Parametrelendirme
Bir eğrinin \( x \) ve \( y \) koordinatlarını üçüncü bir değişkene (parametreye) bağlı fonksiyonlar ile ifade etme işlemine eğrinin parametrelendirmesi ya da parametrizasyonu denir.
Bir parametrelendirmenin oluşturduğu noktaların kümesi bir eğri üzerindeki noktaların kümesi ile aynı ise parametrelendirme bu eğriyi temsil eder.
Bir eğri birden fazla (hatta sonsuz farklı) şekilde parametrelendirilebilir. Örnek olarak aşağıdaki parametrik denklemlerin tümü \( y = x^2 \) parabolünü temsil eder. Parabol üzerindeki belirli bir noktanın her parametrelendirmede farklı bir \( t \) değeri ile elde edilebildiğine dikkat edilmelidir.
Tüm örnekler için \( -\infty \lt t \lt \infty \) olmak üzere,
\( x(t) = t, \quad y(t) = t^2 \)
\( t = 8 \Longrightarrow (x, y) = (8, 64) \)
\( x(t) = -2t, \quad y(t) = 4t^2 \)
\( t = -4 \Longrightarrow (x, y) = (8, 64) \)
\( x(t) = t^3, \quad y(t) = t^6 \)
\( t = 2 \Longrightarrow (x, y) = (8, 64) \)
\( x(t) = t + 2, \quad y(t) = (t + 2)^2 \)
\( t = 6 \Longrightarrow (x, y) = (8, 64) \)
Belirli bir parametrelendirme, bir eğriyi temsil etmenin yanı sıra eğri üzerindeki noktaların hangi sırada, yönde ve hızda oluştuğunu da belirler. Buna göre bir eğri tek başına bir noktalar kümesi olarak düşünülebilir, bir parametrelendirme ile birlikte düşünüldüğünde ise hareketli bir noktanın belirli bir sırada, yönde ve hızda oluşturduğu noktalar kümesi olarak yorumlanabilir.
Aşağıda birim çemberin dört farklı parametrelendirmesi verilmiştir. Bu dört parametrelendirme aynı eğriyi temsil etse de, başlangıç noktası, yön ve hız açılarından birbirinden farklıdır.
- Üst sol: Hareket \( (1, 0) \) noktasında başlar ve saat yönünün tersi yönde ilerler, \( [0, 2\pi] \) aralığında tüm çember taranır.
- Üst sağ: Hareket \( (0, 1) \) noktasında başlar ve saat yönünde ilerler, \( [0, 2\pi] \) aralığında tüm çember taranır.
- Alt sol: Hareket \( (1, 0) \) noktasında başlar ve saat yönünün tersi yönde ilerler, \( [0, \pi] \) aralığında (ilk iki durumun iki katı hızda) tüm çember taranır.
- Alt sağ: Hareket \( (0, -1) \) noktasında başlar ve saat yönünde ilerler, \( [0, \pi/2] \) aralığında (ilk iki durumun dört katı hızda) tüm çember taranır.
Kartezyen > Parametrik Denklem Dönüşümü
Tüm kartezyen denklemleri parametrik denklem şeklinde yazılabilir. Bir kartezyen denkleminde koordinatlardan biri diğerinin fonksiyonu olarak yazılabiliyorsa bağımsız koordinat doğrudan parametre olarak seçilebilir.
| Kartezyen Form | Doğrudan Parametrelendirme | Örnek |
|---|---|---|
|
\( y = f(x) \) |
\( x(t) = t \) \( y(t) = f(t) \) |
\( y = 2x^2 - 3x + 5 \) \( x(t) = t \) \( y(t) = 2t^2 - 3t + 5 \) |
|
\( x = g(y) \) |
\( x(t) = g(t) \) \( y(t) = t \) |
\( x = y^3 + y - 1 \) \( x(t) = t^3 + t - 1 \) \( y(t) = t \) |
Doğru Parçasının Parametrelendirmesi
Uç noktaları verilen bir doğru parçası \( 0 \le t \le 1 \) aralığında aşağıdaki şekillerde parametrelendirilebilir.
Uç noktaları \( A(x_0, y_0) \) ve \( B(x_1, y_1) \) olan doğru parçasının \( A \to B \) yönündeki parametrik formu:
\( 0 \le t \le 1 \) olmak üzere,
\( x(t) = x_0 + t(x_1 - x_0) \)
\( y(t) = y_0 + t(y_1 - y_0) \)
Uç noktaları \( A(1, 2) \) ve \( B(4, 6) \) olan doğru parçasının parametrik formu:
\( 0 \le t \le 1 \) olmak üzere,
\( x(t) = 1 + t(4 - 1) = 1 + 3t \)
\( y(t) = 2 + t(6 - 2) = 2 + 4t \)
Elde ettiğimiz parametrik denklemin \( t \) parametresinin uç noktalarında \( A \) ve \( B \) noktalarını verip vermediğini kontrol edelim.
\( t = 0 \) için:
\( x(0) = 1 + 3(0) = 1 \)
\( y(0) = 2 + 4(0) = 2 \)
\( t = 1 \) için:
\( x(1) = 1 + 3(1) = 4 \)
\( y(1) = 2 + 4(1) = 6 \)
Parametrik > Kartezyen Denklem Dönüşümü
Bir parametrik denklemi kartezyen denklemine dönüştürmek için denklemdeki parametreden kurtulmak gerekir. Bunun için kullanılabilecek iki yöntem aşağıdaki gibidir.
\( y = f(x) \) formunda ifade edilebilen bir kartezyen denkleminin tanım kümesi, \( t \) parametresinin tanım kümesi üzerinde \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesine eşittir.
Cebirsel Yok Etme
Parametrik denklemlerden herhangi birinde parametre yalnız bırakılabiliyorsa bu denklem parametre için çözülür ve bulunan parametre değeri diğer denklemde yerine konur.
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemine dönüştürelim.
\( t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x = t - 3 \)
\( y = t^2 + 2 \)
Birinci denklemde \( t \)'yi yalnız bırakalım.
\( t = x + 3 \)
Bulduğumuz \( t \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( y = (x + 3)^2 + 2 \)
Kartezyen denkleminin tanım kümesini bulalım.
\( t \) parametresinin tanım kümesi (tüm reel kümeler) üzerinde \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( \mathbb{R} \) olur.
\( x \in \mathbb{R} \)
Bazı denklemlerde parametre, yalnız bırakılmadan farklı cebirsel işlemlerle yok edilebilir.
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemine dönüştürelim.
\( 0 \lt t \lt \infty \) olmak üzere,
\( x = t + \dfrac{1}{t} \)
\( y = t - \dfrac{1}{t} \)
İki denklemi taraf tarafa toplayalım ve çıkaralım.
\( x + y = t + \dfrac{1}{t} + t - \dfrac{1}{t} = 2t \)
\( x - y = t + \dfrac{1}{t} - t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{2}{t} \)
İki denklemi taraf tarafa çarpalım.
\( (x + y)(x - y) = 2t \cdot \dfrac{2}{t} \)
\( x^2 - y^2 = 4 \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Kartezyen denkleminin tanım kümesini bulalım.
\( t \) parametresinin tanım kümesi (\( (0, \infty) \)) üzerinde \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [2, \infty) \) olur.
\( x \in [2, \infty) \)
Trigonometrik Yok Etme
Bazı denklemlerde parametre, trigonometrik özdeşlikler ve oranlar kullanılarak yok edilebilir.
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemine dönüştürelim.
\( \theta \in [0, 2\pi] \) olmak üzere,
\( x = 5\cos{\theta} \)
\( y = 5\sin{\theta} \)
Her iki denklemin karelerini alıp taraf tarafa toplayalım.
\( x^2 + y^2 = 25(\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}) \)
Sinüs ve kosinüs kare toplamı 1'e eşittir.
\( x^2 + y^2 = 25 \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Kartezyen denkleminin tanım kümesini bulalım.
\( t \) parametresinin tanım kümesi (\( [0, 2\pi] \)) üzerinde \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-5, 5] \) olur.
\( x \in [-5, 5] \)
Bir parametrik denklem kartezyen denklemine dönüştürüldüğünde \( x \) ve \( y \) değişkenleri arasındaki ilişki korunur, ancak bazı bilgiler kaybolabilir.
- Dönüşüm sonucunda elde edilen kartezyen denklemi parametrik eğriyi kapsayan daha büyük bir eğriye karşılık gelebilir ve bu durumda kartezyen denkleminde \( x \) tanım kümesi kısıtlanmalıdır. Bir örnek vermek gerekirse, \( (t^2, t^4) \) denklemi \( y = x^2 \) kartezyen denklemine dönüşür, ancak parametrik denklemde \( t^2 \ge 0 \) olduğu için kartezyen denklemi \( x \ge 0 \) aralığında tanımlanmalıdır.
- Kartezyen denklemi parametreyi içermediği için hareketin yönü kaybolur. Bir örnek vermek gerekirse, birim çemberi farklı yönlerde tarayan \( (\cos{t}, \sin{t}) \) ve \( (\cos{t}, -\sin{t}) \) denklemlerinin ikisi de \( x^2 + y^2 = 1 \) kartezyen denklemine dönüşür.
- Bir parametrik denklemi karşılık geldiği eğriyi birden fazla kez tarayabilir, kartezyen denklemleri ise sadece noktalar kümesi olduğu için bir noktanın kaç kez tarandığı bilgisini içermez.
- Kartezyen denklemi parametrik denklemin içerdiği hız bilgisini içermez.
Özetlemek gerekirse, yukarıdaki ilk madde bir kartezyen denkleminde tanım kümesi kısıtlamaları ile korunabilir, ancak diğer üç madde kartezyen denklemlerinde kaybolur.
Hareket Yönünü Tersine Çevirme
Bir parametrik denklemin tanım kümesini değiştirmeden hareket yönünü tersine çevirmek için parametresine aşağıdaki dönüşüm uygulanır.
\( a \le t \le b \) olmak üzere,
\( x = x(t), \quad y = y(t) \)
parametrik denklemine \( t \mapsto a + b - t \) dönüşümü uygulandığında denklemin hareket yönü tersine döner.
\( x = x(a + b - t), \quad y = y(a + b - t) \)
\( \pi \le t \le 2\pi \) olmak üzere,
\( x(t) = \cos{t} \)
\( y(t) = \sin{t} \)
denklemi yarım birim çemberi \( (-1, 0) \) noktasından \( (1, 0) \) noktasına saat yönünün tersi yönde tarar.
\( t \mapsto a + b - t \) dönüşümü uygulayalım.
\( x(t) = \cos(\pi + 2\pi - t) = -\cos{t} \)
\( y(t) = \sin(\pi + 2\pi - t) = \sin{t} \)
denklemi yarım birim çemberi \( (1, 0) \) noktasından \( (-1, 0) \) noktasına saat yönünde tarar.
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemi şeklinde yazınız.
\( 0 \le t \le 5 \) olmak üzere,
\( x(t) = 3t - 1 \)
\( y(t) = 2e^t \)
Çözümü GösterBirinci denklemde \( t \)'yi yalnız bırakalım.
\( x = 3t - 1 \)
\( t = \dfrac{x + 1}{3} \)
Bulduğumuz \( t \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( y = 2e^t = 2e^{\frac{x + 1}{3}} \)
Elde ettiğimiz denklem parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Kartezyen denkleminin tanım kümesini bulalım.
\( t \) parametresinin tanım kümesi (\( [0, 5] \)) üzerinde \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-1, 14] \) olur.
\( x \in [-1, 14] \)
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemi şeklinde yazınız.
\( 0 \le \theta \le 2\pi \) olmak üzere,
\( x(\theta) = 3\cos{\theta} \)
\( y(\theta) = 4\sin{\theta} \)
Çözümü GösterTrigonometrik fonksiyonları yalnız bırakalım.
\( \cos{\theta} = \dfrac{x}{3} \)
\( \sin{\theta} = \dfrac{y}{4} \)
Her iki denklemin karelerini alıp taraf tarafa toplayalım.
\( \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = \left(\dfrac{x}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{4}\right)^2 \)
Sinüs ve kosinüs kare toplamı 1'e eşittir.
\( \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{16} = 1 \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Kartezyen denkleminin tanım kümesini bulalım.
\( \theta \) parametresinin tanım kümesi (\( [0, 2\pi] \)) üzerinde \( x(\theta) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-3, 3] \) olur.
\( x \in [-3, 3] \)
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemi şeklinde yazınız.
\( 0 \le \theta \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( x(\theta) = \cos(2\theta) \)
\( y(\theta) = \cos(4\theta) \)
Çözümü GösterKosinüs iki kat açı formülünü hatırlayalım.
\( \cos(2\theta) = 2\cos^2{\theta} - 1 \)
\( \cos(4\theta) = 2\cos^2(2\theta) - 1 \)
Bu formülü ikinci denklemde yerine koyalım.
\( y = 2\cos^2(2\theta) - 1 \)
\( \cos(2\theta) \) yerine \( x \) yazalım.
\( y = 2x^2 - 1 \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Kartezyen denkleminin tanım kümesini bulalım.
\( \theta \) parametresinin tanım kümesi (\( [0, 2\pi] \)) üzerinde \( x(\theta) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-1, 1] \) olur.
\( x \in [-1, 1] \)
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemi şeklinde yazınız.
\( 2 \le t \le 5 \) olmak üzere,
\( x(t) = t^2 \)
\( y(t) = \sin{t} \)
Çözümü GösterBirinci denklemde \( t \)'yi yalnız bırakalım.
\( x = t^2 \)
\( t = \sqrt{x} \)
Bulduğumuz \( t \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( y = \sin{\sqrt{x}} \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Kartezyen denkleminin tanım kümesini bulalım.
\( t \) parametresinin tanım kümesi (\( [2, 5] \)) üzerinde \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [4, 25] \) olur.
\( x \in [4, 25] \)
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemi şeklinde yazınız.
\( t \in \mathbb{R} - \left\{ \dfrac{1}{3} \right\} \) olmak üzere,
\( x(t) = \dfrac{1}{3t - 1} \)
\( y(t) = \dfrac{t}{3t - 1} \)
Çözümü Göster1. yöntem:
Birinci denklemde \( t \)'yi yalnız bırakalım.
\( x = \dfrac{1}{3t - 1} \)
\( 3t - 1 = \dfrac{1}{x} \)
\( 3t = \dfrac{1}{x} + 1 \)
\( t = \dfrac{1}{3x} + \dfrac{1}{3} \)
Bulduğumuz \( t \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( y = \dfrac{\frac{1}{3x} + \frac{1}{3}}{3(\frac{1}{3x} + \frac{1}{3}) - 1} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{3x} + \frac{1}{3}}{\frac{1}{x}} \)
\( = \dfrac{x}{3x} + \dfrac{x}{3} \)
\( = \dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{3} \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Kartezyen denkleminin tanım kümesini bulalım.
\( t \) parametresinin tanım kümesi üzerinde \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (-\infty, \infty) - \{ 0 \} \) olur.
\( x \in (-\infty, \infty) - \{ 0 \} \)
2. yöntem:
\( y \) ifadesinin 3 katından \( x \) ifadesini çıkaralım.
\( 3y - x = \dfrac{3t}{3t - 1} - \dfrac{1}{3t - 1} \)
\( 3y - x = \dfrac{3t - 1}{3t - 1} = 1 \)
\( 3y = x + 1 \)
\( y = \dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{3} \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemi şeklinde yazınız.
\( -3 \le t \le 4 \) olmak üzere,
\( x(t) = 4t + 3 \)
\( y(t) = (t - 2)(t + 3) \)
Çözümü GösterBirinci denklemde \( t \)'yi yalnız bırakalım.
\( 4t = x - 3 \)
\( y = (t - 2)(t + 3) \)
Eşitliğin taraflarını 16 ile çarpalım.
\( 16y = 16(t - 2)(t + 3) \)
\( 16y = (4t - 8)(4t + 12) \)
Yukarıda bulduğumuz \( 4t \) değerini bu denklemde yerine koyalım.
\( 16y = (x - 3 - 8)(x - 3 + 12) \)
\( 16y = (x - 11)(x + 9) \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Kartezyen denkleminin tanım kümesini bulalım.
\( t \) parametresinin tanım kümesi (\( [-3, 4] \)) üzerinde \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-9, 19] \) olur.
\( x \in [-9, 19] \)
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemi şeklinde yazınız.
\( \pi \le \theta \le 2\pi \) olmak üzere,
\( x(\theta) = \sin{\theta} \)
\( y(\theta) = \sin(2\theta) \)
Çözümü GösterSinüs iki kat açı formülü ile \( y(\theta) \) denklemini tekrar yazalım.
\( y(\theta) = \sin(2\theta) = 2\sin{\theta} \cdot \cos{\theta} \)
Sinüs ve kosinüs kare toplamı özdeşliğini kullanarak kosinüsü sinüs cinsinden yazalım.
\( \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1 \)
\( \cos{\theta} = \sqrt{1 - \sin^2{\theta}} \)
\( y(\theta) = 2\sin{\theta} \cdot \sqrt{1 - \sin^2{\theta}} \)
\( \sin{\theta} \) yerine \( x \) yazalım.
\( y = 2x\sqrt{1 - x^2} \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Kartezyen denkleminin tanım kümesini bulalım.
\( t \) parametresinin tanım kümesi (\( [\pi, 2\pi] \)) üzerinde \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-1, 0] \) olur.
\( x \in [-1, 0] \)
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemi şeklinde yazınız.
\( 0 \le t \le \pi \) olmak üzere,
\( x(t) = 2\cos(2t) \)
\( y(t) = \sin{t} \)
Çözümü GösterKosinüs iki kat açı formülünü hatırlayalım.
\( \cos(2t) = 1 - 2\sin^2{t} \)
Bu değeri birinci denklemde yerine koyalım.
\( x = 2(1 - 2\sin^2{t}) \)
\( \sin{t} \) yerine \( y \) yazalım.
\( x = 2(1 - 2y^2) \)
\( x = 2 - 4y^2 \)
\( (2y)^2 = 2 - x \)
\( y = \dfrac{\sqrt{2 - x}}{2} \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Kartezyen denkleminin tanım kümesini bulalım.
\( t \) parametresinin tanım kümesi (\( [0, \pi] \)) üzerinde \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-2, 2] \) olur.
\( x \in [-2, 2] \)
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemi şeklinde yazınız.
\( t \in \mathbb{R} - \{ -2, 3 \} \) olmak üzere,
\( x(t) = \dfrac{1}{t - 3} \)
\( y(t) = \dfrac{1}{t + 2} \)
Çözümü GösterBirinci denklemde \( t \)'yi yalnız bırakalım.
\( x = \dfrac{1}{t - 3} \)
\( t - 3 = \dfrac{1}{x} \)
\( t = \dfrac{1}{x} + 3 \)
Bulduğumuz \( t \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( y = \dfrac{1}{\frac{1}{x} + 3 + 2} \)
\( = \dfrac{1}{\frac{1 + 5x}{x}} \)
\( = \dfrac{x}{5x + 1} \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Kartezyen denkleminin tanım kümesini bulalım.
\( t \) parametresinin tanım kümesi üzerinde \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( \mathbb{R} - \{ -\frac{1}{5}, 0 \} \) olur.
\( x \in \mathbb{R} - \left\{ -\dfrac{1}{5}, 0 \right\} \)
\( t \ne 0 \) olmak üzere,
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemi şeklinde yazınız.
\( x(t) = t^2 + \dfrac{1}{2t} \)
\( y(t) = t^2 - \dfrac{1}{2t} \)
Çözümü Gösterİki denklemi taraf tarafa toplayalım ve çıkaralım.
\( x + y = 2t^2 \)
\( x - y = \dfrac{1}{t} \)
Bulduğumuz ikinci denklemin taraflarının karesini alalım.
\( (x - y)^2 = \dfrac{1}{t^2} \)
Bu denklemi birinci denklem ile taraf tarafa çarpalım.
\( (x + y)(x - y)^2 = 2t^2 \cdot \dfrac{1}{t^2} \)
\( (x + y)(x - y)^2 = 2 \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
\( t \ne 0 \) olmak üzere,
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemi şeklinde yazınız.
\( x(t) = \dfrac{1}{4t} + \dfrac{1}{2t^2} \)
\( y(t) = \dfrac{1}{4t} - \dfrac{1}{2t^2} \)
Çözümü Gösterİki denklemi taraf tarafa toplayalım ve çıkaralım.
\( x + y = \dfrac{1}{2t} \)
\( x - y = \dfrac{1}{t^2} \)
Bulduğumuz birinci denklemin taraflarının karesini alalım.
\( (x + y)^2 = \dfrac{1}{4t^2} \)
İkinci denklemin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( \dfrac{1}{x - y} = t^2 \)
Elde ettiğimiz denklemleri taraf tarafa çarpalım.
\( (x + y)^2 \cdot \dfrac{1}{x - y} = \dfrac{1}{4t^2} \cdot t^2 \)
\( \dfrac{(x + y)^2}{x - y} = \dfrac{1}{4} \)
\( 4(x + y)^2 = x - y \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemi şeklinde yazınız.
\( 0 \le \theta \lt 2\pi \) olmak üzere,
\( x(\theta) = 3 \tan{\theta} \)
\( y(\theta) = \cos{\theta} \)
Çözümü GösterTanjant ve sekant arasındaki Pisagor özdeşliğini hatırlayalım.
\( \tan^2{\theta} + 1 = \sec^2{\theta} \)
Birinci denklemde tanjantı yalnız bırakalım.
\( \tan{\theta} = \dfrac{x}{3} \)
\( \tan^2{\theta} = \dfrac{x^2}{9} \)
İkinci denklemin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{\cos{\theta}} = \sec{\theta} \)
\( \sec^2{\theta} = \dfrac{1}{y^2} \)
Elde ettiğimiz ifadeleri Pisagor özdeşliğinde yerine koyalım.
\( \tan^2{\theta} + 1 = \sec^2{\theta} \)
\( \dfrac{x^2}{9} + 1 = \dfrac{1}{y^2} \)
\( \dfrac{1}{y^2} = \dfrac{x^2 + 9}{9} \)
Eşitliğin taraflarının çarpmaya göre tersini alalım.
\( y^2 = \dfrac{9}{x^2 + 9} \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Kartezyen denkleminin tanım kümesini bulalım.
\( t \) parametresinin tanım kümesi (\( [0, 2\pi] \)) üzerinde \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesi tüm reel sayılardır.
\( x \in \mathbb{R} \)
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemi şeklinde yazınız.
\( t \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x(t) = t - e^t \)
\( y(t) = t + e^t \)
Çözümü Gösterİki denklemi taraf tarafa toplayalım ve çıkaralım.
\( x + y = 2t \)
\( x - y = -2e^t \)
Bulduğumuz birinci denklemde \( t \)'yi yalnız bırakalım.
\( t = \dfrac{x + y}{2} \)
Bulduğumuz \( t \) değerini ikinci denklemde yerine koyalım.
\( x - y = -2e^{\frac{x + y}{2}} \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Kartezyen denkleminde \( x \) değişkeninin tanım kümesini bulalım.
\( t \) parametresinin tanım kümesi (tüm reel sayılar) üzerinde \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
\( x(t) \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( x'(t) = 1 - e^t \)
Tüm reel sayılarda sürekli olan \( x(t) \) fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevini sıfıra eşitleyelim.
\( 1 - e^t = 0 \)
\( t = 0 \)
\( x(t) \) fonksiyonunun ikinci türevini alalım.
\( x''(t) = -e^t \)
\( x''(0) = -e^0 = -1 \lt 0 \)
\( x(t) \) fonksiyonunun ikinci türevi \( t = 0 \) noktasında negatif olduğu için bu nokta bir yerel maksimum noktasıdır.
Bu noktadaki fonksiyon değerini bulalım.
\( x(0) = 0 - e^0 = -1 \)
\( t \to -\infty \) iken \( t - e^t \to -\infty \) olur.
\( t \to \infty \) iken \( t - e^t \to -\infty \) olur.
Buna göre \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (-\infty, -1] \) olur.
\( x \in (-\infty, -1] \)
Aşağıdaki parametrik denklemi kartezyen denklemi şeklinde yazınız.
\( 0 \le \theta \lt \pi \) olmak üzere,
\( x(\theta) = \dfrac{\sin{\theta} + \cos{\theta}}{2} \)
\( y(\theta) = \dfrac{\sin{\theta} - \cos{\theta}}{2} \)
Çözümü GösterHer iki denklemin taraflarının karesini alalım.
\( x^2 = \dfrac{(\sin{\theta} + \cos{\theta})^2}{4} \)
\( = \dfrac{\sin^2{\theta} + 2\sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta}}{4} \)
\( = \dfrac{1 + \sin(2\theta)}{4} \)
\( y^2 = \dfrac{(\sin{\theta} - \cos{\theta})^2}{4} \)
\( = \dfrac{\sin^2{\theta} - 2\sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta}}{4} \)
\( = \dfrac{1 - \sin(2\theta)}{4} \)
Denklemleri taraf tarafa toplayalım.
\( x^2 + y^2 = \dfrac{1 + \sin(2\theta)}{4} + \dfrac{1 - \sin(2\theta)}{4} \)
\( x^2 + y^2 = \dfrac{1}{2} \)
Elde ettiğimiz denklem verilen parametrik denklemin kartezyen denklemi şeklinde yazılışıdır.
Kartezyen denkleminin tanım kümesini bulalım.
\( t \) parametresinin tanım kümesi (\( [0, \pi] \)) üzerinde \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
\( x(t) \) fonksiyonunun türevini alalım.
\( x'(t) = \dfrac{\cos{t} - \sin{t}}{2} \)
Tüm reel sayılarda sürekli olan \( x(t) \) fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevini sıfıra eşitleyelim.
\( \cos{t} - \sin{t} = 0 \)
\( \cos{t} = \sin{t} \)
\( \tan{t} = 1 \)
Tanjant fonksiyonu \( [0, \pi] \) aralığında 1 değerini \( t = \frac{\pi}{4} \) noktasında alır.
\( x(t) \) fonksiyonunun ikinci türevini alalım.
\( x''(t) = \dfrac{-\sin{t} - \cos{t}}{2} \)
\( x''\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{-\sin{\frac{\pi}{4}} - \cos{\frac{\pi}{4}}}{2} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lt 0 \)
\( x(t) \) fonksiyonunun ikinci türevi \( t = \frac{\pi}{4} \) noktasında negatif olduğu için bu nokta bir yerel maksimum noktasıdır.
Bu noktadaki fonksiyon değerini bulalım.
\( x\left( \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sin{\frac{\pi}{4}} + \cos{\frac{\pi}{4}}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
\( t \) tanım aralığının uç noktalarındaki \( x(t) \) değerlerini bulalım.
\( x(0) = \dfrac{\sin{0} + \cos{0}}{2} = \dfrac{1}{2} \)
\( x(\pi) = \dfrac{\sin{\pi} + \cos{\pi}}{2} = -\dfrac{1}{2} \)
Buna göre \( x(t) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}] \) olur.
\( x \in \left[ -\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right] \)