Ters Trigonometrik Fonksiyon Tanımı
Bir \( f \) fonksiyonunun \( (a, b) \) şeklindeki tüm eşlemelerini \( (b, a) \) şeklinde tersine çeviren \( f^{-1} \) fonksiyonunu \( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonu şeklinde tanımlamıştık.
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Ters trigonometrik fonksiyonlar, trigonometri bölümünde gördüğümüz altı trigonometrik fonksiyonun ters fonksiyonlarıdır. Trigonometrik fonksiyonlar belirli bir açı ölçüsü için ilgili trigonometrik oranı verirken, ters trigonometrik fonksiyonlar belirli bir trigonometrik orana sahip olan açı ölçüsünü verir.
Altı trigonometrik fonksiyonun her biri için tanımlı ters trigonometrik fonksiyonlar aşağıdaki gibidir.
| Trigonometrik Fonksiyon | Ters Trigonometrik Fonksiyon |
|---|---|
| \( y = \sin{x} \) | \( x = \arcsin{y} \) |
| \( y = \cos{x} \) | \( x = \arccos{y} \) |
| \( y = \tan{x} \) | \( x = \arctan{y} \) |
| \( y = \cot{x} \) | \( x = \arccot{y} \) |
| \( y = \sec{x} \) | \( x = \arcsec{y} \) |
| \( y = \csc{x} \) | \( x = \arccsc{y} \) |
Bu ters fonksiyonlar \( \sin^{-1}{x}, \cos^{-1}{x} \) vb. şeklinde de gösterilebilse de, bu gösterim fonksiyonların çarpmaya göre tersi ile karıştırılabileceği için \( \arcsin{x}, \arccos{x} \) gösterimi tercih edilmelidir.
Ters sinüs fonksiyonu:
\( \sin^{-1}{x} = \arcsin{x} \)
Sinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersi:
\( \sin^{-1}{x} = \dfrac{1}{\sin{x}} = \csc{x} \)
Fonksiyonlarda kullandığımız makine benzetmesi üzerinden bir örnek vermek gerekirse, sinüs fonksiyonu \( \frac{\pi}{6} \) açı değeri için \( \frac{1}{2} \) oranını verirken, sinüs fonksiyonunun tersi olan \( \arcsin \) fonksiyonu bu eşlemeyi tersine çevirerek \( \frac{1}{2} \) oranı için \( \frac{\pi}{6} \) açı değerini verir.
Aşağıdaki tabloda her trigonometrik fonksiyon ve tersi arasındaki bu ilişki birer örnek üzerinden gösterilmiştir.
| Fonksiyon | Ters Fonksiyon |
|---|---|
| \( \sin{\dfrac{\pi}{2}} = 1 \) | \( \arcsin{1} = \dfrac{\pi}{2} \) |
| \( \cos{\dfrac{\pi}{4}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \arccos{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{\pi}{4} \) |
| \( \tan{\dfrac{\pi}{3}} = \sqrt{3} \) | \( \arctan{\sqrt{3}} = \dfrac{\pi}{3} \) |
| \( \cot{\dfrac{\pi}{2}} = 0 \) | \( \arccot{0} = \dfrac{\pi}{2} \) |
| \( \sec{\dfrac{3\pi}{4}} = -\sqrt{2} \) | \( \arcsec(-\sqrt{2}) = \dfrac{3\pi}{4} \) |
| \( \csc{\dfrac{\pi}{4}} = \sqrt{2} \) | \( \arccsc{\sqrt{2}} = \dfrac{\pi}{4} \) |
Yukarıdaki dik üçgenin \( x \) açısını altı ters trigonometrik fonksiyon cinsinden yazalım.
\( x \) sinüs değeri \( \frac{3}{5} \) olan açıdır.
\( x = \arcsin{\dfrac{3}{5}} \)
\( x \) kosinüs değeri \( \frac{4}{5} \) olan açıdır.
\( x = \arccos{\dfrac{4}{5}} \)
\( x \) tanjant değeri \( \frac{3}{4} \) olan açıdır.
\( x = \arctan{\dfrac{3}{4}} \)
\( x \) kotanjant değeri \( \frac{4}{3} \) olan açıdır.
\( x = \arccot{\dfrac{4}{3}} \)
\( x \) sekant değeri \( \frac{5}{4} \) olan açıdır.
\( x = \arcsec{\dfrac{5}{4}} \)
\( x \) kosekant değeri \( \frac{5}{3} \) olan açıdır.
\( x = \arccsc{\dfrac{5}{3}} \)
Aşağıdaki ifadelerin değerini bulunuz.
(a) \( \arcsin{\frac{1}{2}} \)
(b) \( \arccos{0} \)
(c) \( \arccot{1} \)
(d) \( \arcsec{2} \)
Çözümü Göster(a) seçeneği:
\( \arcsin{\frac{1}{2}} = x \) diyelim.
Arc sinüs, sinüsün ters fonksiyonudur.
\( \sin{x} = \dfrac{1}{2} \)
\( x \) sinüs değeri \( \frac{1}{2} \) olan açıdır.
\( x = 30° \)
(b) seçeneği:
\( \arccos{0} = x \) diyelim.
Arc kosinüs, kosinüsün ters fonksiyonudur.
\( \cos{x} = 0 \)
\( x = 90° \)
(c) seçeneği:
\( \arccot{1} = x \) diyelim.
Arc kotanjant, kotanjantın ters fonksiyonudur.
\( \cot{x} = 1 \)
\( x \) kotanjant değeri 1 olan açıdır.
\( x = 45° \)
(d) seçeneği:
\( \arcsec{2} = x \) diyelim.
Arc sekant, sekantın ters fonksiyonudur.
\( \sec{x} = 2 \)
\( x \) sekant değeri 2 olan açıdır.
\( x = 60° \)
\( \dfrac{\arccos(-1)}{\sin(\arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}})} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterSorudaki trigonometrik ifadelerin değerlerini yazalım.
\( \arccos(-1) = \pi \)
\( \arctan{\dfrac{1}{\sqrt{3}}} = \dfrac{\pi}{6} \)
\( \sin{\dfrac{\pi}{6}} = \dfrac{1}{2} \)
Bulduğumuz değerleri yerlerine yazalım.
\( \dfrac{\arccos(-1)}{\sin(\arctan{\frac{1}{\sqrt{3}}})} = \dfrac{\pi}{\frac{1}{2}} \)
\( = 2\pi \) bulunur.
\( f(x) = -4 + 2\tan{\dfrac{x}{2}} \) fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyonun tersini bulmak için ifadeyi \( y \)'ye eşitleyip \( x \)'i yalnız bırakalım.
\( y = -4 + 2\tan{\dfrac{x}{2}} \)
\( 2\tan{\dfrac{x}{2}} = y + 4 \)
\( \tan{\dfrac{x}{2}} = \dfrac{y}{2} + 2 \)
Eşitliğin iki tarafın arktanjantını alalım.
\( \arctan\left( \tan{\dfrac{x}{2}} \right) = \arctan\left( \dfrac{y}{2} + 2 \right) \)
\( \dfrac{x}{2} = \arctan\left( \dfrac{y}{2} + 2 \right) \)
\( x = 2\arctan\left( \dfrac{y}{2} + 2 \right) \)
\( x \) ve \( y \) değişkenleri aralarında yer değiştirdiğinde \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonunu elde ederiz.
\( y = f^{-1}(x) = 2\arctan\left( \dfrac{x}{2} + 2 \right) \)
\( 0 \lt x \lt 1 \) olmak üzere,
\( f(x) = 2\arccos(\sqrt{1 - x^2}) \)
fonksiyonu için, \( f^{-1}(2x) \) ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözümü Göster\( y = 2\arccos(\sqrt{1 - x^2}) \)
\( \dfrac{y}{2} = \arccos(\sqrt{1 - x^2}) \)
\( \cos{\dfrac{y}{2}} = \sqrt{1 - x^2} \)
\( \cos^2{\dfrac{y}{2}} = 1 - x^2 \)
\( x^2 = 1 - \cos^2{\dfrac{y}{2}} \)
\( x^2 = \sin^2{\dfrac{y}{2}} \)
\( x = \sin{\dfrac{y}{2}} \)
Elde ettiğimiz ifade \( f \)'in ters fonksiyonudur.
\( f^{-1}(x) = \sin{\dfrac{x}{2}} \)
\( f^{-1}(2x) \) için \( x \) yerine \( 2x \) yazalım.
\( f^{-1}(2x) = \sin{\dfrac{2x}{2}} = \sin{x} \) bulunur.
\( -\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( f(x) = 5\sin{x} \)
\( g(x) = 15 - 10x^2 \)
olduğuna göre, \( (f^{-1} \circ g)(x) \) nedir?
Çözümü Göster\( f \) fonksiyonunun tersini bulmak için ifadeyi \( y \)'ye eşitleyip \( x \)'i yalnız bırakalım.
\( y = 5\sin{x} \)
\( \dfrac{y}{5} = \sin{x} \)
\( x = \arcsin{\dfrac{y}{5}} \)
\( x \) ve \( y \) değişkenleri aralarında yer değiştirdiğinde \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonunu elde ederiz.
\( y = f^{-1}(x) = \arcsin{\dfrac{x}{5}} \)
Bileşke fonksiyonu bulmak için \( (f^{-1} \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) \) yazalım.
\( (f^{-1} \circ g)(x) = f^{-1}(g(x)) \)
\( = \arcsin{\dfrac{15 - 10x^2}{5}} \)
\( = \arcsin(3 - 2x^2) \) bulunur.
\( f(\cos{x}) = \tan^2{x} \) veriliyor.
\( f(x) \) fonksiyonunu bulunuz.
Çözümü GösterTanjant fonksiyonunu kosinüs cinsinden yazalım.
\( f(\cos{x}) = \dfrac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{1 - \cos^2{x}}{\cos^2{x}} \)
Tüm \( \cos{x} \) ifadeleri yerine \( x \) yazalım.
\( f(x) = \dfrac{1 - x^2}{x^2} \) bulunur.
\( f(x) = \arccot{x} \) ve \( g(x) = \sin{x} \) fonksiyonları veriliyor.
\( (f^{-1} \circ g^{-1})(\frac{1}{\sqrt{2}}) \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü Göster\( (f^{-1} \circ g^{-1})(\frac{1}{\sqrt{2}}) = f^{-1}(g^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) \)
\( g \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulalım.
\( g^{-1}(x) = \arcsin{x} \)
\( g^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \arcsin{\frac{1}{\sqrt{2}}} \)
\( = \dfrac{\pi}{4} \)
\( f^{-1}(g^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) = f^{-1}(\frac{\pi}{4}) \)
\( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulalım.
\( f^{-1}(x) = \cot{x} \)
\( f^{-1}(\frac{\pi}{4}) = \cot{\frac{\pi}{4}} = 1 \)
\( f^{-1}(\frac{\pi}{4}) = 1 \) olarak bulunur.