Karmaşık Sayıların Kökleri
\( z \) ve \( w \) karmaşık sayıları arasında aşağıdaki gibi bir denklem tanımlayalım. Bu denklemi sağlayan her \( z \) sayısı denklemin bir köküdür ve bu kökler aynı zamanda \( w \) sayısının \( n \). kökleridir.
\( n \in \mathbb{Z^+} \) olmak üzere,
\( z^n = w \Longleftrightarrow z = w^{\frac{1}{n}} \)
\( z = re^{i\theta} \) ve \( w = r_0e^{i\theta_0} \) şeklinde tanımlarsak bu eşitlik aşağıdaki şekilde yazılabilir.
\( (re^{i\theta})^n = r_0e^{i\theta_0} \)
Üstel gösterimde üs kuralını kullanalım.
\( r^ne^{in\theta} = r_0e^{i\theta_0} \)
Üstel gösterimdeki iki karmaşık sayı arasındaki eşitlikte; sayıların modüllerinin birbirine eşit, argümentlerinin birbirine denk, yani açıları arasında \( 2\pi \) radyanın bir tam sayı katı kadar fark olduğunu görmüştük. Bu kuralı elimizdeki denkleme uygulayalım.
\( k \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( r^n = r_0 \)
\( n\theta = \theta_0 + 2k\pi \)
\( r \) ve \( \theta \) değerlerini yalnız bırakalım. Kutupsal gösterim bölümünde yaptığımız varsayıma göre \( r \) negatif olamaz, dolayısıyla bu kök alma işleminde pozitif \( r \) değeri seçilir.
\( r \gt 0 \) olmak üzere,
\( r = \sqrt[n]{r_0} \)
\( \theta = \dfrac{\theta_0}{n} + \dfrac{2k\pi}{n} \)
Buna göre \( z^n = w \) denkleminin her biri aşağıdaki formülle bulunabilen \( n \) kökü vardır. \( k \)'nın bu aralık dışındaki değerleri bu \( n \) kök ile aynı kökleri üretir.
\( k \in \{ 0, 1, 2, \ldots, n - 1 \} \) olmak üzere,
\( z_k = \sqrt[n]{r_0}e^{i\left( \frac{\theta_0}{n} + \frac{2k\pi}{n} \right)} \)
Elde edilen \( n \) kök, merkezi orijin noktası ve yarıçapı \( \sqrt[n]{r_0} \) birim olan bir çember üzerinde, aralarında \( \frac{2\pi}{n} \) radyanlık açı olacak şekilde bulunurlar ve bir düzgün \( n \)-genin köşelerini oluştururlar.
Aşağıdaki şekilde \( n = 8 \) için bu köklerin nasıl oluştuğu örnek bir \( z^8 = w \) denklemi için gösterilmiştir.
Bir denklemin köklerini bulmayı bir örnek üzerinde gösterelim.
\( z^3 = -8i \) denkleminin köklerini bulalım.
Eşitliğin sağ tarafına \( w \) diyelim. \( w \) sayısını üstel formda yazalım.
\( w = r_0e^{i\theta_0} = -8i \)
\( r_0 = \abs{-8i} = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = 8 \)
\( w = (0, -8) \) sayısı karmaşık düzlemde \( \theta_0 = \frac{3\pi}{2} \) açısına karşılık gelir.
\( w = -8i = 8e^{i\frac{3\pi}{2}} \)
Denklemin kökleri aşağıdaki formülle bulunur.
\( k \in \{ 0, 1, 2 \} \) olmak üzere,
\( z_k = \sqrt[3]{8}e^{i\left( \frac{\frac{3\pi}{2}}{3} + \frac{2k\pi}{3} \right)} = 2e^{i\left( \frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3} \right)} \)
Denklemin üç kökünü ilk kökün argümentine \( \frac{2\pi}{3} \) ekleyerek bulalım ve kutupsal ve kartezyen koordinatları ile birlikte listeleyelim.
| \( z_k \) | Üstel | Kutupsal | Kartezyen |
|---|---|---|---|
\( z_0 \) |
\( 2e^{i\frac{\pi}{2}} \) |
\( (2, \frac{\pi}{2}) \) |
\( (0, 2) \) |
\( z_1 \) |
\( 2e^{i\frac{7\pi}{6}} \) |
\( (2, \frac{7\pi}{6}) \) |
\( (-\sqrt{3}, -1) \) |
\( z_2 \) |
\( 2e^{i\frac{11\pi}{6}} \) |
\( (2, \frac{11\pi}{6}) \) |
\( (\sqrt{3}, -1) \) |
Bulduğumuz köklerin karmaşık düzlemde gösterimi aşağıdaki gibidir.
Birimin Kökleri
Yukarıda paylaştığımız yöntemin özel bir durumu olarak, \( z^n = 1 \) denkleminin köklerine birimin \( n \). kökleri denir.
\( n = 5 \) için birimin köklerini bulalım.
Soruda istenen aşağıdaki denklemin kökleridir.
\( z^6 = 1 \)
Eşitliğin sağ tarafına \( w \) diyelim. \( w \) sayısını üstel formda yazalım.
\( w = r_0e^{i\theta_0} = 1 \)
\( r_0 = \abs{1} = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1 \)
\( w = (1, 0) \) sayısı karmaşık düzlemde \( \theta_0 = 0 \) açısına karşılık gelir.
\( w = 1 = e^{i0} \)
Denklemin kökleri aşağıdaki formülle bulunur.
\( k \in \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \} \) olmak üzere,
\( z_k = \sqrt[6]{1}e^{i\left( \frac{0}{6} + \frac{2k\pi}{6} \right)} = e^{i\frac{k\pi}{3}} \)
Denklemin altı kökünü ilk kökün argümentine \( \frac{\pi}{3} \) ekleyerek bulalım ve kutupsal ve kartezyen koordinatları ile birlikte listeleyelim.
| \( z_k \) | Üstel | Kutupsal | Kartezyen |
|---|---|---|---|
\( z_0 \) |
\( e^{i0} = 1 \) |
\( (1, 0) \) |
\( (1, 0) \) |
\( z_1 \) |
\( e^{i\frac{\pi}{3}} \) |
\( (1, \frac{\pi}{3}) \) |
\( (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \) |
\( z_2 \) |
\( e^{i\frac{2\pi}{3}} \) |
\( (1, \frac{2\pi}{3}) \) |
\( (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) \) |
\( z_3 \) |
\( e^{i\pi} \) |
\( (1, \pi) \) |
\( (-1, 0) \) |
\( z_4 \) |
\( e^{i\frac{4\pi}{3}} \) |
\( (1, \frac{4\pi}{3}) \) |
\( (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \) |
\( z_5 \) |
\( e^{i\frac{5\pi}{3}} \) |
\( (1, \frac{5\pi}{3}) \) |
\( (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \) |
Bulduğumuz köklerin karmaşık düzlemde gösterimi aşağıdaki gibidir.
Birimin \( n \). köklerinde \( k = 0 \) için bulunan \( z_0 = 1 \) köküne basit çözüm, \( k = 1 \) için bulunan \( z_1 = e^{i\frac{2\pi}{n}} \) köküne birimin \( n \). ilkel kökü denir ve \( w_n \) ile gösterilir.
Dikkat edilirse birimin \( n \). köklerinde \( (k + 1) \). kök \( k \). kökün argümentine \( \frac{2\pi}{n} \) eklenerek bulunur, bu da her kökü birimin \( n \). ilkel kökü ile çarpmakla özdeştir. Buna göre birimin tüm \( n \). kökleri aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
\( w_n = e^{i\frac{2\pi}{n}} \) olmak üzere,
\( 1, w_n, w_n^2, w_n^3, \ldots, w_n^{n-1} \)
Bir \( z^n = w \) denkleminin köklerine \( z_0, z_1, \ldots, z_{n-1} \) dersek \( z - w \) polinomunu aşağıdaki şekilde çarpanlarına ayrılabilir.
\( z - w = 0 \)
\( z - w = (z - z_0)(z - z_1) \ldots (z - z_{n-1}) \)