Polinom Eşitsizlikleri
Eşitsizliğin her iki tarafı da birer polinom olan eşitsizliklere polinom eşitsizliği denir. Tüm eşitsizliklerde olduğu gibi, ikinci dereceden eşitsizliklerde \( \lt, \le, \gt, \ge \) sembollerinden herhangi biri kullanılabilir.
Polinom eşitsizliklerinin çözüm kümesini bulmak için ilk önce tüm terimler eşitsizliğin aynı tarafında toplanmalı ve elde edilen polinom çarpanlara ayırma bölümünde incelediğimiz yöntemlerle tam çarpanlarına ayrılmalıdır.
\( (x + 1)(x - 2)(x - 5) \lt 0 \)
\( 3(2x + 3)^3(x - 1)(x - 4)^2 \ge 0 \)
Polinom eşitsizliklerinin çözüm kümesi test değeri vererek, grafik yöntemi ile veya işaret tablosu yardımıyla bulunabilir.
Test Değeri ile Çözüm
Bu yöntemde polinom ifadesinin her çarpanını sıfır yapan kritik noktalar bulunur ve bu noktaların oluşturduğu aralıkların her birinden seçilen birer test değeri polinom ifadesinde yerine konarak ifadenin ilgili aralıktaki işareti bulunur.
Polinom fonksiyonları tüm reel sayılarda sürekli olduğu için, iki kök değeri arasındaki her noktada aynı işarete sahiptir, dolayısıyla belirli bir aralıkta seçeceğimiz test değeri için polinomun işareti aralıktaki tüm noktalar için aynı olur.
\( (x + 4)(x + 2)^2(x - 1)(x - 3) \le 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Aşağıdaki şekilde bir polinom fonksiyonu tanımlayalım.
\( f(x) = (x + 4)(x + 2)^2(x - 1)(x - 3) \)
Adım 1: Her bir çarpanı sıfır yapan kritik noktalar ve bu noktaların reel sayı doğrusunda oluşturduğu aralıklar belirlenir.
Her bir çarpanı sıfır yapan \( x \in \{ -4, -2, 1, 3 \} \) noktaları eşitsizliğin kritik noktalarıdır.
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda \( (-\infty, -4) \), \( (-4, -2) \), \( (-2, 1) \), \( (1, 3) \) ve \( (3, \infty) \) aralıklarını oluşturur.
Adım 2: Kritik noktaların oluşturduğu aralıklardan birer test değeri seçilir ve bu değerler için fonksiyonun işareti bulunur.
Bu aralıkların her birinden test değeri olarak \( x \in \{-5, -3, 0, 2, 4\} \) değerlerini seçelim.
Seçtiğimiz test değerleri için fonksiyonun işaretini bulalım.
\( f(-5) = (-5 + 4)(-5 + 2)^2(-5 - 1)(-5 - 3) = -432 \lt 0 \)
\( f(-3) = (-3 + 4)(-3 + 2)^2(-3 - 1)(-3 - 3) = 24 \gt 0 \)
\( f(0) = (0 + 4)(0 + 2)^2(0 - 1)(0 - 3) = 48 \gt 0 \)
\( f(2) = (2 + 4)(2 + 2)^2(2 - 1)(2 - 3) = -96 \lt 0 \)
\( f(4) = (4 + 4)(4 + 2)^2(4 - 1)(4 - 3) = 864 \gt 0 \)
Adım 3: Fonksiyonun test değerlerindeki işaretine göre bir tablo hazırlanır.
Adım 4: Fonksiyonun farklı aralıklardaki işaretine ve eşitsizlik sembolüne göre çözüm kümesi bulunur.
Verilen eşitsizlikte \( \le \) sembolü kullanıldığı için fonksiyonun negatif ya da sıfır olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, -4] \cup \{-2\} \cup [1, 3] \)
Polinom eşitsizliklerinin test değeri kullanarak çözümünün, aşağıda bahsedeceğimiz diğer iki yönteme göre daha çok (ve kimi zaman kesirlerle) işlem gerektirebileceği akılda tutulmalıdır.
Grafik ile Çözüm
Polinom fonksiyonlarının grafiği bölümünde incelediğimiz yöntemler kullanılarak bir polinomun grafiği genel hatlarıyla çizilebilir ve farklı aralıklardaki işaretleri belirlenebilir.
Bu yöntemi yukarıda kullandığımız örneğe uygulayalım.
\( (x + 4)(x + 2)^2(x - 1)(x - 3) \le 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Adım 1: Eşitsizliğin kritik noktalarını belirleyelim.
Her bir çarpanı sıfır yapan \( x \in \{ -4, -2, 1, 3 \} \) noktaları eşitsizliğin kritik noktalarıdır.
Adım 2: \( x \) ekseninin pozitif tarafından başlayarak polinom grafiğinin \( x \) eksenine göre davranışını belirleyelim.
Derece tek sayı ve başkatsayı pozitif olduğu için \( x \) pozitif sonsuzdan gelirken \( y \) de pozitif sonsuzdan gelir.
Tek katlı \( (x - 3) \) çarpanı için, eğri \( x \) eksenini \( x = 3 \) noktasında keser ve eksenin öteki tarafına (negatif tarafa) geçer.
Tek katlı \( (x - 1) \) çarpanı için, eğri \( x \) eksenini \( x = 1 \) noktasında keser ve eksenin öteki tarafına (pozitif tarafa) geçer.
Çift katlı \( (x + 2)^2 \) çarpanı için, eğri \( x \) eksenine \( x = -2 \) noktasında dokunur ve eksenin diğer tarafına geçmeden eksenin aynı tarafına (pozitif tarafa) döner.
Tek katlı \( (x + 4) \) çarpanı için, eğri \( x \) eksenini \( x = -4 \) noktasında keser ve eksenin öteki tarafına (negatif tarafa) geçer.
Derece tek sayı ve başkatsayı pozitif olduğu için, beklediğimiz gibi \( x \) negatif sonsuza giderken \( y \) de negatif sonsuza gider.
Buna göre polinomun grafiği ve her aralıktaki işaretleri aşağıdaki gibi olur.
Adım 4: Fonksiyonun farklı aralıklardaki işaretine ve eşitsizlik sembolüne göre çözüm kümesi bulunur.
Verilen eşitsizlikte \( \le \) sembolü kullanıldığı için grafiğin negatif ya da sıfır olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, -4] \cup \{-2\} \cup [1, 3] \)
İşaret Tablosu ile Çözüm
Polinom eşitsizliklerinin çözüm kümesi, ikinci dereceden eşitsizliklerin çözümüne benzer şekilde bir işaret tablosu yardımıyla da bulunabilir.
Bu yöntemi yukarıda kullandığımız örneğe uygulayalım.
\( (x + 4)(x + 2)^2(x - 1)(x - 3) \le 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım.
Adım 1: Her bir çarpanı sıfır yapan kritik noktalar belirlenir ve işaret tablosunda işaretlenir.
Her bir çarpanı sıfır yapan \( x \in \{ -4, -2, 1, 3 \} \) noktaları eşitsizliğin kritik noktalarıdır.
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda \( (-\infty, -4) \), \( (-4, -2) \), \( (-2, 1) \), \( (1, 3) \) ve \( (3, \infty) \) aralıklarını oluşturur.
Adım 2: Çarpanlar ve her aralıktaki işaretleri tabloya birer satır olarak eklenir.
\( x + 4 \) çarpanı \( x = -4 \) için sıfır, bu noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
\( (x + 2)^2 \) çarpanı \( x = -2 \) için sıfır, diğer tüm noktalarda pozitif olur.
\( x - 1 \) çarpanı \( x = 1 \) için sıfır, bu noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
\( x - 3 \) çarpanı \( x = 3 \) için sıfır, bu noktanın solunda negatif, sağında pozitif olur.
Adım 3: Polinom ifadesinin kendisi ve her aralıktaki işareti tabloya eklenir.
Polinom ifadesinin her aralıktaki işareti, çarpanların ilgili aralıktaki işaretlerinin çarpımına eşittir.
Örneğin \( (-2, 1) \) aralığında \( (+) \cdot (+) \cdot (-) \cdot (-) = (+) \) olduğu için ifadenin işareti pozitif olur.
Ayrıca her bir çarpanı sıfır yapan kritik noktalarda polinom ifadesi de sıfır olur.
Adım 4: Fonksiyonun farklı aralıklardaki işaretine ve eşitsizlik sembolüne göre çözüm kümesi bulunur.
Verilen eşitsizlikte \( \le \) sembolü kullanıldığı için polinom ifadesinin negatif ya da sıfır olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, -4] \cup \{-2\} \cup [1, 3] \)
\( x^4 \lt 4x^2 + 12 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterTüm terimleri aynı tarafta toplayalım.
\( x^4 - 4x^2 - 12 \lt 0 \)
Eşitsizliğin sol tarafını çarpanlarına ayıralım.
\( (x^2 - 6)(x^2 + 2) \lt 0 \)
\( (x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6})(x^2 + 2) \lt 0 \)
Eşitsizliğin kritik noktaları her bir çarpanı sıfır yapan değerlerdir.
\( x - \sqrt{6} = 0 \Longrightarrow x = +\sqrt{6} \)
\( x + \sqrt{6} = 0 \Longrightarrow x = -\sqrt{6} \)
\( x^2 + 2 \) ifadesinin deltası sıfırdan küçük olduğu için reel sayılarda çarpanlarına ayrılamaz.
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için polinom ifadesinin negatif olduğu aralık eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
Çözüm kümesi: \( x \in (-\sqrt{6}, \sqrt{6}) \)
\( x \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x^4 + 63x \lt 7x^3 + 9x^2 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterTüm terimleri eşitsizliğin sol tarafında toplayalım.
\( x^4 + 63x - 7x^3 - 9x^2 \lt 0 \)
İfadeyi gruplara ayırma yöntemi ile çarpanlarına ayıralım.
Birinci ile üçüncü terimi ve ikinci ile dördüncü terimi ayrı ayrı ortak paranteze alalım.
\( x^3(x - 7) - 9x(x - 7) \lt 0 \)
Terimleri \( x - 7 \) parantezine alalım.
\( (x - 7)(x^3 - 9x) \lt 0 \)
\( (x - 7)x(x^2 - 9) \lt 0 \)
Son terime iki kare farkı özdeşliğini uygulayalım.
\( (x - 7)x(x - 3)(x + 3) \lt 0 \)
Her bir çarpanı sıfır yapan \( x \in \{-3, 0, 3, 7\} \) değerleri eşitsizliğin kritik noktalarıdır.
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda \( (-\infty, -3), (-3, 0), (0, 3), (3, 7), (7, \infty) \) aralıklarını oluşturur.
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için polinom ifadesinin negatif olduğu aralık eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
Bu aralıktaki tam sayı değerler aşağıdaki gibidir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -2, -1, 4, 5, 6 \} \)
\( x^5 - 179x^3 + 1690x \) ifadesini negatif yapan kaç farklı pozitif tam sayı \( x \) değeri vardır?
Çözümü GösterVerilen ifadeyi bir eşitsizlik şeklinde yazarak çözüm kümesini bulalım.
\( x^5 - 179x^3 + 1690x \lt 0 \)
5. dereceden ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x(x^4 - 179x^2 + 1690) \lt 0 \)
\( x(x^2 - 10)(x^2 - 169) \lt 0 \)
\( x(x - \sqrt{10})(x + \sqrt{10})(x - 13)(x + 13) \lt 0 \)
Her bir çarpanı sıfır yapan \( \{0, \pm \sqrt{10}, \pm 13\} \) değerleri eşitsizliğin kritik noktalarıdır.
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda \( (-\infty, -13) \), \( (-13, -\sqrt{10}) \), \( (-\sqrt{10}, 0) \), \( (0, \sqrt{10}) \), \( (\sqrt{10}, 13) \) ve \( (13, \infty) \) aralıklarını oluşturur.
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için polinom ifadesinin negatif olduğu aralıklar eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
Çözüm kümesi: \( x \in (-\infty, -13) \cup (-\sqrt{10}, 0) \cup (\sqrt{10}, 13) \)
Bu aralıktaki pozitif tam sayı \( x \) değerleri aşağıdaki gibidir.
\( x \in \{ 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \} \)
Verilen ifadeyi negatif yapan 9 farklı pozitif tam sayı \( x \) değeri vardır.
\( (x + 4)(2^x - 8)(5^{-x} - 1) \lt 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözümü GösterEşitsizlikteki her bir çarpanı sıfır yapan \( x \) değerleri eşitsizliğin kritik noktalarıdır.
Üstel ifadeleri sıfır yapan \( x \) değerlerini bulalım.
\( 2^x - 8 = 0 \Longrightarrow x = 3 \)
\( 5^{-x} - 1 = 0 \Longrightarrow x = 0 \)
Buna göre eşitsizlikteki her bir çarpanı sıfır yapan \( \{-4, 0, 3\} \) değerleri eşitsizliğin kritik noktalarıdır.
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 0) \), \( (0, 3) \) ve \( (3, \infty) \) aralıklarını oluşturur.
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için eşitsizliğin negatif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
Çözüm kümesi: \( x \in (-4, 0) \cup (3, \infty) \)