Olasılık teorisi, sonucu kesin olarak bilinemeyen olayların gerçekleşme ihtimallerinin tahmin edilebilmesi için matematiksel bir yaklaşım sunar.
Bu bölümde olasılık teorisini anlayabilmek için bilinmesi gereken bazı kavramlardan bahsedeceğiz.
Olası sonuçları iyi tanımlanmış olan, tekrarlanabilir olan ve her tekrarda tek bir sonuç ile sonuçlanan eylemlere deney denir. Birden fazla olası sonucu olan ve sonucu önceden tahmin edilemeyen deneylere rastgele deney denir.
Rastgele deneylere aşağıdaki örnekler verilebilir.
Pek çok kez tekrarlanan deneylerin her bir tekrarına deneme denir.
Pek çok kez atılan zarlardan ya da bir iskambil destesinden çekilen kartlardan her biri denemelere örnek olarak verilebilir.
Bir deneyin olası neticelerinin her birine sonuç denir.
Rastgele deneylerin sonuçlarına aşağıdaki örnekler verilebilir.
Tek bir madeni para atışı:
Y (yazı), T (tura)
Arka arkaya iki madeni para atışı:
YY, YT, TY, TT
Arka arkaya üç zar atışı:
111, 123, 444, 256, ...
İskambil destesinden çekilen kart:
Kupa 3, Maça 7, Sinek 10, ...
Bir deney birden fazla denemeden oluşuyorsa her bir denemenin değil tüm denemelerin tamamlanmasıyla elde edilen sonuç deneyin sonucudur. Örneğin bir zarın iki kez atışından oluşan bir deneyde olası bir sonuç her denemede gelen "3" ve "4" değil, "34" olur.
Bir deneyin tüm olası sonuçlarından oluşan kümeye örnek uzay denir. Örnek uzay genellikle \( S \) ile gösterilir.
Tek bir denemeden oluşan bazı deneylerin örnek uzayı aşağıdaki gibidir.
Tek bir madeni para atışının örnek uzayı:
\( S_1 = \{Y, T\} \)
\( s(S_1) = 2 \)
Tek bir zar atışının örnek uzayı:
\( S_2 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
\( s(S_2) = 6 \)
Birden fazla denemeden oluşan deneylerin örnek uzayındaki sonuç sayısı, sayma konusunda gördüğümüz çarpma kuralı gereği tek bir deneyin sonuç sayısının deney sayısı kadar kuvvetine eşittir.
Üç madeni para atışının örnek uzayı:
\( S_1 = \{YYY, YYT, YTY, \ldots, TTT\} \)
\( s(S_1) = 2^3 = 8 \)
İki zar atışının örnek uzayı:
\( S_2 = \{11, 12, 13, \ldots, 65, 66\} \)
\( s(S_2) = 6^2 = 36 \)
Örnek uzayın herhangi bir alt kümesine olay denir. Bir olay bir ya da birden fazla sonuçtan oluşabilir. Olaylar genellikle \( A \), \( B \), \( C \) gibi büyük harflerle isimlendirilirler.
Üç madeni para atışında en az iki yazı gelme olayı:
\( A = \{YYY, YYT, YTY, TYY\} \)
İki zar atışında aynı sayı gelme olayı:
\( B = \{11, 22, 33, 44, 55, 66\} \)
Üç zar atışında toplamın 5'ten küçük olma olayı:
\( C = \{111, 112, 121, 211\} \)
İki zarın atıldığı bir deneyin \( S \) örnek uzayında tanımlı 3 olay aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. Mavi kutular ilk zarın 1 geldiği, yeşil kutular zarların toplamının 10 ya da daha büyük geldiği, kenarlı kutular iki zarın aynı geldiği olaylara karşılık gelmektedir.
Örnek uzayın kendisi ve boş küme de örnek uzayın birer alt kümesi olduğu için ikisi de birer olaydır.
Belirli bir olay deneyin gerçekleşen sonucunu içeriyorsa o olay gerçekleşmiş olur. Örneğin atılan bir zar 4 geldiyse "çift gelme" ve "3'ten büyük gelme" olayları gerçekleşmiş olur.
Belirli bir olay deneyin gerçekleşen sonucunu içermiyorsa o olay gerçekleşmemiş olur. Örneğin üç madeni para atışından oluşan bir deneyde paraların üçü de tura geldiyse "en az bir yazı gelme" olayı gerçekleşmemiş olur.
Tek bir sonuçtan oluşan olaylara basit olay denir.
Bir zar atışında 3 gelme olayı:
\( A = \{3\} \)
İki madeni para atışının ikisinde de yazı gelme olayı:
\( B = \{YY\} \)
Birden fazla sonuçtan oluşan olaylara bileşik olay denir.
Bir zar atışında çift gelme olayı:
\( A = \{2, 4, 6\} \)
İki madeni para atışında en az bir yazı gelme olayı:
\( B = \{YY, YT, TY\} \)
Aşağıdaki üç noktanın akılda tutulması bundan sonraki bölümler için önem taşımaktadır.