Süreksizlik Tipleri
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki süreksizliği dört farklı tipte olabilir. Bu sınıflandırma; belirli bir süreksizliğin nedeninin anlaşılmasına, bu neden ile fonksiyonun grafiği arasında ilişki kurulmasına, süreksizliğin giderilip giderilemeyeceğinin belirlenmesine ve fonksiyonun türevlenebilirliği ile integrallenebilirliği üzerindeki etkilerinin anlaşılmasına yardımcı olur.
Kaldırılabilir Süreksizlik
Kaldırılabilir süreksizlikte fonksiyonun bir noktada soldan ve sağdan limitleri vardır ve birbirine eşittir, ancak fonksiyon o noktada ya tanımsızdır ya da fonksiyon değeri limit değerinden farklıdır.
\( L \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L \) ve
\( f(a) \) tanımsız ya da \( f(a) \ne L \) ise,
\( x = a \) noktasında kaldırılabilir süreksizlik vardır.
Bir fonksiyon parçalı bir fonksiyon şeklinde ifade edilerek ve kaldırılabilir süreksizlik olan noktasındaki fonksiyon değeri limit değerine eşitlenerek bu süreksizlik giderilebilir. Örneğin yukarıdaki grafikteki süreksizlik aşağıda bu şekilde giderilmiştir.
\( g(x) = \begin{cases} f(x) & x \ne a \\ L & x = a \end{cases} \)
Sıçrama Süreksizliği
Sıçrama süreksizliğinde fonksiyonun bir noktada soldan ve sağdan limitleri vardır, ancak birbirinden farklıdır, dolayısıyla fonksiyonun bu noktada iki taraflı limiti yoktur. Fonksiyon bu noktada tanımsız olabilir ya da herhangi bir reel değer alabilir.
\( L_1, L_2 \in \mathbb{R} \),
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = L_1 \) ve \( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L_2 \) olmak üzere,
\( L_1 \ne L_2 \) ise,
\( x = a \) noktasında sıçrama süreksizliği vardır.
Sonsuz Süreksizlik
Sonsuz süreksizlikte fonksiyonun bir noktada soldan ve sağdan limitlerinden en az biri pozitif ya da negatif sonsuza gider. Fonksiyon bu noktada tanımsız olabilir ya da herhangi bir reel değer alabilir.
\( \lim\limits_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \) ve/veya \( \lim\limits_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty \) ise,
\( x = a \) noktasında sonsuz süreksizlik vardır.
Sonsuz süreksizlik genellikle düşey asimptot oluşan noktalarda oluşur. Bunlara örnek olarak rasyonel fonksiyonlarda sadece paydayı sıfır yapan \( x \) değerleri ve tanjant/kotanjant fonksiyonlarını tanımsız yapan değerler verilebilir.
- En sade halindeki rasyonel fonksiyonlarda paydayı sıfır yapan noktalar
- Tanjant fonksiyonunda \( x\in \{ \ldots, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \ldots \} \) noktaları
- Kotanjant fonksiyonunda \( x\in \{ \ldots, 0, \pi, \ldots \} \) noktaları
Salınım (Osilasyon) Süreksizliği
Bazı fonksiyonlar belirli bir noktaya yaklaşırken salınım (osilasyon) hareketi yapar ve bu noktadaki limiti bir reel sayı olarak ifade edilemez. Bu tip noktalarda soldan, sağdan ve iki taraflı limitler yoktur, dolayısıyla fonksiyonlar bu noktalarda süreksizdir. Fonksiyon bu noktada tanımsız olabilir ya da herhangi bir reel değer alabilir.
Salınım süreksizliğine sahip örnek bir fonksiyonun grafiği ve denklemi aşağıda verilmiştir.
\( f(x) = \sin{\dfrac{1}{x}} \)
\( \lim\limits_{x \to 0^-} f(x) \) limiti yoktur.
\( \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) \) limiti yoktur.
\( x = 0 \) noktasında salınım (osilasyon) süreksizliği vardır.
Bu dört süreksizlik tipi limitin davranışına göre ikiye ayrılabilir. Kaldırılabilir süreksizlikte \( x = a \) noktasında limit vardır, ancak fonksiyon değeri bu limite eşit değildir (fonksiyon bu noktada tanımsızdır ya da değeri limitten farklıdır). Diğer üç tipte ise \( x = a \) noktasında iki taraflı limit bir reel sayı olarak mevcut değildir.
Süreksizliğin yalnızca birinci tipte giderilebilmesinin sebebi de budur, limit mevcut olduğunda \( f(a) \) değeri limite eşitlenebilir, mevcut olmadığında ise atanacak bir değer yoktur.
\( f(x) = \dfrac{x - 3}{\abs{2x - 6}} \) fonksiyonunun süreksiz olduğu \( x = 3 \) noktasındaki süreksizlik tipini bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyonun \( x = 3 \) noktasındaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x - 3}{\abs{2x - 6}} = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x - 3}{2\abs{x - 3}} \)
\( = \dfrac{1}{2} \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x - 3}{\abs{x - 3}} \)
Fonksiyonun soldan limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 3^-} \dfrac{x - 3}{\abs{x - 3}} \)
\( x \to 3^- \) iken \( x \lt 3 \) olduğu için \( \abs{x - 3} = 3 - x \) olur.
\( = \lim\limits_{x \to 3^-} \dfrac{x - 3}{3 - x} = -1 \)
Fonksiyonun sağdan limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{x - 3}{\abs{x - 3}} \)
\( x \to 3^+ \) iken \( x \gt 3 \) olduğu için \( \abs{x - 3} = x - 3 \) olur.
\( = \lim\limits_{x \to 3^+} \dfrac{x - 3}{x - 3} = 1 \)
Soldan ve sağdan limitler vardır, ancak birbirine eşit değildir. Bu nedenle \( x = 3 \) noktasında sıçrama süreksizliği vardır.
\( f(x) = \dfrac{x}{x - 12} \) fonksiyonunun süreksiz olduğu \( x = 12 \) noktasındaki süreksizlik tipini bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyonun \( x = 12 \) noktasındaki limitini bulalım.
Fonksiyonun soldan limitini bulalım.
\( x \to 12^- \) iken \( x - 12 \to 0^- \) olur.
\( \dfrac{(+)}{(0^-)} \to -\infty \)
\( \lim\limits_{x \to 12^-} \dfrac{x}{x - 12} = -\infty \)
Fonksiyonun sağdan limitini bulalım.
\( x \to 12^+ \) iken \( x - 12 \to 0^+ \) olur.
\( \dfrac{(+)}{(0^+)} \to \infty \)
\( \lim\limits_{x \to 12^+} \dfrac{x}{x - 12} = \infty \)
Soldan ve sağdan limitler sonsuza gittiği için \( x = 12 \) noktasında sonsuz süreksizliği vardır.
\( f(x) = \cos{\dfrac{1}{x}} \) fonksiyonunun süreksiz olduğu \( x = 0 \) noktasındaki süreksizlik tipini bulunuz.
Çözümü Göster\( \frac{1}{x} \) ifadesi \( x \) sıfıra soldan yaklaşırken negatif sonsuza, \( x \) sıfıra sağdan yaklaşırken pozitif sonsuza gider. Kosinüs fonksiyonu periyodik bir fonksiyon olduğu için \( \frac{1}{x} \) ifadesi sonsuza giderken \( \cos{\frac{1}{x}} \) ifadesi periyodik hareketine devam eder ve belirli bir değere yaklaşmaz.
Bu yüzden fonksiyonun \( x = 0 \) noktasında limiti yoktur ve bu noktada salınım süreksizliği vardır.
\( f(x) = \dfrac{2 - \sqrt{x}}{4 - x} \) fonksiyonunun süreksiz olduğu \( x = 4 \) noktasındaki süreksizlik tipini bulunuz.
Çözümü GösterFonksiyonun \( x = 4 \) noktasındaki limitini bulalım.
\( \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{2 - \sqrt{x}}{4 - x} = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{2- \sqrt{x}}{(2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})} \)
Pay ve paydadaki ortak çarpanları sadeleştirelim.
\( = \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{1}{2 + \sqrt{x}} \)
Yerine koyma yöntemi ile limit değerini bulalım.
\( = \dfrac{1}{2 + \sqrt{4}} = \dfrac{1}{4} \)
Limiti alınan fonksiyon \( x = 4 \) noktasında tanımsızdır, ancak limitteki belirsizlik çarpanlara ayırma yöntemi ile giderilebilmektedir. İfade bu noktada tanımsız olsa da limiti tanımlı olduğu için \( x = 4 \) noktasında kaldırılabilir süreksizlik vardır.