Parabol ve Doğrunun Birbirine Göre Durumu

Verilen parabol ve doğru birbirine teğet olduğuna göre, denklemlerinin ortak çözümünden elde edilen 2. dereceden denklemin tek reel kökü olmalıdır, yani deltası sıfır olmalıdır.

\( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 2x + m + 2 = x - 1 \)

\( x^2 - 3x + m + 3 = 0 \)

Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = m + 3 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)

\( (-3)^2 - 4(1)(m + 3) = 0 \)

\( 9 - 4m - 12 = 0 \)

\( m = -\dfrac{3}{4} \) bulunur.

Verilen parabol ve doğru kesişmiyorlarsa denklemlerini ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin deltası sıfırdan küçük olur, yani denklemin reel kökü yoktur.

\( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.

\( 2x^2 - 3x + 1 = x + k \)

\( 2x^2 - 4x + 1 - k = 0 \)

Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 2, \quad b = -4, \quad c = 1 - k \)

\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)

\( (-4)^2 - 4(2)(1 - k) \lt 0 \)

\( 16 - 8 + 8k \lt 0 \)

\( k \lt -1 \)

Buna göre \( k \)'nın alabileceği en büyük tam sayı değeri \( -2 \) olur.

Verilen parabol ve doğru birbirine teğet ise tek bir noktada kesişirler, dolayısıyla ortak çözümlerinden elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin deltası sıfır olmalıdır.

\( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - mx + m + 2 = mx + 2 \)

\( x^2 - 2mx + m = 0 \)

Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -2m, \quad c = m \)

\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)

\( (-2m)^2 - 4(1)(m) = 0 \)

\( 4m^2 - 4m = 0 \)

\( 4m(m - 1) = 0 \)

\( m \)'nin alabileceği değerler bu denklemin çarpanlarını sıfır yapan değerlerdir.

\( m \in \{0, 1\} \) bulunur.

Parabol ve doğru kesişmiyorlarsa iki denklemi ortak çözdüğümüzde elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemin deltası sıfırdan küçük olmalıdır.

\( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 + mx + 4 = x - 5 \)

\( x^2 + (m - 1)x + 9 = 0 \)

Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = m - 1, \quad c = 9 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac \lt 0 \)

\( (m - 1)^2 - 4(1)(9) \lt 0 \)

\( (m - 1)^2 - 6^2 \lt 0 \)

\( (m - 1 - 6)(m - 1 + 6) \lt 0 \)

\( (m - 7)(m + 5) \lt 0 \)

\( -5 \lt m \lt 7 \)

Buna göre \( m \)'nin alabileceği \( 6 - (-4) + 1 = 11 \) tam sayı değer vardır.

\( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 + 5 = 6x \)

\( x^2 - 6x + 5 = 0 \)

\( (x - 1)(x - 5) = 0 \)

\( x \in \{1, 5\} \)

Buna göre parabol ve doğru bu iki apsis değerli noktalarda kesişir.

Bu iki \( x \) değerini doğru denkleminde yerine koyarak kesişim noktalarını bulalım.

\( y = 6(1) = 6 \)

\( y = 6(5) = 30 \)

Buna göre parabol ve doğrunun kesişim noktaları \( P_1(1, 6) \) ve \( P_2(5, 30) \) olarak bulunur.

İki nokta arasındaki uzaklığı bulalım.

\( \abs{P_1P_2} = \sqrt{(30 - 6)^2 + (5 - 1)^2} \)

\( = \sqrt{592} = 4\sqrt{37} \) birim bulunur.

İki denklemi ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin reel kökleri iki grafiğin kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.

\( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 4x + 11 = 2x + 5 \)

\( x^2 - 6x + 6 = 0 \)

Bu denklemin deltası sıfırdan büyük olduğu için iki reel kökü vardır, dolayısıyla (grafikte de görebileceğimiz gibi) doğru parabolü iki farklı noktada keser.

Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -6, \quad c = 6 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( (-6)^2 - 4(1)(6) \gt 0 \)

Soruda istenen kesişim noktalarının apsis değerlerinin çarpımı, ortak çözümle elde ettiğimiz denklemin kökler çarpımına eşittir.

Denklemin kökler çarpımını bulalım.

\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{6}{1} = 6 \) bulunur.

Verilen parabol ve doğru denklemlerini ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin reel kökleri bu iki grafiğin kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.

\( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 4x + 3 = x + 1 \)

\( x^2 - 5x + 2 = 0 \)

Bu denklemin deltası sıfırdan büyük olduğu için denklemin iki reel kökü vardır, dolayısıyla doğru parabolü iki farklı noktada keser.

Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -5, \quad c = 2 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( (-5)^2 - 4(1)(2) \gt 0 \)

Soruda istenen kesişim noktalarının apsis değerlerinin toplamı, ortak çözümle elde ettiğimiz denklemin kökler toplamına eşittir.

Denklemin kökler toplamını bulalım.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-5}{1} = 5 \) bulunur.

Parabol ve doğru denklemlerini ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz ikinci dereceden denklemin kökleri parabol ve doğrunun kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.

\( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.

\( mx^2 + 2x + 3 = mx + n \)

\( mx^2 + (2 - m)x + 3 - n = 0 \)

Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = m, \quad b = 2 - m, \quad c = 3 - n \)

Kesişim noktalarının apsisler toplamının, yani denklemin kökler toplamının 3 olduğunu biliyoruz.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2 - m}{m} = 3 \)

\( -2 + m = 3m \)

\( m = -1 \) bulunur.

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2(1)} = 1 \)

Buna göre parabol ve doğru \( x = 1 \) apsisli noktada kesişirler ve bu noktada ordinat değerleri eşittir.

Parabolün \( x = 1 \) apsisli noktadaki değerini bulalım.

\( f(1) = 1^2 - 2(1) + m = m - 1 \)

Doğrunun \( x = 1 \) apsisli noktadaki değerini bulalım.

\( y = 2(1) + 3 = 5 \)

İki ordinat değerini birbirine eşitleyelim.

\( 5 = m - 1 \)

\( m = 6 \) bulunur.

\( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.

\( (x - 2)^2 = mx - 5 \)

\( x^2 - 4x + 4 = mx - 5 \)

\( x^2 - (m + 4)x + 9 = 0 \)

Verilen doğrunun parabolü en az bir noktada kesmesi için bu denklemin en az bir reel kökü olmalıdır, dolayısıyla denklemin deltası sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olmalıdır.

Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -(m + 4), \quad c = 9 \)

\( \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 \)

\( [-(m + 4)]^2 - 4(1)(9) \ge 0 \)

\( (m + 4)^2 - 6^2 \ge 0 \)

\( (m + 4 - 6)(m + 4 + 6) \ge 0 \)

\( (m - 2)(m + 10) \ge 0 \)

Bu eşitsizlik her iki çarpanı sıfır yapan değerlerin arasındaki aralık hariç tüm reel sayılarda sağlanır.

\( m \in (-\infty, -10] \cup [2, \infty) \) bulunur.

\( ax + by + c = 0 \) şeklinde kapalı denklemi verilen bir doğrunun eğimi \( m = -\frac{a}{b} \) olur.

Soruda verilen doğrunun eğimini bulalım.

\( m = -\dfrac{1}{-2} = \dfrac{1}{2} \)

Dik doğruların eğimleri çarpımı \( -1 \) olduğu için bu doğruya dik ve parabole teğet olan doğrunun eğimi \( m = -2 \) olur.

Buna göre parabole teğet olan doğrunun denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( y = mx + c = -2x + c \)

Verilen parabol ve doğru birbirine teğet olduğuna göre, bu iki denklemin ortak çözümünden elde edilen ikinci dereceden denklemin tek reel kökü vardır ve denklemin deltası sıfırdır.

\( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.

\( -4x^2 + 6x + 3 = -2x + c \)

\( -4x^2 + 8x + 3 - c = 0 \)

Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = -4, \quad b = 8, \quad c = 3 - c \)

\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)

\( 8^2 - 4(-4)(3 - c) = 0 \)

\( 64 + 48 - 16c = 0 \)

\( c = 7 \)

Parabole teğet olan doğrunun denklemi \( y = -2x + 7 \) olarak bulunur.

Verilen parabol ve doğru denklemlerini ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz ikinci derecede denklemin reel kökleri bu iki grafiğin kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.

\( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 5x + 2 = 6 - x \)

\( x^2 - 4x - 4 = 0 \)

Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -4, \quad c = -4 \)

Parabol ve doğrunun kesişim noktalarına \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \), orta noktalarına \( C \) diyelim.

\( C \) noktasının koordinatlarını aşağıdaki orta nokta formülü ile bulabiliriz.

\( C(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}) \)

\( x_1 + x_2 \) toplamı, ortak çözümle elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemin kökler toplamına eşittir.

\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-4}{1} = 4 \)

\( C(2, \dfrac{y_1 + y_2}{2}) \)

\( C \) noktası iki kesişim noktasını birleştiren \( y = 6 - x \) doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlar.

Doğru denkleminde \( x = 2 \) koyalım.

\( y = 6 - x = 6 - 2 = 4 \)

\( C(2, 4) \) bulunur.

Verilen parabol ve doğru denklemlerini ortak çözdüğümüzde elde edeceğimiz ikinci derecede denklemin reel kökleri bu iki grafiğin kesişim noktalarının apsis değerlerini verir.

\( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 4x - 2 = ax + b \)

\( x^2 - (4 + a)x - 2 - b = 0 \)

Ortak çözümle elde ettiğimiz parabolün katsayılarını yazalım.

\( a = 1, \quad b = -(4 + a), \quad c = -2 - b \)

Parabol ve doğrunun kesişim noktalarına \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) diyelim.

\( C \) noktasının koordinatlarını aşağıdaki orta nokta formülü ile bulabiliriz.

\( C(\dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2}) = C(3, 4) \)

\( x_1 + x_2 \) toplamı, ortak çözümle elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemin kökler toplamına eşittir.

\( \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{-\frac{b}{a}}{2} \)

\( = \dfrac{-\frac{-(4 + a)}{1}}{2} = 3 \)

\( a = 2 \)

Buna göre doğrunun denklemi aşağıdaki gibi olur.

\( y = 2x + b \)

\( C(3, 4) \) noktası \( A \) ve \( B \) noktalarını birleştiren doğrunun üzerinde olduğu için noktanın koordinatları doğru denklemini sağlar.

\( 4 = 2(3) + b \)

\( b = -2 \) bulunur.

Parabol ile doğrunun denklemlerini birbirine eşitleyerek kesişim noktalarının koordinatlarını bulalım.

\( x^2 + 5 = -x + 7 \)

\( x^2 + x - 2 = 0 \)

\( (x + 2)(x - 1) = 0 \)

Buna göre doğru ve parabol \( x = -2 \) ve \( x = 1 \) apsisli noktalarda kesişir.

Bu değerleri \( y = -x + 7 \) doğru denkleminde yerine koyarak \( A \) ve \( B \) noktalarının ordinat değerlerini bulalım.

\( x = -2 \) için:

\( y = -(-2) + 7 = 9 \)

\( A(-2, 9) \)

\( x = 1 \) için:

\( y = -1 + 7 = 6 \)

\( B(1, 6) \)

\( \abs{AD} = 9, \abs{BC} = 6, \abs{DC} = 3 \)

Bu uzunlukları kullanarak \( ABCD \) dik yamuğunun alanını hesaplayalım.

\( A(ABCD) = \dfrac{(\abs{AD} + \abs{BC}) \cdot \abs{CD}}{2} \)

\( = \dfrac{(9 + 6) \cdot 3}{2} \)

\( = \dfrac{45}{2} \) bulunur.

Eksenleri \( (x_1, 0) \) ve \( (0, y_2) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.

\( \dfrac{x}{x_1} + \dfrac{y}{y_2} = 1 \)

\( \dfrac{x}{-1} + \dfrac{y}{-4} = 1 \)

\( y = -4x - 4 \)

Parabolün ve doğrunun denklemlerinin ortak çözümü, kesişimleri olan \( A(p, k) \) noktasının apsis değerini verir.

\( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 = -4x - 4 \)

\( p^2 = -4p - 4 \)

\( p^2 + 4p + 4 = 0 \)

\( (p + 2)^2 = 0 \)

\( p = -2 \)

\( p \) değerini parabol ya da doğru denkleminde yerine koyarak \( A \) noktasının ordinat değerini bulalım.

\( k = -4p - 4 = -4(-2) - 4 = 4 \)

\( A(p, k) = A(-2, 4) \)

Buna göre \( p + k = -2 + 4 = 2 \) bulunur.

\( y = 2 \) ve \( y = -1 \) doğrularının ordinat değerlerini parabol denkleminde yerine yazarak parabol ve doğruların kesişim noktalarının apsislerini bulalım.

\( A \) ve \( B \) noktalarının apsislerini bulmak için parabol denkleminde \( y = 2 \) yazalım.

\( x^2 - 2 = 2 \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = \pm 2 \)

\( A(-2, 2) \)

\( B(2, 2) \)

\( C \) ve \( D \) noktalarının apsislerini bulmak için parabol denkleminde \( y = -1 \) yazalım.

\( x^2 - 2 = -1 \)

\( x^2 = 1 \)

\( x = \pm 1 \)

\( C(1, -1) \)

\( D(-1, -1) \)

\( ABCD \) yamuğunun yüksekliği \( y = 2 \) ve \( y = -1 \) doğruları arasındaki dikey mesafedir.

\( h = 2 - (-1) = 3 \)

\( A(ABCD) = \dfrac{(\abs{AB} + \abs{DC}) \cdot h}{2} \)

\( = \dfrac{(4 + 2) \cdot 3}{2} = 9 \) bulunur.

Parabol ve doğrunun kesiştikleri \( A \) noktasının koordinatlarını bulalım.

\( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.

\( (x - 2)^2 = -x + 8 \)

\( x^2 - 4x + 4 = -x + 8 \)

\( x^2 - 3x - 4 = 0 \)

\( (x + 1)(x - 4) = 0 \)

Buna göre doğru ve parabol \( x = -1 \) ve \( x = 4 \) apsisli noktalarda kesişirler.

\( A \) noktası II. bölgede yer aldığı için apsisi \( -1 \)' dir.

\( A \) noktasının ordinatını bulmak için iki denklemden birinde \( x = -1 \) yazalım.

\( y = -(-1) + 8 = 9 \)

\( A(-1, 9) \)

\( B \) noktasının koordinatları için parabolün tepe noktasını bulalım.

Parabolün tepe noktası \( x \) ekseni üzerinde olduğu için denklemde \( y = 0 \) yazalım.

\( 0 = (x - 2)^2 \)

\( x = 2 \)

\( B(2, 0) \)

\( C \) noktasının apsisini bulmak için doğru denkleminde \( y = 0 \) koyalım.

\( 0 = -x + 8 \Longrightarrow x = 8 \)

\( C(8, 0) \)

\( ABC \) üçgeninin alanını bulmak için \( [BC] \) kenarını ve bu kenara ait yüksekliği kullanalım.

\( A(ABC) = \dfrac{\abs{BC} \cdot \abs{DA}}{2} \)

\(= \dfrac{(8 - 2) \cdot 9}{2} = 27 \) bulunur.

\( d \) doğrusunun denklemini aşağıdaki şekilde tanımlayalım.

\( d: y = ax + b \)

\( d \) doğrusu \( y \) eksenini \( (0, 5) \) noktasında kestiği için sabit terimi 5'tir.

\( d: y = ax + 5 \)

\( d \) doğrusu aynı zamanda \( (2, 7) \) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatlarını yazarak \( a \)'yı bulalım.

\( 7 = 2a + 5 \Longrightarrow a = 1 \)

\( d: y = x + 5 \)

Parabolün denklemini aşağıdaki şekilde tanımlayalım.

\( f(x) = x^2 + bx + c \)

Parabol \( y \) eksenini \( (0, -9) \) noktasında kestiği için sabit terimi \( -9 \)'dur.

\( f(x) = x^2 + bx - 9 \)

Parabolün simetri ekseni \( (2, 7) \) noktasından geçtiğine göre, tepe noktasının apsis değeri 2'dir.

Parabolün tepe noktasına \( T(r, k) \) diyelim.

\( r = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{b}{2(1)} = 2 \)

\( b = -4 \)

\( f(x) = x^2 - 4x - 9 \)

\( A \) ve \( B \) noktalarını bulmak için her iki denklemi ortak çözelim.

\( x^2 - 4x - 9 = x + 5 \)

\( x^2 - 5x - 14 = 0 \)

\( (x + 2)(x - 7) = 0 \)

Buna göre parabol ve doğru \( A(-2, m) \) ve \( B(7, n) \) noktalarında kesişir. Bu noktaların ordinat değerlerini bulmak için apsis değerlerini iki denklemden birinde yerine koyalım.

\( y = m = -2 + 5 = 3 \)

\( y = n = 7 + 5 = 12 \)

Buna göre kesişim noktalarının ordinat değerlerinin çarpımı \( 3 \cdot 12 = 36 \) olarak bulunur.

Tepe noktası \( T(r, k) \) olan ve geçtiği bir noktası bilinen parabolün denklemini bulalım.

\( f(x) = a(x - r)^2 + k \)

\( = a(x + 2)^2 + 5 \)

\( (0, 1) \) noktası parabol üzerinde olduğuna göre koordinatları denklemi sağlar.

\( a(0 + 2)^2 + 5 = 1 \)

\( a = -1 \)

\( f(x) = -(x + 2)^2 + 5 \)

Apsisleri ordinatlarından 5 birim fazla olan noktalar \( y = x - 5 \) doğrusu üzerinde yer alır.

\( A \) ve \( B \) noktaları \( y = x - 5 \) doğrusu ile \( f(x) \) parabolü üzerinde yer aldığına göre doğru ve parabolun kesişim noktalarıdır.

\( y \) değerlerini eşitleyerek iki denklemi ortak çözelim.

\( -(x + 2)^2 + 5 = x - 5 \)

\( -x^2 - 4x - 4 + 5 = x - 5 \)

\( x^2 + 5x - 6 = 0 \)

\( (x + 6)(x - 1) = 0 \)

Buna göre doğru ve parabol \( x = -6 \) ve \( x = 1 \) apsisli noktalarda kesişir.

Apsisi -6 olan noktaya \( A \), 1 olan noktaya \( B \) diyelim.

Bu noktaların ordinatlarını bulmak için \( x \) değerlerini doğru denkleminde yerine yazalım.

\( x = -6 \) için:

\( y = -6 - 5 = -11 \)

\( A(-6, -11) \)

\( x = 1 \) için:

\( y = 1 - 5 = -4 \)

\( B(1, -4) \)

\( \abs{AB} \) uzunluğunu bulalım.

\( \abs{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

\( = \sqrt{(1 - (-6))^2 + (-4 - (-11))^2} \)

\( = \sqrt{7^2 + 7^2} = 7\sqrt{2} \) bulunur.

\( d \) doğrusunun \( y \) eksenini kestiği noktanın ordinatına \( k \) diyelim.

\( B(0, k) \)

\( d \) doğrusunun ve \( f \) parabolünün denklemlerini bulalım.

Eksenleri \( (x_1, 0) \) ve \( (0, y_2) \) noktalarında kesen doğrunun denklemi aşağıdaki formülle bulunur.

\( \dfrac{x}{x_1} + \dfrac{y}{y_2} = 1 \)

\( \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{k} = 1 \)

\( y = -\dfrac{k}{4}x + k \)

\( f \) parabolünün denklemini bulmak için \( x \) eksenini kestiği iki nokta bilinen parabol denklemini kullanalım.

\( f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \)

\( f(x) = a(x + 3)(x + 1) \)

\( f \) parabolü ile \( d \) doğrusunun kesişim noktalarını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.

\( (1 - \dfrac{x}{4})k = a(x + 1)(x + 3) \)

\( B(0, k) \) noktası bu kesişim noktalarından biri olduğu için koordinatları bu eşitliği sağlar.

\( (1 - \dfrac{0}{4})k = a(0 + 1)(0 + 3) \)

\( k = 3a \)

Bu değeri iki denklemin ortak çözüm denkleminde yerine koyalım.

\( (1 - \dfrac{x}{4})3a = a(x + 1)(x + 3) \)

\( 3 - \dfrac{3x}{4} = x^2 + 4x + 3 \)

\( 12 - 3x = 4x^2 + 16x + 12 \)

\( 4x^2 + 19x = 0 \)

\( x(4x + 19) = 0 \)

\( x = -\dfrac{19}{4} \) ya da \( x = 0 \)

\( f \) parabolü ile \( d \) doğrusu \( x = -\frac{19}{4} \) ve \( x = 0 \) apsisli noktalarda kesişir.

\( A \) noktasının apsisi \( -\frac{19}{4} \) olarak bulunur.

İki parabole de teğet olan doğrunun denklemine \( y = mx + c \) diyelim.

\( y = x^2 \) parabolü ile teğet doğru denklemini ortak çözelim.

\( x^2 = mx + c \)

\( x^2 - mx - c = 0 \)

Doğrunun parabole teğet olabilmesi için bu denklemin deltası sıfır olmalıdır.

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

\( (-m)^2 - 4(1)(-c) = 0 \)

\( m^2 + 4c = 0 \)

\( c = -\dfrac{m^2}{4} \)

\( y = (x - 2)^2 + 1 \) parabolü ile teğet doğru denklemini ortak çözelim.

\( (x - 2)^2 + 1 = x^2 - 4x + 5 \)

\( x^2 - 4x + 5 = mx + c \)

\( x^2 - (4 + m)x + 5 - c = 0 \)

Doğrunun parabole teğet olabilmesi için bu denklemin deltası sıfır olmalıdır.

\( \Delta = (-(4 + m))^2 - 4(1)(5 - c) \)

\( 16 + 8m + m^2 - 20 + 4c = 0 \)

\( m^2 + 8m - 4 + 4c = 0 \)

\( y = x^2 \) ve \( y = mx + c \) denklemlerinin ortak çözümünden elde ettiğimiz \( c = -\frac{m^2}{4} \) ifadesini yukarıdaki denklemde yerine yazalım.

\( m^2 + 8m - 4 + 4(-\dfrac{m^2}{4}) = 0 \)

\( m^2 + 8m - 4 - m^2 = 0 \)

\( 8m - 4 = 0 \)

\( m = \dfrac{1}{2} \)

Bu değeri \( c = -\frac{m^2}{4} \) ifadesinde yerine koyalım.

\( c = -\dfrac{(\frac{1}{2})^2}{4} = -\dfrac{1}{16} \)

İki parabole de teğet olan doğrunun denklemi aşağıdaki şekilde bulunur.

\( y = \dfrac{1}{2}x -\dfrac{1}{16} \)