Polinomların Çarpanları ve Sıfırları

Çarpan teoremine göre, \( x - 2 \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı ise bu çarpanı sıfır yapan \( x = 2 \) değeri polinomu da sıfır yapar, yani \( P(2) = 0 \) olur. Eğer \( P(2) = 0 \) değilse \( x - 2 \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı değildir.

\( P(2) \) değerini bulalım.

\( P(2) = 2^4 - 2(2)^3 + 7(2) + 1 \)

\( = 16 - 16 + 14 + 1 = 15 \neq 0 \)

Sonuç sıfır olmadığı için \( x - 2 \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı değildir.

Çarpan teoremine göre, \( x + 1 \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı ise bu çarpanı sıfır yapan \( x = -1 \) değeri polinomu da sıfır yapar, yani \( P(-1) = 0 \) olur. Eğer \( P(-1) = 0 \) değilse \( x + 1 \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı değildir.

\( P(-1) \) değerini bulalım.

\( P(-1) = 2(-1)^3 - 5(-1)^2 - (-1) + 6 \)

\( = -2 - 5 + 1 + 6 = 0 \)

\( P(-1) = 0 \) olduğu için \( x + 1 \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanıdır.

Diğer kökleri bulmak için polinomu çarpanlarına ayıralım.

\( P(x) \) polinomunu polinom bölmesi ile \( x + 1 \)'e böldüğümüzde bölüm polinomu olarak \( 2x^2 - 7x + 6 \) bulunur.

\( P(x) = (x + 1)(2x^2 - 7x + 6) \)

Bulduğumuz ikinci dereceden polinomu çarpanlarına ayıralım.

\( P(x) = (x + 1)(2x - 3)(x - 2) \)

\( P(x) = 0 \) denkleminin kökleri yukarıdaki çarpanları sıfır yapan değerlerdir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-1, \frac{3}{2}, 2\} \)

Çarpan teoremine göre, \( x - k \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı ise bu çarpanı sıfır yapan \( x = k \) değeri polinomu da sıfır yapar, yani \( P(k) = 0 \) olur. Eğer \( P(k) = 0 \) değilse \( x - k \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı değildir.

\( P(k) = k^3 - 4k^2 - k + 4k^2 = 0 \)

\( k^3 - k = 0 \)

\( k(k^2 - 1) = 0 \)

\( k(k - 1)(k + 1) = 0 \)

Buna göre \( k \)'nın alabileceği değerler aşağıdaki gibidir.

\( k \in \{-1, 0, 1\} \)

\( P(x) = (2x + 1)(x - 3)Q(x) \)

\( P(x) = (2x^2 - 5x - 3)Q(x) \)

\( P(x) \) polinomunu \( 2x^2 - 5x - 3 \) polinomuna polinom bölmesi ile bölerek diğer çarpanı bulalım.

\( P(x) = (2x + 1)(x - 3)(x^2 - 4) \)

\( P(x) = (2x + 1)(x - 3)(x - 2)(x + 2) \)

Polinomun sıfırları her bir çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.

\( x \in \{-2, -\frac{1}{2}, 2, 3\} \)

\( P(x) \) ikinci bir polinom olduğuna ve sıfırları bilindiğine göre polinomu aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( P(x) = a(x - 4)(x - 6) \)

\( P(3) \) ve \( P(5) \) değerlerini \( a \) cinsinden bulalım.

\( P(3) = a(3 - 4)(3 - 6) = 3a \)

\( P(5) = a(5 - 4)(5 - 6) = -a \)

\( \dfrac{P(3)}{P(5)} = \dfrac{3a}{-a} = -3 \) bulunur.

\( x^2 - 2x = x(x - 2) \)

\( P(x) \) polinomunun çarpanlarından ikisi \( x \) ve \( x - 2 \) olduğuna göre, \( x = 0 \) ve \( x = 2 \) değerleri polinomu sıfır yapar.

\( x = 0 \) için:

\( P(0) = 3(0)^3 - (a + 3)(0)^2 + (b - 2)(0) + 2a + 2 = 0 \)

\( a = -1 \)

\( x = 2 \) için:

\( P(2) = 3(2)^3 - (-1 + 3)(2)^2 + (b - 2)(2) + 2(-1) + 2 = 0 \)

\( 24 - 8 + 2b - 4 - 2 + 2 = 0 \)

\( b = -6 \)

Buna göre \( a \cdot b = (-1) \cdot (-6) = 6 \) bulunur.

Verilen bilgiler doğrultusunda polinom tanımını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( P(x) = (x - 5)(x - a)(x - b) \)

\( P(0) \) değerini bulmak için \( x = 0 \) yazalım.

\( P(0) = (0 - 5)(0 - a)(0 - b) = -175 \)

\( (-5)(-a)(-b) = -175 \)

\( a \cdot b = 35 \)

\( a \) ve \( b \) asal sayılar oldukları için, iki sayı \( 5 \) ve \( 7 \) olur.

\( P(x) = (x - 5)(x - 5)(x - 7) \)

\( = (x - 5)^2(x - 7) \)

\( P(8) \) değerini bulmak için \( x = 8 \) yazalım.

\( P(8) = (8 - 5)^2(8 - 7) = 9 \) bulunur.

\( x - 1 \) polinomun bir çarpanı olduğuna göre, bu çarpanı sıfır yapan \( x \) değeri polinomu da sıfır yapar.

\( x - 1 = 0 \Longrightarrow x = 1 \)

\( P(1) = 1^4 - 3(1)^3 + (3m + 2)(1)^2 - (m - 1)^2(1) - 1 = 0 \)

\( 1 - 3 + (3m + 2) - (m - 1)^2 - 1 = 0 \)

\( -2 + 3m + 2 - m^2 + 2m - 1 - 1 = 0 \)

\( m^2 - 5m + 2 = 0 \)

Bu ikinci dereceden denklemin deltası sıfırdan büyük olduğu için birbirinden farklı iki reel sayı kökü vardır.

\( m \)'nin alabileceği değerler çarpımı için ikinci dereceden denklemin kökler çarpımı formülünü kullanalım.

Kökler çarpımı \( = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{1} = 2 \) bulunur.

Çarpan teoremine göre \( x - a \) ifadesi \( P(x) \) polinomunun bir çarpanı ise \( P(a) = 0 \) olur.

\( P(a) = 2a^3 - (2a + 4)a^2 + 14a + 2b = 0 \)

\( 2a^3 - 2a^3 - 4a^2 + 14a + 2b = 0 \)

\( 4a^2 - 14a = 2b \)

\( 2a^2 - 7a = b \)

Benzer şekilde, \( x + 1 \) polinomun bir çarpanı ise \( P(-1) = 0 \) olur.

\( P(-1) = 2(-1)^3 - (2a + 4)(-1)^2 + 14(-1) + 2b = 0 \)

\( -2 - 2a - 4 - 14 + 2b = 0 \)

\( -20 - 2a + 2b = 0 \)

\( 10 + a = b \)

Değeri \( b \) olan iki ifadeyi birbirine eşitleyelim.

\( 2a^2 - 7a = 10 + a \)

\( 2a^2 - 8a - 10 = 0 \)

\( 2(a + 1)(a - 5) = 0 \)

\( a = -1 \) ya da \( a = 5 \)

\( a \gt 0 \) olarak verildiği için \( a = 5 \) olur.

\( a \) değerini yukarıdaki denklemlerden birinde yerine koyarak \( b \) değerini bulalım.

\( 10 + a = b \Longrightarrow b = 15 \)

\( a \) ve \( b \) değerlerini polinomda yerine koyalım.

\( P(x) = 2x^3 - 14x^2 + 14x + 30 \)

Polinomun iki çarpanının \( x - 5 \) ve \( x + 1 \) olduğunu biliyoruz.

\( P(x) = (x - 5)(x + 1)Q(x) \)

\( P(x) = (x^2 - 4x - 5)Q(x) \)

Polinom bölmesi ile diğer çarpanı bulalım.

\( P(x) = (x^2 - 4x - 5)(2x - 6) \)

Polinomun çarpanlarına ayrılmış şekilde yazılışı aşağıdaki gibi olur.

\( P(x) = 2(x - 5)(x + 1)(x - 3) \)

\( P(x) = 0 \) denkleminin çözüm kümesi yukarıdaki her bir çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-1, 3, 5\} \)

\( x = -1 \) denklemin bir kökü ise eşitliği sağlamalıdır.

Denklemde \( x = -1 \) yazarak \( k \) sabit sayısını bulalım.

\( (-1)^3 + \dfrac{k - 1}{5}(-1)^2 - 5k(-1) - 5k - 1 = 0 \)

\( -1 + \dfrac{k - 1}{5} + 5k - 5k - 1 = 0 \)

\( \dfrac{k - 1}{5} = 2 \)

\( k = 11 \)

\( k \) değerini denklemde yerine yazalım.

\( x^3 + 2x^2 - 55x - 56 = 0 \)

Çarpan teoremine göre, \( x = -1 \) değeri \( P(x) = 0 \) denkleminin bir kökü ise \( x + 1 \) ifadesi \( P(x) \) polinomun bir çarpanıdır.

\( x^3 + 2x^2 - 55x - 56 \) ifadesini \( x + 1 \) ifadesine polinom bölmesi ile bölerek diğer çarpanı bulalım.

\( (x + 1)(x^2 + x - 56) = 0 \)

İkinci dereceden ikinci çarpanı kolaylıkla çarpanlarına ayırabiliriz.

\( (x + 1)(x + 8)(x - 7) = 0 \)

Denklemin çözüm kümesi her bir çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-8, -1, 7\} \)

\( P(x) \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( P(x) = \dfrac{x^2 + 3x + a - 4}{x} \)

\( P(x) \)'in polinom olabilmesi için, \( x \) ifadesi \( x^2 + 3x + a - 4 \) polinomunu tam bölmelidir.

Paydaki ifade \( x \)'e tam bölünebiliyorsa \( x \) paydaki ifadenin bir çarpanıdır, bir diğer ifadeyle \( x = 0 \) değeri payı sıfır yapar.

Paydaki polinomda \( x = 0 \) koyarak ifadeyi sıfıra eşitleyelim.

\( 0^2 + 3(0) + a - 4 = 0 \)

\( a = 4 \)

\( P(x) = \dfrac{x^2 + 3x}{x} = x + 3 \)

\( P(a) = P(4) = 4 + 3 = 7 \) bulunur.

\( P(x) \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( P(x) = \dfrac{x^4 - ax^3 - x + a + 4}{x + 1} \)

\( P(x) \)'in polinom olabilmesi için, \( x + 1 \) ifadesi \( x^4 - ax^3 - x + a + 4 \) polinomunu tam bölmelidir.

Paydaki ifade \( x + 1 \)'e tam bölünebiliyorsa \( x + 1 \) paydaki ifadenin bir çarpanıdır, bir diğer ifadeyle \( x + 1 \)'i sıfır yapan \( x = -1 \) değeri payı da sıfır yapar.

Paydaki polinomda \( x = -1 \) koyarak ifadeyi sıfıra eşitleyelim.

\( x^4 - ax^3 - x + a + 4 = 0 \)

\( (-1)^4 - a(-1)^3 - (-1) + a + 4 = 0 \)

\( 1 + a + 1 + a + 4 = 0 \)

\( a = -3 \)

Buna göre \( a = -3 \) olması durumunda paydaki ifade \( x + 1 \)'e tam bölünür.

\( P(x) = \dfrac{x^4 + 3x^3 - x + 1}{x + 1} \)

Pay ve payda arasında polinom bölmesi yaparsak payın paydaya kalansız bölündüğünü görürüz.

\( P(x) = x^3 + 2x^2 - 2x + 1 \)

\( P(x) \) ifadesini yalnız bırakalım.

\( P(x) = \dfrac{x^3 - x - m}{x - 2} \)

\( P(x) \)'in polinom olabilmesi için, \( x - 2 \) ifadesi \( x^3 - x - m \) polinomunu tam bölmelidir.

Paydaki ifade \( x - 2 \)'ye tam bölünebiliyorsa \( x - 2 \) paydaki ifadenin bir çarpanıdır, bir diğer ifadeyle \( x - 2 \)'yi sıfır yapan \( x = 2 \) değeri payı da sıfır yapar.

Paydaki polinomda \( x = 2 \) koyarak ifadeyi sıfıra eşitleyelim.

\( 2^3 - 2 - m = 0 \Longrightarrow m = 6 \)

\( P(x) = \dfrac{x^3 - x - 6}{x - 2} \)

\( x^3 - x - 6 \) polinomunu \( x - 2 \) polinomuna bölersek bölüm \( x^2 + 2x + 3 \) olur.

\( P(x) = x^2 + 2x + 3 \)

Kalan teoremine göre, \( P(x - 3) \) polinomunun \( 2x \) ile bölümünden kalan \( x = 0 \) koyduğumuzda elde ettiğimiz \( P(0 - 3) = P(-3) \) olur.

\( P(-3) = (-3)^2 + 2(-3) + 3 = 6 \) bulunur.

\( P(-2) = P(1) = P(5) = 0 \) ise bu üç değer \( P(x) \) polinomunun birer sıfırıdır ve \( x + 2 \), \( x - 1 \) ve \( x - 5 \) polinomun çarpanlarıdır.

Polinom üçüncü dereceden olduğu için sabit bir sayı hariç başka bir çarpanı yoktur.

\( P(x) = a(x + 2)(x - 1)(x - 5) \)

Polinomun başkatsayısı 2 olarak veriliyor.

\( P(x) = 2(x + 2)(x - 1)(x - 5) \)

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 3 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 3 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(3) \) olur.

\( P(3) = 2(3 + 2)(3 - 1)(3 - 5) \)

\( = -40 \) bulunur.

Üçüncü dereceden polinomun değeri üç farklı \( x \) değeri için birbirine eşit ve 5'tir.

Buna göre bu üç değer \( P(x) - 5 \) polinomunu sıfır yapar, dolayısıyla polinomun çarpanlarını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( P(x) - 5 = a(x + 1)(x - 1)(x - 3) \)

\( P(x) = a(x + 1)(x - 1)(x - 3) + 5 \)

\( a \) katsayısını bulmak için \( P(2) \) değerini kullanalım.

\( P(2) = 11 = a(2 + 1)(2 - 1)(2 - 3) + 5 \)

\( a = \dfrac{6}{-3} = -2 \)

Buna göre polinom tanımı aşağıdaki gibi olur.

\( P(x) = 2(x + 1)(x - 1)(x - 3) + 5 \)

Polinomun sabit terimini bulmak için \( x = 0 \) yazalım.

\( P(0) = -2(0 + 1)(0 - 1)(0 - 3) + 5 \)

\( = -1 \) bulunur.

3. dereceden \( P(x) \) polinomunun 2. dereceden bir çarpanı verildiğine göre diğer çarpanı 1. dereceden olur.

\( P(x) = a(x - b)(x^2 - 5) \)

Polinomun başkatsayısı 1 olarak veriliyor.

\( P(x) = (x - b)(x^2 - 5) \)

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x \) ile bölümünden kalan -5 ise \( P(0) = -5 \) olur.

\( P(0) = (0 - b)(0^2 - 5) = -5 \)

\( (-b)(-5) = -5 \)

\( b = -1 \)

Buna göre \( P(x) \) tanımı aşağıdaki gibi olur.

\( P(x) = (x + 1)(x^2 - 5) \)

Kalan teoremine göre, \( P(x + 1) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(2 + 1) = P(3) \) olur.

\( P(3) = (3 + 1)(3^2 - 5) = 16 \) bulunur.

Sıfırları bilinen ikinci dereceden polinomu aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( P(x) = a(x - P(0))(x - m) \)

Polinomun başkatsayısı 1 olarak veriliyor.

\( P(x) = (x - P(0))(x - m) \)

\( x = 0 \) yazalım.

\( P(0) = (0 - P(0))(0 - m) \)

\( P(0) = -P(0)(-m) \)

\( m = 1 \) bulunur.

\( P(-4) = 0 \) ve \( Q(-4) \ne 0 \) olduğuna göre, \( x = -4 \) \( P(x) \) polinomunun bir sıfırıdır, ancak \( Q(x) \) polinomunun bir sıfırı değildir.

Buna göre, \( x + 4 \) \( P(x) \) polinomunun bir çarpanıdır, ancak \( Q(x) \) polinomunun bir çarpanı değildir.

\( Q(x) \) polinomunun sıfırları aynı zamanda \( P(x) \) polinomunun da sıfırları olduğuna göre, \( P(x) \) polinomunu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( P(x) = Q(x) \cdot (x + 4) \)

\( x^3 - ax^2 - (b + 2)x + 4b = (x^2 - 2ax + b)(x + 4) \)

\( x^3 - ax^2 - (b + 2)x + 4b = x^3 + 4x^2 - 2ax^2 - 8ax + bx + 4b \)

\( x^3 - ax^2 - (b + 2)x + 4b = x^3 + (4 - 2a)x^2 + (b - 8a)x + 4b \)

İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı terimlerin katsayıları birbirine eşittir.

\( -a = 4 - 2a \Longrightarrow a = 4 \)

\( -(b + 2) = b - 8a \Longrightarrow b = 15 \)

\( a + b = 4 + 15 = 19 \) bulunur.

Reel katsayılı polinomların karmaşık sayı kökleri varsa bu kökler ikişerli olarak birbirinin eşleniği şeklinde bulunurlar.

Soruda verilen kökler birbirinin eşleniği olmadığı için polinomun 6 kökü aşağıdaki gibi olur.

\( x \in \{i, -i, 2i, -2i, 3i, -3i\} \)

Buna göre polinomu aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( P(x) = 4(x - i)(x + i)(x - 2i)(x + 2i)(x - 3i)(x + 3i) \)

\( (x - ai)(x + ai) = x^2 + a^2 \) özdeşliğini kullanalım.

\( P(x) = 4(x^2 + 1)(x^2 + 4)(x^2 + 9) \)

\( P(1) \) değerini bulmak için \( x = 1 \) yazalım.

\( P(1) = 4(1^2 + 1)(1^2 + 4)(1^2 + 9) \)

\( = 4(2)(5)(10) = 400 \) bulunur.

Denklemin köklerine \( 2k \), \( 3k \) ve \( 11k \) diyelim.

Denklemi bu kök değerlerini kullanarak çarpanlarına ayrılmış şekilde yazalım.

\( (x - 2k)(x - 3k)(x - 11k) = 0 \)

\( (x^2 - 5kx + 6k^2)(x - 11k) = 0 \)

\( x^3 - 16kx^2 + 61k^2x - 66k^3 = 0 \)

Bu polinomun katsayılarını verilen polinom ile karşılaştıralım.

\( a = -16k, b = 61k^2, c = 66k^3 \)

\( c = 4224 \) olarak veriliyor.

\( c = 66k^3 = 4224 \)

\( k = 4 \)

\( a \) ve \( b \) değerlerini bulalım.

\( a = -16k = -64 \)

\( b = 61k^2 = 976 \)

\( a + b = 912 \) bulunur.

Çarpan teoremine göre \( x - 4 \) iki polinomun ortak bir çarpanı ise \( P(4) = Q(4) = 0 \) olur.

\( P(4) = (4 - a)4^2 + b(12 - 4) = 0 \)

\( 64 - 16a + 8b = 0 \)

\( 16a - 8b = 64 \)

\( Q(4) = 4^3 + b(6 - 4^2) - (a - 6)4 = 0 \)

\( 64 - 10b - 4a + 24 = 0 \)

\( 4a + 10b = 88 \)

İlk denklemi -4'e bölelim ve denklemleri taraf tarafa toplayalım.

\( (-4a + 2b) + (4a + 10b) = -16 + 88 \)

\( 12b = 72 \Longrightarrow b = 6 \)

2. denklemde \( b = 6 \) yazalım.

\( 4a + 10(6) = 88 \)

\( a = 7 \)

Buna göre \( a \cdot b = 7 \cdot 6 = 42 \) bulunur.

Parantezleri genişletelim.

\( (2x^2 + x - 6)(x - 1) = -5x^2 - x + 6 \)

\( 2x^3 - 2x^2 + x^2 - x - 6x + 6 = -5x^2 - x + 6 \)

\( 2x^3 - x^2 - 7x + 6 = -5x^2 - x + 6 \)

Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.

\( 2x^3 + 4x^2 - 6x = 0 \)

Eşitliğin sol tarafını çarpanlarına ayıralım.

\( 2x(x^2 + 2x - 3) = 0 \)

\( 2x(x + 3)(x - 1) = 0 \)

Denklemin çözüm kümesi yukarıdaki çarpanları sıfır yapan değerlerdir.

Çözüm kümesi: \( x \in \{-3, 0, 1\} \)

Denklemin dört katlı köküne \( r \) diyelim.

\( (x - r)^4 = x^4 - 4rx^3 + 6r^2x^2 - 4r^3x + r^4 \)

Bu denklemi soruda verilen denkleme eşitleyelim.

\( x^4 - 4rx^3 + 6r^2x^2 - 4r^3x + r^4 = x^4 - ax^3 + bx^2 - 108x + c \)

İki polinomun eşitliğinde dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları birbirine eşittir.

\( x \)'li terimlerin katsayılarını eşitleyelim.

\( -4r^3 = -108 \)

\( r = 3 \)

Sabit terimleri eşitleyelim.

\( c = r^4 \)

\( = 3^4 = 81 \) bulunur.

Verilen ifade bir polinom olduğuna göre, paydaki ifade \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \) polinomuna kalansız bölünmelidir, dolayısıyla \( x - 1 \) ve \( x + 1 \) çarpanlarını içermeli ve \( x = 1 \) ve \( x = -1 \) değerleri paydaki polinomu sıfır yapmalıdır.

\( x = 1 \) için:

\( P(1 + 1) + 1 - 2 = 0 \)

\( P(2) = 1 \)

\( x = -1 \) için:

\( P(-1 + 1) + (-1) - 2 = 0 \)

\( P(0) = 3 \)

Sorudaki bölme işlemini yazalım. Bölen polinomu ikinci dereceden bir polinom olduğu için kalan polinomu birinci dereceden bir polinom olmalıdır.

\( x^2 - 2x = x(x - 2) \)

\( P(x) = x(x - 2) \cdot Q(x) + ax + b \)

Dikkat edilirse polinom değerlerini bulduğumuz \( x = 0 \) ve \( x = 2 \) değerleri, bu bölme işleminde bölen polinomunu sıfır yapan değerlerdir.

\( x = 0 \) yazalım.

\( P(0) = 0(0 - 2) \cdot Q(0) + a(0) + b = 3 \)

\( b = 3 \)

\( x = 2 \) yazalım.

\( P(2) = 2(2 - 2) \cdot Q(2) + a(2) + b = 1 \)

\( 2a + 3 = 1 \)

\( a = -1 \)

Kalan polinomu \( ax + b = -x + 3 \) olarak bulunur.

\( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( P(0) \) değerine eşittir.

\( P(0) = 18 \)

\( P(x) \) polinomunun katsayılar toplamı \( P(1) \) değerine eşittir.

\( P(1) = 60 \)

Reel katsayılı bir polinomun karmaşık sayı sıfırları varsa bu sıfırlar birbirinin eşleniği olacak şekilde ikinin katları adedince bulunabilir.

Polinomun sıfırlarından üçü reel sayı olarak verildiği için, dördüncü sıfır da reel sayı olmalıdır.

Buna göre polinomu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( P(x) = (x + 1)(x + 2)(x - 3)(ax + b) \)

\( a \) ve \( b \) değerlerini bulmak için \( P(0) \) ve \( P(1) \) değerlerini kullanalım.

\( P(0) = 18 = (0 + 1)(0 + 2)(0 - 3)(a(0) + b) \)

\( -6b = 18 \)

\( b = -3 \)

\( P(1) = 60 = (1 + 1)(1 + 2)(1 - 3)(a(1) + b) \)

\( -12(a - 3) = 60 \)

\( a = -2 \)

Buna göre \( P(x) \) polinomu aşağıdaki gibidir.

\( P(x) = (x + 1)(x + 2)(x - 3)(-2x - 3) \)

Kalan teoremine göre, \( P(x) \) polinomunun \( x - 2 \) polinomuna bölümünden kalan, bölen polinomunu sıfır yapan \( x = 2 \) değeri için bölünen polinomunun değeri, yani \( P(2) \) olur.

\( P(2) = (2 + 1)(2 + 2)(2 - 3)(-2(2) - 3) \)

\( = 84 \) bulunur.

Orijine göre simetrik fonksiyonlar tek fonksiyondur ve tüm terimlerinin derecesi tek sayıdır.

Buna göre \( P(x) \) polinomu \( x^2 \) ve \( x^0 \) terimlerini içermez.

\( P(x) = ax^3 + bx \)

\( P(x) \) polinomunda \( x = -1 \) ve \( x = 2 \) yazalım.

\( P(-1) = a(-1)^3 + b(-1) = -5 \)

\( -a - b = -5 \)

\( P(2) = a(2)^3 + b(2) = 22 \)

\( 8a + 2b = 22 \)

Bu iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.

\( a = 2, \quad b = 3 \)

Buna göre \( P(x) \) polinomu aşağıdaki gibi olur

\( P(x) = 2x^3 + 3x \)

\( P(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) yazalım.

\( P(3) = 2(3)^3 + 3(3) = 63 \) bulunur.

\( P(x) \) polinomu verilen üç noktada en küçük değerine ulaşıyorsa \( P(x) - 5 \) polinomunun bu üç noktada çift katlı kökleri vardır (bu noktalarda \( x \) eksenine teğettir).

Buna göre \( P(x) - 5 \) polinomunu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( P(x) - 5 = a(x + 1)^2x^2(x - 4)^2 \)

\( P(x) = a(x + 1)^2x^2(x - 4)^2 + 5 \)

\( a \) değerini bulmak için \( x = 1 \) koyalım.

\( P(1) = a(1 + 1)^2(1)^2(1 - 4)^2 + 5 \)

\( 41 = a(4)(1)(9) + 5 \)

\( a = 1 \)

Buna göre \( P(x) \) polinomunun tanımı aşağıdaki gibidir.

\( P(x) = (x + 1)^2x^2(x - 4)^2 + 5 \)

\( P(3) \) değerini bulmak için \( x = 3 \) koyalım.

\( P(3) = (3 + 1)^2(3)^2(3 - 4)^2 + 5 \)

\( = 16 \cdot 9 \cdot 1 + 5 \)

\( = 144 + 5 = 149 \) bulunur.

Verilen bölme işlemlerindeki bölenleri çarpanlarına ayıralım.

\( x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3) \)

\( x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) \)

Verilen bölme işlemlerini yazalım.

\( P(x) = (x + 1)(x - 3) \cdot Q_1(x) + 4 \)

\( P(x) = (x - 1)(x - 3) \cdot Q_2(x) + 4 \)

Bu iki eşitliğe göre, \( P(x) \) polinomu \( x + 1 \), \( x - 1 \) ve \( x - 3 \) ile bölündüğünde aynı 4 kalanını verir.

Buna göre \( x \in \{-1, 1, 3\} \) değerleri \( P(x) - 4 \) polinomunu sıfır yapar, dolayısıyla polinomun çarpanlarını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( P(x) - 4 = a(x + 1)(x - 1)(x - 3) \)

\( P(x) = a(x + 1)(x - 1)(x - 3) + 4 \)

\( a \) katsayısını bulmak için \( P(0) = 13 \) değerini kullanalım.

\( P(0) = a(0 + 1)(0 - 1)(0 - 3) + 4 = 13 \)

\( 3a + 4 = 13 \)

\( a = 3 \)

\( P(4) \) değerini bulmak için \( x = 4 \) yazalım.

\( P(4) = 3(4 + 1)(4 - 1)(4 - 3) + 4 \)

\( = 3(5)(3)(1) + 4 = 49 \) bulunur.

İkinci dereceden polinomu tepe noktası bilinen parabol denklemi biçiminde aşağıdaki gibi yazabiliriz.

Parabolün tepe noktası \( T(r, k) \) olmak üzere,

\( P(x) = a(x - r)^2 + k \)

Buradan \( r = \frac{s}{t} \) ve \( k = s + 3t \) olarak bulunur.

Polinom grafiği \( x \) eksenine teğet olduğu için tepe noktasının ordinat değeri sıfırdır

\( s + 3t = 0 \Longrightarrow s = -3t \)

\( P(x) = (x - \frac{-3t}{t})^2 + (-3t) + 3t \)

\( = (x + 3)^2 \)

Sorudaki ifadeyi yazalım.

\( 2P(x + 7) \cdot [P(x - 4) - 1] \)

\( = 2(x + 7 + 3)^2 \cdot [(x - 4 + 3 )^2 - 1] \)

\( = 2(x + 10)^2 \cdot [(x - 1)^2 - 1] \)

\( = 2(x + 10)^2 \cdot (x - 1 - 1)(x - 1 + 1) \)

\( = 2(x + 10)^2 \cdot (x - 2)x \)

Bu ifadeyi sıfır yapan değerler \( x \in \{-10, 2, 0\} \) olup çarpımları 0'dır.

Sıfırlarından biri \( -\frac{1}{2} \) olan ikinci dereceden polinomu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( P(x) = (2x + 1)(ax + b) \)

\( P(x) = 2ax^2 + (a + 2b)x + b \)

Sabit terimin tam sayı olması için \( b \) tam sayı olmalıdır.

\( a + 2b \) katsayısının tam sayı olması için \( b \) ile birlikte \( a \) da tam sayı olmalıdır.

Buna göre polinomun katsayılarını birer rakam yapan tam sayı \( a \) ve \( b \) değerlerini bulalım.

\( a = 0 \) olması durumunda polinom birinci dereceden olur.

\( a = 1 \) için:

\( P(x) = 2x^2 + (1 + 2b)x + b \)

Tüm katsayıları rakam yapan \( b \) değerleri:

\( b \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \)

\( a = 2 \) için:

\( P(x) = 4x^2 + (2 + 2b)x + b \)

Tüm katsayıları rakam yapan \( b \) değerleri:

\( b \in \{0, 1, 2, 3\} \)

\( a = 3 \) için:

\( P(x) = 6x^2 + (3 + 2b)x + b \)

Tüm katsayıları rakam yapan \( b \) değerleri:

\( b \in \{0, 1, 2, 3\} \)

\( a = 4 \) için:

\( P(x) = 8x^2 + (4 + 2b)x + b \)

Tüm katsayıları rakam yapan \( b \) değerleri:

\( b \in \{0, 1, 2\} \)

\( a \gt 4 \) olması durumunda başkatsayı rakam olmaz.

Buna göre istenen koşulları sağlayan \( 5 + 4 + 4 + 3 = 16 \) farklı polinom yazılabilir.

\( x = 1 \) yazalım.

\( P(1) + P(2) = P(1) + 1^2 + 1 - 2 \)

\( P(2) = 0 \)

\( x = 2 \) yazalım.

\( P(2) + P(2) = P(1) + 2^2 + 2 - 2 \)

\( P(1) = -4 \)

\( P(x) \) ikinci dereceden bir polinom olduğuna göre tanımını aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( P(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)

\( P(1) \) ve \( P(2) \) sabit sayılar oldukları için polinomların eşitliğinden \( P(x) \) polinomunun başkatsayısı 1 olmalıdır.

\( P(x) = (x - x_1)(x - x_2) \)

\( P(2) = 0 \) olduğu için köklerden biri \( x = 2 \) olur.

\( P(x) = (x - 2)(x - x_2) \)

\( P(1) \) değerini bildiğimiz için \( x = 1 \) yazalım.

\( P(1) = (1 - 2)(1 - x_2) = -4 \)

\( x_2 = -3 \)

Buna göre \( P(x) \) polinomunun tanımı aşağıdaki gibi olur.

\( P(x) = (x - 2)(x + 3) \)

I. öncül: \( P(x) \) polinomunun \( x \) ile bölümünden kalanı bulmak için \( x = 0 \) yazdığımızda -6 buluruz. Bu öncül doğrudur.

II. öncül: \( x + 3 \) polinomun bir çarpanı olduğu için bu öncül doğrudur.

III. öncül: \( P(x + 1) \) polinomunun \( x + 1 \) ile bölümünden kalan \( x = -1 \) yazdığımızda elde ettiğimiz \( P(-1 + 1) = P(0) \) değeridir. \( P(0) = -6 \) olduğu için bu bölüm kalansız olmaz. Bu öncül yanlıştır.

Buna göre I. ve II. öncüller doğrudur.

\( P(x - 2) \) polinomunun grafiği \( P(x) \) polinomunun grafiğinin iki birim sağa ötelenmiş halidir.

Bu iki polinomun birer kökü ortak ve 1 ise \( P(x) \) polinomunun büyük kökü \( 1 \), küçük kökü \( 1 - 2 = -1 \) olmalıdır.

Buna göre \( P(x) \) polinomunu aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( P(x) = a(x - 1)(x + 1) \)

Polinomun başkatsayısını bulmak için \( P(0) = -4 \) değerini kullanalım.

\( P(0) = a(0 - 1)(0 + 1) = -4 \)

\( a = 4 \)

\( P(x) = 4(x - 1)(x + 1) \)

\( P(2) \) değerini bulmak için \( x = 2 \) yazalım.

\( P(2) = 4(2 - 1)(2 + 1) = 12 \) bulunur.

3. dereceden polinomun 3 farklı noktası arasındaki ilişkiyi inceleyelim.

\( x \)'in her 1 birim artışında polinom değeri 3 birim arttığına göre, bu üç değer \( P(x) - 3x \) polinomunun sıfırlarıdır.

Buna göre \( P(x) \) polinomunu aşağıdaki gibi yazabiliriz.

\( P(x) - 3x = a(x - 1)(x - 2)(x - 3) \)

\( P(x) = a(x - 1)(x - 2)(x - 3) + 3x \)

Polinomun başkatsayısı 1 olarak veriliyor.

\( P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) + 3x \)

\( P(5) \) değerini bulmak için \( x = 5 \) yazalım.

\( P(5) = (5 - 1)(5 - 2)(5 - 3) + 3(5) = 39 \) bulunur.

Polinomu sıfıra eşitleyelim.

\( x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x - 65 = 0 \)

Eşitliğin sol tarafını düzenleyelim.

\( x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 - 81 = 0 \)

\( x^4 + 4x^3(2) + 6x^2(2)^2 + 4x(2)^3 + 2^4 - 81 = 0 \)

Eşitliğin sol tarafı son terim hariç \( (x + 2)^4 \) ifadesinin açılımıdır.

\( (x + 2)^4 - 3^4 = 0 \)

\( ((x + 2)^2 - 3^2)((x + 2)^2 - 4 + 3^2) = 0 \)

\( ((x + 2) - 3)((x + 2) + 3)((x + 2)^2 - 4 + 9) = 0 \)

\( (x - 1)(x + 5)(x^2 + 4x + 9) = 0 \)

İlk iki çarpanı sıfır yapan yapan değerler polinomun reel birer sıfırıdır. Üçüncü çarpanın deltası sıfırdan küçük olduğu için bu çarpanı sıfır yapan reel sayı değer yoktur.

Buna göre polinomu sıfır yapan reel sayı değerlerin çarpımı \( 1 \cdot (-5) = -5 \) bulunur.

\( P(x + 7) \) polinomunun \( x + 4 \) ile bölümü yine bir polinom ise bu ifadeye kalansız bölünür.

\( P(x + 7) = (x + 4) \cdot Q_1(x) \)

\( x = -4 \) verelim.

\( P(-4 + 7) = (-4 + 4) \cdot Q_1(-4) \)

\( P(3) = 0 \)

Benzer şekilde \( P(x - 5) \) polinomunun \( x - 3 \) ile bölümü bir polinom ise bu ifadeye kalansız bölünür.

\( x = 3 \Longrightarrow P(-2) = 0 \)

Benzer şekilde \( P(x) \) polinomunun \( x - 1 \) ile bölümü bir polinom ise bu ifadeye kalansız bölünür.

\( x = 1 \Longrightarrow P(1) = 0 \)

\( P(x + 3) \) polinomunun çarpanlarından biri \( x - 2 \) ise \( x = 2 \) polinomun sıfırlarından biridir.

\( x = 2 \Longrightarrow P(5) = 0 \)

Buna göre 4. dereceden \( P(x) \) polinomunun dört sıfırını da biliyor oluruz.

\( P(-2) = P(1) = P(3) = P(5) = 0 \)

Polinomun denklemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( P(x) = a(x - 3)(x + 2)(x - 1)(x - 5) \)

Polinomun başkatsayısını bulmak için \( P(0) = -6 \) değerini kullanalım.

\( P(0) = a(0 - 3)(0 + 2)(0 - 1)(0 - 5) \)

\( -6 = a(-3)(2)(-1)(-5) \)

\( a = \dfrac{1}{5} \)

\( P(x) = \dfrac{1}{5}(x - 3)(x + 2)(x - 1)(x - 5) \)

\( P(x) \) değerini bulmak için \( x = 8 \) yazalım.

\( P(8) = \dfrac{1}{5}(8 - 3)(8 + 2)(8 - 1)(8 - 5) \)

\( = 210 \) bulunur.

Bu soruyu türev alarak çözelim.

Bir \( P(x) \) polinomu \( (x - a)^n \) ile tam bölünüyorsa \( x - a \) polinomun \( n \) katlı bir çarpanıdır ve \( x = a \) hem \( P(x) \) polinomunun hem de \( n - 1 \) sayıda türevinin birer köküdür.

\( P(a) = P'(a) = P''(a) = \ldots = P^{n - 1}(a) = 0 \)

Buna göre verilen polinomda \( P(1) = 0 \) eşitliği sağlanır.

\( P(1) = 1 + a + b + c = 0 \)

\( a + b + c = -1 \)

Ayrıca \( P'(1) = 0 \) eşitliği de sağlanır.

\( P'(x) = 5x^4 + 2ax + b = 0 \)

\( P'(1) = 5 + 2a + b = 0 \)

\( 2a + b = -5 \)

Ayrıca \( P''(1) = 0 \) eşitliği de sağlanır.

\( P''(x) = 20x^3 + 2a = 0 \)

\( P''(1) = 20 + 2a = 0 \)

\( a = -10 \)

\( a \) değerini kullanarak diğer bilinmeyen değerlerini bulalım.

\( 2a + b = -5 \Longrightarrow b = 15 \)

\( a + b + c = -1 \Longrightarrow c = -6 \)

\( a \cdot b \cdot c = (-10) \cdot 15 \cdot (-6) = 900 \) bulunur.

-1 polinomun bir kökü olduğuna göre \( P(-1) = 0 \) olur.

\( P(-1) = (-1)^5 + a(-1)^4 - b(-1)^3 + c(-1)^2 - d(-1) \)

\( -1 + a + b + c + d = 0 \)

\( a + b + c + d = 1 \)

Katsayılar doğal sayı olarak verildiği için aralarından biri 1, diğerleri 0 olmalıdır.

4 katsayı içinden sıfır değerini alamayacak olan katsayıyı bulalım.

\( d = 0 \) olduğunu varsayalım.

\( P(x) = x^5 + ax^4 - bx^3 + cx^2 \)

Bu durumda polinom \( x^2 \) parantezine alınır ve çift katlı \( x = 0 \) kökü oluşur.

\( P(x) = x^2(x^3 + ax^2 - bx + c) \)

Bütün köklerin birbirinden farklı olduğu belirtildiği için \( d = 0 \) olamayacağı sonucuna varabiliriz, dolayısıyla \( d = 1 \), diğer katsayılar 0 olur.

\( a + b + c = 0 \) bulunur.