Denklemlerin Karmaşık Sayı Kökleri
İkinci dereceden reel katsayılı bir denklemin köklerini aşağıdaki formülle bulabileceğimizi öğrenmiştik.
\( a, b, c \in \mathbb{R}, \quad a \ne 0 \) olmak üzere,
\( ax^2 + bx + c = 0 \)
\( x_{1, 2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \quad \) denklemin diskriminantı (deltası) olmak üzere,
\( \Delta \gt 0 \): Denklemin birbirinden farklı iki reel sayı kökü vardır.
\( \Delta = 0 \): Denklemin tek bir reel sayı kökü vardır.
\( \Delta \lt 0 \): Denklemin birbirinin eşleniği olan iki karmaşık sayı kökü vardır.
Buna göre \( \Delta \lt 0 \) olduğu durumda yukarıdaki formüldeki \( \sqrt{\Delta} \) ifadesinin içi negatif olur ve denklemin kökleri \( i \) cinsinden oluşur.
Denklemin iki karmaşık sayı kökü \( \sqrt{\Delta} \) önündeki \( \pm \) işareti ile birbirinden ayrıldığı için, ikinci dereceden bir denklemin karmaşık sayı kökleri varsa bu kökler her zaman birbirinin eşleniği olur.
\( x^2 + 2x + 3 = 0 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\cdot 1 \cdot 3 = -8 \)
\( x_{1, 2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} \)
\( x_{1, 2} = -1 \pm \sqrt{2}i \)
\( x_1 = -1 + \sqrt{2}i \)
\( x_2 = -1 - \sqrt{2}i \)
Cebirin temel teoremine göre, reel katsayılı ve \( n \). dereceden (\( n \ge 1 \)) bir polinom denkleminin, tekrar eden kökler katları adedince sayılmak koşuluyla, reel ya da karmaşık sayı toplam \( n \) kökü vardır ve denklemin karmaşık sayı kökleri, sayıları ikinin katı olacak ve karmaşık kökler ikişerli birbirinin eşleniği olacak şekilde bulunur.
Örnek vermek gerekirse, reel katsayılı ve 6. dereceden bir polinom denklemin kökleri aşağıdaki şekillerde olabilir.
- 6 reel kök
- 4 reel kök, birbirinin eşleniği 2 karmaşık kök
- 2 reel kök, ikişerli olarak birbirinin eşleniği 4 karmaşık kök
- İkişerli olarak birbirinin eşleniği 6 karmaşık kök
Reel katsayılı ve 5. dereceden bir polinom denklemin kökleri ise aşağıdaki şekillerde olabilir.
- 5 reel kök
- 3 reel kök, birbirinin eşleniği 2 karmaşık kök
- 1 reel kök, ikişerli olarak birbirinin eşleniği 4 karmaşık kök
\( z \) bir karmaşık sayı olmak üzere,
\( z^2 - 2(z + 1) + 5a = 0 \)
denkleminin bir kökü \( 1 + 2i \) olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster\( 1 + 2i \) denklemin bir kökü ise denklemde \( z \) yerine koyduğumuzda denklemi sağlar.
\( (1 + 2i)^2 - 2(1 + 2i + 1) + 5a = 0 \)
\( 1^2 + 4i + (2i)^2 - 4 - 4i + 5a = 0 \)
\( 1 + 4i - 4 - 4 - 4i + 5a = 0 \)
\( -7 + 5a = 0 \)
\( a = \dfrac{7}{5} \) bulunur.
\( x^2 + 6x + m = 0 \)
denkleminin reel kökü yoksa \( m \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin reel kökü yoksa denklemin deltası sıfırdan küçük olmalıdır.
\( b^2 - 4ac \lt 0 \)
\( 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot m \lt 0 \)
\( 4m \gt 36 \)
\( m \gt 9 \)
\( m \)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 10 olur.
\( m, n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 - 2mx + 12 = 0 \)
denkleminin bir kökü \( 4 + \sqrt{2n}i \) olduğuna göre, \( m + n \) kaçtır?
Çözümü GösterReel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin bir kökü karmaşık ise diğer kökü de karmaşıktır ve kökler birbirinin eşleniğidir.
Buna göre denklemin çözüm kümesi aşağıdaki gibi olur.
Çözüm kümesi: \( x \in \{4 - \sqrt{2n}i, 4 + \sqrt{2n}i\} \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
\( 4 - \sqrt{2n}i + 4 + \sqrt{2n}i = 2m \)
\( 8 = 2m \)
\( m = 4 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)
\( (4 - \sqrt{2n}i) \cdot (4 + \sqrt{2n}i) = 12 \)
\( 4^2 - (\sqrt{2n}i)^2 = 12 \)
\( 16 + 2n = 12 \)
\( n = -2 \)
\( m + n = 4 + (-2) = 2 \) bulunur.
Bir kökü \( 3 + 2i \) ve başkatsayısı 3 olan reel katsayılı ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü GösterReel katsayılı ikinci dereceden denklemin bir kökü karmaşık sayı ise diğer kökü de karmaşık sayıdır ve kökler birbirinin eşleniğidir.
\( x_1 = 3 + 2i \Longrightarrow x_2 = 3 - 2i \)
İkinci dereceden denklemi yazalım.
\( ax^2 + bx + c = 0 \)
\( a = 3 \) olarak veriliyor.
Kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
\( 3 + 2i + 3 - 2i = -\dfrac{b}{3} \)
\( b = -18 \)
Kökler çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)
\( (3 + 2i)(3 - 2i) = \dfrac{c}{3} \)
\( 3^2 + 2^2 = \dfrac{c}{3} \)
\( c = 39 \)
İkinci dereceden denklem aşağıdaki gibi olur.
\( 3x^2 - 18x + 39 = 0 \)
\( a \) ve \( b \) birer reel sayı olmak üzere,
\( x^2 - ax + b = 0 \) denkleminin köklerinden biri \( 1 + i \)'dir.
Verilenlere göre \( a \cdot b \) kaçtır?
Çözümü GösterKatsayıları reel sayı olan ikinci dereceden bir denklemin bir kökü karmaşık sayı ise diğer kökü de karmaşık sayıdır ve kökler birbirinin eşleniğidir.
\( x_1 = 1 + i, \quad x_2 = 1 - i \)
Denklemin katsayılar toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = (1 + i) + (1 - i) = 2 = a \)
Denklemin katsayılar çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 2 = b \)
Buna göre \( a \cdot b = 4 \) bulunur.
Köklerinden ikisi \( 2 \) ve \( 3 - i \) olan ve başkatsayısı 1 olan üçüncü dereceden reel katsayılı polinom denklemini bulunuz.
Çözümü GösterReel katsayılı bir polinom denkleminin bir kökü karmaşık sayı ise bu kökün eşleniği de denklemin bir köküdür.
Buna göre sorudaki denklemin kökleri aşağıdaki gibidir.
\( x_1 = 2 \), \( x_2 = 3 - i \), \( x_3 = 3 + i \)
Buna göre denklemi aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( (x - 2)(x - (3 - i))(x - (3 + i)) = 0 \)
Parantezleri genişletelim.
\( (x - 2)(x^2 - 6x + 10) = 0 \)
\( x^3 - 6x^2 + 10x - 2x^2 + 12x - 20 = 0 \)
\( x^3 - 8x^2 + 22x - 20 = 0 \)
\( x^4 = 16 \) denkleminin karmaşık sayılar kümesinde tanımlı çözüm kümesi nedir?
Çözümü Göster\( x^4 - 16 = 0 \)
İfadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( (x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0 \)
\( (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) = 0 \)
İlk iki çarpanı sıfır yapan değerler \( 2 \) ve \( -2 \) reel sayılarıdır.
\( x^2 + 4 = 0 \)
\( x^2 = -4 \)
\( x = \pm2i \)
Üçüncü çarpanı sıfır yapan değerler \( -2i \) ve \( 2i \) karmaşık sayılarıdır.
Buna göre denklemin çözüm kümesi aşağıdaki dört değerdir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{\pm 2, \pm 2i\} \)
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( z^2 - 6iz - 13 = 0 \) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( z \) değişkenine bağlı ikinci dereceden denklemin köklerini bulmak için kök bulma formülünü kullanalım.
Denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -6i, \quad c = -13 \)
\( z = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{6i \pm \sqrt{(-6i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13)}}{2} \)
\( = \dfrac{6i \pm \sqrt{-36 + 52}}{2} \)
\( = \dfrac{6i \pm 4}{2} = 3i \pm 2 \)
Çözüm kümesi: \( z \in \{2 + 3i, -2 + 3i\} \)
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( 2x^2 - (z - 3)x + 80 = 0 \) denkleminin bir kökü \( 4 + 2i \)'dir.
Buna göre \( z \) karmaşık sayısı nedir?
Çözümü GösterVerilen denklem karmaşık sayı katsayılı ikinci dereceden bir denklemdir, buna göre karmaşık kökler birbirinin eşleniği olmak zorunda değildir.
Denklemin kökler çarpımı reel sayı olduğu için ikinci kök \( 4 + 2i \) ile çarpıldığında bir reel sayı verecek şekilde \( k(4 - 2i) \) formunda olmalıdır. İkinci kök \( k \) katsayısı dışında birinci kökün eşleniği olmadığı durumda iki kökün çarpımı \( i \) sayısını içerecektir.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( \dfrac{80}{2} = (4 + 2i) \cdot k(4 - 2i) \)
\( 40 = k(4^2 + 2^2) \)
\( k = 2 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( -\dfrac{-(z - 3)}{2} = 4 + 2i + 2(4 - 2i) \)
\( \dfrac{z - 3}{2} = 12 - 2i \)
\( z - 3 = 24 - 4i \)
\( z = 27 - 4i \) bulunur.
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( z^2 + 6\overline{z} + 5 = 0 \)
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü Göster\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( z = x + yi \) diyelim.
\( \overline{z} = x - yi \)
\( (x + yi)^2 + 6(x - yi) + 5 = 0 \)
\( x^2 + 2xyi + y^2i^2 + 6x - 6yi + 5 = 0 \)
Reel ve sanal terimleri gruplayalım.
\( x^2 + 6x - y^2 + 5 + (2xy - 6y)i = 0 \)
İki karmaşık sayının eşitliğinde tarafların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( 2xy - 6y = 0 \)
\( 2xy = 6y \)
\( y = 0 \) ya da \( x = 3 \) olur.
\( y = 0 \) için geçerli \( x \) değerlerini bulalım.
\( x^2 + 6x - y^2 + 5 = 0 \)
\( x^2 + 6x + 5 = 0 \)
\( (x + 5)(x + 1) = 0 \)
\( x = -5 \) ya da \( x = -1 \)
Buna göre denklemin iki çözümü aşağıdaki gibidir.
\( z_1 = -5 \)
\( z_2 = -1 \)
\( x = 3 \) için geçerli \( y \) değerlerini bulalım.
\( (3 + yi)^2 + 6(3 - yi) + 5 = 0 \)
\( 9 + 6yi + y^2i^2 + 18 - 6yi + 5 = 0 \)
\( 32 - y^2 = 0 \)
\( y = \pm 4\sqrt{2} \)
Buna göre denklemin diğer iki çözümü aşağıdaki gibidir.
\( z_3 = 3 - 4\sqrt{2}i \)
\( z_4 = 3 + 4\sqrt{2}i \)
Çözüm kümesi: \( z \in \{-5, -1, 3 - 4\sqrt{2}i, 3 + 4\sqrt{2}i\} \)
\( 8z^3 - 125 = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterKüp farkı özdeşliğini kullanalım.
\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
\( 8z^3 - 125 = (2z)^3 - 5^3 = 0 \)
\( (2z - 5)(4z^2 + 10z + 25) = 0 \)
\( 2z - 5 = 0 \) ya da \( 4z^2 + 10z + 25 = 0 \)
\( 2z - 5 = 0 \Longrightarrow z = \dfrac{5}{2} \)
\( 4z^2 + 10z + 25 = 0 \) denkleminin çözümü için kök bulma formülünü kullanalım.
Denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 4, \quad b = 10, \quad c = 25 \)
\( z = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{-10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4} \)
\( \sqrt{100 - 400} = \sqrt{-300} = 10\sqrt{-3} = 10\sqrt{3}i \)
\( = \dfrac{-10 \pm 10\sqrt{3}i}{8} = -\dfrac{5}{4} \pm \dfrac{5\sqrt{3}}{4}i \)
Çözüm kümesi: \( z \in \{\frac{5}{2}, -\frac{5}{4} - \frac{5\sqrt{3}}{4}i, -\frac{5}{4} + \frac{5\sqrt{3}}{4}i\} \)
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( 2z^3 - 15z^2 + 44z - 39 = 0 \)
denkleminin bir kökü \( 3 + 2i \) olduğuna göre, denklemin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterDenklem reel katsayılı olduğu için denklemin bir kökü karmaşık sayı ise bu kökün eşleniği de denklemin bir köküdür.
\( z_1 = 3 + 2i, \quad z_2 = 3 - 2i \)
Üçüncü dereceden bir denklem için kökler toplamı formülünü yazalım.
\( z_1 + z_2 + z_3 = -\dfrac{b}{a} \)
\( (3 + 2i) + (3 - 2i) + z_3 = -\dfrac{-15}{2} \)
\( 6 + z_3 = \dfrac{15}{2} \)
\( z_3 = \dfrac{3}{2} \)
Çözüm kümesi: \( z \in \{3 - 2i, 3 + 2i, \frac{3}{2}\} \)
Alternatif bir çözüm olarak, verilen üçüncü dereceden ifadeyi birbirinin eşleniği olan iki kökün çarpımından oluşan ikinci dereceden ifadeye bölerek de üçüncü kökü bulabiliriz.
\( \dfrac{2z^3 - 15z^2 + 44z - 39}{(z - (3 - 2i))(z - (3 + 2i))} \)
\( z \in \mathbb{C} \) olmak üzere,
\( z^4 - 12z^3 + 57z^2 -120z + 100 = 0 \)
denkleminin bir kökü \( 4 - 2i \) olduğuna göre, denklemin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterDenklem reel katsayılı olduğu için denklemin bir kökü karmaşık sayı ise bu kökün eşleniği de denklemin bir köküdür.
\( z_1 = 4 - 2i, \quad z_2 = 4 + 2i \)
Bu iki kökün çarpımından oluşan ikinci dereceden ifadeyi bulalım.
\( (z - (4 - 2i))(z - (4 + 2i)) = ((z - 4) + 2i)((z - 4) - 2i) \)
\( = (z - 4)^2 - 4i^2 = (z - 4)^2 + 4 \)
\( = z^2 - 8z + 20 \)
Diğer iki kökü bulmak için soruda verilen 4. dereceden ifadeyi bulduğumuz 2. dereceden ifadeye polinom bölmesi ile bölelim.
\( \dfrac{z^4 - 12z^3 + 57z^2 -120z + 100}{z^2 - 8z + 20} = z^2 - 4z + 5 \)
Bulduğumuz ikinci dereceden denklemin köklerini kök bulma formülü ile bulalım.
Denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 1, \quad b = -4, \quad c = 5 \)
\( z = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} \)
\( = \dfrac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \dfrac{4 \pm 2i}{2} \)
\( = 2 \pm i \)
Çözüm kümesi: \( z \in \{4 - 2i, 4 + 2i, 2 - i, 2 + i\} \)
\( 3ix^2 - 7x - 4i = 0 \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterEşitliğin iki tarafını \( i \)'ye bölelim.
\( 3x^2 - \dfrac{7x}{i} - 4 = 0 \)
\( 3x^2 - \dfrac{7ix}{i^2} - 4 = 0 \)
\( 3x^2 + 7ix - 4 = 0 \)
Kök bulma formülünü kullanalım.
Denklemin katsayılarını yazalım.
\( a = 3, \quad b = 7i, \quad c = -4 \)
\( x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
\( = \dfrac{-7i \pm \sqrt{49i^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3} \)
\( = \dfrac{-7i \pm \sqrt{-1}}{6} \)
\( = \dfrac{-7i \pm i}{6} \)
\( x_1 = -i \)
\( x_2 = -\dfrac{4i}{3} \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{-\frac{4i}{3}, -i\} \)
Not: Dikkat edilirse çözdüğümüz ikinci dereceden denklemin katsayıları reel olmadığı için denklemin karmaşık kökleri birbirinin eşleniği çıkmamıştır.
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( 3 + 20i - xy^3i = \overline{\sqrt{y} + \sqrt[6]{x} + 44i} \)
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterEşitliğin sağ tarafının eşleniğini alalım.
\( 3 + 20i - xy^3i = \sqrt{y} + \sqrt[6]{x} - 44i \)
İki karmaşık sayının eşitliğinde tarafların reel ve sanal kısımları ayrı ayrı birbirine eşittir.
\( 3 = \sqrt{y} + \sqrt[6]{x} \) ve \( 20i - xy^3i = -44i \)
\( 20 - xy^3 = -44 \)
\( 64 = xy^3 \)
\( x = \dfrac{64}{y^3} \)
\( 3 = \sqrt{y} + \sqrt[6]{x} \)
\( 3 = \sqrt{y} + \sqrt[6]{\dfrac{64}{y^3}} \)
\( 3 = \sqrt{y} + \dfrac{2}{\sqrt{y}} = \dfrac{y + 2}{\sqrt{y}} \)
\( 3\sqrt{y} = y + 2 \)
\( y - 3\sqrt{y} + 2 = 0 \)
\( (\sqrt{y} - 2)(\sqrt{y} - 1) = 0 \)
\( \sqrt{y} - 2 = 0 \) ya da \( \sqrt{y} - 1 = 0 \)
\( \sqrt{y} = 2 \) için:
\( y = 4 \)
\( x = \dfrac{64}{y^3} = 1 \)
\( \sqrt{y} = 1 \) için:
\( y = 1\)
\( x = \dfrac{64}{y^3} = 64 \)
Çözüm kümesi: \( (x, y) \in \{(1, 4), (64, 1)\} \)