Ters Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri
Bu bölümde ters trigonometrik fonksiyonların grafiklerini inceleyeceğiz. Bu fonksiyonların tanımı gereği, grafiklerinde \( x \) ekseni trigonometrik orana, \( y \) ekseni radyan cinsinden açı ölçüsüne karşılık gelir.
Ters Sinüs Fonksiyon Grafiği
Ters sinüs fonksiyonunun tanım/görüntü kümeleri ve grafiği aşağıdaki gibidir.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
| \( \sin{x} \) | \( \mathbb{R} \) | \( [-1, 1] \) |
| \( \arcsin{x} \) | \( [-1, 1] \) | \( \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right] \) |
Ters sinüs fonksiyonunun grafiği ile ilgili olarak aşağıdaki yorumlar yapılabilir.
- Fonksiyonun tanım kümesi \( [-1, 1] \), görüntü kümesi \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) aralığıdır.
- \( x \) eksenini orijinde keser (\( \arcsin{0} = 0 \)).
- Uç noktalardaki değerleri \( \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \) ve \( \arcsin{1} = \frac{\pi}{2} \) olur.
- Birebirdir.
- Tek fonksiyondur (\( \arcsin(-x) = -\arcsin{x} \)), dolayısıyla grafiği orijine göre simetriktir.
- Tüm tanım kümesinde artandır.
Ters Kosinüs Fonksiyon Grafiği
Ters kosinüs fonksiyonunun tanım/görüntü kümeleri ve grafiği aşağıdaki gibidir.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
| \( \cos{x} \) | \( \mathbb{R} \) | \( [-1, 1] \) |
| \( \arccos{x} \) | \( [-1, 1] \) | \( [0, \pi] \) |
Ters kosinüs fonksiyonunun grafiği ile ilgili olarak aşağıdaki yorumlar yapılabilir.
- Fonksiyonun tanım kümesi \( [-1, 1] \), görüntü kümesi \( [0, \pi] \) aralığıdır.
- \( x \) eksenini \( x = 1 \) noktasında keser (\( \arccos{1} = 0 \)).
- Uç noktalardaki değerleri \( \arccos(-1) = \pi \) ve \( \arccos{1} = 0 \) olur.
- Birebirdir.
- Tüm tanım kümesinde azalandır.
Ters Tanjant Fonksiyon Grafiği
Ters tanjant fonksiyonunun tanım/görüntü kümeleri ve grafiği aşağıdaki gibidir.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
| \( \tan{x} \) | \( \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) | \( \mathbb{R} \) |
| \( \arctan{x} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right) \) |
Ters tanjant fonksiyonunun grafiği ile ilgili olarak aşağıdaki yorumlar yapılabilir.
- Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar, görüntü kümesi \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) aralığıdır.
- \( x \) eksenini orijinde keser (\( \arctan{0} = 0 \)).
- Sonsuzdaki limit değerleri \( \lim\limits_{x \to -\infty} {\arctan{x}} = -\frac{\pi}{2} \) ve \( \lim\limits_{x \to \infty} {\arctan{x}} = \frac{\pi}{2} \) olur.
- Birebirdir.
- Tek fonksiyondur (\( \arctan(-x) = -\arctan{x} \)), dolayısıyla grafiği orijine göre simetriktir.
- Tüm tanım kümesinde artandır.
- Grafikteki \( y = \pm \frac{\pi}{2} \) yatay asimptotları tanjant fonksiyonunun \( x = \pm \frac{\pi}{2} \) dikey asimptotlarına karşılık gelir.
Ters Kotanjant Fonksiyon Grafiği
Ters kotanjant fonksiyonunun tanım/görüntü kümeleri ve grafiği aşağıdaki gibidir.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
| \( \cot{x} \) | \( \mathbb{R} - \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) | \( \mathbb{R} \) |
| \( \arccot{x} \) | \( \mathbb{R} \) | \( (0, \pi) \) |
Ters kotanjant fonksiyonunun grafiği ile ilgili olarak aşağıdaki yorumlar yapılabilir.
- Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar, görüntü kümesi \( (0, \pi) \) aralığıdır.
- \( x \) eksenini kesmez.
- Sonsuzdaki limit değerleri \( \lim\limits_{x \to -\infty} {\arccot{x}} = \pi \) ve \( \lim\limits_{x \to \infty} {\arccot{x}} = 0 \) olur.
- Birebirdir.
- Tüm tanım kümesinde azalandır.
- Grafikteki \( y = 0 \) ve \( y = \pi \) yatay asimptotları kotanjant fonksiyonunun \( x = 0 \) ve \( x = \pi \) dikey asimptotlarına karşılık gelir.
Ters Sekant Fonksiyon Grafiği
Ters sekant fonksiyonunun tanım/görüntü kümeleri ve grafiği aşağıdaki gibidir.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
| \( \sec{x} \) | \( \mathbb{R} - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) |
| \( \arcsec{x} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) | \( [0, \pi] - \left\{ \dfrac{\pi}{2} \right\} \) |
Ters sekant fonksiyonunun grafiği ile ilgili olarak aşağıdaki yorumlar yapılabilir.
- Fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} - (-1, 1) \), görüntü kümesi \( [0, \pi] - {\frac{\pi}{2}} \) aralığıdır.
- \( x \) eksenini \( x = 1 \) noktasında keser (\( \arcsec{1} = 0 \)).
- Sonsuzdaki limit değerleri \( \lim\limits_{x \to -\infty} {\arcsec{x}} = \frac{\pi}{2} \) ve \( \lim\limits_{x \to \infty} {\arcsec{x}} = \frac{\pi}{2} \) olur.
- Birebirdir.
- Grafikteki \( y = \frac{\pi}{2} \) yatay asimptotu sekant fonksiyonunun \( x = \frac{\pi}{2} \) dikey asimptotuna karşılık gelir.
Ters Kosekant Fonksiyon Grafiği
Ters kosekant fonksiyonunun tanım/görüntü kümeleri ve grafiği aşağıdaki gibidir.
| Fonksiyon | Tanım Kümesi | Görüntü Kümesi |
|---|---|---|
| \( \csc{x} \) | \( \mathbb{R} - \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) |
| \( \arccsc{x} \) | \( \mathbb{R} - (-1, 1) \) | \( \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right] - \{ 0 \} \) |
Ters kosekant fonksiyonunun grafiği ile ilgili olarak aşağıdaki yorumlar yapılabilir.
- Fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} - (-1, 1) \), görüntü kümesi \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] - \{ 0 \} \) aralığıdır.
- \( x \) eksenini kesmez.
- Sonsuzdaki limit değerleri \( \lim\limits_{x \to -\infty} {\arccsc{x}} = 0 \) ve \( \lim\limits_{x \to \infty} {\arccsc{x}} = 0 \) olur.
- Birebirdir.
- Tek fonksiyondur (\( \arccsc(-x) = -\arccsc{x} \)), dolayısıyla grafiği orijine göre simetriktir.
- Grafikteki \( y = 0 \) yatay asimptotu sekant fonksiyonunun \( x = 0 \) dikey asimptotuna karşılık gelir.