Geometrik Olasılık

Şu ana kadar incelediğimiz olasılık problemlerinde örnek uzay ve olaylar sayılabilir sayıda sonuçtan oluşuyordu. Örnek uzayın ve olayların sonsuz sayıda sonuçtan oluştuğu durumlarda, geometrik olasılık yaklaşımı problemi geometrik bir probleme dönüştürerek olasılığı geometrik büyüklüklerin (uzunluk, alan, hacim vb.) oranı şeklinde hesaplamamızı sağlar.

Geometrik olasılık problemlerinde, çözümün kaç boyutta modellendiğine göre (sayı doğrusu, iki boyutlu düzlem, üç boyutlu uzay) aşağıdaki formüllerden biri kullanılır.

SORU 1 :

Yiğit bozulan televizyonu için servisi aradığında teknik ekibin saat 16:00 - 19:00 arasında geleceğini öğreniyor. Yiğit 08:00 - 17:00 saatleri arasında işte ve diğer saatlerde evde olduğuna göre, teknik ekip geldiğinde Yiğit'in evde olma olasılığı kaçtır?

Teknik servis 16:00 - 19:00 arasındaki 3 saatlik periyotta geleceğini belirtiyor.

Bu 3 saatlik periyotta Yiğit'in evde olduğu zaman 17:00 - 19:00 arasındaki 2 saatlik periyottur.

Teknik ekibin geldiğinde Yiğit'in evde olma olasılığı:

bulunur.


SORU 2 :
Soru 4

Yukarıda merkezleri çakışık ve kenar uzunlukları içten dışa doğru 1 birim, 2 birim ve 3 birim olan 3 kare verilmiştir. karesi içinden rastgele seçilen bir noktanın sadece iki karenin içinde olma olasılığı kaçtır?

Seçilecek noktanın belirli bir bölgede bulunma olasılığı, o bölgenin alanının toplam alana oranına eşittir.

karesinin alanı birimkaredir.

Sorudaki koşulun sağlanması için seçilen nokta ortadaki karenin içinde, en içteki karenin dışında olmalıdır.

Bu bölgenin alanı birimkaredir.

Seçilen noktanın sadece iki karenin içinde olma olasılığı:

bulunur.


SORU 3 :

olmak üzere,

eşitsizlikleri veriliyor.

İlgili aralıklardan rastgele seçilen birer ve değerinin eşitsizliğini sağlama olasılığı nedir?

Verilen eşitsizliği düzenleyelim.

Bu eşitsizlik ve ters işaretli olduğunda sağlanır.

ve değer aralıklarını analitik düzlemde gösterelim ve ve 'nin ters işaretli olduğu bölgeleri işaretleyelim.

Soru

ve reel sayılarda tanımlı olduğu için iki değişkenin ters işaretli olduğu alanların tüm alana oranı istenen olasılığı verir.

Seçilen ve değerlerinin verilen eşitsizliği sağlama olasılığı:

bulunur.


SORU 4 :

Deniz metro durağına her sabah 08:07 - 08:20 aralığında bir zamanda varmaktadır ve işe yetişmek için 08:13 - 08:18 aralığında kalkan metroya binmesi gerekmektedir.

Metronun kalkış ve Deniz'in metroya varış zamanları verilen aralıklarda her dakikada eşit olasılıklarla gerçekleştiğine göre, Deniz'in herhangi bir günde metroyu kaçırma olasılığı nedir?

eksenine Deniz'in durağa varış saatlerini, eksenine metronun kalkış saatlerini yazdığımız bir grafik oluşturalım.

Soru

Deniz durağa metronun kalkış saatinde ya da öncesinde geldiğinde işe yetişmiş olur.

Deniz'in metroya son anda yetiştiği dakikaları grafikte işaretlediğimizde grafiği Deniz'in işe yetişebildiği ve yetişemediği şeklinde iki bölgeye ayırmış oluruz.

Dikdörtgenin tamamının alanı tüm durumlara, kırmızı doğrunun sağında/altında kalan mavi alan ise Deniz'in metroyu kaçırdığı, dolayısıyla işe geç kaldığı durumlara karşılık gelir.

Tüm alan

Deniz'in metroyu kaçırdığı mavi alan

Deniz'in herhangi bir günde metroyu kaçırma olasılığı:

bulunur.


SORU 5 :
Soru

Yukarıdaki dart tahtası merkezleri noktası olan daire şeklinde 3 bölgeden oluşmaktadır.

Bu tahtaya rastgele yapılan isabetli bir atışın mavi renkli bölgeye düşme olasılığı kaçtır?

Rastgele yapılan bir atışın belirli bir bölgeye düşme olasılığı o bölgenin alanı ile doğru orantılıdır.

En dıştaki dairenin yarıçapı cm'dir.

Ortadaki dairenin yarıçapı cm'dir.

En içteki dairenin yarıçapı cm'dir.

En dıştaki dairenin alanı olur.

Ortadaki dairenin alanı olur.

En içteki dairenin alanı olur.

Mavi bölgenin alanını bulmak için ortadaki dairenin alanından en içteki dairenin alanını çıkaralım.

Mavi bölgenin alanı olur.

İsabetli bir atışın mavi renkli alana düşme olasılığı:

bulunur.


SORU 6 :

Bir ip üzerinde rastgele seçilen bir noktadan iki parçaya bölünüyor. Parçalardan uzun olanın uzunluğunun kısa olanın uzunluğunun en az 4 katı olma olasılığı kaçtır?

İpi aşağıdaki gibi doğru parçası olarak düşünelim ve uzunluğuna diyelim.

Soru

İp ya da arasında bir noktadan bölünürse uzun parçanın uzunluğu kısa parçanın uzunluğunun en az 4 katı olur.

Geometrik olasılık formülüne göre, rastgele seçilen noktanın bu iki aralıktan birinde olma olasılığı, bu iki doğru parçasının uzunlukları toplamının ipin toplam uzunluğuna oranına eşittir.

bulunur.


SORU 7 :

olmak üzere,

denklemi veriliyor.

Buna göre, rastgele seçilen bir değeri için denklemin en az bir reel kökünün olma olasılığı kaçtır?

Denklemin en az bir reel kökü olması için deltası sıfırdan büyük ya da sıfıra eşit olmalıdır.

ya da

Buna göre seçilen değeri ya da aralığında olduğunda denklemin en az bir reel kökü olur.

aralığında rastgele seçilecek bir sayısının bu aralıkta olma olasılığı, istenen aralık genişliğinin toplam aralık genişliğine oranına eşittir.

Soru

Buna göre, denklemin en az bir reel kökünün olma olasılığı:

bulunur.


SORU 8 :

Bir kenar uzunluğu 3 cm olan bir karenin içinden rastgele seçilen bir noktanın, karenin dört köşesine de uzaklığının 1'den büyük olma olasılığı kaçtır?

Merkezi karenin köşeleri ve yarıçapı 1 cm olan dört çeyrek çember çizelim.

Soru

Nokta taralı bölgeden seçildiği durumda karenin dört köşesine de uzaklığı 1'den büyük olur.

Buna göre, istenen olasılık taralı bölgenin alanının karenin alanına oranına eşittir.

Karenin alanını bulalım.

Taralı bölgenin alanı, karenin alanının çeyrek çemberlerin alanından farkına eşittir.

İstenen olasılığı bulalım.

bulunur.


SORU 9 :

Ayşe ve Sude bir müze gezisi için Salı günü saat 12:00 ile 13:00 arasında buluşmak üzere sözleşiyorlar. İlk gelen 10 dakika bekleyecek, diğeri gelmezse müzeden ayrılacaktır.

İkisi de müzeye 1 saatlik zaman dilimi boyunca herhangi bir zamanda varabileceğine göre, müzede buluşma olasılıkları nedir?

12:00 ve 13:00 aralığında 60 dakika vardır.

Ayşe'nin müzeye vardığı zamana , Sude'nin müzeye vardığı zamana diyelim.

Ayşe ve Sude'nin buluşabilmeleri için ve arasındaki fark 10 dakikadan küçük olmalıdır.

ve zamanlarını analitik düzlemde işaretleyelim. Buna göre Ayşe ve Sude varış zamanları renkli alana denk geldiğinde buluşabilirler.

Soru

Ayşe ve Sude'nin buluşma olasılıkları renkli (buluşabildikleri) alanın tüm alana oranına eşittir.

Tüm alan

Buluşamadıkları alan

İki alanın farkı buluşabildikleri alanı verir.

Buluşabildikleri alan

bulunur.


SORU 10 :

Aslı aralığında, Ali aralığında rastgele birer reel sayı seçiyor.

Ali'nin seçtiği sayının Aslı'nın seçtiği sayının iki katından büyük olma olasılığı kaçtır?

Aslı'nın seçtiği sayıya , Ali'nin seçtiği sayıya diyelim ve bu değişkenler için sayı aralıklarını analitik düzlemde işaretleyelim.

Renkli işaretli (mavi ve turuncu) dikdörtgen şeklindeki alan Aslı ve Ali'nin sayı tutabilecekleri aralıklara karşılık gelir.

Soru

Ali'nin seçtiği sayının Aslı'nın seçtiği sayının iki katından büyük olduğu durum aşağıdaki eşitsizlikle gösterilir. Bu alan grafikte kesikli doğrusunun üstünde kalan turuncu taralı alandır.

Aslı ve Ali'nin bu koşulu sağlayan sayılar seçme olasılığı turuncu taralı alanın tüm renkli alana oranına eşittir.

bulunur.


SORU 11 :

Koordinat düzleminde köşeleri noktaları olan bir kare veriliyor ve bu karenin içinde rastgele bir noktası seçiliyor.

olmak üzere, bu noktasının koordinatlarının şartını sağlama olasılığı olduğuna göre, kaçtır?

Soru

Analitik düzlemde eşitsizliğinin sağlandığı bölgeyi bulalım.

Buna göre eşitsizliğinin sağlanması için, noktası doğrusunun altındaki taralı bölgede kalmalıdır.

noktasının bu bölgede bulunma olasılığı, taralı bölgenin alanının karenin alanına oranına eşittir.

doğrusunun karenin yan kenarını kestiği noktanın ordinatını bulmak için doğru denkleminde yazalım.

Taralı üçgensel bölgenin alanını bulalım.

Karenin alanını bulalım.

noktasının kare içindeki taralı alanda bulunma olasılığını bulalım.

Bulunan olasılığı soruda verilen olasılığa eşitleyelim.

bulunur.


SORU 12 :

olmak üzere,

Rastgele seçilen bir değeri için aşağıdaki eşitliğinin sağlanma olasılığı kaçtır?

ifadesi sayı doğru üzerinde noktasının 2 noktasına olan uzaklığını ifade eder.

ifadesi sayı doğru üzerinde noktasının 3 noktasına olan uzaklığını ifade eder.

2 ve 3 noktaları arasındaki uzaklık 1 birim olduğu için, bu iki uzaklığın toplamı değeri 2 ve 3 noktaları arasında bulunduğunda 1'e eşit olur.

Buna göre seçilen değeri aralığında olduğunda eşitlik sağlanır.

aralığında rastgele seçilecek bir sayısının bu aralıkta olma olasılığı, istenen aralık genişliğinin toplam aralık genişliğine oranına eşittir.

Soru

Buna göre, eşitliğin sağlanma olasılığı:

bulunur.


SORU 13 :
Soru

Şekildeki karesinin içinden rastgele bir noktası seçiliyor.

Seçilen noktanın karenin ve köşeleri ile oluşturduğu açısının geniş açı olma olasılığı kaçtır?

Karenin içine kenarı çap olacak, noktası dairenin yayı üzerinde olacak şekilde bir yarım daire çizelim.

Karenin bir kenar uzunluğuna diyelim.

Soru

Bir çemberde çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısı olduğu için çapı gören çevre açının ölçüsü 90° olur.

Buna göre, noktası yarım dairenin yayı üzerinde olduğunda olur.

açısı; noktası yarım dairenin dışında seçilirse dar açı, içinde seçilirse geniş açı olur.

Buna göre, istenen olasılık yarım dairenin alanının karenin alanına oranına eşittir.

bulunur.


SORU 14 :

Analitik düzlemde noktalarını köşe kabul eden dikdörtgenin içinden rastgele seçilen bir noktanın koordinatları ise olma olasılığı kaçtır?

Soruda dikdörtgeninin içinden seçilen bir noktanın eğrisinin üzerinde kalan bölgede bulunma olasılığı sorulmaktadır.

Nokta rastgele seçileceği için koordinatlarının verilen koşulu sağlama olasılığı bu bölgenin alanının () dikdörtgenin alanına () oranına eşittir.

Soru

aralığında eğrisi ile ekseni arasında kalan alanı bulalım.

Dikdörtgenin alanını bulalım.

Eğrinin üstünde kalan alanı bulalım.

Eğrinin üstünde kalan alanın dikdörtgenin alanına oranı:

bulunur.


« Önceki
Koşullu Olasılık
Ana Sayfa »
Konu Tamamlandı!


Faydalı buldunuz mu?   Evet   Hayır