Sanal Sayılar
Reel sayılar kümesinde tanımlı bir \( x \) değişkeni için aşağıdaki ilk iki denklemin çözümü varken üçüncü denklemin (karesi \( -1 \) olan bir reel sayı bulunmadığı için) çözümü yoktur.
\( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 = 1 \Longrightarrow x \in \{ -1, 1 \} \)
\( x^2 = 0 \Longrightarrow x = 0 \)
\( x^2 = -1 \Longrightarrow x \in \emptyset \)
Bu bölümde inceleyeceğimiz karmaşık sayılar kümesinde bu üçüncü denklemin de çözümünün tanımlı olduğunu göreceğiz.
Karesi \( -1 \) olan sayıya sanal birim denir ve \( i \) ile gösterilir.
\( i^2 = -1 \)
Bu tanımın bir uzantısı olarak sanal birim \( -1 \) sayısının karekökü şeklinde ifade edilebilir.
\( i = \sqrt{-1} \)
Sanal birimin bir reel sayı katı olan sayılara sanal sayı ya da imajiner sayı denir.
\( k \in \mathbb{R} - \{0\} \), \( i \) sanal birim olmak üzere,
\( ki \)
\( 3i, -\dfrac{2}{3}i, \sqrt{2}i \)
Her negatif reel sayının karekökü sanal birim cinsinden ifade edilebilir.
\( a \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \sqrt{-a} = \sqrt{a \cdot (-1)} = \sqrt{a}\sqrt{-1} = \sqrt{a}i \)
\( \sqrt{-4} = \sqrt{4 \cdot (-1)} = \sqrt{4}\sqrt{-1} = 2i \)
\( \sqrt{-5} = \sqrt{5 \cdot (-1)} = \sqrt{5}\sqrt{-1} = \sqrt{5}i \)
Aşağıdaki köklü ifadenin derecesi tek sayı olduğu için sonucu sanal değil, reel sayıdır.
\( \sqrt[3]{-8} = -2 \)
Önemli bir kural olarak, köklü ifadeler konusunda gördüğümüz çarpma kuralı sadece köklü ifadelerden en az birinin içi pozitif ya da sıfır olduğunda geçerlidir.
\( a \ge 0 \) veya \( b \ge 0 \) ise,
\( \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} \)
Kök içleri negatif iki köklü ifade arasındaki çarpma işlemine çarpma kuralı uygulandığında hatalı sonuç elde edileceği aşağıdaki örnekte görülebilir.
\( \sqrt{-4}\sqrt{-4} \ne \sqrt{(-4)(-4)} \)
Sol taraftaki ifadeyi hesaplayalım.
\( \sqrt{-4} = 2i \)
\( \sqrt{-4}\sqrt{-4} = 2i \cdot 2i = 4i^2 = -4 \)
Sağ taraftaki ifadeyi hesaplayalım.
\( \sqrt{(-4)(-4)} = \sqrt{16} = 4 \)
\( -4 \ne 4 \)
Aşağıdaki sayıları sanal birim cinsinden yazınız.
\( \sqrt{-81}, \quad \sqrt{-125}, \quad \sqrt{-37}, \quad \sqrt{-e^4} \)
Çözümü Göster\( \sqrt{-81} = \sqrt{81 \cdot (-1)} \)
\(= \sqrt{81}\sqrt{-1} = 9i \)
\( \sqrt{-125} = \sqrt{125 \cdot (-1)} \)
\( = \sqrt{125}\sqrt{-1} = 5\sqrt{5}i \)
\( \sqrt{-37} = \sqrt{37 \cdot (-1)} \)
\( = \sqrt{37}\sqrt{-1} = \sqrt{37}i \)
\( \sqrt{-e^4} = \sqrt{e^4 \cdot (-1)} \)
\( = \sqrt{e^4}\sqrt{-1} = e^2i \)
\( \sqrt{-144} + \sqrt{-1} - \sqrt{-25} \) işleminin sonucu sanal birim cinsinden nedir?
Çözümü Göster\( \sqrt{144 \cdot (-1)} + \sqrt{-1} - \sqrt{25 \cdot (-1)} \)
\( = \sqrt{144}\sqrt{-1} + \sqrt{-1} - \sqrt{25}\sqrt{-1} \)
\( = 12i + i - 5i \)
\( = 8i \) bulunur.
\( \sqrt{-1}\sqrt{-4} - \sqrt{-9}\sqrt{-1} \) ifadesinin sonucunu bulunuz.
Çözümü Gösterİçleri negatif olan köklü ifadeleri sanal birim cinsinden yazalım.
\( \sqrt{-1}\sqrt{4 \cdot (-1)} - \sqrt{9 \cdot (-1)}\sqrt{-1} \)
\( = \sqrt{-1}\sqrt{4}\sqrt{-1} - \sqrt{9}\sqrt{-1}\sqrt{-1} \)
\( = i \cdot 2 \cdot i - 3 \cdot i \cdot i \)
\( = 2i^2 - 3i^2 \)
\( = -i^2 = -(-1) = 1 \) bulunur.
\( \dfrac{3\sqrt{-16} - 2\sqrt{-49}}{2\sqrt{-4}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİçleri negatif olan köklü ifadeleri sanal birim cinsinden yazalım.
\( \dfrac{3\sqrt{16 \cdot (-1)} - 2\sqrt{49 \cdot (-1)}}{2\sqrt{4 \cdot (-1)}} \)
\( = \dfrac{3\sqrt{16}\sqrt{-1} - 2\sqrt{49}\sqrt{-1}}{2\sqrt{4}\sqrt{-1}} \)
\( = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot i - 2 \cdot 7 \cdot i}{2 \cdot 2 \cdot i} \)
\( = \dfrac{12i - 14i}{4i} \)
\( = \dfrac{-2i}{4i} = -\dfrac{1}{2} \) bulunur.
Sanal Birimin Kuvvetleri
Sanal birimin sıfırıncı kuvveti 1'dir.
\( i^0 = 1 \)
Sanal birimin ilk dört dereceden kuvvetleri aşağıdaki gibidir.
\( i^1 = i \)
\( i^2 = -1 \)
\( i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i \)
\( i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1 \)
\( i^4 = 1 \) olduğu için sanal birimin daha yüksek kuvvetleri bu dört değeri alarak periyodik şekilde ilerler.
\( i^5 = i^4 \cdot i^1 = 1 \cdot i = i \)
\( i^6 = i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1 \)
\( i^7 = i^4 \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i \)
\( i^8 = i^4 \cdot i^4 = 1 \cdot 1 = 1 \)
Sanal birimin herhangi bir negatif kuvveti tekrarlı şekilde \( i^4 = 1 \) ile çarpılabileceği için bu periyodik davranış negatif kuvvetleri de kapsar.
\( i^{-1} = i^4 \cdot i^{-1} = i^3 = -i \)
\( i^{-2} = i^4 \cdot i^{-2} = i^2 = -1 \)
\( i^{-3} = i^4 \cdot i^{-3} = i^1 = i \)
\( i^{-4} = i^4 \cdot i^{-4} = i^0 = 1 \)
Özetle, sanal birimin herhangi bir tam sayı kuvveti üssün dörde bölümünden kalan kadar kuvvetine eşittir.
\( k, r \in \mathbb{Z}, \quad 0 \le r \lt 4 \) olmak üzere,
\( i^{4k+r} = i^r \)
\( i^{366} = i^{4 \cdot 91 + 2} = i^2 = -1 \)
\( i^{800} = i^{4 \cdot 200 + 0} = i^0 = 1 \)
\( i^{-4001} = i^{4 \cdot (-1001) + 3} = i^3 = -i \)
İSPATI GÖSTER
Aşağıdaki gibi bir karmaşık sayı tanımlayalım.
\( z = a + bi \)
\( z \cdot \overline{z} \) ifadesini bulalım.
\( z \cdot \overline{z} = (a + bi) \cdot (\overline{a + bi}) \)
Sayının eşleniğini alalım.
\( = (a + bi) \cdot (a - bi) \)
\( = a^2 - abi + abi - b^2i^2 \)
\( = a^2 + b^2 \)
Bu ilişkilerin bir sonucu olarak, sanal birimin ardışık dört tam sayı kuvvetinin toplamı her zaman sıfırdır.
\( i^1 + i^2 + i^3 + i^4 = i + (-1) + (-i) + 1 = 0 \)
\( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( i^n + i^{n + 1} + i^{n + 2} + i^{n + 3} = 0 \)
\( i^{153} + i^{154} + i^{155} + i^{156} = 0 \)
\( i^{-76} + i^{-75} + i^{-74} + i^{-73} = 0 \)
\( i^{-2} + i^{-1} + i^0 + i^1 = 0 \)
\( (1 - i^6 + i^{11})(2 + i^5 - i^8) \) işleminin sonucu nedir?
Çözümü GösterSanal birimin herhangi bir tam sayı kuvveti üssün dörde bölümünden kalan kadar kuvvetine eşittir.
Her sanal sayının yerine \( i^1 - i^4 \) arasındaki eşitini yazalım.
\( = (1 - i^{4 + 2} + i^{8 + 3})(2 + i^{4 + 1} - i^{8 + 0}) \)
\( = (1 - i^2 + i^3)(2 + i - i^0) \)
\( = (1 - (-1) + (-i))(2 + i - 1) \)
\( = (2 - i)(1 + i) \)
\( = 2 + 2i - i - i^2 \)
\( = 3 + i \) bulunur.
\( \dfrac{1}{i} + \dfrac{1}{i^2} + \dfrac{1}{i^3} + i^{-2006} \) işleminin sonucu nedir?
Çözümü GösterHer sanal sayının yerine \( i^1 - i^4 \) arasındaki eşitini yazalım.
\( \dfrac{1}{i} = i^{-1} = i^{-1 + 4} = i^3 = -i \)
\( \dfrac{1}{i^2} = i^{-2} = i^{-2 + 4}= i^2 = -1 \)
\( \dfrac{1}{i^3} = i^{-3} = i^{-3 + 4}= i^1 = i \)
\( i^{-2006} = i^{-2006 + 2008} = i^2 = -1 \)
\( -i + (-1) + i + (-1) = -2 \) bulunur.
\( (i^2 + 2)(i^3 - 3)(i^4 + 4)(i^5 - 5)(i^6 + 6) \) işleminin sonucu nedir?
Çözümü GösterHer sanal sayının yerine \( i^1 - i^4 \) arasındaki eşitini yazalım.
\( (i^2 + 2)(i^3 - 3)(i^4 + 4)(i^{4 + 1} - 5)(i^{4 + 2} + 6) \)
\( = (i^2 + 2)(i^3 - 3)(i^4 + 4)(i^1 - 5)(i^2 + 6) \)
\( = (-1 + 2)(-i - 3)(1 + 4)(i - 5)(-1 + 6) \)
\( = (1)(-i - 3)(5)(i - 5)(5) \)
\( = 25(-i - 3)(i - 5) \)
\( = 25(-i^2 + 5i - 3i + 15) \)
\( = 25(2i + 16) \)
\( = 400 + 50i \) bulunur.
\( n \in N \) olmak üzere,
\( i^{4n + 6} + i^{8n + 15} + i^{20n + 21} \) işleminin sonucu nedir?
Çözümü GösterSanal birimin herhangi bir tam sayı kuvveti üssün dörde bölümünden kalan kadar kuvvetine eşittir.
Her sanal sayının yerine \( i^1 - i^4 \) arasındaki eşitini yazalım.
\( i^{4n + 4 + 2} + i^{8n + 12 + 3} + i^{20n + 20 + 1} \)
\( i^{4(n + 1) + 2} + i^{4(2n + 3) + 3} + i^{4(5n + 5) + 1} \)
\( = i^2 + i^3 + i^1 \)
\( = -1 - i + i = -1 \) bulunur.
\( \sqrt{i\sqrt{8i\sqrt{-4}}} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözümü Gösterİçleri negatif olan köklü ifadeleri sanal birim cinsinden yazalım.
\( \sqrt{i\sqrt{8i\sqrt{-4}}} \)
\( = \sqrt{i\sqrt{8i \cdot 2i}} \)
\( = \sqrt{i\sqrt{16i^2}} \)
\( = \sqrt{i\sqrt{-16}} \)
\( = \sqrt{i \cdot 4i} \)
\( = \sqrt{4i^2} \)
\( = \sqrt{-4} \)
\( = 2i \) bulunur.
\( i \cdot i^2 \cdot i^3 \cdot \ldots \cdot i^{19} \) işleminin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( i \cdot i^2 \cdot i^3 \cdot \ldots \cdot i^{19} = i^{1 + 2 + 3 + \ldots + 19} \)
\( 1 - n \) arası ardışık sayıların toplamı \( \frac{n(n + 1)}{2} \) formülü ile bulunur.
\( = i^{\frac{19 \cdot 20}{2}} = i^{190} \)
Sanal birimin herhangi bir tam sayı kuvveti üssün dörde bölümünden kalan kadar kuvvetine eşittir.
\( = i^{4 \cdot 47 + 2} = i^2 = -1 \) bulunur.
\( (1 + i)^{18} \) ifadesinin açılımının sonucu nedir?
Çözümü GösterÖnce parantez içindeki binom ifadenin karesini bulalım.
\( (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 \)
\( = 1 + 2i - 1 = 2i \)
\( (1 + i)^{18} = ((1 + i)^2)^9 \)
\( = (2i)^9 = 2^9 \cdot i^9 \)
Sanal birimin herhangi bir tam sayı kuvveti üssün dörde bölümünden kalan kadar kuvvetine eşittir.
\( = 512 \cdot i^{8 + 1} \)
\( = 512i \) bulunur.
\( i^{100} + i^{101} + i^{102} + \ldots + i^{1302} \) işleminin sonucu nedir?
Çözümü Göster\( i \)'nin ardışık 4 tam sayı kuvvetinin toplamı her zaman sıfırdır.
\( i^n + i^{n + 1} + i^{n + 2} + i^{n + 3} = 0 \)
Buna göre verilen toplamda baştan \( 4k \) kadar terimin toplamı sıfır olur.
Toplam terim sayısı: \( 1302 - 100 + 1 = 1203 \)
\( 1203 = 4 \cdot 300 + 3 \)
Toplamı sıfır olan ilk 1200 terimi silince sonda 3 terim kalır.
\( \underbrace{i^{100} + i^{101} + \ldots + i^{1299}}_{0} + i^{1300} + i^{1301} + i^{1302} \)
\( = i^{1300} + i^{1301} + i^{1302} \)
Sanal birimin herhangi bir tam sayı kuvveti üssün dörde bölümünden kalan kadar kuvvetine eşittir.
\( = i^{1300+0} + i^{1300+1} + i^{1300+2} \)
\( = i^0 + i^1 + i^2 \)
\( = 1 + i - 1 = i \) bulunur.
\( 1 + 2i + 3i^2 + \ldots + 41i^{40} \) işleminin sonucu nedir?
Çözümü GösterSanal birimin herhangi bir tam sayı kuvveti üssün dörde bölümünden kalan kadar kuvvetine eşittir.
Verilen ifadede \( i \)'nin çift sayı kuvvetleri reel sayı, tek sayı kuvvetleri sanal sayı terim üretir.
Önce ifadedeki reel sayı terimlerin toplamını bulalım (1-3-5-...-41. terimler).
\( 1 + 3i^2 + 5i^4 + 7i^6 + \ldots + 37i^{36} + 39i^{38} + 41i^{40} \)
\( = 1 - 3 + 5 - 7 + \ldots + 37 - 39 + 41 \)
Sayıları ikişerli gruplar halinde toplayalım.
\( = (1 - 3) + (5 - 7) + \ldots + (37 - 39) + 41 \)
Parantez içindeki ikililerin toplamı \( -2 \) olur.
Toplam \( \frac{37 - 1}{4} + 1 = 10 \) ikili vardır.
O halde reel sayı terimlerin toplamı \( 10(-2) + 41 = 21 \) olur.
Şimdi ifadedeki sanal sayı terimlerin toplamını bulalım (2-4-6-...-40. terimler).
\( 2i + 4i^3 + 6i^5 + 8i^7 + \ldots + 38i^{37} + 40i^{39} \)
\( = 2i - 4i + 6i - 8i + \ldots + 38i - 40i \)
Sayıları ikişerli gruplar halinde toplayalım.
\( = (2i - 4i) + (6i - 8i) + \ldots + (38i - 40i) \)
Parantez içindeki ikililerin toplamı \( -2i \) olur.
Toplam \( \frac{38i - 2i}{4i} + 1 = 10 \) ikili vardır.
O halde sanal sayı terimlerin toplamı \( 10(-2i) = -20i \) olur.
Reel ve sanal terimlerin toplamını bulalım.
\( 21 - 20i \) bulunur.
\( i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + 106i^{106} \) işleminin sonucu nedir?
Çözümü GösterSanal birimin herhangi bir tam sayı kuvveti üssün dörde bölümünden kalan kadar kuvvetine eşittir.
Verilen ifadedeki ilk birkaç terimin değerini bulalım.
\( 1i^1 = i \)
\( 2i^2 = -2 \)
\( 3i^3 = -3i \)
\( 4i^4 = 4 \)
\( 5i^5 = 5 \cdot i = 5i \)
\( 6i^6 = 6 \cdot (-1) = -6 \)
\( 7i^7 = 7 \cdot (-i) = -7i \)
\( 8i^8 = 8 \cdot 1 = 8 \)
\( 9i^9 = 9 \cdot i = 9i \)
\( 10i^{10} = 10 \cdot (-1) = -10 \)
\( 11i^{11} = 11 \cdot (-i) = -11i \)
\( 12i^{12} = 12 \cdot 1 = 12 \)
Terimlerin dörtlü gruplar halinde toplamını bulalım.
\( i + 2i^2 + 3i^3 + 4i^4 = i + (-2) + (-3i) + 4 = 2 - 2i \)
\( 5i^5 + 6i^6 + 7i^7 + 8i^8 = 5i + (-6) + (-7i) + 8 = 2 - 2i \)
\( 9i^9 + 10i^{10} + 11i^{11} + 12i^{12} = 9i + (-10) + (-11i) + 12 = 2 - 2i \)
Buna göre her 4 terimli grubun toplamı birbirine eşit ve \( 2 - 2i \) olur.
106'yı 4'e bölerek 106. terime kadar kaç tane dörtlü grup bulunduğunu ve kaç terimin arttığını bulalım.
\( 106 = 26 \cdot 4 + 2 \)
Buna göre 106 terim 26 tane dörtlü grup içerir ve 2 terim artar.
26 tane dörtlü grubun toplamı \( 26(2 - 2i) = 52 - 52i \) olur.
Artan 2 terim 105. ve 106. terimlerdir.
\( 105i^{105} = 105i^{26 \cdot 4 + 1} = 105i^1 = 105i \)
\( 106i^{106} = 106i^{26 \cdot 4 + 2} = 106i^2 = -106 \)
Bu iki değeri ilk 104 terimin toplamına ekleyelim.
\( 52 - 52i + 105i + (-106) = -54 + 53i \) bulunur.