Şu ana kadar incelediğimiz olasılık problemlerinde örnek uzay ve olaylar sayılabilir sayıda sonuçtan oluşuyordu. Örnek uzayın ve olayların sonsuz sayıda sonuçtan oluştuğu durumlarda, geometrik olasılık yaklaşımı problemi geometrik bir probleme dönüştürerek olasılığı geometrik büyüklüklerin (uzunluk, alan, hacim vb.) oranı şeklinde hesaplamamızı sağlar.
Geometrik olasılık problemlerinde, çözümün kaç boyutta modellendiğine göre (sayı doğrusu, iki boyutlu düzlem, üç boyutlu uzay) aşağıdaki formüllerden biri kullanılır.
Yiğit bozulan televizyonu için servisi aradığında teknik ekibin saat 16:00 - 19:00 arasında geleceğini öğreniyor. Yiğit 08:00 - 17:00 saatleri arasında işte ve diğer saatlerde evde olduğuna göre, teknik ekip geldiğinde Yiğit'in evde olma olasılığı kaçtır?
Çözümü GösterTeknik servis 16:00 - 19:00 arasındaki 3 saatlik periyotta geleceğini belirtiyor.
Bu 3 saatlik periyotta Yiğit'in evde olduğu zaman 17:00 - 19:00 arasındaki 2 saatlik periyottur.
Teknik ekibin geldiğinde Yiğit'in evde olma olasılığı:
Yukarıda merkezleri çakışık ve kenar uzunlukları içten dışa doğru 1 birim, 2 birim ve 3 birim olan 3 kare verilmiştir.
Seçilecek noktanın belirli bir bölgede bulunma olasılığı, o bölgenin alanının toplam alana oranına eşittir.
Sorudaki koşulun sağlanması için seçilen nokta ortadaki karenin içinde, en içteki karenin dışında olmalıdır.
Bu bölgenin alanı
Seçilen noktanın sadece iki karenin içinde olma olasılığı:
İlgili aralıklardan rastgele seçilen birer
Verilen eşitsizliği düzenleyelim.
Bu eşitsizlik
Seçilen
Deniz metro durağına her sabah 08:07 - 08:20 aralığında bir zamanda varmaktadır ve işe yetişmek için 08:13 - 08:18 aralığında kalkan metroya binmesi gerekmektedir.
Metronun kalkış ve Deniz'in metroya varış zamanları verilen aralıklarda her dakikada eşit olasılıklarla gerçekleştiğine göre, Deniz'in herhangi bir günde metroyu kaçırma olasılığı nedir?
Çözümü GösterDeniz durağa metronun kalkış saatinde ya da öncesinde geldiğinde işe yetişmiş olur.
Deniz'in metroya son anda yetiştiği dakikaları grafikte işaretlediğimizde grafiği Deniz'in işe yetişebildiği ve yetişemediği şeklinde iki bölgeye ayırmış oluruz.
Dikdörtgenin tamamının alanı tüm durumlara, kırmızı doğrunun sağında/altında kalan mavi alan ise Deniz'in metroyu kaçırdığı, dolayısıyla işe geç kaldığı durumlara karşılık gelir.
Tüm alan
Deniz'in metroyu kaçırdığı mavi alan
Deniz'in herhangi bir günde metroyu kaçırma olasılığı:
Yukarıdaki dart tahtası merkezleri
Bu tahtaya rastgele yapılan isabetli bir atışın mavi renkli bölgeye düşme olasılığı kaçtır?
Çözümü GösterRastgele yapılan bir atışın belirli bir bölgeye düşme olasılığı o bölgenin alanı ile doğru orantılıdır.
En dıştaki dairenin yarıçapı
Ortadaki dairenin yarıçapı
En içteki dairenin yarıçapı
En dıştaki dairenin alanı
Ortadaki dairenin alanı
En içteki dairenin alanı
Mavi bölgenin alanını bulmak için ortadaki dairenin alanından en içteki dairenin alanını çıkaralım.
Mavi bölgenin alanı
İsabetli bir atışın mavi renkli alana düşme olasılığı:
Bir ip üzerinde rastgele seçilen bir noktadan iki parçaya bölünüyor. Parçalardan uzun olanın uzunluğunun kısa olanın uzunluğunun en az 4 katı olma olasılığı kaçtır?
Çözümü Gösterİpi aşağıdaki gibi
İp
Geometrik olasılık formülüne göre, rastgele seçilen noktanın bu iki aralıktan birinde olma olasılığı, bu iki doğru parçasının uzunlukları toplamının ipin toplam uzunluğuna oranına eşittir.
Buna göre, rastgele seçilen bir
Denklemin en az bir reel kökü olması için deltası sıfırdan büyük ya da sıfıra eşit olmalıdır.
Buna göre seçilen
Buna göre, denklemin en az bir reel kökünün olma olasılığı:
Bir kenar uzunluğu 3 cm olan bir karenin içinden rastgele seçilen bir noktanın, karenin dört köşesine de uzaklığının 1'den büyük olma olasılığı kaçtır?
Çözümü GösterMerkezi karenin köşeleri ve yarıçapı 1 cm olan dört çeyrek çember çizelim.
Nokta taralı bölgeden seçildiği durumda karenin dört köşesine de uzaklığı 1'den büyük olur.
Buna göre, istenen olasılık taralı bölgenin alanının karenin alanına oranına eşittir.
Karenin alanını bulalım.
Taralı bölgenin alanı, karenin alanının çeyrek çemberlerin alanından farkına eşittir.
İstenen olasılığı bulalım.
Ayşe ve Sude bir müze gezisi için Salı günü saat 12:00 ile 13:00 arasında buluşmak üzere sözleşiyorlar. İlk gelen 10 dakika bekleyecek, diğeri gelmezse müzeden ayrılacaktır.
İkisi de müzeye 1 saatlik zaman dilimi boyunca herhangi bir zamanda varabileceğine göre, müzede buluşma olasılıkları nedir?
Çözümü Göster12:00 ve 13:00 aralığında 60 dakika vardır.
Ayşe'nin müzeye vardığı zamana
Ayşe ve Sude'nin buluşabilmeleri için
Ayşe ve Sude'nin buluşma olasılıkları renkli (buluşabildikleri) alanın tüm alana oranına eşittir.
Tüm alan
Buluşamadıkları alan
İki alanın farkı buluşabildikleri alanı verir.
Buluşabildikleri alan
Aslı
Ali'nin seçtiği sayının Aslı'nın seçtiği sayının iki katından büyük olma olasılığı kaçtır?
Çözümü GösterAslı'nın seçtiği sayıya
Renkli işaretli (mavi ve turuncu) dikdörtgen şeklindeki alan Aslı ve Ali'nin sayı tutabilecekleri aralıklara karşılık gelir.
Ali'nin seçtiği sayının Aslı'nın seçtiği sayının iki katından büyük olduğu durum aşağıdaki eşitsizlikle gösterilir. Bu alan grafikte kesikli
Aslı ve Ali'nin bu koşulu sağlayan sayılar seçme olasılığı turuncu taralı alanın tüm renkli alana oranına eşittir.
Koordinat düzleminde köşeleri
Analitik düzlemde
Buna göre
Taralı üçgensel bölgenin alanını bulalım.
Karenin alanını bulalım.
Bulunan olasılığı soruda verilen olasılığa eşitleyelim.
Rastgele seçilen bir
2 ve 3 noktaları arasındaki uzaklık 1 birim olduğu için, bu iki uzaklığın toplamı
Buna göre seçilen
Buna göre, eşitliğin sağlanma olasılığı:
Şekildeki
Seçilen noktanın karenin
Karenin içine
Karenin bir kenar uzunluğuna
Bir çemberde çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısı olduğu için çapı gören çevre açının ölçüsü 90° olur.
Buna göre,
Buna göre, istenen olasılık yarım dairenin alanının karenin alanına oranına eşittir.
Analitik düzlemde
Soruda
Nokta rastgele seçileceği için koordinatlarının verilen koşulu sağlama olasılığı bu bölgenin alanının (
Dikdörtgenin alanını bulalım.
Eğrinin üstünde kalan alanı bulalım.
Eğrinin üstünde kalan alanın dikdörtgenin alanına oranı: