Koşullu Olasılık
Önceki bölümlerde bir olayın gerçekleşme olasılığını diğer olayların gerçekleşmesinden bağımsız şekilde inceledik. Bir olayın başka olayların gerçekleşmesine bağlı olmadan hesaplanan olasılığına marjinal olasılık denir.
Bazı durumlarda deneyin gerçekleşen (ya da gerçekleşecek) sonucu hakkında ek bazı bilgiler biliyor ve bu bilgiler ışığında bir olayın olasılığı hesaplamak istiyor olabiliriz. Bir örnek vermek gerekirse, bir zarın çift sayı gelme olasılığını \( \frac{1}{2} \) olarak hesaplamıştık.
\( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
\( A \): Zarın çift gelme olayı
\( A = \{ 2, 4, 6 \} \)
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \)
Farklı bir \( B \) olayını sonucun asal sayı olması şeklinde tanımlayalım.
\( B \): Zarın asal sayı gelme olayı
\( B = \{2, 3, 5\} \)
Eğer zarın atıldığını ve kesin sonucu bilmesek de \( B \) olayının gerçekleştiğini biliyorsak \( A \) olayının gerçekleşme olasılığı artık \( \frac{1}{2} \) olmayacaktır, çünkü kullandığımız olasılık formülünün hem payı hem de paydası bu ek bilgi doğrultusunda değişecektir.
- Payda: \( B \) olayının gerçekleştiğini biliyor olmamız \( B \)'nin elemanı olmayan sonuçların (\( B' \)) gerçekleşmediği anlamına gelir, dolayısıyla deneyin tüm olası sonuçlarını içeren örnek uzay artık \( S \) yerine \( B \) olur.
- Pay: \( B \)'nin elemanı olmayan sonuçların gerçekleşmemiş olması, bu elemanlardan \( A \) olayında tanımlı olanların da gerçekleşmediği anlamına gelir, dolayısıyla \( A \) kümesinde sadece \( B \)'nin de elemanı olan sonuçlar olası birer sonuç olur, bu da iki olayın kesişim olayına karşılık gelir.
\( B \) olayının gerçekleştiği bilindiği durumda \( A \) olayının gerçekleşme olasılığına \( B \) biliniyorken \( A \) olayının koşullu olasılığı denir ve \( P(A \mid B) \) şeklinde gösterilir.
\( B \) olayının bilindiği durum için \( A \) olayının koşullu olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanır.
\( P(B) \gt 0 \) olmak üzere,
\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( B \) olayının gerçekleştiğinin bilinmediği (solda) ve bilindiği (sağda) iki durum arasındaki fark aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Her iki durumda yeşil bölge olasılık formülünde paydaya, kırmızı kenarlı bölge paya karşılık gelmektedir.
Bu formülü kullanarak \( A \) olayı ve örnek uzayla ilgili aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz.
\( A \) olayının gerçekleştiği biliniyorsa \( A \) olayının gerçekleşme olasılığı 1'dir.
\( P(A \mid A) = \dfrac{P(A \cap A)}{P(A)} = \dfrac{P(A)}{P(A)} = 1 \)
Örnek uzayın gerçekleştiği biliniyorsa \( A \) olayının gerçekleşme olasılığı \( p(A) \)'dır.
\( P(A \mid S) = \dfrac{P(A \cap S)}{P(S)} = \dfrac{P(A)}{P(S)} = P(A) \)
\( A \) olayının gerçekleştiği biliniyorsa örnek uzayın gerçekleşme olasılığı 1'dir.
\( P(S \mid A) = \dfrac{P(S \cap A)}{P(A)} = \dfrac{P(A)}{P(A)} = 1 \)
Bayes Teoremi
Yukarıda tanımladığımız \( P(A \mid B) \) formülünü \( P(B \mid A) \) için de yazdığımızda aşağıdaki Bayes teoremi formülü elde edilir.
\( P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)} \)
\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
Yukarıdaki gibi tanımladığımız \( B \) biliniyorken \( A \) olayının koşullu olasılığı formülünü \( A \) biliniyorken \( B \) olayının koşullu olasılığı için de yazalım.
\( P(B \mid A) = \dfrac{P(B \cap A)}{P(A)} \)
Her iki formülde kesişim olayını yalnız bırakalım.
\( P(A \cap B) = P(A \mid B)P(B) \)
\( P(B \cap A) = P(B \mid A)P(A) \)
Kümelerin kesişim işleminin değişim özelliği olduğu için bu iki formülü birbirine eşitleyebiliriz.
\( A \cap B = B \cap A \Longrightarrow P(A \cap B) = P(B \cap A) \)
\( P(A \mid B)P(B) = P(B \mid A)P(A) \)
\( B \) biliniyorken \( A \) olayının koşullu olasılığını yalnız bırakırsak Bayes teoremi formülünü elde ederiz.
\( P(A \mid B) = \dfrac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)} \)
Bu formül aynı zamanda \( A \) ve \( B \) olaylarının olasılıkları birbirine eşit olmadığı sürece \( P(A \mid B) \) ve \( P(B \mid A) \) koşullu olasılıklarının birbirine eşit olmadığını gösterir.
\( P(A) \ne P(B) \) ise,
\( \dfrac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)} \ne \dfrac{P(A \mid B)P(B)}{P(A)} \)
\( P(A \mid B) \ne P(B \mid A) \)
Bağımsız Olaylar
Bir zar ve bir yazı - tura atışından oluşan bir deney yapıyor olalım.
\( S = \{1Y, 1T, \ldots, 6Y, 6T\} \)
\( s(S) = 6 \cdot 2 = 12 \)
\( A \): Zarın 4 gelme olayı
\( A = \{4Y, 4T\} \)
\( B \): Paranın yazı gelme olayı
\( B = \{1Y, 2Y, \ldots, 6Y\} \)
\( A \) olayının gerçekleşme olasılığını aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.
\( P(A) = \dfrac{s(A)}{s(S)} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6} \)
\( B \) olayının gerçekleştiği durumda \( A \) olayının gerçekleşme olasılığını aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz.
\( A \cap B = \{ 4Y \} \)
\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( = \dfrac{s(A \cap B)}{s(B)} = \dfrac{1}{6} \)
Görebileceğimiz gibi, \( A \) olayının tek başına gerçekleşme olasılığı \( B \)'nin bilindiği durumdaki koşullu olasılığına eşit olmaktadır. Bu şekilde bir olayın gerçekleştiğinin biliniyor olması diğer bir olayın olasılığını değiştirmiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir. İki olay bağımsız ise birinin sonucunu biliyor olmamız diğerinin gerçekleşme olasılığını etkilemez.
\( A \) ve \( B \) bağımsız olay değillerse bağımlı olaylardır.
Bağımsız \( A \) ve \( B \) olayları için aşağıdaki ifadeler doğrudur.
\( A \) ve \( B \) bağımsız olaylar ise,
\( P(A \cap B) = P(A)P(B) \)
Bu eşitliği koşullu olasılık formülünde yerine koyduğumuzda bağımsız olayların tanımı olan koşullu olasılığın marjinal olasılığa eşitliğini elde ederiz.
\( P(A \mid B) = P(A) \)
\( P(B \mid A) = P(B) \)
İkiden fazla olay bağımsız ise olasılıkları arasındaki ilişki aşağıdaki şekilde gösterilir.
\( A_1, A_2, \ldots, A_n \) bağımsız olaylar ise,
\( P(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n) \) \( = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot \) \( \ldots \cdot P(A_n) \)
Bir çift zar birlikte atılıyor. Gelen zarların toplamının 7 olduğu bilindiğine göre, zarlardan birinin 2 gelmiş olma olasılığı kaçtır?
İki zar atıldığında zarların toplamının 7 olma olayına \( B \) diyelim.
\( B = \{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\} \)
\( s(B) = 6 \)
Zarlardan birinin 2 gelme olayına \( A \) diyelim.
\( A \) ve \( B \) olaylarının kesişim olayı aşağıdaki gibi olur.
\( A \cap B = \{(2, 5), (5, 2)\} \)
\( s(A \cap B) = 2 \)
\( B \) olayının bilindiği durum için \( A \) olayının koşullu olasılığı:
\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{s(A \cap B)}{s(B)} \)
\( = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \) bulunur.
Bir hastanede bir yıl boyunca Covid olduğu bilinen 6.800 hastaya yapılan testlerin 5.700'ü pozitif, Covid olmadığı bilinen 3.200 hastaya yapılan testlerin 2.300'ü negatif sonuçlanmıştır.
Buna göre bu hastaneye Covid testi için giden bir kişinin testi negatif çıktıysa gerçekten Covid olmama olasılığı nedir?
Bu soru için örnek uzay hastaneden yapılan tüm testlerdir.
\( s(S) = 10.000 \)
Bir hastanın test sonucundan bağımsız olarak Covid olma olayına \( A \), Covid olma durumundan bağımsız olarak testinin pozitif çıkma olayına \( B \) diyelim.
Soruda verilen bilgiler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
Soruda istenen test sonucunun negatif çıktığı bilinen bir hastanın gerçekten Covid olmama olasılığıdır, bunu koşullu olasılık olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( P(A' \mid B') = \dfrac{P(A' \cap B')}{P(B')} = \dfrac{s(A' \cap B')}{s(B')} \)
\( A' \cap B' \) kümesi hem Covid olmayan hem de testi negatif çıkan hastalara karşılık gelmektedir ve tabloya göre bu hastaların sayısı 2.300'dür.
\( B' \) kümesi testi negatif çıkan hastaların tümüne karşılık gelmektedir ve tabloya göre bu hastaların sayısı 3.400'dür.
Soruda istenen koşullu olasılığı hesaplayalım.
\( P(A' \mid B') = \dfrac{s(A' \cap B')}{s(B')} \)
\( = \dfrac{2.300}{3.400} = \dfrac{23}{34} \) bulunur.
Bir şirket çalışanları arasında üniversite mezunu olan 46 personelin 6'sının, üniversite mezunu olmayan 54 personelin 22'sinin sigara içtiği biliniyor.
Buna göre şirketteki sigara odasında sigara içtiği görülen bir çalışanın üniversite mezunu olma olasılığı nedir?
Bu soru için örnek uzay şirketteki tüm çalışanlardır.
\( s(S) = 100 \)
Bir çalışanın üniversite mezunu olma olayına \( A \), sigara içiyor olma olayına \( B \) diyelim.
Soruda verilen bilgiler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
Soruda istenen sigara içtiği bilinen bir çalışanın üniversite mezunu olma olasılığıdır, bunu koşullu olasılık olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.
\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{s(A \cap B)}{s(B)} \)
\( A \cap B \) kümesi hem üniversite mezunu olan hem de sigara içen çalışanlara karşılık gelmektedir ve tabloya göre bu çalışanların sayısı 6'dır.
\( B \) kümesi sigara içen çalışanların tümüne karşılık gelmektedir ve tabloya göre bu çalışanların sayısı 28'dir.
Soruda istenen koşullu olasılığı hesaplayalım.
\( P(A \mid B) = \dfrac{s(A \cap B)}{s(B)} \)
\( = \dfrac{6}{28} = \dfrac{3}{14} \) bulunur.
Belirli bir markaya ait telefonların \( \% 40 \)'ı A ülkesinde, \( \%60 \)'ı B ülkesinde üretilmektedir. A ülkesinde üretilen telefonların \( \%15 \)'i, B ülkesinde üretilen telefonların \( \%20 \)'si bozuk çıkmaktadır.
Bu telefonlardan rastgele seçilen biri bozuk çıktığına göre, bu telefonun B ülkesinde üretilmiş olma olasılığı A ülkesinde üretilmiş olma olasılığının kaç katıdır?
Üretilen toplam telefon sayısına işlem kolaylığı açısından 100 diyelim. Bu telefonların 40'ı A ülkesinde, 60'ı B ülkesinde üretilmiş olur.
A ülkesinde üretilmiş olan bozuk telefon sayısını bulalım.
\( 40 \cdot \dfrac{15}{100} = 6 \)
B ülkesinde üretilmiş olan bozuk telefon sayısını bulalım.
\( 60 \cdot \dfrac{20}{100} = 12 \)
Buradan toplam bozuk telefon sayısını \( 6 + 12 = 18 \) olarak buluruz.
Bu bilgiler aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
Rastgele seçilen bozuk bir telefonun A ülkesinde üretilmiş olma olasılığı \( P(A \mid C') \), B ülkesinde üretilmiş olma olasılığı \( P(B \mid C') \) olur.
İstenen oranı bulalım.
\( \dfrac{P(B \mid C')}{P(A \mid C')} = \dfrac{\frac{P(B \cap C')}{P(C')}}{\frac{P(A \cap C')}{P(C')}} \)
\( = \dfrac{\frac{12}{18}}{\frac{6}{18}} = 2 \) bulunur.
42 kişilik bir sınıfta matematik dersinden geçenlerin sayısı, türkçe dersinden geçenlerin 2 katıdır.
Her iki dersten geçenlerin sayısı her iki dersten kalanların sayısına eşittir. Yalnız türkçe dersinden geçenlerin sayısı 3 kişidir.
Sınıfta rastgele seçilen bir kişinin türkçeden kaldığı bilindiğine göre, matematikten geçme olasılığı kaçtır?
\( M \): Matematik dersinden geçen öğrenciler kümesi
\( T \): Türkçe dersinden geçen öğrenciler kümesi
Sınıftaki öğrencilerin dağılımını bir Venn şemasında gösterelim.
Her iki dersten geçen öğrencilerin sayısı her iki dersten kalan öğrenci sayısına eşittir.
\( b = d \)
Yalnız türkçeden geçen öğrencilerin sayısı 3'tür.
\( c = 3 \)
Matematikten geçenlerin sayısı türkçeden geçenlerin 2 katıdır.
\( a + b = 2(b + c) \)
\( a + b = 2b + 6 \)
\( a = b + 6 \)
Sınıftaki toplam öğrenci sayısı 42'dir.
\( a + b + c + d = 42 \)
Tüm değişkenleri \( b \) cinsinden yazalım.
\( (b + 6) + b + 3 + b = 42 \)
\( b = 11 \)
\( a = b + 6 = 17 \)
\( d = b = 11 \)
Türkçeden kaldığı bilinen bir öğrencinin matematikten geçmiş olma olsılığını bulalım.
\( P(M \mid T') = \dfrac{s(M \cap T')}{s(T')} \)
\( = \dfrac{a}{a + d} = \dfrac{17}{17 + 11} = \dfrac{17}{28} \) bulunur.
Sena'nın 3 madeni parası vardır. Bu paralardan ikisinin bir yüzü yazı bir yüzü tura, diğerinin her iki yüzü de turadır.
Sena bu paralardan rastgele birini seçiyor ve havaya atıyor. Para tura geldiğine göre, paranın diğer yüzünün de tura olma olasılığı nedir?
Her bir sonuçta ilk harf gelen paranın ön yüzü, ikinci harf arka yüzü olmak üzere, örnek uzayı tüm 6 olasılığı içerecek şekilde aşağıdaki şekilde tanımlayabiliriz (ilk iki sonuç 1. para seçildiği durum için, ikinci iki sonuç 2. para seçildiği durum için, üçüncü iki sonuç 3. iki yüzün de tura olduğu para seçildiği durum için).
\( S = \{YT, TY, YT, TY, TT, TT\} \)
\( s(S) = 6 \)
Soruyu çözmek için koşullu olasılık formülünü kullanalım.
\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \)
\( A \): Gelen yüzün arkasının tura olma olayı
\( A = \{YT, YT, TT, TT\} \)
\( s(A) = 4 \)
\( B \): Gelen yüzün tura olma olayı
\( B = \{TY, TY, TT, TT\} \)
\( s(B) = 4 \)
\( P(B) = \dfrac{s(B)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3} \)
\( A \cap B \): Gelen ve arka yüzün ikisinin de tura olma olayı
\( A \cap B = \{TT, TT\} \)
\( s(A \cap B) = 2 \)
\( P(A \cap B) = \dfrac{s(A \cap B)}{s(S)} \)
\( = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \)
\( A \mid B \): Gelen yüzün tura olduğu bilindiği durumda arkasının tura olma olayı
Bu değerleri koşullu olasılık formülünde yerine koyalım.
\( P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{s(A \cap B)}{s(B)} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \dfrac{1}{2} \) bulunur.
1 milyonda bir kişide görülen bir hastalığın teşhisinde kullanılan bir test %99 oranında doğru sonuç vermektedir (hastalığa sahip kişi için pozitif, hastalığa sahip olmayan kişi için negatif sonuç).
Bu testi yaptıran bir kişinin sonucu pozitif ise kişinin gerçekten hasta olma olasılığı kaçtır?
Soruda verilen bilgiler doğrultusunda bir tablo oluşturalım.
Bu tabloda satırlar bir kişinin gerçekten bu hastalığa sahip olup olmadığını, sütunlar da test sonucunu göstermektedir.
1 milyon kişiyi bu tablonun hücrelerine dağıtalım.
Hastalık 1 milyonda bir kişide görüldüğü için toplam hasta kişi sayısına 1, toplam hasta olmayan kişi sayısına 999999 diyelim.
Test sonucu gerçekten hasta olan bir kişi için pozitif, hasta olmayan bir kişi için negatif olursa doğru olur.
Testin doğruluk oranı %99 olduğu için, gerçekten hasta olan 1 kişi içinde \( \frac{99}{100} \) kişi için test sonucu pozitif (doğru sonuç), \( \frac{1}{100} \) kişi için test sonucu negatif (hatalı sonuç) çıkar.
Benzer şekilde, gerçekten hasta olmayan 999999 kişi içinde \( \frac{999999}{100} \) kişi için test sonucu pozitif (hatalı sonuç), \( \frac{999999 \cdot 99}{100} \) kişi için test sonucu negatif (doğru sonuç) çıkar.
Soruda test sonucu pozitif olduğu bilinen bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı isteniyor.
\( P(\text{Hasta} \mid \text{Pozitif}) = \frac{s(\text{Hasta} \cap \text{Pozitif})}{s(\text{Pozitif})} \)
\( = \dfrac{\frac{99}{100}}{\frac{99}{100} + \frac{999999}{100}} \)
\( = \dfrac{99}{99 + 999999} \approx \%0,01 \)
Görülebileceği üzere, doğruluk oranı %99 olan bir testin pozitif sonuç verdiği bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı yaklaşık %0,01 olmaktadır.