Sanal Sayılar
Şu ana kadar işlediğimiz konularda negatif sayıların karekökünün tanımsız olduğunu belirtmiştik. Bu tanımsızlık reel sayılar kümesi için geçerlidir, bu bölümde inceleyeceğimiz karmaşık sayılar kümesinde ise negatif sayıların karekökünün tanımlı olduğunu göreceğiz.
Bir negatif reel sayının karekökü olan, bir başka ifadeyle karesi bir negatif reel sayı olan sayılara sanal sayı ya da imajiner sayı denir.
Aşağıdaki sayılar birer sanal sayıdır.
\( \sqrt{-1}, \sqrt{-3}, \sqrt{-\frac{7}{2}} \)
\( -1 \) sayısının kareköküne sanal birim denir ve \( i \) ile gösterilir.
\( i = \sqrt{-1} \)
\( i^2 = -1 \)
Tüm negatif reel sayıların karekökü \( i \) cinsinden ifade edilebilir.
\( a \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( \sqrt{-a} = \sqrt{a \cdot (-1)} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{-1} \) \( = \sqrt{a} \cdot i \)
\( \sqrt{-16} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1} = 4i \)
\( \sqrt{-27} = \sqrt{27} \cdot \sqrt{-1} = 3\sqrt{3}i \)
Aşağıdaki köklü ifadenin derecesi tek sayı olduğu için sonucu sanal değil, reel sayıdır.
\( \sqrt[3]{-8} = -2 \)
Aşağıdaki sayıları sanal birim cinsinden yazınız.
\( \sqrt{-81}, \quad \sqrt{-125}, \quad \sqrt{-37}, \quad \sqrt{-e^5} \)
Çözümü GösterKök içindeki ifadeleri \( i \) cinsinden yazalım.
\( \sqrt{-81} = \sqrt{81 \cdot (-1)} \)
\(= \sqrt{81} \cdot \sqrt{-1} = 9i \)
\( \sqrt{-125} = \sqrt{125 \cdot (-1)} \)
\( = \sqrt{125} \cdot \sqrt{-1} = 5\sqrt{5}i \)
\( \sqrt{-37} = \sqrt{37 \cdot (-1)} \)
\( = \sqrt{37} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{37}i \)
\( \sqrt{-e^5} = \sqrt{e^5 \cdot (-1)} \)
\( = \sqrt{e^5} \cdot \sqrt{-1} = e^2\sqrt{e}i \)
\( \sqrt{-25} + \sqrt{-1} - \sqrt{-4} \)
işleminin sonucu sanal birim cinsinden nedir?
Çözümü GösterKök içindeki ifadeleri \( i \) cinsinden yazalım.
\( \sqrt{25 \cdot (-1)} + \sqrt{-1} - \sqrt{4 \cdot (-1)} \)
\( = \sqrt{25} \cdot \sqrt{-1} + \sqrt{-1} - \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} \)
\( = 5i + i - 2i \)
\( = 4i \) bulunur.
\( \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-4} - \sqrt{-9} \cdot \sqrt{-1} \) ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözümü GösterKök içindeki ifadeleri \( i \) cinsinden yazalım.
\( \sqrt{-1} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1} - \sqrt{9} \cdot \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \)
\( = i \cdot 2i - 3i \cdot i \)
\( = 2i^2 - 3i^2 \)
\( = -i^2 = -(-1) = 1 \) bulunur.
\( \dfrac{3\sqrt{-16} - 2\sqrt{-49}}{2\sqrt{-4}} \)
ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözümü GösterKök içindeki ifadeleri \( i \) cinsinden yazalım.
\( \dfrac{3\sqrt{16 \cdot (-1)} - 2\sqrt{49 \cdot (-1)}}{2\sqrt{4 \cdot (-1)}} \)
\( = \dfrac{3\sqrt{16} \cdot \sqrt{-1} - 2\sqrt{49} \cdot \sqrt{-1}}{2\sqrt{4} \cdot \sqrt{-1}} \)
\( = \dfrac{3 \cdot 4i - 2 \cdot 7i}{2 \cdot 2i} \)
\( = \dfrac{12i - 14i}{4i} = \dfrac{-2i}{4i} \)
\( = -\dfrac{1}{2} \) bulunur.
\( \sqrt{i \cdot \sqrt{8i \cdot \sqrt{-4}}} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözümü GösterKök içindeki ifadeleri \( i \) cinsinden yazalım.
\( \sqrt{i \cdot \sqrt{8i \cdot \sqrt{-4}}} \)
\( = \sqrt{i \cdot \sqrt{8i \cdot 2i}} \)
\( = \sqrt{i \cdot \sqrt{16i^2}} \)
\( = \sqrt{i \cdot \sqrt{-16}} \)
\( = \sqrt{i \cdot 4i} \)
\( = \sqrt{4i^2} \)
\( = \sqrt{-4} = 2i \) bulunur.
\( i \)'nin Kuvvetleri
Sıfırıncı Kuvveti
\( i \)'nin sıfırıncı kuvveti 1'dir.
\( i^0 = 1 \)
Pozitif Tam Sayı Kuvvetleri
\( i \) sayısının 1., 2., 3. ve 4. dereceden kuvvetleri aşağıdaki gibidir.
\( i^1 = i \)
\( i^2 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = -1 \)
\( i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i \)
\( i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1 \)
\( i^4 = 1 \) olduğu için \( i \)'nin daha yüksek kuvvetleri \( i^1 - i^4 \) arası değerleri periyodik şekilde alır.
\( i^5 = i^4 \cdot i^1 = 1 \cdot i = i \)
\( i^6 = i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1 \)
\( i^7 = i^4 \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i \)
\( i^8 = i^4 \cdot i^4 = 1 \cdot 1 = 1 \)
Bu ilişki \( i \)'nin daha yüksek kuvvetleri için aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( n, r \in \mathbb{Z}, \quad 0 \le r \lt 4 \)
\( r \), \( n \)'nin 4'e bölümünden kalan olmak üzere,
\( i^n = i^r \)
\( i^{366} = i^{4 \cdot 91 + 2} = i^2 = -1 \)
\( i^{800} = i^{4 \cdot 200 + 0} = i^0 = 1 \)
\( i^{4003} = i^{4 \cdot 1000 + 3} = i^3 = -i \)
Negatif Tam Sayı Kuvvetleri
\( i \) sayısının negatif tam sayı kuvvetleri aşağıdaki gibidir.
\( i^{-1} = \dfrac{1}{i} \) \( = \dfrac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \dfrac{i}{-1} = -i \)
\( i^{-2} = \dfrac{1}{i^2} \) \( = \dfrac{1}{-1} = -1 \)
\( i^{-3} = i^{-2} \cdot i^{-1} = (-1) \cdot (-i) = i \)
\( i^{-4} = i^{-2} \cdot i^{-2} = (-1) \cdot (-1) = 1 \)
\( i \)'nin pozitif kuvvetlerindeki periyodik davranışın sıfırıncı ve negatif kuvvetler için de geçerli olduğu görülebilir. Buna göre, \( i \)'nin farkı dördün bir tam sayı katı olan (pozitif, negatif ya da sıfır) tam sayı kuvvetleri birbirine eşittir.
\( \ldots = i^{-7} = i^{-3} = \textcolor{red}{i^1} = i^5 = \ldots \)
\( \ldots = i^{-6} = i^{-2} = \textcolor{red}{i^2} = i^6 = \ldots \)
\( \ldots = i^{-5} = i^{-1} = \textcolor{red}{i^3} = i^7 = \ldots \)
\( \ldots = i^{-4} = i^{0} = \textcolor{red}{i^4} = i^8 = \ldots \)
Buna göre, pozitif kuvvetler bölümünde bahsettiğimiz \( i \)'nin 4'e bölümünden kalanı aynı olan kuvvetlerinin birbirine eşit olma kuralı negatif sayıları da kapsar.
\( i^{-303} = i^{4 \cdot (-76) + 1} = i^1 = i \)
Yukarıdaki kuralların bir sonucu olarak, \( i \)'nin pozitif ya da negatif ardışık 4 tam sayı kuvvetinin toplamı her zaman sıfırdır.
\( i^1 + i^2 + i^3 + i^4 \) \( = i + (-1) + (-i) + 1 = 0 \)
\( n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( i^n + i^{n + 1} + i^{n + 2} + i^{n + 3} = 0 \)
\( i^{153} + i^{154} + i^{155} + i^{156} = 0 \)
\( i^{-76} + i^{-75} + i^{-74} + i^{-73} = 0 \)
\( i^{-2} + i^{-1} + i^0 + i^1 = 0 \)
\( \dfrac{1}{i} + \dfrac{1}{i^2} + \dfrac{1}{i^3} + i^{-2006} \)
işleminin sonucu nedir?
Çözümü GösterHer sanal sayının yerine \( i^1 - i^4 \) arasındaki eşitini yazalım.
\( \dfrac{1}{i} = i^{-1} = i^{-1 + 4} = i^3 = -i \)
\( \dfrac{1}{i^2} = i^{-2} = i^{-2 + 4}= i^2 = -1 \)
\( \dfrac{1}{i^3} = i^{-3} = i^{-3 + 4}= i^1 = i \)
\( i^{-2006} = i^{-2006 + 2008} = i^2 = -1 \)
\( -i + (-1) + i + (-1) = -2 \)
\( (1 - i^6 + i^{11})(2 + i^5 - i^8) \)
işleminin sonucu nedir?
Çözümü GösterHer sanal sayının yerine \( i^1 - i^4 \) arasındaki eşitini yazalım.
\( = (1 - i^{4 + 2} + i^{8 + 3})(2 + i^{4 + 1} - i^{4 + 4}) \)
\( = (1 - i^2 + i^3)(2 + i - i^4) \)
\( = (1 - (-1) + (-i))(2 + i - 1) \)
\( = (2 - i)(1 + i) \)
\( = 2 + 2i - i - i^2 \)
\( = 3 + i \) bulunur.
\( n \in N \) olmak üzere,
\( i^{4n + 6} + i^{8n + 15} + i^{20n + 21} \)
işleminin sonucu nedir?
Çözümü GösterHer sanal sayının yerine \( i^1 - i^4 \) arasındaki eşitini yazalım.
\( i^{4n + 4 + 2} + i^{8n + 12 + 3} + i^{20n + 20 + 1} \)
\( = i^{4n + 4} \cdot i^2 + i^{8n + 12} \cdot i^3 + i^{20n + 20} \cdot i^1 \)
Her birinin üssü 4'ün tam sayı katı olduğu için aşağıdaki ifadeler 1'e eşittir.
\( i^{4n + 4} = i^{8n + 12} = i^{20n + 20} = 1 \)
\( = i^2 + i^3 + i^1 \)
\( = -1 - i + i \)
\( = -1 \) bulunur.
\( i \cdot i^2 \cdot i^3 \cdot \ldots \cdot i^{19} \) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözümü Göster\( i \cdot i^2 \cdot i^3 \cdot \ldots \cdot i^{19} \) \( = i^{1 + 2 + 3 + \ldots + 19} \)
\( 1 - n \) arası ardışık sayıların toplamı \( \frac{n(n + 1)}{2} \) formülü ile bulunur.
\( = i^{\frac{19 \cdot 20}{2}} = i^{190} \)
\( = i^{4 \cdot 47 + 2} = i^2 = -1 \) bulunur.
\( (1 + i)^{18} \) ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözümü GösterÖnce parantez içindeki binom ifadenin karesini bulalım.
\( (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i \)
\( (1 + i)^{18} = ((1 + i)^2)^9 \)
\( = (2i)^9 = 2^9 \cdot i^9 \)
\( = 512 \cdot i^{8 + 1} \)
\( = 512i \) bulunur.
\( i^{100} + i^{101} + i^{102} + \ldots + i^{1302} \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü Göster\( i \)'nin ardışık 4 tam sayı kuvvetinin toplamı her zaman sıfırdır.
\( i^n + i^{n + 1} + i^{n + 2} + i^{n + 3} = 0 \)
Buna göre verilen toplamda baştan \( 4k \) kadar terimin toplamı sıfır olur.
Toplam terim sayısı: \( 1302 - 100 + 1 = 1203 \)
\( 1203 = 4 \cdot 300 + 3 \)
Toplamı sıfır olan baştaki terimler kalkınca sonda 3 terim kalır.
\( \underbrace{i^{100} + i^{101} + \ldots + i^{1299}}_{0} + i^{1300} + i^{1301} + i^{1302} \)
\( = i^{1300} + i^{1301} + i^{1302} \)
\( i^4 = 1 \) olduğu için \( i \)'nin daha yüksek kuvvetleri \( i^1 - i^4 \) arası değerleri periyodik şekilde alır.
\( = i^4 + i + i^2 \)
\( = 1 + i - 1 = i \) bulunur.
\( 1 + 2i + 3i^2 + \ldots + 41i^{40} \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ifadede \( i \)'nin çift sayı kuvvetleri reel sayı, tek sayı kuvvetleri sanal sayı terim üretir.
\( i^k \) ifadesinde \( k \)'nın 4'e bölümünden kalan 0 ise \( i^k = 1 \) olur.
\( i^k \) ifadesinde \( k \)'nın 4'e bölümünden kalan 1 ise \( i^k = i \) olur.
\( i^k \) ifadesinde \( k \)'nın 4'e bölümünden kalan 2 ise \( i^k = -1 \) olur.
\( i^k \) ifadesinde \( k \)'nın 4'e bölümünden kalan 3 ise \( i^k = -i \) olur.
Önce ifadedeki reel sayı terimlerin toplamını bulalım.
\( 1 - 3 + 5 - 7 + \ldots + 37 - 39 + 41 \)
Sayıları ikişerli gruplar halinde toplayalım.
\( = (1 - 3) + (5 - 7) + \ldots + (37 - 39) + 41 \)
Parantez içindeki ikililerin toplamı \( -2 \) olur.
Toplam \( \frac{37 - 1}{4} + 1 = 10 \) ikili vardır.
O halde reel sayı terimlerin toplamı \( 10(-2) + 41 = 21 \) olur.
Şimdi ifadedeki sanal sayı terimlerin toplamını bulalım.
\( 2i - 4i + 6i - 8i + \ldots + 38i - 40i \)
Sayıları ikişerli gruplar halinde toplayalım.
\( = (2i - 4i) + (6i - 8i) + \ldots + (38i - 40i) \)
Parantez içindeki ikililerin toplamı \( -2i \) olur.
Toplam \( \frac{38i - 2i}{4i} + 1 = 10 \) ikili vardır.
O halde sanal sayı terimlerin toplamı \( 10(-2i) = -20i \) olur.
Reel ve sanal terimlerin toplamını bulalım.
\( 21 - 20i \) bulunur.
\( i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + 106i^{106} \) ifadesinin eşiti nedir?
Çözümü Göster\( i \) sayısının 1., 2., 3. ve 4. dereceden kuvvetleri aşağıdaki gibidir.
\( i^1 = i \)
\( i^2 = -1 \)
\( i^3 = -i \)
\( i^4 = 1 \)
\( i \)'nin daha büyük kuvvetleri ilk 4 kuvvetinden sonra periyodik şekilde tekrar eder.
Verilen ifadedeki terimlerin eşitlerini bulalım.
\( 1i^1 = i \)
\( 2i^2 = -2 \)
\( 3i^3 = -3i \)
\( 4i^4 = 4 \)
\( 5i^5 = 5 \cdot i = 5i \)
\( 6i^6 = 6 \cdot -1 = -6 \)
\( 7i^7 = 7 \cdot -i = -7i \)
\( 8i^8 = 8 \cdot 1 = 8 \)
\( 9i^9 = 9 \cdot i = 9i \)
\( 10i^{10} = 10 \cdot -1 = -10 \)
\( 11i^{11} = 11 \cdot -i = -11i \)
\( 12i^{12} = 12 \cdot 1 = 12 \)
Terimlerin dörtlü gruplar halinde toplamını bulalım.
\( i + 2i^2 + 3i^3 + 4i^4 = i + (-2) + (-3i) + 4 = 2 - 2i \)
\( 5i^5 + 6i^6 + 7i^7 + 8i^8 = 5i + (-6) + (-7i) + 8 = 2 - 2i \)
\( 9i^9 + 10i^{10} + 11i^{11} + 12i^{12} = 9i + (-10) + (-11i) + 12 = 2 - 2i \)
Buna göre her 4 terimli grubun toplamı birbirine eşit ve \( 2 - 2i \) olur.
106'yı 4'e bölerek 106. terime kadar kaç tane dörtlü grup bulunduğunu ve kaç terimin arttığını bulalım.
\( 106 = 26 \cdot 4 + 2 \)
106 terim ile 26 tane dörtlü grup içerir ve 2 terim artar.
26 tane dörtlü grubun toplamı:
\( 26(2 - 2i) = 52 - 52i \)
Artan 2 terim 105. ve 106. terimlerdir.
\( 105i^{105} = 105i^{26 \cdot 4 + 1} = 105i^1 = 105i \)
\( 106i^{106} = 106i^{26 \cdot 4 + 2} = 106i^2 = -106 \)
Bu iki değeri ilk 104 terimin toplamına ekleyelim.
\( 52 - 52i + 105i + (-106) = -54 + 53i \) bulunur.
Hatalı İşlemler
Karekök içindeki bir ifadenin değeri pozitif ise bu ifade sanal birim cinsinden ifade edilmemelidir, edilirse işlem hatalı sonuç verecektir.
\( \sqrt{16}= \sqrt{16 \cdot (-1) \cdot (-1)} \)
\( = \sqrt{16} \cdot \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} \)
\( = 4i^2 = -4 \)
\( \sqrt{16} = 4 \) olduğu için yukarıdaki işlem hatalıdır.