Logaritmik Fonksiyonlarının Grafiği

Konu anlatımında ve fonksiyon grafiklerinde gösterdiğimiz üzere, \( \log_a{x} \) formundaki bir logaritma ifadesinde \( a \gt 1 \) ise \( 0 \lt x \lt 1 \) aralığında, \( 0 \lt a \lt 1 \) ise \( x \gt 1 \) aralığında logaritma değeri negatif olur.

Buna göre II. ve III. ifadelerin sonucu negatiftir.

Konu anlatımında ve fonksiyon grafiklerinde gösterdiğimiz üzere, \( \log_a{x} \) formundaki bir logaritma ifadesinde \( a \gt 1 \) ise \( 0 \lt x \lt a \) aralığında, \( 0 \lt a \lt 1 \) ise \( x \gt a \) aralığında logaritma değeri 1'den küçük olur.

Buna göre I. ve III. ifadelerin sonucu 1'den küçüktür.

İfadeleri aynı tabana getirelim.

\( a = \log_5{3} \)

\( b = \log_{5^2}{4^2} = \log_5{4} \)

\( c = \log_{5^3}{6^3} = \log_5{6} \)

\( f(x) = \log_a{x} \) fonksiyonu \( a \gt 1 \) için artan olduğu için, \( x \) değeri büyüdükçe fonksiyon değeri de büyür.

Buna göre ifadelerin küçükten büyüğe doğru sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( a \lt b \lt c \)

\( f(x) = \log_a{x} \) fonksiyonu \( 0 \lt a \lt 1 \) için azalan olduğu için, \( x \) değeri büyüdükçe fonksiyon değeri küçülür.

Buna göre ifadelerin küçükten büyüğe doğru sıralaması aşağıdaki gibi olur.

\( c \lt b \lt a \)

Logaritma fonksiyonunun farklı taban ve \( x \) değerleri için değer aralıklarını logaritma grafiklerini dikkate alarak özetleyelim.

\( y = \log_a{x} \) logaritma ifadesinde,

Taban 1'den büyükse:

• \( 0 \lt x \lt 1 \Longrightarrow y \lt 0 \)
• \( 1 \lt x \Longrightarrow y \gt 0 \)

Taban 0 - 1 aralığında ise:

• \( 0 \lt x \lt 1 \Longrightarrow y \gt 0 \)
• \( 1 \lt x \Longrightarrow y \lt 0 \)

I. öncül:

\( 0 \lt \log_3{2} \lt 1 \)

\( \log_2{\log_3{2}} \lt 0 \)

İfadenin değeri negatiftir.

II. öncül:

\( \log_2{3} \gt 1 \)

\( \log_2{\log_2{3}} \gt 0 \)

İfadenin değeri pozitiftir.

III. öncül:

\( 0 \lt \log_3{2} \lt 1 \)

\( \log_{\frac{1}{2}}{\log_3{2}} \gt 0 \)

İfadenin değeri pozitiftir.

IV. öncül:

\( \log_2{3} \gt 1 \)

\( \log_{\frac{1}{2}}{\log_2{3}} \lt 0 \)

İfadenin değeri negatiftir.

Buna göre I. ve IV. öncüllerdeki ifadelerin değeri negatiftir.

Logaritma grafiklerini de düşünerek ifadelerin değerlerini karşılaştıralım.

\( a \) ve \( b \) ifadelerini karşılaştıralım.

\( a = \log_x{2} \)

\( b = \log_y{4} = 2\log_y{2} \)

Taban \( (0, 1) \) aralığında ve logaritma içi birden büyükse logaritma değeri negatif olur. Aynı \( x = 2 \) değeri için daha küçük tabanlı logaritma ifadesinin (\( a = \log_x{2} \)) grafiği daha üsttedir, dolayısıyla değeri daha büyüktür.

\( b = 2\log_y{2} \) olduğu için daha küçük negatif değeri \( a \)'ya göre daha da küçük olur.

\( b \lt a \)

Taban ve logaritma içi birden büyükse logaritma değeri pozitif olur, dolayısıyla \( c \) ifadesi diğer iki ifadeden büyüktür.

\( b \lt a \lt c \)

1. ifade:

\( \cos{e^3} \)

Kosinüs değerleri tüm reel sayılarda \( [-1, 1] \) aralığındadır.

2. ifade:

\( \ln{\dfrac{\pi}{2}} \)

\( \frac{\pi}{2} \lt e \) olduğu için \( \ln{\frac{\pi}{2}} \lt 1\) olur.

3. ifade:

\( \log{11} \)

\( \log{10} = 1 \) olduğu için \( \log{11} \gt 1 \) olur.

4. ifade:

\( (\sqrt{3} - 1)^{10} \)

\( 1 \lt \sqrt{3} \lt 2 \) olduğu için \( 0 \lt \sqrt{3} - 1 \lt 1 \) ve \( (\sqrt{3} - 1)^2 \lt 1 \) olur.

Buna göre 3. ifadenin değeri en büyüktür.

1. ifade:

\( \sin{\dfrac{4\pi}{3}} = -\sin{\dfrac{\pi}{3}} \)

\( \sin^2{\dfrac{4\pi}{3}} = (-\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 = \dfrac{3}{4} \)

2. ifade:

\( \cot{\dfrac{4\pi}{3}} = \cot{\dfrac{\pi}{3}} \)

\( \cot^2{\dfrac{4\pi}{3}} = (\dfrac{\sqrt{3}}{3})^2 = \dfrac{1}{3} \)

3. ifade:

\( \dfrac{4\pi}{3} \) ifadesinin yaklaşık değerini bulmak için \( \pi = 3,14 \) alalım.

\( 4 \lt \dfrac{4\pi}{3} \lt 5 \)

10 tabanında logaritması alınan değer 1 ve 10 aralığında olduğu için logaritma sonucu 0 ve 1 aralığında olur.

\( 0 \lt \log{\dfrac{4\pi}{3}} \lt 1 \)

4. ifade:

\( e = 2,71 \)

\( e \) tabanında logaritması alınan değer \( e \) sayısından büyük olduğu için doğal logaritma sonucu 1'den büyük olur.

\( e \lt \dfrac{4\pi}{3} \)

\( 1 \lt \ln{\dfrac{4\pi}{3}} \)

Buna göre 4. ifadenin değeri en büyüktür.

1. ifade:

\( \log{e} \) ifadesinde logaritma içi (\( e \approxeq 2,7182... \)) 1'den büyük ve logaritma tabanı olan 10'dan küçük olduğu için ifadenin değer \( (0, 1) \) aralığında olur.

\( a \in (0, 1) \)

Diğer ifadeleri \( a \) cinsinden yazalım.

2. ifade:

\( \sqrt{\log{e^2}} = \sqrt{2\log{e}} = \sqrt{2a} \)

\( a \lt 1 \) olduğu için aynı zamanda \( a \lt 2 \) olur.

\( \sqrt{2a} \gt \sqrt{a \cdot a} = a \)

3. ifade:

\( {\left( \dfrac{1}{\log{e}} \right)}^2 = \dfrac{1}{a^2} \)

\( a \in (0, 1) \) olduğu için \( \frac{1}{a^2} \gt 1 \) olur.

\( \dfrac{1}{a^2} \gt a \)

4. ifade:

\( \dfrac{1}{\log{\sqrt{e}}} = \dfrac{1}{\log{e^{\frac{1}{2}}}} = \dfrac{2}{a} \)

\( a \lt 1 \) olduğu için \( \dfrac{2}{a} \gt 1 \) olur.

\( \dfrac{2}{a} \gt a \)

İfadeleri \( a \) cinsinden yazdığımızda en küçük değerin \( \log{e} \) ifadesine ait olduğunu görürüz.

Bir fonksiyonun tersinin grafiği orijinal fonksiyonun grafiğinin \( y = x \) doğrusuna göre simetriğidir.

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunu bulmak için önce \( x \) yalnız kalacak şekilde fonksiyon düzenlenir.

\( y = 2^{x + 3} - 4 \)

\( 2^{x + 3} = y + 4 \)

\( x + 3 = \log_2(y + 4) \)

\( x = \log_2(y + 4) - 3 \)

\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerleri değiştirildiğinde elde edilen yeni fonksiyon, \( y = f(x) \) fonksiyonunun ters fonksiyonu olan \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonudur.

\( y = f^{-1}(x) = \log_2(x + 4) - 3 \)

(a) seçeneği:

Fonksiyonların \( x \) eksenini kestikleri noktaları bulmak için denklemlerde \( y = 0 \) yazalım.

\( f(x) = \ln(x - 2) = 0 \)

\( x - 2 = e^0 = 1 \)

\( x = 3 \)

\( A(3, 0) \)

\( g(x) = 2\ln(x - 4) = 0 \)

\( x - 4 = e^0 = 1 \)

\( x = 5 \)

\( B(5, 0) \)

(b) seçeneği:

Fonksiyonların kesişim noktasını bulmak için iki denklemi ortak çözelim.

\( f(x) = g(x) \)

\( \ln(x - 2) = 2\ln(x - 4) \)

\( \ln(x - 2) = \ln(x - 4)^2 \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.

\( x - 2 = (x - 4)^2 \)

\( x - 2 = x^2 - 8x + 16 \)

\( x^2 - 9x + 18 = 0 \)

\( (x - 3)(x - 6) = 0 \)

Logaritma tanımına göre logaritma ifadelerinin içleri pozitif olmalıdır.

\( x \gt 2 \) ve \( x \gt 4 \)

Buna göre \( x = 3 \) geçerli bir çözüm değildir ve fonksiyonların kesişim noktası \( x = 6 \) apsisli noktadır.

Verilen denklemlerden herhangi birinde \( x = 6 \) yazalım.

\( f(6) = \ln(6 - 2) \)

\( = \ln{4} = 2\ln{2} \)

\( C(6, 2\ln{2}) \)

Verilen noktaların apsis değerlerini fonksiyon tanımında yerine koyarak ordinat değerlerini bulalım.

\( f\left( \dfrac{1}{8} \right) = \ln{\dfrac{1}{8}} + 8 \cdot \dfrac{1}{8} = m \)

\( m = \ln{2^{-3}} + 1 \)

\( = 1 - 3\ln{2} \)

\( A(\frac{1}{8}, 1 - 3\ln{2}) \)

\( f\left( \dfrac{1}{4} \right) = \ln{\dfrac{1}{4}} + 8 \cdot \dfrac{1}{4} = n \)

\( n = \ln{2^{-2}} + 2 \)

\( = 2 - 2\ln{2} \)

\( B(\frac{1}{4}, 2 - 2\ln{2}) \)

\( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi aşağıdaki formülle bulunur.

\( m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

\( m_{AB} = \dfrac{(2 - 2\ln{2}) - (1 - 3\ln{2})}{\frac{1}{4} - \frac{1}{8}} \)

\( = \dfrac{1 + \ln{2}}{\frac{1}{8}} \)

\( = 8 + 8\ln{2} \) bulunur.

\( f(x) \) grafiği üzerinde verilen iki noktayı yerine koyarak fonksiyon tanımını bulalım.

\( f(0) = k \cdot a^0 = 2 \)

\( k = 2 \)

\( f(3) = 2 \cdot a^3 = \dfrac{27}{4} \)

\( a^3 = \dfrac{27}{8} \)

\( a = \dfrac{3}{2} \)

Buna göre \( f(x) \) fonksiyon tanımı aşağıdaki gibidir.

\( f(x) = 2\left( \dfrac{3}{2} \right)^x \)

Verilen iki grafik \( y = x \) doğrusuna göre simetrik ise bu iki fonksiyon birbirinin tersidir.

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunu bulmak için önce \( x \) yalnız kalacak şekilde fonksiyon düzenlenir.

\( y = 2\left( \dfrac{3}{2} \right)^x \)

\( \left( \dfrac{3}{2} \right)^x = \dfrac{y}{2} \)

\( x = \log_{\frac{3}{2}}{\dfrac{y}{2}} \)

\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerleri değiştirildiğinde elde edilen yeni fonksiyon, \( y = f(x) \) fonksiyonunun ters fonksiyonu olan \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonudur.

\( y = f^{-1}(x) = g(x) = \log_{\frac{3}{2}}{\dfrac{x}{2}} \)

\( g(\frac{9}{2}) \) değerini bulmak için \( x = \frac{9}{2} \) koyalım.

\( g\left( \dfrac{9}{2} \right) = \log_{\frac{3}{2}}{\dfrac{\frac{9}{2}}{2}} \)

\( = \log_{\frac{3}{2}}{\dfrac{9}{4}} = \log_{\frac{3}{2}}\left( \dfrac{3}{2} \right)^2 \)

\( = 2 \) bulunur.

\( x = -3 \) logaritma fonksiyonunun dikey asimptotu olup, logaritma içini sıfır, dolayısıyla logaritma ifadesini tanımsız yapan değerdir.

\( x + b = -3 + b = 0 \)

\( b = 3 \)

Verilen \( (6, 2) \) noktasını fonksiyonda yerine koyalım.

\( f(6) = \log_a(6 + 3) = 2 \)

\( a^2 = 9 \)

Logaritma tabanı negatif olamaz.

\( a = 3 \)

Fonksiyon tanımı aşağıdaki gibi olur.

\( f(x) = \log_3(x + 3) \)

\( f(240) \) değerini bulmak için \( x = 240 \) yazalım.

\( f(240) = \log_3(240 + 3) \)

\( = \log_3{3^5} = 5 \) bulunur.

\( x = -4 \) logaritma fonksiyonunun dikey asimptotu olup, logaritma içini sıfır, dolayısıyla logaritma ifadesini tanımsız yapan değerdir.

\( bx + c = 0 \)

\( -4b + c = 0 \)

\( c = 4b \)

Grafik \( (-2, 0) \) noktasından geçmektedir.

\( f(-2) = \log_a(b(-2) + c) = 0 \)

\( -2b + c = a^0 = 1 \)

\( -2b + 4b = 1 \)

\( b = \dfrac{1}{2} \)

\( c = 4b = 2 \)

Grafik \( (0, -\frac{1}{2}) \) noktasından geçmektedir.

\( f(0) = \log_a\left( \dfrac{1}{2}(0) + 2 \right) = -\dfrac{1}{2} \)

\( a^{-\frac{1}{2}} = 2 \)

\( a = \dfrac{1}{4} \)

\( abc = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 2 = \dfrac{1}{4} \) bulunur.

\( x = 4 \) logaritma fonksiyonunun dikey asimptotu olup, logaritma içini sıfır, dolayısıyla logaritma ifadesini tanımsız yapan değerdir.

\( n - x = n - 4 = 0 \)

\( n = 4 \)

Diğer bilinmeyenleri bulmak için grafikte verilen noktaları fonksiyon tanımında yerine koyalım.

\( (2, 1) \) noktası:

\( f(2) = \log_a(4 - 2) + m = 1 \)

\( \log_a{2} = 1 - m \)

\( (-4, -1) \) noktası:

\( f(-4) = \log_a(4 - (-4)) + m = -1 \)

\( \log_a{8} = -1 - m \)

\( 3\log_a{2} = -1 - m \)

\( \log_a{2} = \dfrac{-1 - m}{3} \)

Bulduğumuz iki \( \log_a{2} \) değerini birbirine eşitleyelim.

\( 1 - m = \dfrac{-1 - m}{3} \)

\( 3 - 3m = -1 - m \)

\( m = 2 \)

\( m \) değerini denklemlerden birinde yerine koyarak \( a \) değerini bulalım.

\( \log_a{2} = 1 - m = 1 - 2 = -1 \)

\( a^{-1} = 2 \)

\( a = \dfrac{1}{2} \)

\( amn = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4 \) bulunur.

\( x = -9 \) logaritma fonksiyonunun dikey asimptotu olup, logaritma içini sıfır, dolayısıyla logaritma ifadesini tanımsız yapan değerdir.

\( x + b = -9 + b = 0 \)

\( b = 9 \)

\( f(x) = \log_a(x + 9) \)

\( (0, 2) \) noktasını fonksiyonda yerine koyalım.

\( f(0) = \log_a(0 + 9) = 2 \)

Logaritma tabanı negatif olamaz.

\( a = 3 \)

\( f(x) = \log_3(x + 9) \)

\( f(72) \) değerini bulmak için \( x = 72 \) yazalım.

\( f(72) = \log_3(72 + 9) = \log_3{81} = 4 \)

\( f^{-1}(a) = f^{-1}(3) \)

\( f^{-1}(3) \) değerini bulmak için fonksiyon değerini 3 yapan \( x \) değerini bulalım.

\( \log_3(x + 9) = 3 \)

\( x + 9 = 27 \)

\( x = 18 \)

Buna göre \( f(72) + f^{-1}(a) = 4 + 18 = 22 \) bulunur.

Logaritma içinin üssünün kendisi, logaritma tabanının üssünün de çarpmaya göre tersi logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.

\( \log_9{27} = \log_{3^2}{3^3} = \dfrac{3}{2}\log_3{3} = \dfrac{3}{2} \)

\( \log_5{12} \) ifadesinde logaritma içi logaritma tabanı olan 5'ten büyük olduğu için ifadenin sonucu 1'den büyüktür.

\( \log_5{12} \) ifadesinin \( \log_9{27} = \frac{3}{2} \) ifadesinden büyük olup olmadığını inceleyelim.

\( \log_5{12} \stackrel{?}{<>} \frac{3}{2} \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

Logaritma tabanı 1'den büyük olduğu için eşitsizliğin yönü değişmez.

\( 12 \stackrel{?}{<>} 5^\frac{3}{2} \)

İki tarafın karesini alalım.

\( 144 \stackrel{?}{<>} 5^3 \)

\( 144 \gt 125 \)

Buna göre verilen sayılardan \( \log_5{12} \) daha büyüktür.

\( f \) fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulalım.

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunu bulmak için önce \( x \) yalnız kalacak şekilde fonksiyon düzenlenir.

\( y = \log_2{\dfrac{x}{4}} \)

\( \dfrac{x}{4} = 2^y \)

\( x = 4 \cdot 2^y = 2^{y+2} \)

\( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerleri değiştirildiğinde elde edilen yeni fonksiyon, \( y = f(x) \) fonksiyonunun ters fonksiyonu olan \( y = f^{-1}(x) \) fonksiyonudur.

\( y = f^{-1}(x) = 2^{x + 2} \)

\( C \) noktasının ordinat değerini bulmak için \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunda \( x = 0 \) verelim.

\( f^{-1}(0) = 2^{0 + 2} = 4 \)

\( C(0, 4) \)

Buna göre \( B \) noktasının ordinat değeri de \( y = 4 \) olur.

\( B \) noktasının apsis değerini bulmak için \( f(x) \) fonksiyonunda \( y = 4 \) verelim.

\( f(x) = \log_2{\dfrac{x}{4}} = 4 \)

\( 2^4 = \dfrac{x}{4} \)

\( x = 64 \)

\( B(64, 4) \)

Buna göre dikdörtgenin yüksekliği 4, genişliği 64 olur.

\( A(OABC) = 4 \cdot 64 = 256 \) olarak bulunur.

\( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiğinde 5 birim aşağı yönde ötelemeye yol açan dönüşüm \( y = f(x) - 5 \) olur.

\( y = f(x) \) fonksiyonunun grafiğinde \( a \) çarpanı kadar yatay daralmaya yol açan dönüşüm \( y = f(ax) \) olur.

Fonksiyona bu iki dönüşüm uygulandığında aynı fonksiyon elde ediliyor.

\( \log_2{x} - 5 = \log_2(ax) \)

\( \log_2{x} - 5 = \log_2{a} + \log_2{x} \)

\( \log_2{a} = -5 \)

\( a = 2^{-5} = \dfrac{1}{32} \) bulunur.

Önce \( \log{x} \) fonksiyonuna iki dönüşüm uygulayarak sorudaki fonksiyonu elde edelim.

Fonksiyonun girdisinin mutlak değeri alındığında \( y \) ekseninin solunda kalan noktalar (varsa) silinir ve \( y \) ekseninin sağında kalan noktaların \( y \) eksenine göre yansıması oluşur.

\( f(x) \longmapsto f(\abs{x}) \)

\( f(\abs{x}) = \log{\abs{x}} \)

Bir fonksiyonun çıktısına 3 birim eklendiğinde grafiği 3 birim yukarı ötelenir.

\( f(\abs{x}) \longmapsto f(\abs{x}) + 3 \)

\( f(\abs{x}) + 3 = \log{\abs{x}} + 3 \)

Aşağıda bu iki dönüşüm sonucunda oluşan fonksiyonun ve \( y = x \) doğrusunun grafikleri verilmiştir.

\( y = x \) doğrusunun fonksiyonun \( y \) ekseninin solunda kalan kısmını tek noktada kestiğinden emin olabiliriz, \( y \) ekseninin sağında kalan kısmını kesip kesmediğinden ya da kesiyorsa kaç noktada kestiğinden emin olmak için ya bir programla grafiğini çizmeliyiz ya da iki denklemi ortak çözmeliyiz.

Alternatif olarak \( y = x \) doğrusunun fonksiyonun \( y \) ekseninin sağında kalan kısmını 2 noktada kestiğini daha pratik bir yöntemle bulabiliriz.

Verilen logaritma fonksiyonunda \( y = 0 \) verip \( x \) değerini ve \( x = 1 \) ve \( x = 10 \) verip \( y \) değerlerini hesapladığımızda fonksiyonun aşağıdaki noktalardan geçtiğini buluruz.

\( (10^{-3}, 0), (1, 3), (10, 4) \)

Bu noktalardan 1. ve 3.sünün ordinat değerleri apsis değerlerinden küçük olduğu için \( y = x \) doğrusunun altında kalır, 2. noktanın ise ordinat değeri daha büyük olduğu için \( y = x \) doğrusunun üstünde kalır.

Buna göre fonksiyon grafiğinin doğrunun altındayken doğruyu kesip üstüne geçtiği, sonra tekrar kesip altına indiği sonucuna varabiliriz.

Buna göre verilen fonksiyon ve doğru 3 noktada kesişirler.