Özdeşliklerin Geometrik İspatı
Bu bölümde önceki bölümde bahsettiğimiz özdeşliklerden dördünün ispatını geometrik olarak göstereceğiz.
İki Sayının Toplamının Karesi
Aşağıda bir kenar uzunluğu \( a + b \) birim olan ve kenarları \( a \) ve \( b \) birim olmak üzere iki parçaya ayrılmış bir kare verilmiştir. Bu karenin alan formülünü yazalım ve kareyi oluşturan dört küçük parçanın alanları toplamına eşitleyelim.
Büyük karenin alanı: \( (a + b)^2 \)
Dört küçük dörtgenin alanları toplamı: \( a^2 + ab + ab + b^2 \)
Büyük karenin alanının küçük alanların toplamına eşitliği iki sayının toplamının karesi özdeşliğini verir.
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
İki Sayının Farkının Karesi
Aşağıda bir kenar uzunluğu \( a \) birim olan bir büyük kare ve içinde bir kenar uzunluğu \( b \) birim olan bir küçük kare verilmiştir. Renkli küçük karenin alan formülünü yazalım ve dıştaki büyük karenin alanı ile beyaz üç dörtgenin alanları farkına eşitleyelim.
Renkli karenin alanı: \( (a - b)^2 \)
Büyük karenin alanı: \( a^2 \)
Beyaz üç dörtgenin alanları toplamı: \( b^2 + b(a - b) + b(a - b) \)
Büyük karenin alanının beyaz alanlardan farkının renkli karenin alanına eşitliği iki sayının farkının karesi özdeşliğini verir.
\( (a - b)^2 = a^2 - b^2 - 2b(a - b) \)
\( (a - b)^2 = a^2 - b^2 - 2ab + 2b^2 \)
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
İki Sayının Karesinin Farkı
Aşağıda bir kenar uzunluğu \( a \) birim olan bir büyük kare ve içinde bir kenar uzunluğu \( b \) birim olan bir küçük kare verilmiştir. Renkli işaretlenmiş üç dörtgenin alan formülünü yazalım ve büyük kare ile küçük karenin alanları farkına eşitleyelim.
Büyük karenin alanı: \( a^2 \)
Küçük karenin alanı: \( b^2 \)
Renkli üç dörtgen: \( (a - b)^2 + b(a - b) + b(a - b) \)
Büyük kareden küçük karenin alanını çıkarıp renkli üç dörtgenin alanları toplamına eşitleyelim.
\( a^2 - b^2 = (a - b)^2 + 2b(a - b) \)
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a - b) + 2b(a - b) \)
İfadenin sağ tarafını \( (a - b) \) parantezine alırsak iki sayının kare farkı özdeşliğini elde ederiz.
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a - b + 2b) \)
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \)
Toplam Karesinin Fark Karesinden Farkı
Aşağıda bir kenar uzunluğu \( a + b \) birim olan bir büyük kare ve içinde kenar uzunlukları \( a \) ve \( b \) birim olan dört küçük dikdörtgen verilmiştir. Renkli işaretlenmiş dört dikdörtgenin alan formülünü büyük kare ile küçük karenin alanları farkı şeklinde yazalım.
Büyük karenin alanı: \( (a + b)^2 \)
Küçük (beyaz) karenin alanı: \( (a - b)^2 \)
Renkli dört dikdörtgenin alanı: \( 4ab \)
Büyük kareden küçük karenin alanını çıkarıp renkli dört dikdörtgenin alanları toplamına eşitleyelim.
\( (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab \)