım kümesi: \( \mathbb{R} - \{ k\pi \} \) Görüntü kümesi: \( \mathbb{R} \) |
\( (0, \pi) \) Fonksiyon bu aralıkta birebirdir, tüm reel sayı değerleri alır, süreklidir ve \( x = 0 \) noktasına pozitif tarafta en yakın olan aralıktır. |
|
Sekant fonksiyonu Tanım kümesi: \( \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \} \) Görüntü kümesi: \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) |
\( [0, \pi] - \{ \frac{\pi}{2} \} \) Fonksiyon bu aralıkta birebirdir, \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) aralığındaki tüm değerleri alır ve \( x = 0 \) noktasına pozitif tarafta en yakın olan aralıktır. |
|
Kosekant fonksiyonu Tanım kümesi: \( \mathbb{R} - \{ k\pi \} \) Görüntü kümesi: \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) |
\( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{ 0 \} \) Fonksiyon bu aralıkta birebirdir, tüm reel sayı değerleri alır ve \( x = 0 \) noktasını içerir. |
Her trigonometrik fonksiyon için seçilen bu kısıtlı tanım kümeleri doğrultusunda, ters trigonometrik fonksiyonlar aşağıdaki tanım ve görüntü kümelerinde tanımlı olurlar.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi | Ters Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|---|---|---|
| \( \sin{x} \) | \( \mathbb{R} \) | \( [-1, 1] \) | \( \arcsin{x} \) | \( [-1, 1] \) | \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) |
| \( \cos{x} \) | \( \mathbb{R} \) | \( [-1, 1] \) | \( \arccos{x} \) | \( [-1, 1] \) | \( [0, \pi] \) |
| \( \tan{x} \) | \( \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \arctan{x} \) | \( \mathbb{R} \) | \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) |
| \( \cot{x} \) | \( \mathbb{R} - \{ k\pi \} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \arccot{x} \) | \( \mathbb{R} \) | \( (0, \pi) \) |
| \( \sec{x} \) | \( \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) | \( \arcsec{x} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) | \( [0, \pi] - \{ \frac{\pi}{2} \} \) |
| \( \csc{x} \) | \( \mathbb{R} - \{ k\pi \} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) | \( \arccsc{x} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) | \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{ 0 \} \) |
Trigonometrik fonksiyonlar için yukarıda belirlediğimiz kısıtlı tanım kümeleri en sık kullanılan standartlar olsa da, bazı kaynaklarda ve bilgisayar programlarında kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonları için (yine birebir olma koşullarını sağlayan) farklı aralıkların kullanıldığı görülebilir.
Aşağıdaki ifadelerin derece cinsinden değerini bulunuz.
(a) \( \arctan(-\sqrt{3}) \)
(b) \( \arccos(-1) \)
(c) \( \arccot(-\frac{\sqrt{3}}{3}) \)
(d) \( \arccsc(-1) \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \arctan(-\sqrt{3}) = x \) diyelim.
Arc tanjant, tanjantın ters fonksiyonudur.
\( \tan{x} = -\sqrt{3} \)
\( x \) tanjant değeri \( -\sqrt{3} \) olan açıdır.
Arc tanjant fonksiyonunun görüntü kümesi \( (-90°, 90°) \) aralığıdır.
\( x = -60° \)
(b) seçeneği:
\( \arccos(-1) = x \) diyelim.
Arc kosinüs, kosinüsün ters fonksiyonudur.
\( \cos{x} = -1 \)
\( x \) kosinüs değeri \( -1 \) olan açıdır.
Arc kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi \( [0°, 180°] \) aralığıdır.
\( x = 180° \)
(c) seçeneği:
\( \arccot(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = x \) diyelim.
Arc kotanjant, kotanjantın ters fonksiyonudur.
\( \cot{x} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
\( x \) kotanjant değeri \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) olan açıdır.
Arc kotanjant fonksiyonunun görüntü kümesi \( (0°, 180°) \) aralığıdır.
\( x = 120° \)
(d) seçeneği:
\( \arccsc(-1) = x \) diyelim.
Arc kosekant, kosekantın ters fonksiyonudur.
\( \csc{x} = -1 \)
\( x \) kosekant değeri \( -1 \) olan açıdır.
Arc kosekant fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-90°, 90°] - \{0°\} \) aralığıdır.
\( x = -90° \)
\( f: A \to [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) olmak üzere,
\( f(x) = \arcsin{\dfrac{3x - 2}{5}} \) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterBizden istenen \( f \) fonksiyonunda \( x \)'in alabileceği değer aralığıdır.
\( \arcsin{\dfrac{3x - 2}{5}} = a \) diyelim.
\( \sin{a} = \dfrac{3x - 2}{5} \) olur.
Sinüs fonksiyonu \( [-1, 1] \) aralığında değer alabilir.
\( -1 \le \sin{a} \le 1 \)
\( -1 \le \dfrac{3x - 2}{5} \le 1 \)
\( -5 \le 3x - 2 \le 5 \)
\( -3 \le 3x \le 7 \)
\( -1 \le x \le \dfrac{7}{3} \) olur.
O halde \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi \( [-1, \dfrac{7}{3}] \) olur.
\( f(x) = \arccos{\dfrac{x^2 - 5}{4}} \)
olduğuna göre, \( f \) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterTers kosinüs fonksiyonu aşağıdaki şekilde tanımlıdır.
\( \arccos: [-1, 1] \to \mathbb{R} \)
\( -1 \le \dfrac{x^2 - 5}{4} \le 1 \)
Eşitsizliği çözerek \( x \)'in tanım aralığını bulalım.
\( -4 \le x^2 - 5 \le 4 \)
\( 1 \le x^2 \le 9 \)
Eşitsizliğin taraflarının karekökünü alalım.
\( \sqrt{1} \le \sqrt{x^2} \le \sqrt{9} \)
\( 1 \le \abs{x} \le 3 \)
\( -3 \le x \le -1 \) ya da \( 1 \le x \le 3 \)
Tanım kümesi: \( x \in [-3, -1] \cup [1, 3] \)
\( f(x) = \arccos{\dfrac{2x - 5}{3}} \)
fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
Çözümü GösterTers kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi \( [-1, 1] \) aralığıdır.
\( -1 \le \dfrac{2x - 5}{3} \le 1 \)
Eşitsizliğin taraflarını 3 ile çarpalım.
\( -3 \le 2x - 5 \le 3 \)
Tüm taraflara 5 ekleyelim.
\( 2 \le 2x \le 8 \)
Tüm tarafları 2'ye bölelim.
\( 1 \le x \le 4 \)
Tanım kümesi: \( x \in [1, 4] \)
\( a = \arcsin{\dfrac{2}{5}} \)
\( b = \arctan{\dfrac{4}{3}} \)
\( c = \arccos(-\dfrac{8}{9}) \)
Yukarıdaki ifadeleri değerlerine göre büyükten küçüğe doğru sıralayın.
Çözümü Göster\( a \) değer aralığını bulalım.
\( \arcsin{\dfrac{2}{5}} = x \) diyelim.
\( \sin{x} = \dfrac{2}{5} \) olur.
\( \sin{30°} = \dfrac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz.
\( \dfrac{2}{5} \lt \dfrac{1}{2} \)
\( a \in (0°, 30°) \)
\( b \) değer aralığını bulalım.
\( \arctan{\dfrac{4}{3}} = y \) diyelim.
\( \tan{y} = \dfrac{4}{3} \) olur.
\( \tan{45°} = 1 \) olduğunu biliyoruz.
\( \dfrac{4}{3} \gt 1 \)
\( b \in (45°, 90°) \)
\( c \) değer aralığını bulalım.
\( \arccos(-\dfrac{8}{9}) = z \) diyelim.
\( \cos{z} = -\dfrac{8}{9} \) olur.
\( c \in (90°, 180°) \)
İfadelerin büyükten küçüğe sıralaması aşağıdaki gibi olur.
\( c \gt b \gt a \)