Parametrik Denklemlerde Simetri
Kartezyen denklemlerinde olduğu gibi, parametrik denklemlerde de simetri eğri üzerindeki noktaların eksenlere ve orijine göre durumu ile ilgilidir. Kartezyen denklemlerinde simetri özellikleri \( x \) ve \( y \) koordinatlarında işaret değişiklikleri yapılarak bulunur. Parametrik denklemlerde ise eğri üzerindeki noktalar üçüncü bir parametre aracılığıyla belirlendiği için, simetrik noktanın bir diğer parametre değeriyle elde edilip edilemediği araştırılır. Bunun için her eksen ya da orijine göre simetrik noktaları oluşturan bir parametre dönüşümü (işaret değişikliği ya da öteleme) bulunmaya çalışılır.
Bu bölümde bir parametrik eğrinin \( x \) eksenine, \( y \) eksenine ve orijine göre simetrisini inceleyeceğiz. Aşağıda bu simetrilerin her birine birer örnek verilmiştir.
Bir parametrik eğri üzerinde bulunan her \( (x, y) \) noktası için;
- \( (x, -y) \) noktası da eğri üzerinde ise eğri \( x \) eksenine göre simetriktir.
- \( (-x, y) \) noktası da eğri üzerinde ise eğri \( y \) eksenine göre simetriktir.
- \( (-x, -y) \) noktası da eğri üzerinde ise eğri orijine göre simetriktir.
Bir parametrik eğride, her \( t \) parametre değeri için aşağıdaki iki koşulu sağlayan bir \( s \) parametre değeri varsa eğri belirtilen simetriye sahiptir. Bu koşullar, her \( t \) parametre değerinin oluşturduğu noktanın simetriği olan noktayı oluşturan en az bir \( s \) parametre değerinin bulunması anlamına gelir. Parametrik eğrinin simetrik olabilmesi için, bu koşulu sağlayan \( s \) değeri de parametre tanım kümesinde bulunmalıdır.
| Simetri Tipi | \( x \) Denklemi | \( y \) Denklemi |
|---|---|---|
| \( x \) eksenine göre | \( x(s) = x(t) \) | \( y(s) = -y(t) \) |
| \( y \) eksenine göre | \( x(s) = -x(t) \) | \( y(s) = y(t) \) |
| Orijine göre | \( x(s) = -x(t) \) | \( y(s) = -y(t) \) |
Simetri özelliklerine sahip bir eğride yukarıdaki eşitlikler sağlanmak zorundadır, ancak bu eşitlikleri sağlayan \( s \) ve \( t \) parametreleri arasında matematiksel bir ilişki olmak zorunda değildir. Bununla birlikte bir eğride belirli bir simetri çoğu zaman aşağıdaki dönüşümlerden biri uygulanarak elde edilir.
- \( s = -t \): Polinom ifadelerinde ya da sinüsün işaret değiştirmesi, kosinüsün aynı kalması istendiğinde ve genellikle \( x \) ekseni etrafında simetriyi bulmak için kullanılır.
- \( s = \pi + t \): Sinüs ve kosinüsün birlikte işaret değiştirmesi istendiğinde ve genellikle orijin etrafında simetriyi bulmak için kullanılır.
- \( s = \pi - t \): Kosinüsün işaret değiştirmesi, sinüsün aynı kalması istendiğinde ve genellikle \( y \) ekseni etrafında simetriyi bulmak için kullanılır.
- \( s = 2\pi - t \): Sinüsün işaret değiştirmesi, kosinüsün aynı kalması istendiğinde ve genellikle \( x \) ekseni etrafında simetriyi bulmak için kullanılır.
\( s = -t \) dönüşümü yukarıdaki simetri koşullarını tek/çift fonksiyonlar şeklinde ifade etmemizi sağlar.
\( s = -t \) dönüşümü uygulandığında,
\( x(s) = x(-t) = x(t) \Longrightarrow \) Çift fonksiyon
\( x(s) = x(-t) = -x(t) \Longrightarrow \) Tek fonksiyon
\( y(s) = y(-t) = y(t) \Longrightarrow \) Çift fonksiyon
\( y(s) = y(-t) = -y(t) \Longrightarrow \) Tek fonksiyon
Buna göre bir parametrik eğride \( x(t) \) ve \( y(t) \) denklemleri aşağıdaki tek/çift fonksiyon özelliklerine sahipse eğri belirtilen simetriye sahiptir.
| Simetri | \( x(t) \) | \( y(t) \) |
|---|---|---|
| \( x \) eksenine göre | Çift fonksiyon | Tek fonksiyon |
| \( y \) eksenine göre | Tek fonksiyon | Çift fonksiyon |
| Orijine göre | Tek fonksiyon | Tek fonksiyon |
Bir parametrik eğrinin belirli bir (örneğin \( s = -t \)) dönüşüme göre belirli bir (örneğin \( x \) eksenine göre) simetriye sahip olduğunun belirlenmesi, diğer simetrilerin bulunmadığı anlamına gelmez, bir diğer dönüşüme göre diğer simetriler de mevcut olabilir.
Parametrik eğrilerde simetriyi bir örnek üzerinde gösterelim.
Aşağıdaki parametrik eğrinin simetri özelliklerini inceleyelim.
\( -5 \le t \le 5 \) olmak üzere,
\( x(t) = t^3 + t \)
\( y(t) = t^2 - 1 \)
Denklemler birer polinom olduğu için ilk olarak \( s = -t \) dönüşümünü test edelim.
\( x(t) \) sadece tek dereceli terimlerden oluştuğu için tek fonksiyondur.
\( x(s) = x(-t) = -x(t) \)
\( y(t) \) sadece çift dereceli terimlerden oluştuğu için çift fonksiyondur.
\( y(s) = y(-t) = y(t) \)
\( x(t) \) tek, \( y(t) \) çift fonksiyon olduğu için parametrik eğri \( y \) eksenine göre simetriktir.
\( s = -t \) dönüşümüne göre eğrinin \( y \) eksenine göre simetrik olduğunu söyleyebiliyor olsak da, eğri bir diğer dönüşüme göre diğer simetrilere de sahip olabilir ya da olmayabilir.
Aşağıda verilen grafiğe göre parametrik eğrinin sadece \( y \) eksenine göre simetrik olduğunu görebiliriz.
Parametrik eğrilerde simetriyi ikinci bir örnek üzerinde gösterelim.
Aşağıdaki parametrik eğrinin simetri özelliklerini inceleyelim.
\( -\pi \le t \le \pi \) olmak üzere,
\( x(t) = \cos{t} \)
\( y(t) = \sin(2t) \)
İlk olarak \( s = -t \) dönüşümünü test edelim.
Kosinüs çift, sinüs tek fonksiyondur, dolayısıyla eğri \( x \) eksenine göre simetriktir.
Şimdi de \( s = \pi + t \) dönüşümünü test edelim.
\( x(s) = \cos{s} = \cos(\pi + t) = -\cos{t} = -x(t) \)
\( y(s) = \sin(2s) = \sin(2\pi + 2t) = \sin(2t) = y(t) \)
\( x(s) = -x(t) \) ve \( y(s) = y(t) \) eşitlikleri sağlandığı için eğri \( y \) eksenine göre simetriktir.
Hem \( x \) hem de \( y \) eksenine göre simetrik olan eğri orijine göre de simetrik olur. Orijine göre simetri \( s = \pi - t \) dönüşümü ile de teyit edilebilir.
Aşağıda verilen grafiğe göre parametrik eğrinin eksenlere ve orijine göre simetrik olduğunu görebiliriz.
