Parametrik Denklemlerle Analitik Uygulamalar
Bu bölümde parametrik denklemlerin bazı analitik uygulamalarını inceleyeceğiz.
Parametrik Eğrinin Eksenleri Kestiği Noktalar
Bir parametrik eğrinin eksenleri kestiği noktalar aşağıdaki yöntemle bulunur.
- Parametrik eğrinin \( x \) eksenini kestiği noktaları bulmak için \( y(t) = 0 \) denklemi çözülür.
- Parametrik eğrinin \( y \) eksenini kestiği noktaları bulmak için \( x(t) = 0 \) denklemi çözülür.
- Bulunan \( t \) değerleri koordinat denklemlerinde yerine konarak eğrinin eksenleri kestiği noktaların koordinatları bulunur.
Aşağıdaki parametrik eğrinin eksenleri kestiği noktaları bulalım.
\( x(t) = t^2 + t - 2 \)
\( y(t) = t^3 - 4t \)
Eğri \( x \) eksenini \( y(t) = 0 \) olan \( t \) değerlerinde keser.
\( y(t) = t^3 - 4t = 0 \)
\( t(t - 2)(t + 2) = 0 \)
\( t \in \{ -2, 0, 2 \} \)
Bu \( t \) değerleri için \( x \) değerlerini bulalım.
\( x(-2) = (-2)^2 + (-2) - 2 = 0 \)
\( x(0) = 0^2 + 0 - 2 = -2 \)
\( x(2) = 2^2 + 2 - 2 = 4 \)
Buna göre eğri \( x \) eksenini \( t = -2 \) değerindeki \( (0, 0) \), \( t = 0 \) değerindeki \( (-2, 0) \) ve \( t = 2 \) değerindeki \( (4, 0) \) noktalarında keser.
Eğri \( y \) eksenini \( x(t) = 0 \) olan \( t \) değerlerinde keser.
\( x(t) = t^2 + t - 2 = 0 \)
\( (t + 2)(t - 1) = 0 \)
\( t \in \{ -2, 1 \} \)
Bu \( t \) değerleri için \( y \) değerlerini bulalım.
\( y(-2) = (-2)^3 - 4(-2) = 0 \)
\( y(1) = 1^3 - 4(1) = -3 \)
Buna göre eğri \( y \) eksenini \( t = -2 \) değerindeki \( (0, 0) \) ve \( t = 1 \) değerindeki \( (0, -3) \) noktalarında keser.
Aşağıdaki şekilde parametrik eğri ve eksenleri kestiği noktalar gösterilmiştir.
Parametrik ve Kartezyen Denklemlerinin Kesişimi
Bir parametrik denklemin bir kartezyen denklemi ile kesişim noktaları aşağıdaki yöntemle bulunur.
- Parametrik denklemin \( x(t) \) ve \( y(t) \) tanımları kartezyen denkleminde \( x \) ve \( y \) yerine konur ve denklem \( t \) için çözülür.
- Bulunan \( t \) değerleri koordinat denklemlerinde yerine konarak kesişim noktalarının koordinatları bulunur.
\( (x(t), y(t)) \) parametrik denklemi ile \( F(x, y) = 0 \) kartezyen denkleminin kesişim noktaları,
\( F(x(t), y(t)) = 0 \) eşitliğinin çözümü olan \( t \) değerlerinde oluşur.
Aşağıda verilen parametrik ve kartezyen denklemlerinin kesişim noktalarını bulalım.
Parametrik denklem:
\( x(t) = 2t - 6 \)
\( y(t) = t^2 - 4t - 10 \)
Kartezyen denklemi:
\( y = 2x - 10 \)
Bu iki denklem kesişiyorsa parametrik eğri üzerindeki tüm noktaları temsil eden \( (2t - 6, t^2 - 4t - 10) \) sıralı ikilisi kartezyen denklemini sağlamalıdır.
\( y(t) = 2x(t) - 10 \)
\( t^2 - 4t - 10 = 2(2t - 6) - 10 \)
\( t^2 - 4t - 10 = 4t - 12 - 10 \)
\( t^2 - 8t + 12 = 0 \)
\( (t - 2)(t - 6) = 0 \)
Denklemler parametrik denklemin \( t = 2 \) ve \( t = 6 \) değerlerini aldığı noktalarda kesişir.
Bu \( t \) değerlerini parametrik denklemde yerine koyarak kesişim noktalarının kartezyen koordinatlarını bulalım.
\( t = 2 \) için:
\( x(2) = 2(2) - 6 = -2 \)
\( y(2) = 2^2 - 4(2) - 10 = -14 \)
\( t = 6 \) için:
\( x(6) = 2(6) - 6 = 6 \)
\( y(6) = 6^2 - 4(6) - 10 = 2 \)
Buna göre denklemler \( t = 2 \) değerindeki \( (-2, -14) \) ve \( t = 6 \) değerindeki \( (6, 2) \) noktalarında kesişir.
Aşağıdaki şekilde iki denklemin grafikleri ve kesişim noktaları gösterilmiştir.
İki Parametrik Eğrinin Kesişimi
İki parametrik eğrinin kesişimi iki şekilde olabilir.
- Kesişim noktası olarak adlandırılan birinci tip noktada eğriler aynı \( (x, y) \) noktasında, ama farklı parametre değerlerinde kesişir. Bir kesişim noktası, hareketli iki cismin farklı zamanlarda aynı noktada bulunması şeklinde düşünülebilir.
- Çarpışma noktası olarak adlandırılan ikinci tip noktada eğriler aynı \( (x, y) \) noktasında ve aynı parametre değerinde kesişir. Bir çarpışma noktası, hareketli iki cismin aynı anda aynı noktada bulunması şeklinde düşünülebilir.
Bazı kaynaklarda çarpışma noktaları kesişim noktalarının özel bir hali olarak da kabul edilir.
\( t \) parametresine bağlı iki parametrik eğrinin kesişim ve çarpışma noktalarının nasıl bulunabileceğini inceleyelim.
\( x = x_1(t), \quad y = y_1(t) \)
\( x = x_2(t), \quad y = y_2(t) \)
Kesişim Noktalarının Bulunması
\( t \) parametresine bağlı iki parametrik eğrinin kesişim noktaları aşağıdaki yöntemle bulunur.
- Eğrilerden birinde \( t \) parametresi (örneğin) \( s \) parametresi olarak değiştirilir. Buradaki amaç, eğrilerin farklı parametre değerlerindeki kesişim noktalarını bulmaktır.
- İki eğrinin \( x \) ve \( y \) denklemleri \( x_1(s) = x_2(t) \) ve \( y_1(s) = y_2(t) \) şeklinde birbirine eşitlenir.
- \( s \) ve \( t \) bilinmeyenlerinden oluşan iki denklemli sistem çözülür.
- Denklem sisteminin çözümü olan \( (s, t) \) ikililerinin ilgili denklemlerde karşılık geldiği \( (x, y) \) noktaları bulunur. Bu noktalar parametrik eğrilerin kesişim noktalarıdır.
Bu denklem sisteminin çözümü \( s = t \) olan çözümleri de kapsadığı için bu yöntem eğrilerin çakışma noktalarını da bulur.
Aşağıdaki iki parametrik eğrinin kesişim noktalarını bulalım.
\( x_1(t) = 2t, \quad y_1(t) = t^2 - t \)
\( x_2(t) = t + 2, \quad y_2(t) = -t + 10 \)
Kesişim noktaları, iki eğrinin parametre değerlerinden bağımsız olarak aynı \( x \) ve \( y \) değerlerini aldığı noktalardır.
Önce iki eğrinin parametrelerini farklılaştırmak için birinci denklemin parametresini \( s \) olarak değiştirelim.
\( x_1(s) = 2s, \quad y_1(s) = s^2 - s \)
\( x_2(t) = t + 2, \quad y_2(t) = -t + 10 \)
Eğrilerin \( x \) denklemlerini eşitleyelim.
\( x_1(s) = x_2(t) \)
\( 2s = t + 2 \)
Eğrilerin \( y \) denklemlerini eşitleyelim.
\( y_1(s) = y_2(t) \)
\( s^2 - s = -t + 10 \)
İki bilinmeyenli iki denklemi taraf tarafa toplayıp ortak çözelim.
\( s^2 + s - 12 = 0 \)
\( (s + 4)(s - 3) = 0 \)
\( s = -4 \) ve \( s = 3 \) değerlerini denklemlerden herhangi birinde yerine koyup çözümlerin \( t \) değerlerini bulalım.
\( 2(-4) = t + 2 \Longrightarrow t = -10 \)
\( 2(3) = t + 2 \Longrightarrow t = 4 \)
Çözüm kümesi: \( (s, t) = \{ (-4, -10), (3, 4) \} \)
Buna göre eğrilerin birinci kesişim noktası \( (s, t) = (-4, -10) \) değerlerinde, ikinci kesişim noktası \( (s, t) = (3, 4) \) değerlerinde oluşur.
Bu değerleri denklemlerde yerine koyarak hem eğrilerin kesişim noktalarını bulalım, hem de iki denklemin bu değerlerde aynı \( (x, y) \) noktalarını verip vermediğini kontrol edelim.
\( (s, t) = (-4, -10) \) için:
\( x_1(-4) = 2(-4) = -8 \)
\( y_1(-4) = (-4)^2 - (-4) = 20 \)
\( x_2(-10) = (-10) + 2 = -8 \)
\( y_2(-10) = -(-10) + 10 = 20 \)
Buna göre \( (s, t) = (-4, -10) \) ikilisi her iki denklemde de \( (x, y) = (-8, 20) \) noktasına karşılık gelir, dolayısıyla iki eğri bu noktada kesişir.
\( (s, t) = (3, 4) \) için:
\( x_1(3) = 2(3) = 6 \)
\( y_1(3) = 3^2 - 3 = 6 \)
\( x_2(4) = 4 + 2 = 6 \)
\( y_2(4) = -(4) + 10 = 6 \)
Buna göre \( (s, t) = (3, 4) \) ikilisi her iki denklemde de \( (x, y) = (6, 6) \) noktasına karşılık gelir, dolayısıyla iki eğri bu noktada kesişir.
Aşağıdaki şekilde iki eğrinin grafikleri ve kesişim noktaları gösterilmiştir.
Çarpışma Noktalarının Bulunması
\( t \) parametresine bağlı iki parametrik eğrinin çarpışma noktaları aşağıdaki yöntemle bulunur.
- İki eğrinin \( x \) ve \( y \) denklemleri parametreleri değiştirmeden \( x_1(t) = x_2(t) \) ve \( y_1(t) = y_2(t) \) şeklinde birbirine eşitlenir.
- Sadece \( t \) bilinmeyeninden oluşan iki denklemli sistem çözülür.
- Her iki denklemi de sağlayan \( t \) değerlerinin ilgili denklemlerde karşılık geldiği \( (x, y) \) noktaları bulunur. Bu noktalar parametrik eğrilerin çarpışma noktalarıdır.
Aşağıdaki iki parametrik eğrinin çarpışma noktalarını bulalım.
\( x_1(t) = 3t, \quad y_1(t) = t^2 - t \)
\( x_2(t) = 2t + 2, \quad y_2(t) = -4t + 10 \)
Çarpışma noktaları, iki eğrinin aynı \( x \) ve \( y \) değerlerini aynı \( t \) değerlerinde aldığı noktalardır.
Eğrilerin \( x \) denklemlerini eşitleyelim.
\( 3t = 2t + 2 \)
\( t = 2 \)
\( t = 2 \) olduğunda denklemler aynı \( x \) değerini alır.
Eğrilerin \( y \) denklemlerini eşitleyelim.
\( t^2 - t = -4t + 10 \)
\( t^2 + 3t - 10 = 0 \)
\( (t + 5)(t - 2) = 0 \)
\( t = -5 \) ve \( t = 2 \) olduğunda eğriler aynı \( y \) değerini alır.
Buna göre \( t = 2 \) olduğunda eğrilerin hem \( x \) hem \( y \) değeri aynı olur. \( t = -5 \) olduğunda ise eğrilerin \( y \) değeri aynı olsa da \( x \) değeri farklı olur.
Dolayısıyla eğrilerin \( t = 2 \) değerinde bir çarpışma noktası vardır.
\( t = 2 \) değerini denklemlerden herhangi birinde yerine koyarak bu çarpışma noktasını bulalım.
\( x_1(2) = 3(2) = 6 \)
\( y_1(2) = 2^2 - 2 = 2 \)
Buna göre eğrilerin çarpışma noktası \( t = 2 \) değerindeki \( (x, y) = (6, 2) \) noktasıdır.
Aşağıdaki grafikte eğrilerin \( t = 2 \) değerini aldığında \( (x, y) = (6, 2) \) noktasında kesiştiklerini görebiliriz. Her ne kadar eğriler ikinci bir noktada da kesişiyor olsa da, bu noktada eğrilerin \( t \) değerleri farklı olduğu için bu bir çarpışma değil kesişim noktasıdır. Bu kesişim noktası yukarıda paylaştığımız kesişim noktalarını bulma yöntemi ile bulunabilir.
Parametrik Eğrinin Kendisini Kestiği Noktalar
Bir parametrik eğri iki farklı \( t \) değerinde aynı noktaya karşılık geldiğinde kendisini keser. Bir parametrik eğrinin kendisini kestiği noktalar aşağıdaki yöntemle bulunur.
- Eğrinin kendisini kestiği noktadaki parametre değerlerinin \( t_1 \ne t_2 \) olmak üzere \( t_1 \) ve \( t_2 \) olduğu varsayılır.
- Bu iki parametre değeri aynı noktaya karşılık geldiği için eğri denklemleri \( x(t_1) = x(t_2) \) ve \( y(t_1) = y(t_2) \) şeklinde birbirine eşitlenir.
- \( t_1 \) ve \( t_2 \) bilinmeyenlerinden oluşan iki denklemli sistem çözülür. Bu aşamada denklem sistemini sağlasa da \( t_1 = t_2 \) eşitliği çözüme dahil edilmez.
- Eğri bu iki parametre değerinin karşılık geldiği noktada kendisini keser.
\( t_1 \ne t_2 \) olmak üzere,
\( x(t_1) = x(t_2), \quad y(t_1) = y(t_2) \)
eşitliklerini sağlayan \( t_1 \) ve \( t_2 \) değerlerinde eğri kendisini keser.
Bir eğrinin kendisini kestiği noktaları bulmayı bir örnek üzerinde gösterelim.
Aşağıdaki parametrik eğrinin (varsa) kendisini kestiği noktayı bulalım.
\( x(t) = 5t - t^3, \quad y(t) = 2t^2 \)
Eğrinin kendisini \( t_1 \ne t_2 \) olmak üzere \( t_1 \) ve \( t_2 \) parametre değerlerinde kestiğini varsayalım.
Bu durumda iki parametre değeri aynı \( (x, y) \) noktasına karşılık gelmelidir.
Her iki parametre için \( y \) denklemlerini eşitleyelim.
\( y(t_1) = y(t_2) \)
\( 2t_1^2 = 2t_2^2 \)
\( t_1^2 - t_2^2 = 0 \)
\( (t_1 - t_2)(t_1 + t_2) = 0 \)
\( t_1 \ne t_2 \) olduğunu varsaydığımız için \( t_1 - t_2 = 0 \) bir çözüm olamaz.
\( t_1 + t_2 = 0 \Longrightarrow t_1 = -t_2 \)
Her iki parametre için \( x \) denklemlerini eşitleyelim.
\( x(t_1) = x(t_2) \)
\( 5t_1 - t_1^3 = 5t_2 - t_2^3 \)
Bu eşitlikte \( t_1 = -t_2 \) yazalım.
\( 5(-t_2) - (-t_2)^3 = 5t_2 - t_2^3 \)
\( -5t_2 + t_2^3 = 5t_2 - t_2^3 \)
\( 2t_2^3 - 10t_2 = 0 \)
\( 2t_2(t_2 - \sqrt{5})(t_2 + \sqrt{5}) = 0 \)
\( t_1 = t_2 = 0 \) olamayacağı için \( t_2 = 0 \) bir çözüm olamaz.
\( (t_1, t_2) = (-\sqrt{5}, \sqrt{5}) \) ve \( (t_1, t_2) = (\sqrt{5}, -\sqrt{5}) \) aynı çözümü ifade eder, dolayısıyla birinci çözümü alalım.
Bu iki parametre değerinin karşılık geldiği noktanın aynı olduğunu teyit edelim.
\( t_1 = -\sqrt{5} \) için:
\( x(-\sqrt{5}) = 5(-\sqrt{5}) - (-\sqrt{5})^3 = 0 \)
\( y(-\sqrt{5}) = 2(-\sqrt{5})^2 = 10 \)
\( t_2 = \sqrt{5} \) için:
\( x(\sqrt{5}) = 5\sqrt{5} - (\sqrt{5})^3 = 0 \)
\( y(\sqrt{5}) = 2(\sqrt{5})^2 = 10 \)
Buna göre eğri hem \( t_1 = -\sqrt{5} \) hem de \( t_2 = \sqrt{5} \) değerini aldığında \( (0, 10) \) noktasından geçer, dolayısıyla bu noktada kendisini keser.
Aşağıda eğrinin grafiği ve kendini kestiği nokta gösterilmiştir.
\( t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
Koordinat düzleminde \( A(2t - 3, 5 - t) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
Çözümü GösterVerilen parametrik denklem \( t \)'nin farklı değerleri için oluşan tüm \( A(x, y) \) noktalarının oluşturduğu doğruyu temsil eder.
\( x(t) = 2t - 3 \)
\( y(t) = 5 - t \)
Soruyu iki yöntemle çözebiliriz.
1. yöntem:
\( t \) cinsinden verilen parametrik denklemi \( x \) ve \( y \) cinsinden yazalım.
Bunun için ikinci denklemde \( t \) parametresini yalnız bırakalım.
\( t = 5 - y \)
Birinci denklemde \( t \) parametresini yerine koyalım.
\( x = 2(5 - y) - 3 \)
\( x = 10 - 2y - 3 \)
\( y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2} \)
Buna göre parametrik denklemi verilen doğrunun eğimi \( m = -\frac{1}{2} \) olur.
2. yöntem:
\( t \) parametresine rastgele iki değer vererek doğrunun geçtiği iki noktayı bulalım.
\( t = 0 \) için:
\( A_1(2(0) - 3, 5 - 0) = A_1(-3, 5) \)
\( t = 1 \) için:
\( A_2(2(1) - 3, 5 - 1) = A_2(-1, 4) \)
Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimini bulalım.
\( m = \dfrac{5 - 4}{-3 - (-1)} = -\dfrac{1}{2} \)
Aşağıdaki parametrik denklemin orijinden geçtiği \( t \) değerlerinin çarpımı kaçtır?
\( t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x(t) = t^3 - 2t^2 - 3t \)
\( y(t) = 2t^2 - 4t - 6 \)
Çözümü GösterBir parametrik denklem \( x \) ve \( y \) denklemlerinin ikisini de sıfır yapan \( t \) değerlerinde orijinden geçer.
\( x(t) = t^3 - 2t^2 - 3t = 0 \)
\( = t(t - 3)(t + 1) = 0 \)
Buna göre \( t = -1 \), \( t = 0 \) ve \( t = 3 \) değerlerinde eğrinin \( x \) değeri sıfır olur, yani \( y \) eksenini keser.
\( y(t) = 2t^2 - 4t - 6 \)
\( = 2(t - 3)(t + 1) = 0 \)
Buna göre \( t = -1 \) ve \( t = 3 \) değerlerinde eğrinin \( y \) değeri sıfır olur, yani \( x \) eksenini keser.
Hem \( x \) değerinin hem de \( y \) değerinin sıfır olduğu, yani eğrinin orijinden geçtiği \( t \) değerleri \( t = -1 \) ve \( t = 3 \) olur.
Bu iki \( t \) değerinin çarpımı \( -1 \cdot 3 = -3 \) olarak bulunur.
Bu iki \( t \) değerinde \( (x, y) = (0, 0) \) olduğunu kontrol edelim.
\( t = -1 \) için:
\( x(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - 3(-1) = 0 \)
\( y(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) - 6 = 0 \)
\( t = 3 \) için:
\( x(3) = 3^3 - 2(3)^2 - 3(3) = 0 \)
\( y(3) = 2(3)^2 - 4(3) - 6 = 0 \)
\( A \) eğrisinin kartezyen denklemi,
\( x^2 - y^2 = x - 9 \)
\( B \) eğrisinin parametrik denklemi,
\( t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x(t) = t^2 \)
\( y(t) = 3t \)
olduğuna göre, \( A \) ve \( B \) eğrilerinin kesişim noktalarının koordinatlarını bulunuz.
Çözümü GösterBu iki eğri kesişiyorsa parametrik eğri üzerindeki tüm noktaları temsil eden \( (t^2, 3t) \) sıralı ikilisi kartezyen denklemini sağlamalıdır.
\( x^2 - y^2 = x - 9 \)
\( (t^2)^2 - (3t)^2 = t^2 - 9 \)
\( t^4 - 9t^2 = t^2 - 9 \)
\( t^4 - 10t^2 + 9 = 0 \)
\( (t^2 - 1)(t^2 - 9) = 0 \)
\( (t - 1)(t + 1)(t - 3)(t + 3) = 0 \)
Buna göre iki eğri parametrik denklemin \( t \in \{\pm 1, \pm 3\} \) değerlerindeki noktalarda kesişir.
Bu \( t \) değerlerini parametrik denklemde yerine koyarak kesişim noktalarının kartezyen koordinatlarını bulalım.
\( t = 1 \) için:
\( x(1) = 1^2 = 1 \)
\( y(1) = 3(1) = 3 \)
\( t = -1 \) için:
\( x(-1) = (-1)^2 = 1 \)
\( y(-1) = 3(-1) = -3 \)
\( t = 3 \) için:
\( x(3) = 3^2 = 9 \)
\( y(3) = 3(3) = 9 \)
\( t = -3 \) için:
\( x(-3) = (-3)^2 = 9 \)
\( y(-3) = 3(-3) = -9 \)
Buna göre eğrilerin kesişim noktalarının kartezyen koordinatları aşağıdaki gibi bulunur.
\( (x, y) \in \{(1, 3), (1, -3), (9, 9), (9, -9)\} \)
\( C \) eğrisinin parametrik denklemi aşağıdaki gibidir.
\( t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x(t) = \dfrac{2t}{t^2 + 3} \)
\( y(t) = \dfrac{1 - t^2}{t^2 + 3} \)
\( C \) eğrisinin \( 3y = 4x \) doğrusu ile kesiştiği noktaların kartezyen koordinatlarını bulunuz.
Çözümü GösterVerilen eğri ve doğru kesişiyorsa parametrik eğri üzerindeki tüm noktaları temsil eden \( (\frac{2t}{t^2 + 3}, \frac{1 - t^2}{t^2 + 3}) \) sıralı ikilisi verilen doğru denklemini sağlamalıdır.
\( 3y = 4x \)
\( 3\left( \dfrac{1 - t^2}{t^2 + 3} \right) = 4\left( \dfrac{2t}{t^2 + 3} \right) \)
\( 3 - 3t^2 = 8t \)
\( 3t^2 + 8t - 3 = 0 \)
\( (3t - 1)(t + 3) = 0 \)
Buna göre parametrik eğri ve doğru parametrik denklemin \( t \in \{-3, \frac{1}{3}\} \) değerlerindeki noktalarda kesişir.
Bu \( t \) değerlerini parametrik denklemde yerine koyarak kesişim noktalarının kartezyen koordinatlarını bulalım.
\( t = -3 \) için:
\( x(-3) = \dfrac{2(-3)}{(-3)^2 + 3} = -\dfrac{1}{2} \)
\( y(-3) = \dfrac{1 - (-3)^2}{(-3)^2 + 3} = -\dfrac{2}{3} \)
\( t = \dfrac{1}{3} \) için:
\( x(\frac{1}{3}) = \dfrac{2(\frac{1}{3})}{(\frac{1}{3})^2 + 3} = \dfrac{3}{14} \)
\( y(\frac{1}{3}) = \dfrac{1 - (\frac{1}{3})^2}{(\frac{1}{3})^2 + 3} = \dfrac{2}{7} \)
Buna göre \( C \) eğrisi ile \( 3y = 4x \) doğrusunun kesiştiği noktaların kartezyen koordinatları aşağıdaki gibi bulunur.
\( (x, y) \in \left\{ \left( -\dfrac{1}{2}, -\dfrac{2}{3} \right), \left( \dfrac{3}{14}, \dfrac{2}{7} \right) \right\} \)