Özdeşlikler

Tam kare ifadelerin açılımı aşağıdaki gibidir.

\( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)

\( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \)

(a) seçeneği:

\( (2x^2 + 3y)^2 \)

\( = (2x^2)^2 + 2(2x^2)(3y) + (3y)^2 \)

\( = 4x^4 + 12x^2y + 9y^2 \)

(b) seçeneği:

\( (5x^3 - 2yz^2)^2 \)

\( = (5x^3)^2 - 2(5x^3)(2yz^2) + (2yz^2)^2 \)

\( = 25x^6 - 20x^3yz^2 + 4y^2z^4 \)

(c) seçeneği:

\( (3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})^2 \)

\( = (3\sqrt{2})^2 - 2(3\sqrt{2})(2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 \)

\( = 18 - 12\sqrt{6} + 12 \)

\( = 30 - 12\sqrt{6} \)

Tam kare ifadelerin açılımı aşağıdaki gibidir.

\( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)

\( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \)

(a) seçeneği:

\( (\sqrt{3x} + 5\sqrt{y})^2 \)

\( = (\sqrt{3x})^2 + 2(\sqrt{3x})(5\sqrt{y}) + (5\sqrt{y})^2 \)

\( = 3x + 10\sqrt{3xy} + 25y \)

(b) seçeneği:

\( (x^2 - \dfrac{2}{x})^2 \)

\( = (x^2)^2 - 2(x^2)(\dfrac{2}{x}) + (\dfrac{2}{x})^2 \)

\( = x^4 - 4x + \dfrac{4}{x^2} \)

(c) seçeneği:

\( (\sin{x} + \cos{x})^2 \)

\( = \sin^2{x} + 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} \)

\( = \underbrace{\sin^2{x} + \cos^2{x}}_\text{1} + \underbrace{2\sin{x}\cos{x}}_\text{sin(2x)} \)

\( = 1 + \sin(2x) \)

(d) seçeneği:

\( (\tan{x} + \cot{x})^2 \)

\( = \tan^2{x} + 2\tan{x}\cot{x} + \cot^2{x} \)

\( = \tan^2{x} + \cot^2{x} + 2\underbrace{\tan{x}\cot{x}}_\text{1} \)

\( = \tan^2{x} + \cot^2{x} + 2 \)

İki kare farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.

\( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \)

(a) seçeneği:

\( x^4y^6 - 25 \)

\( = (x^2y^3)^2 - 5^2 \)

\( = (x^2y^3 - 5)(x^2y^3 + 5) \)

(b) seçeneği:

\( a^2 - b \)

\( = a^2 - (\sqrt{b})^2 \)

\( = (a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) \)

(c) seçeneği:

\( 16x^4 - 9y^8 \)

\( = (4x^2)^2 - (3y^4)^2 \)

\( = (4x^2 - 3y^4)(4x^2 + 3y^4) \)

Birinci parantez için tekrar iki kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( = ((2x)^2 - (\sqrt{3}y^2)^2)(4x^2 + 3y^4) \)

\( = (2x - \sqrt{3}y^2)(2x + \sqrt{3}y^2)(4x^2 + 3y^4) \)

İki kare farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.

\( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \)

(a) seçeneği:

\( 4x^2 - (y + 3z)^2 \)

\( = (2x)^2 - (y + 3z)^2 \)

\( = (2x - (y + 3z))(2x + (y + 3z)) \)

\( = (2x - y - 3z)(2x + y + 3z) \)

(b) seçeneği:

\( 48x^3 - 75x \)

İfadeyi önce \( 3x \) parantezine alalım.

\( = 3x(16x^2 - 25) \)

\( = 3x((4x)^2 - 5^2) \)

\( = 3x(4x - 5)(4x + 5) \)

(c) seçeneği:

\( 938^2 - 937^2 \)

\( = (938 - 937)(938 + 937) \)

\( = (1)(1875) \)

\( = 1875 \)

(d) seçeneği:

\( \cos^4{x} - \sin^4{x} \)

\( = (\cos^2{x})^2 - (\sin^2{x})^2 \)

\( = (\cos^2{x} - \sin^2{x})(\underbrace{\cos^2{x} + \sin^2{x}}_\text{1}) \)

\( = \cos^2{x} - \sin^2{x} \)

Kosinüs iki kat açı formülünü kullanalım.

\( = \cos(2x) \)

Parantez küpü ifadelerinin açılımı aşağıdaki gibidir.

\( (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \)

\( (x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 \)

(a) seçeneği:

\( (4a + 5)^3 \)

\( = (4a)^3 + 3(4a)^2(5) + 3(4a)(5)^2 + (5)^3 \)

\( = 64a^3 + 3(16a^2)(5) + 3(4a)(25) + 125 \)

\( = 64a^3 + 240a^2 + 300a + 125 \)

(b) seçeneği:

\( (3x^2 - 2y^3)^3 \)

\( = (3x^2)^3 - 3(3x^2)^2(2y^3) + 3(3x^2)(2y^3)^2 - (2y^3)^3 \)

\( = 27x^6 - 3(9x^4)(2y^3) + 3(3x^2)(4y^6) - 8y^9 \)

\( = 27x^6 - 54x^4y^3 + 36x^24y^6 - 8y^9 \)

(c) seçeneği:

\( (2x - \dfrac{1}{x})^3 \)

\( = (2x)^3 - 3(2x)^2(\dfrac{1}{x}) + 3(2x)(\dfrac{1}{x})^2 - (\dfrac{1}{x})^3 \)

\( = 8x^3 - 3(4x^2)(\dfrac{1}{x}) + 3(2x)(\dfrac{1}{x^2}) - \dfrac{1}{x^3} \)

\( = 8x^3 - 12x + \dfrac{6}{x} - \dfrac{1}{x^3} \)

İki küp toplamı/farkı özdeşliği aşağıdaki gibidir.

\( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \)

\( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \)

(a) seçeneği:

\( x^3y^6 - 125 \)

\( = (xy^2)^3 - 5^3 \)

\( = (xy^2 - 5)((xy^2)^2 + (xy^2)(5) + 5^2) \)

\( = (xy^2 - 5)(x^2y^4 + 5xy^2 + 25) \)

(b) seçeneği:

\( x^3 + 64y \)

\( = x^3 + (4\sqrt[3]{y})^3 \)

\( = (x + 4\sqrt[3]{y})(x^2 - (x)(4\sqrt[3]{y}) + (4\sqrt[3]{y})^2) \)

\( = (x + 4\sqrt[3]{y})(x^2 - 4x\sqrt[3]{y} + 16\sqrt[3]{y^2}) \)

(c) seçeneği:

\( 8a^3 + \dfrac{27}{b^3} \)

\( = (2a)^3 + (\dfrac{3}{b})^3 \)

\( = (2a + \dfrac{3}{b})((2a)^2 - (2a)(\dfrac{3}{b}) + (\dfrac{3}{b})^2) \)

\( = (2a + \dfrac{3}{b})(4a^2 - \dfrac{6a}{b} + \dfrac{9}{b^2}) \)

(d) seçeneği:

\( \sin^3{x} - \cos^3{x} \)

\( = (\sin{x} - \cos{x})(\sin^2{x} + \sin{x}\cos{x} + \cos^2{x}) \)

\( = (\sin{x} - \cos{x})(\underbrace{\sin^2{x} + \cos^2{x}}_\text{1} + \sin{x}\cos{x}) \)

\( = (\sin{x} - \cos{x})(1 + \sin{x}\cos{x}) \)

İki kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( \dfrac{(121 - 79)(121 + 79)}{(57 - 43)(57 + 43)} \)

\( = \dfrac{42 \cdot 200}{14 \cdot 100} \)

\( = 3 \cdot 2 = 6 \) bulunur.

Paydadaki ifadeye iki kare farkı özdeşliğini uygulayalım.

\( \dfrac{1600 \cdot 1600}{(402 - 398)(402 + 398)} \)

\( = \dfrac{1600 \cdot 1600}{4 \cdot 800} \)

\( = 400 \cdot 2 = 800 \) bulunur.

İkinci eşitlikte iki kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( 4x^2 - y^2= (2x)^2 - y^2 = 32 \)

\( (2x - y)(2x + y) = 32 \)

\( 4(2x + y) = 32 \)

\( 2x + y = 8 \)

\( x \) ve \( y \) için elimizdeki iki bilinmeyenli iki denklemi çözelim.

\( 2x + y = 8 \)

\( 2x - y = 4 \)

Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım.

\( 4x = 12 \Longrightarrow x = 3 \)

\( 2(3) + y = 8 \Longrightarrow y = 2 \)

\( xy = 3 \cdot 2 = 6 \) bulunur.

(a) seçeneği:

\( 975^2 - 625 = 975^2 - 25^2 \)

\( (975 - 25)(975 + 25) \)

\( = 950 \cdot 1000 = 950000 \)

(b) seçeneği:

\( 2987 \cdot 3013 \)

\( = (3000 - 13)(3000 + 13) \)

\( = 3000^2 - 13^2 \)

\( = 9000000 - 169 = 8999831 \)

(c) seçeneği:

\( \sqrt{1496 \cdot 1504 + 16} \)

\( = \sqrt{(1500 - 4)(1500 + 4) + 16} \)

\( = \sqrt{1500^2 - 4^2 + 16} \)

\( = \sqrt{1500^2} = 1500 \)

Payı ve paydayı \( 2^2 - 1 \) ile çarpalım.

\( \dfrac{(2^{16} - 1)(2^2 - 1)}{(2^8 + 1)(2^4 + 1)(2^2 + 1)(2^2 - 1)} \)

Paydada en sondaki iki çarpanı iki kare farkı şeklinde yazabiliriz.

\( = \dfrac{(2^{16} - 1)(2^2 - 1)}{(2^8 + 1)(2^4 + 1)(2^4 - 1)} \)

Paydada en sondaki iki çarpana aynı işlemi iki kez daha uygulayabiliriz.

\( = \dfrac{(2^{16} - 1)(2^2 - 1)}{(2^8 + 1)(2^8 - 1)} \)

\( = \dfrac{(2^{16} - 1)(2^2 - 1)}{2^{16} - 1} \)

Pay ve paydadaki çarpanlar sadeleşir.

\( = 2^2 - 1 = 3 \) bulunur.

Eşitliğin iki tarafının karesini alalım.

\( (x + \dfrac{1}{x})^2 = (2\sqrt{3})^2 \)

\( x^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 12 \)

\( x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = 12 \)

İki taraftan 4 çıkarırsak ifade toplam karesi ifadesinden fark karesi ifadesine döner.

\( x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} = 12 - 4 = 8 \)

\( x^2 - 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 8 \)

\( (x - \dfrac{1}{x})^2 = 8 \)

İki tarafın karekökünü alalım.

\( x - \dfrac{1}{x} = 2\sqrt{2} \) bulunur.

Eşitliğin iki tarafının karesini alalım.

\( (a - \dfrac{1}{a})^2 = 3^2 \)

\( a^2 - 2 \cdot a \cdot \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2} = 9 \)

\( a^2 - 2 + \dfrac{1}{a^2} = 9 \)

\( a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 11 \)

Değeri istenen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( a^3 - \dfrac{1}{a^3} = (a - \dfrac{1}{a})(a^2 + a \cdot \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2} ) \)

\( = (a - \dfrac{1}{a})(a^2 + 1 + \dfrac{1}{a^2} ) \)

İfadelerin değerlerini yerine koyalım.

\( = (3)(11 + 1) = 36 \) bulunur.

Sayılara \( a \) ve \( b \) diyelim.

\( \dfrac{a^3 - b^3}{(a - b)^3} = \dfrac{25}{19} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 19(a^3 - b^3) = 25(a - b)^3 \)

İki küp farkı açılımını yazalım.

\( 19(a - b)(a^2 + ab + b^2) = 25(a - b)^3 \)

Sayıların küplerinin farkı ve farklarının küpü sıfırdan farklı olduğu için \( a \) ve \( b \) birbirinden farklı sayılardır, dolayısıyla \( a - b \) çarpanları sadeleşir.

\( 19(a^2 + ab + b^2) = 25(a - b)^2 \)

\( 19(a^2 + ab + b^2) = 25(a^2 - 2ab + b^2) \)

\( 19a^2 + 19ab + 19b^2 = 25a^2 - 50ab + 25b^2 \)

\( 6a^2 + 6b^2 = 69ab \)

\( a^2 + b^2 = \dfrac{23ab}{2} \)

Eşitliğin her iki tarafına \( 2ab \) ekleyerek denklemin sol tarafında tam kare özdeşliği elde edelim.

\( a^2 + 2ab + b^2 = \dfrac{27ab}{2} \)

\( (a + b)^2 = \dfrac{27ab}{2} \)

Soruda \( ab = 216 \) olarak veriliyor.

\( (a + b)^2 = \dfrac{27 \cdot 216}{2} \)

\( (a + b)^2 = 2916 \)

\( a + b = 54 \) bulunur.

Verilen eşitlikte iki kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( (a - (b + c))(a + (b + c)) = 13 \)

\( a, b, c \) tam sayılar olduğuna göre, bu sayıların toplamından ve farkından oluşan iki ifade de birer tam sayı olur. İki tam sayının çarpımı bir asal sayı olan 13 olduğu için, bu iki sayıdan biri 13, diğeri 1 olmalıdır. Bilinmeyenler pozitif tam sayı olduğu için, toplam içeren ifade daha büyük ve 13 olmalıdır.

\( a + (b + c) = 13 \)

\( a - (b + c) = 1 \)

İki eşitliği taraf tarafa toplayarak \( a \) değerini bulalım.

\( 2a = 14 \Longrightarrow a = 7 \)

\( a \) değerini kullanarak \( b + c \) değerini bulalım.

\( b + c = 6 \)

\( a(b + c) = 7 \cdot 6 = 42 \) bulunur.

Değeri sorulan ifadeye \( A \) diyelim.

\( x^3 + 3x^2 + 3x = A \)

İfadeyi parantez küp ifadesine benzetmek için iki tarafa 1 ekleyelim.

\( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = A + 1 \)

\( (x + 1)^3 = A + 1 \)

\( x \) değerini yerine koyalım.

\( (\sqrt[3]{10} - 1 + 1)^3 = A + 1 \)

\( (\sqrt[3]{10})^3 = 10 = A + 1 \)

\( A = 9 \) bulunur.

Değeri istenen ifadeyi düzenleyelim.

\( x^3 - 12x^2 + 48x - 68 = x^3 - 3 \cdot 4 \cdot x^2 + 3 \cdot 4^2 \cdot x - 4^3 - 4 \)

İfadenin son terim dışındaki kısmı parantez küp özdeşliğidir.

\( = (x - 4)^3 - 4 \)

\( x \)'i yerine koyalım.

\( = (4 + \sqrt[3]{5} - 4)^3 - 4 \)

\( = (\sqrt[3]{5})^3 - 4 \)

\( = 5 - 4 = 1 \) bulunur.

\( \dfrac{3^{x - y}}{3^{y - x}} = 81 \)

\( 3^{x - y - (y - x)} = 3^4 \)

\( 3^{2x - 2y} = 3^4 \)

Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.

\( 2x - 2y = 4 \)

\( x - y = 2 \)

Verilen eşitlikte iki kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 12 \)

\( 2(x + y) = 12 \)

\( x + y = 6 \)

\( x \) ve \( y \) için elimizdeki iki bilinmeyenli iki denklemi çözelim.

\( x - y = 2 \)

\( x + y = 6 \)

Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım.

\( 2x = 8 \Longrightarrow x = 4 \)

\( 4 + y = 6 \Longrightarrow y = 2 \)

\( xy = 4 \cdot 2 = 8 \) bulunur.

Verilen eşitliği düzenleyelim.

\( x^4 - x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 3x^2y^2 \)

\( = (x^2 + y^2)^2 - 3x^2y^2 = 541 \)

\( = (x^2 + y^2)^2 - 3(xy)^2 = 541 \)

\( (x^2 + y^2)^2 - 300 = 541 \)

\( (x^2 + y^2)^2 = 841 \)

İki tarafın karekökünü alalım.

\( \abs{x^2 + y^2} = 29 \)

İki karenin toplamı her zaman pozitif olacağı için mutlak değerli ifade dışarı işaret değiştirmeden çıkar.

\( x^2 + y^2 = 29 \) bulunur.

\( (a + b)^{-2} \cdot (ab^{-1} + ba^{-1} + 2) \)

\( = \dfrac{1}{(a + b)^2} \cdot (\dfrac{a}{b} + 2 + \dfrac{b}{a}) \)

\( = \dfrac{1}{(a + b)^2} \cdot (\dfrac{a^2}{ab} + \dfrac{2ab}{ab} + \dfrac{b^2}{ab}) \)

\( = \dfrac{1}{(a + b)^2} \cdot \dfrac{a^2 + 2ab + b^2}{ab} \)

\( = \dfrac{1}{(a + b)^2} \cdot \dfrac{(a + b)^2}{ab} \)

\( = \dfrac{1}{ab} \) bulunur.

Parantez içindeki ifadeleri düzenleyelim.

\( \dfrac{1 + 2a}{a} \cdot \dfrac{1 + 4a^2}{a^2} = \dfrac{609a}{1 - 2a} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( (1 - 2a)(1 + 2a)(1 + 4a^2) = 609a^4 \)

İlk iki çarpan için iki kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( (1^2 - (2a)^2)(1 + 4a^2) = 609a^4 \)

\( (1 - 4a^2)(1 + 4a^2) = 609a^4 \)

Tekrar iki kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( (1^2 - (4a^2)^2) = 609a^4 \)

\( 1 - 16a^4 = 609a^4 \)

\( 625a^4 = 1 \)

\( a^4 = \dfrac{1}{625} \)

\( a \) pozitif bir reel sayıdır.

\( a = \dfrac{1}{5} \) bulunur.

Köklü ifadelerle daha az işlem yapmak için değeri istenen ifadeyi düzenleyelim.

\( \dfrac{x^2 - 4xy + y^2}{x^2 + 8xy + y^2} = \dfrac{x^2 - 2xy + y^2 - 2xy}{x^2 + 2xy + y^2 + 6xy} \)

\( = \dfrac{(x - y)^2 - 2xy}{(x + y)^2 + 6xy} \)

İhtiyacımız olan terimleri elde edelim.

\( xy = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = 1 \)

Paydalar birbirinin eşleniği olduğundan toplama/çıkarma işleminden önce paydaları eşitleyelim.

\( x = \dfrac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} \)

\( = \dfrac{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2}{5 - 2} = \dfrac{7 - 2\sqrt{10}}{3} \)

\( y = \dfrac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} \)

\( = \dfrac{(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2}{5 - 2} = \dfrac{7 + 2\sqrt{10}}{3} \)

\( x - y = \dfrac{7 - 2\sqrt{10}}{3} - \dfrac{7 + 2\sqrt{10}}{3} = \dfrac{-4\sqrt{10}}{3} \)

\( x + y = \dfrac{7 - 2\sqrt{10}}{3} + \dfrac{7 + 2\sqrt{10}}{3} = \dfrac{14}{3} \)

Bulduğumuz ifadeleri yerlerine koyalım.

\( \dfrac{(x - y)^2 - 2xy}{(x + y)^2 + 6xy} = \dfrac{(\frac{-4\sqrt{10}}{3})^2 - 2(1)}{(\frac{14}{3})^2 + 6(1)} \)

\( = \dfrac{\frac{160}{9} - 2}{\frac{196}{9} + 6} = \dfrac{\frac{142}{9}}{\frac{250}{9}} \)

\( = \dfrac{142}{250} = \dfrac{71}{125} \) bulunur.

\( x^4 - \frac{1}{x^4} \) ifadesini çarpanlarına ayırarak en sade haline getirelim.

\( (x^2 - \dfrac{1}{x^2})(x^2 + \dfrac{1}{x^2}) \)

\( = (x - \dfrac{1}{x})(x + \dfrac{1}{x})(x^2 + \dfrac{1}{x^2}) \)

\( x^2 + \frac{1}{x^2} \) ifadesini elde etmek için soruda verilen eşitliğin taraflarının karesini alalım.

\( (x - \dfrac{1}{x})^2 = 4^2 \)

\( x^2 - 2 + \dfrac{1}{x^2} = 16 \)

\( x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 18 \)

\( x + \dfrac{1}{x} \) ifadesini elde etmek için parantez karesi özdeşliğini kullanalım.

\( (x + \dfrac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} \)

\( = 18 + 2 = 20 \)

Eşitliğin iki tarafının karekökünü alalım.

\( \abs{x + \dfrac{1}{x}} = 2\sqrt{5} \)

\( x \) pozitif bir reel sayı olduğuna göre, \( x + \dfrac{1}{x} \) toplamı da pozitiftir.

\( x + \dfrac{1}{x} = 2 \sqrt{5} \)

Bulduğumuz değerleri yerine koyalım.

\( (x - \dfrac{1}{x})(x + \dfrac{1}{x})(x^2 + \dfrac{1}{x^2}) \)

\( = 4 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 18 = 144\sqrt{5} \) bulunur.

İfadede \( a = \sqrt{21} + 4 \) yazalım.

\( (\sqrt{21} + 4 - 2)(\sqrt{21} + 4 - 3)(\sqrt{21} + 4 - 4)(\sqrt{21} + 4 - 5)(\sqrt{21} + 4 - 6) \)

\( = (\sqrt{21} + 2)(\sqrt{21} + 1)(\sqrt{21})(\sqrt{21} - 1)(\sqrt{21} - 2) \)

Birinci ile beşinci, ikinci ile dördüncü çarpanlar arasında kare farkı özdeşliğini kullanalım.

\( = ((\sqrt{21})^2 - 2^2)((\sqrt{21})^2 - 1^2)(\sqrt{21}) \)

\( = (21 - 4)(21 - 1)(\sqrt{21}) \)

\( = 340\sqrt{21} \) bulunur.

Verilen bilgileri kullanarak daha sade ifadelere ulaşmaya çalışalım.

\( (x - y)^3 = 64 \Longrightarrow x - y = 4 \)

Parantez küpü ifadesinin açılımını yazalım.

\( x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = 64 \)

\( x^3 - 3xy(x - y) - y^3 = 64 \)

\( xy \) ve \( x - y \) ifadelerinin değerlerini yerine koyalım.

\( x^3 - y^3 - 3(-3)(4) = 64 \)

\( x^3 - y^3 + 36 = 64 \)

\( x^3 - y^3 = 28 \)

Soruda verilen ilk denklemi düzenleyelim.

\( x^6 + 2x^3y^3 + y^6 + x^3y^3 = 649 \)

İlk 3 terimi parantez karesi şeklinde yazalım.

\( (x^3 + y^3)^2 + x^3y^3 = 649 \)

\( (x^3 + y^3)^2 + (xy)^3 = 649 \)

\( (x^3 + y^3)^2 + (-3)^3 = 649 \)

\( (x^3 + y^3)^2 = 676 \)

Eşitliğin iki tarafının karekökünü alalım.

\( \abs{x^3 + y^3} = 26 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( x^3 + y^3 = 26 \)

Bu denklemi yukarıda bulduğumuz \( x^3 - y^3 = 28 \) denklemi ile ortak çözelim.

\( y^3 = -1 \Longrightarrow y = -1 \)

Durum 2:

\( x^3 + y^3 = -26 \)

Bu denklemi yukarıda bulduğumuz \( x^3 - y^3 = 28 \) denklemi ile ortak çözelim.

\( y^3 = -27 \Longrightarrow y = -3 \)

\( y \)'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı \( -1 + (-3) = -4 \) olarak bulunur.

Küp farkı özdeşliğini yazalım.

\( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \)

Bu özdeşlikte \( x = 2a \) ve \( y = 1 \) koyalım.

\( (2a)^3 - 1^3 = (2a - 1)((2a)^2 + 2a + 1^2) \)

\( 8a^3 - 1 = (2a - 1)(4a^2 + 2a + 1) \)

\( 4a^2 + 2a + 1 = 0 \) olduğu biliniyor.

\( 8a^3 - 1 = (2a - 1)(0) = 0 \)

\( 8a^3 = 1 \)

\( a^3 = \dfrac{1}{8} \)

Değeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.

\( (a^6 - \dfrac{1}{64})^\sqrt{13} = ((a^3)^2 - \dfrac{1}{64})^\sqrt{13}\)

\( a^3 = \frac{1}{8} \) yazalım.

\( = ((\dfrac{1}{8})^2 - \dfrac{1}{64})^\sqrt{13} = (\dfrac{1}{64} - \dfrac{1}{64})^\sqrt{13} \)

\( = 0^\sqrt{13} = 0 \) bulunur.

Soruda istenen ifadeyi inceleyelim.

\( a^3 + \dfrac{8}{27a^3} = a^3 + (\dfrac{2}{3a})^3 \)

Verilen eşitliğin taraflarını 4'e bölelim.

\( a + \dfrac{2}{3a} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \)

İki küp toplamı özdeşliğini kullanalım.

\( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \)

\( x^2 + y^2 \) ifadesini parantez karesi özdeşliğini kullanarak yeniden yazalım.

\( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)

\( x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy \)

Buna göre iki küp toplamı özdeşliğini aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

\( x^3 + y^3 = (x + y)((x + y)^2 - 3xy) \)

Bu özdeşlikte \( x = a \) ve \( y = \frac{2}{3a} \) yazarsak soruda istenen ifadeyi elde ederiz.

\( a^3 + (\dfrac{2}{3a})^3 = (a + \dfrac{2}{3a})((a + \dfrac{2}{3a})^2 - 3a\dfrac{2}{3a}) \)

\( a^3 + \dfrac{8}{27a^3} = (\dfrac{1}{2})((\dfrac{1}{2})^2 - 2) \)

\( = \dfrac{1}{2}(-\dfrac{7}{4}) = -\dfrac{7}{8} \) bulunur.

Denklemi düzenleyerek bir özdeşlik elde etmeye çalışalım.

\( x^4 + \dfrac{4^2}{x^4} = 433 \)

Eşitliğin iki tarafına 8 ekleyelim.

\( x^4 + \dfrac{4^2}{x^4} + 8 = 441 \)

İfadeyi parantez karesinin açılımına benzetelim.

\( x^4 + 2 \cdot x^2 \cdot \dfrac{4}{x^2} + \dfrac{4^2}{x^4} = 441 \)

\( (x^2 + \dfrac{4}{x^2})^2 = 441 \)

Eşitliğin iki tarafının karekökünü alalım.

\( \abs{x^2 + \dfrac{4}{x^2}} = 21 \)

Bir sayının karesi her zaman pozitif olduğu için mutlak değerli ifade her zaman pozitif olur.

\( x^2 + \dfrac{4}{x^2} = 21 \)

Elde ettiğimiz eşitliğin iki tarafına 4 ekleyelim.

\( x^2 + \dfrac{2^2}{x^2} + 4 = 25 \)

İfadeyi parantez karesinin açılımına benzetelim.

\( x^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{2}{x} + \dfrac{2^2}{x^2} = 25 \)

\( (x + \dfrac{2}{x})^2 = 25 \)

Eşitliğin iki tarafının karekökünü alalım.

\( \abs{x + \dfrac{2}{x}} = 5 \)

\( x \) sıfırdan büyük olduğu için mutlak değer içindeki ifade de pozitif olur.

\( x + \dfrac{2}{x} = 5 \)

\( \dfrac{x^2 + 2}{x} = 5 \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( x^2 + 2 = 5x \)

\( x^2 - 5x + 2 = 0 \)

Soruda istenen ifadeyi elde etmek için eşitliğin iki tarafına 2 ekleyelim.

\( x^2 - 5x + 4 = 2 \) bulunur.

Her tek sayı, bir ya da birden fazla şekilde iki kare farkı şeklinde yazılabilir.

\( a \) ve \( b \), toplamları \( c \) olan ardışık iki sayı olmak üzere,

\( c = a^2 - b^2 \)

\( = (a - b)(a + b) = a + b \)

\( 33 = 17^2 - 16^2 \)

\( = (17 - 16)(17 + 16) \)

4'e tam bölünen her çift sayı, bir ya da birden fazla şekilde iki kare farkı şeklinde yazılabilir.

\( a \) ve \( b \), toplamları \( c \)'nin yarısı ve farkları iki olan iki sayı olmak üzere,

\( c = a^2 - b^2 \)

\( = (a - b)(a + b) = 2(a + b) \)

\( 32 = 9^2 - 7^2 \)

\( = (9 - 7)(9 + 7) \)

Bu iki kuralı verilen sayılara uygulayalım.

355 bir tek sayı olduğu için iki kare farkı şeklinde yazılabilir.

\( 355 = (178 - 177)(178 + 177) \)

\( = 178^2 - 177^2 \)

497 bir tek sayı olduğu için iki kare farkı şeklinde yazılabilir.

\( 497 = (249 - 248)(249 + 248) \)

\( = 249^2 - 248^2 \)

556 4'e tam bölünen bir çift sayı olduğu için iki kare farkı şeklinde yazılabilir.

\( 556 = (140 - 138)(140 + 138) \)

\( = 140^2 - 138^2 \)

802 4'e tam bölünen bir çift sayı olmadığı için iki kare farkı şeklinde yazılamaz.