Karmaşık Sayıların Üstel Gösterimi
Bu bölümde karmaşık sayıların şu ana kadar gördüğümüz kartezyen ve kutupsal gösterimleri dışında üçüncü gösterimi olan üstel gösterimini inceleyeceğiz.
Aşağıda ispatıyla birlikte verilen Euler formülüne göre, her \( \theta \) açısı için aşağıdaki eşitlik sağlanır.
\( e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta} \)
İSPATI GÖSTER
Üstel fonksiyonların Taylor serisi açılımı aşağıdaki gibidir.
\( e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^5}{5!} + \ldots \)
Bu açılımda \( x \) yerine \( i\theta \) yazalım.
\( e^{i\theta} = 1 + i\theta + \dfrac{(i\theta)^2}{2!} + \dfrac{(i\theta)^3}{3!} + \dfrac{(i\theta)^4}{4!} + \dfrac{(i\theta)^5}{5!} + \ldots \)
Parantez içindeki ifadeleri açalım.
\( = 1 + i\theta + \dfrac{i^2\theta^2}{2!} + \dfrac{i^3\theta^3}{3!} + \dfrac{i^4\theta^4}{4!} + \dfrac{i^5\theta^5}{5!} + \ldots \)
Sanal birimin kuvvetlerini sadeleştirelim.
\( = 1 + i\theta - \dfrac{\theta^2}{2!} - \dfrac{i\theta^3}{3!} + \dfrac{\theta^4}{4!} + \dfrac{i\theta^5}{5!} + \ldots \)
İfadedeki reel ve sanal terimleri kendi aralarında gruplayalım.
\( = \left( 1 - \dfrac{\theta^2}{2!} + \dfrac{\theta^4}{4!} + \ldots \right) + i\left( \theta - \dfrac{\theta^3}{3!} + \dfrac{\theta^5}{5!} + \ldots \right) \)
Birinci parantez içindeki terimler \( \theta \) açısı için kosinüs Taylor serisinin, ikinci parantez içindeki terimler \( \theta \) açısı için sinüs Taylor serisinin açılımıdır.
\( = \cos{\theta} + i\sin{\theta} \)
Euler formülünü kutupsal gösterimde yerine koyduğumuz karmaşık sayıların üstel gösterimi elde edilir.
\( z = re^{i\theta} \)
İSPATI GÖSTER
Bir karmaşık sayının kutupsal gösterimi aşağıdaki gibidir.
\( z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) \)
Euler formülünü yazalım.
\( e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta} \)
Euler formülünü kutupsal gösterimde yerine koyalım.
\( z = re^{i\theta} \)
Kutupsal gösterimde olduğu gibi, üstel gösterimde de;
- \( r \) parametresi \( \abs{z} \) modül değerine eşittir ve sayının karmaşık düzlemde karşılık geldiği noktanın orijine olan uzaklığını temsil eder.
- \( \theta \) parametresi sayının reel eksenin pozitif tarafıyla yaptığı radyan cinsinden açıya karşılık gelir.
Karmaşık sayıların bu üç gösterimi aşağıdaki tabloda karşılaştırmalı olarak örnek bir sayı ile verilmiştir.
| Gösterim | Form | Örnek |
|---|---|---|
Kartezyen |
\( z = x + yi \) |
\( z = 1 + \sqrt{3}i \) |
Kutupsal |
\( z = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) \) |
\( z = 2\left( \cos{\dfrac{\pi}{3}} + i\sin{\dfrac{\pi}{3}} \right) \) |
Üstel |
\( z = re^{i\theta} \) |
\( z = 2e^{i\frac{\pi}{3}} \) |
Euler formülünde \( \theta = \pi \) yazıldığında matematikte en çok bilinen üç sayıyı (\( e, i, \pi \)) tek formülde biraraya getiren meşhur Euler özdeşliği elde edilir.
\( e^{i\pi} + 1 = 0 \)
İSPATI GÖSTER
Euler formülünü yazalım.
\( e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta} \)
Bu formülde \( \theta = \pi \) yazalım.
\( e^{i\pi} = \cos{\pi} + i\sin{\pi} \)
\( e^{i\pi} = -1 + i(0) \)
\( e^{i\pi} + 1 = 0 \)
Üstel gösterimdeki iki karmaşık sayı arasındaki eşitlikte; sayıların modülleri birbirine eşit, argümentleri birbirine denktir, yani açıları arasında \( 2\pi \) radyanın bir tam sayı katı kadar fark vardır.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( z_1 = r_1e^{i\theta_1}, \quad z_2 = r_2e^{i\theta_2} \) ise,
\( z_1 = z_2 \Longleftrightarrow (r_1 = r_2 \text{ ve } \theta_1 = \theta_2 + 2k\pi) \)
\( ae^{i\frac{\pi}{5}} = 2e^{i\theta} \) ise,
\( a = 2 \)
\( \theta = \dfrac{\pi}{5} + 2k\pi \)
Eğer iki sayının da esas argüment ile ifade edildiği biliniyorsa sayıların argümentleri birbirine eşit olur.
Bir karmaşık sayının eşleniği sayının reel eksene göre simetriği olduğu için, eşleniğin modülü aynı, argümenti negatif işaretli olur.
\( z = re^{i\theta} \) ise,
\( \overline{z} = re^{-i\theta} \)
Üstel gösterimindeki bir sayının modülünün \( r \) değerine eşit olduğu aşağıdaki şekilde gösterilebilir.
\( \abs{z} = \abs{re^{i\theta}} \)
\( = \abs{r}\abs{e^{i\theta}} \)
\( = \abs{r}\abs{\cos{\theta} + i\sin{\theta}} \)
\( = \abs{r}\sqrt{\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}} \)
\( r \) reel sayıdır ve değeri pozitif ya da sıfırdır. Ayrıca kök içindeki ifade 1'e eşittir.
\( = r \)
Yarıçapı 2 birim olan orijin merkezli çember üzerindeki farklı karmaşık sayıların esas argümentleri ile üstel gösterimi aşağıda verilmiştir.
\( \abs{e^{i\theta}} = \abs{\cos{\theta} + i\sin{\theta}} \)
\( = \sqrt{\cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}} = 1 \)
Aşağıda ve önümüzdeki bölümlerde göreceğimiz üzere, üstel gösterimdeki karmaşık sayılarda çarpma, bölme, üs ve kök alma işlemleri kartezyen (ve hatta kutupsal) gösterimindeki sayılara göre çok daha kolay bir şekilde yapılabilir.
Üstel Gösterimde Çarpma ve Bölme
Üstel gösterimdeki iki karmaşık sayı arasındaki çarpma işleminde sayıların modüllerinin çarpımı, üslerinin toplamı alınır.
\( z_1 = r_1e^{i\theta_1}, \quad z_2 = r_2e^{i\theta_2} \) ise,
\( z_1z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)} \)
\( z_1 = 2e^{i\frac{2\pi}{3}}, \quad z_2 = 3e^{i\frac{\pi}{6}} \)
\( z_1z_2 = (2 \cdot 3)e^{i(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{6})} \)
\( = 6e^{i\frac{5\pi}{6}} \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi üstel formda iki karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z_1 = r_1e^{i\theta_1} \)
\( z_2 = r_2e^{i\theta_2} \)
Sayıların çarpımını alalım.
\( z_1z_2 = (r_1e^{i\theta_1})(r_2e^{i\theta_2}) \)
\( = r_1r_2e^{i\theta_1}e^{i\theta_2} \)
Üstel ifadeleri Euler formülünü kullanarak kutupsal formda yazalım.
\( = r_1r_2(\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1})(\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2}) \)
Kutupsal gösterim bölümünde gördüğümüz üzere, iki karmaşık sayının bölümünde argümentlerin farkı alınır.
\( = r_1r_2(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)) \)
Euler formülünü kullanarak parantez içindeki ifadeyi üstel formda yazalım.
\( = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)} \)
Üstel gösterimdeki iki karmaşık sayı arasındaki bölme işleminde sayıların modüllerinin bölümü, üslerinin farkı alınır.
\( r_2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)} \)
\( z_1 = 6e^{i\frac{3\pi}{4}}, \quad z_2 = 2e^{i\frac{\pi}{6}} \)
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{6}{2}e^{i(\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{6})} \)
\( = 3e^{i\frac{7\pi}{12}} \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi üstel formda iki karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z_1 = r_1e^{i\theta_1} \)
\( r_2 \ne 0 \) olmak üzere,
\( z_2 = r_2e^{i\theta_2} \)
Birinci sayıyı ikinciye bölelim.
\( \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}} \)
\( = \dfrac{r_1}{r_2}\dfrac{e^{i\theta_1}}{e^{i\theta_2}} \)
Üstel ifadeleri Euler formülünü kullanarak kutupsal formda yazalım.
\( = \dfrac{r_1}{r_2}\dfrac{\cos{\theta_1} + i\sin{\theta_1}}{\cos{\theta_2} + i\sin{\theta_2}} \)
Kutupsal gösterim bölümünde gördüğümüz üzere, iki karmaşık sayının çarpımında argümentlerin toplamı alınır.
\( = \dfrac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)) \)
Euler formülünü kullanarak parantez içindeki ifadeyi üstel formda yazalım.
\( = \dfrac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)} \)