Logaritmik Denklemler

(a) seçeneği:

\( 2\log_3(2x - 5) - 8 = 0 \)

\( 2\log_3(2x - 5) = 8 \)

\( \log_3(2x - 5) = 4 \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( 2x - 5 = 3^4 = 81 \)

\( 2x = 86 \)

\( x = 43 \)

Denklemdeki logaritma ifadesi bu değer için tanımlıdır.

Çözüm kümesi: \( x = 43 \)

(b) seçeneği:

\( 4\log_2(y^2 - 4) = 20 \)

\( \log_2(y^2 - 4) = 5 \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( y^2 - 4 = 2^5 = 32 \)

\( y^2 = 36 \)

\( y = \pm 6 \)

Denklemdeki logaritma ifadesi bu iki değer için de tanımlıdır.

Çözüm kümesi: \( y \in \{ -6, 6 \} \)

(c) seçeneği:

\( 3\log_8{\dfrac{2z}{3}} = -1 \)

\( \log_8{\dfrac{2z}{3}} = -\dfrac{1}{3} \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( \dfrac{2z}{3} = 8^{-\frac{1}{3}} \)

\( \dfrac{2z}{3} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{8}} \)

\( \dfrac{2z}{3} = \dfrac{1}{2} \)

\( z = \dfrac{3}{4} \)

Denklemdeki logaritma ifadesi bu değer için tanımlıdır.

Çözüm kümesi: \( z = \dfrac{3}{4} \)

(a) seçeneği:

\( \ln(2x + 5) = \ln(5x - 7) \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesi arasındaki eşitlikte logaritma içleri birbirine eşittir.

\( 2x + 5 = 5y - 7 \)

\( x = 4 \)

Denklemdeki logaritma ifadeleri bu değer için tanımlıdır.

Çözüm kümesi: \( x = 4 \)

(b) seçeneği:

\( \log_3(3x - 4) = \log_3(2x - 3) \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesi arasındaki eşitlikte logaritma içleri birbirine eşittir.

\( 3x - 4 = 2x - 3 \)

\( x = 1 \)

Bu değer denklemdeki iki logaritma ifadesinin de içini negatif yapar, dolayısıyla geçerli bir çözüm değildir.

Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \)

(c) seçeneği:

\( 2\log_5{x} = \log_5(2x + 8) \)

\( \log_5{x^2} = \log_5(2x + 8) \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesi arasındaki eşitlikte logaritma içleri birbirine eşittir.

\( x^2 = 2x + 8 \)

\( x^2 - 2x - 8 = 0 \)

\( (x + 2)(x - 4) = 0 \)

\( x + 2 = 0 \Longrightarrow x = -2 \)

\( x - 4 = 0 \Longrightarrow x = 4 \)

\( x = -2 \) denklemdeki birinci logaritma ifadesinin içini negatif yapar, dolayısıyla geçerli bir çözüm değildir.

Çözüm kümesi: \( x = 4 \)

(a) seçeneği:

\( \log(2x + 3) = \log(x - 3) + \log{5} \)

Çarpma kuralını kullanalım.

\( \log(2x + 3) = \log[5(x - 3)] \)

\( \log(2x + 3) = \log(5x - 15) \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesi arasındaki eşitlikte logaritma içleri birbirine eşittir.

\( 2x + 3 = 5x - 15 \)

\( x = 6 \)

Denklemdeki logaritma ifadeleri bu değer için tanımlıdır.

Çözüm kümesi: \( x = 6 \)

(b) seçeneği:

\( \ln(3x + 2) - 3 = \ln{x} \)

\( \ln(3x + 2) - \ln{x} = 3 \)

Bölme kuralını kullanalım.

\( \ln{\dfrac{3x + 2}{x}} = 3 \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( \dfrac{3x + 2}{x} = e^3 \)

\( 3 + \dfrac{2}{x} = e^3 \)

\( \dfrac{2}{x} = e^3 - 3 \)

\( \dfrac{x}{2} = \dfrac{1}{e^3 - 3} \)

\( x = \dfrac{2}{e^3 - 3} \)

Denklemdeki logaritma ifadeleri bu değer için tanımlıdır.

Çözüm kümesi: \( x = \dfrac{2}{e^3 - 3} \)

(c) seçeneği:

\( \log_3(2x + 3) + 2 = \log_3(5x + 7) \)

\( 2 \) değerini 3 tabanında logaritma ifadesi şeklinde yazalım.

\( \log_3(2x + 3) + \log_3{3^2} = \log_3(5x + 7) \)

Çarpma kuralını kullanalım.

\( \log_3[9(2x + 3)] = \log_3(5x + 7) \)

\( \log_3(18x + 27) = \log_3(5x + 7) \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesi arasındaki eşitlikte logaritma içleri birbirine eşittir.

\( 18x + 27 = 5x + 7 \)

\( x = -\dfrac{20}{13} \)

Bu değer denklemdeki iki logaritma ifadesinin de içini negatif yapar, dolayısıyla geçerli bir çözüm değildir.

Çözüm kümesi: \( x \in \emptyset \)

\( \log_{5^2}{x} + \log_{5^3}{x^2} = 14 \)

Logaritma içinin üssü olduğu gibi, tabanın üssünün çarpmaya göre tersi logaritma önüne katsayı olarak alınabilir.

\( \dfrac{1}{2}\log_{5}{x} + \dfrac{2}{3}\log_{5}{x} = 14 \)

\( \dfrac{7}{6}\log_{5}{x} = 14 \)

\( \log_{5}{x} = 12 \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( x = 5^{12} \) bulunur.

\( (\log_2{x})^2 - 5\log_2{x} + 4 = 0 \)

\( \log_2{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( t^2 - 5t + 4 = 0 \)

\( (t - 1)(t - 4) = 0 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( t - 1 = 0 \)

\( t = 1 = \log_2{x} \)

\( x = 2^1 = 2 \)

Durum 2:

\( t - 4 = 0 \)

\( t = 4 = \log_2{x} \)

\( x = 2^4 = 16 \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{ 2, 16 \} \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( x^2 + 2x - 8 = (x - 2)^3 \)

\( x^2 + 2x - 8 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \)

Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım ve ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( x^3 - 7x^2 + 10x = 0 \)

\( x(x^2 - 7x + 10) = 0 \)

\( x(x - 2)(x - 5) = 0 \)

\( x \in \{ 0, 2, 5 \} \)

\( x = 0 \) ve \( x = 2 \) değerleri denklemdeki logaritma ifadesinin tabanını ve içini sıfır ve negatif yapar, dolayısıyla geçerli birer çözüm değildir.

Çözüm kümesi: \( x = 5 \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( 14x^4 - 4x^2 + 8 = (x^2 + 2)^3 \)

\( 14x^4 - 4x^2 + 8 = x^6 + 6x^4 + 12x^2 + 8 \)

Tüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım ve ifadeyi çarpanlarına ayıralım.

\( x^6 - 8x^4 + 16x^2 = 0 \)

\( x^2(x^4 - 8x^2 + 16) = 0 \)

\( x^2(x^2 - 4)^2 = 0 \)

\( x^2(x - 2)^2(x + 2)^2 = 0 \)

\( x \in \{ -2, 0, 2 \} \)

Denklemdeki logaritma ifadesi bu üç değer için de tanımlıdır.

Çözüm kümesi: \( x \in \{ -2, 0, 2 \} \)

Buna göre denklemin çözüm kümesi 3 elemanlıdır.

\( (\log{x})^3 - 16\log{x} = 0 \)

\( \log{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( t^3 - 16t = 0 \)

\( t(t^2 - 16) = 0 \)

\( t(t - 4)(t + 4) = 0 \)

Bu eşitlik üç durumda sağlanır.

Durum 1:

\( t = 0 = \log{x} \)

\( x = 10^0 = 1 \)

Durum 2:

\( t - 4 = 0 \)

\( t = 4 = \log{x} \)

\( x = 10^4 \)

Durum 3:

\( t + 4 = 0 \)

\( t = -4 = \log{x} \)

\( x = 10^{-4} \)

Çözüm kümesi: \( x \in \{ 10^{-4}, 1, 10^4 \} \)

\( \log_3{2} \) denklemin bir kökü olduğuna göre, \( x \) yerine yazdığımızda denklemi sağlar.

\( (\log_3{2})^2 - \log_3{2}\log_3{18} + a = 0 \)

\( \log_3{18} \) ifadesini \( \log_3{2} \) cinsinden yazalım.

\( (\log_3{2})^2 - \log_3{2}(\log_3{2} + \log_3{9}) + a = 0 \)

\( (\log_3{2})^2 - \log_3{2}(\log_3{2} + 2) + a = 0 \)

\( (\log_3{2})^2 - (\log_3{2})^2 - 2\log_3{2} + a = 0 \)

\( a = 2\log_3{2} \) bulunur.

\( \ln(3x - y) - \ln{y^2} = \ln(2x) \)

Bölme kuralını kullanalım.

\( \ln{\dfrac{3x - y}{y^2}} = \ln(2x) \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesi arasındaki eşitlikte logaritma içleri birbirine eşittir.

\( \dfrac{3x - y}{y^2} = 2x \)

\( x \) değişkenini yalnız bırakalım.

\( 3x - y = 2xy^2 \)

\( 3x - 2xy^2 = y \)

\( x(3 - 2y^2) = y \)

\( x = \dfrac{y}{3 - 2y^2} \) bulunur.

\( \ln{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( t = \dfrac{3}{t} + 2 \)

\( t^2 = 3 + 2t \)

\( t^2 - 2t - 3 = 0 \)

\( (t + 1)(t - 3) = 0 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( t + 1 = 0 \)

\( t = -1 = \ln{x} \)

\( x = e^{-1} \)

Durum 2:

\( t - 3 = 0 \)

\( t = 3 = \ln{x} \)

\( x = e^3 \)

Denklemdeki logaritma ifadesi bu iki değer için de tanımlıdır.

Çözüm kümesi: \( x \in \{ e^{-1}, e^3 \} \)

Her iki tarafın 3 tabanında logaritmasını alalım.

\( \log_3{x^{\log_3{x}}} = \log_3(9x) \)

\( \log_3{x}\log_3{x} = \log_3{9} + \log_3{x} \)

\( (\log_3{x})^2 = 2 + \log_3{x} \)

\( \log_3{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( t^2 - t - 2 = 0 \)

\( (t + 1)(t - 2) = 0 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( t + 1 = 0 \)

\( t = -1 = \log_3{x} \)

\( x = 3^{-1} = \dfrac{1}{3} \)

Durum 2:

\( t - 2 = 0 \)

\( t = 2 = \log_3{x} \)

\( x = 3^2 = 9 \)

Denklemdeki logaritma ifadesi bu iki değer için de tanımlıdır.

Çözüm kümesi: \( x = \left\{ \dfrac{1}{3}, 9 \right\} \)

Birinci denklemi düzenleyelim.

\( \log_2{y} = \log_2{x} + 4 \)

\( \log_2{y} - \log_2{x} = 4 \)

\( \log_2{\dfrac{y}{x}} = 4 \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( \dfrac{y}{x} = 2^4 = 16 \)

\( y = 16x \)

İkinci denklemi düzenleyelim.

\( 8^y = 4^{2x + 3} \)

\( (2^3)^y = (2^2)^{2x + 3} \)

\( 2^{3y} = 2^{4x + 6} \)

Tabanları aynı iki üstel ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.

\( 3y = 4x + 6 \)

Bulduğumuz iki denklemi ortak çözelim.

İkinci denklemde \( y = 16x \) yazalım.

\( 3(16x) = 4x + 6 \)

\( 48x = 4x + 6 \)

\( x = \dfrac{6}{44} = \dfrac{3}{22} \)

Birinci denklemde \( x = \frac{3}{22} \) yazalım.

\( y = 16 \cdot \dfrac{3}{22} = \dfrac{24}{11} \)

Çözüm kümesi: \( (x, y) = \left( \dfrac{3}{22}, \dfrac{24}{11} \right) \)

Logaritma içlerini tabanın bir üssü şeklinde yazalım.

\( \log_2{(2^2)^{3x}} = \log_3{(3^2)^{2x - 5}} \)

\( \log_2{2^{6x}} = \log_3{3^{4x - 10}} \)

Logaritma içinin üssü logaritma işleminin önüne katsayı olarak alınabilir.

\( 6x\log_2{2} = (4x - 10)\log_3{3} \)

\( 6x = 4x - 10 \)

\( x = -5 \) bulunur.

Eşitliğin taraflarını tabanları aynı iki logaritma ifadesine dönüştürelim.

\( x(\log_6{6} - \log_6{2}) = \log_6(9^x - 2) \)

\( x\log_6{3} = \log_6(9^x - 2) \)

\( \log_6{3^x} = \log_6(9^x - 2) \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesi arasındaki eşitlikte logaritma içleri birbirine eşittir.

\( 3^x = 9^x - 2 \)

\( 3^{2x} - 3^x - 2 = 0 \)

\( 3^x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( t^2 - t - 2 = 0 \)

\( (t + 1)(t - 2) = 0 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( t + 1 = 0 \)

\( t = -1 = 3^x \)

Bir üstel ifadenin sonucu negatif olamayacağı için \( t = -1 \) geçerli bir çözüm değildir.

Durum 2:

\( t - 2 = 0 \)

\( t = 2 = 3^x \)

\( x = \log_3{2} \)

Çözüm kümesi: \( x = \log_3{2} \)

Aşağıdaki gibi bir ifadede üslü ifadenin tabanı ve logaritma içi aralarında yer değiştirilirse sonuç değişmez.

\( a^{\log_b{c}} = c^{\log_b{a}} \)

Buna göre verilen ifadedeki terimleri düzenleyelim.

\( 27^{\log_3{x}} = x^{\log_3{27}} \)

\( = x^{\log_3{3^3}} = x^3 \)

\( 25^{\log_5{x}} = x^{\log_5{25}} \)

\( = x^{\log_5{5^2}} = x^2 \)

\( e^{\ln{x}} = x^{\ln{e}} = x \)

Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.

\( 2x = 4x^3 - 3x^2 + x \)

\( 4x^3 - 3x^2 - x = 0 \)

\( x(4x^2 - 3x - 1) = 0 \)

\( x(4x + 1)(x - 1) = 0 \)

\( x \in \left\{ -\dfrac{1}{4}, 0, 1 \right\} \)

\( x = -\frac{1}{4} \) ve \( x = 0 \) verilen denklemdeki logaritma ifadelerinin içini negatif ve sıfır yapar, dolayısıyla geçerli birer çözüm değildir.

Çözüm kümesi: \( x = 1 \)

Çarpma kuralını kullanalım.

\( (\ln{e} + \ln{x^2})\ln{x} = 3 \)

\( (1 + 2\ln{x})\ln{x} = 3 \)

\( \ln{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( (1 + 2t)t = 3 \)

\( t + 2t^2 = 3 \)

\( 2t^2 + t - 3 = 0 \)

\( (2t + 3)(t - 1) = 0 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( 2t + 3 = 0 \)

\( t = -\dfrac{3}{2} = \ln{x} \)

\( x = e^{-\frac{3}{2}} \)

Durum 2:

\( t - 1 = 0 \)

\( t = 1 = \ln{x} \)

\( x = e^1 = e \)

Denklemdeki logaritma ifadeleri bu iki değer için de tanımlıdır.

Çözüm kümesi: \( x \in \{ e^{-\frac{3}{2}}, e \} \)

\( \log{\sqrt{(x - 1)(x + 1)}} - \log{\sqrt{x + 1}} = 4\log{\sqrt{x - 1}} + 3 \)

\( \log(\sqrt{x - 1}\sqrt{x + 1}) - \log{\sqrt{x + 1}} = 4\log{\sqrt{x - 1}} + 3 \)

Çarpma kuralını kullanalım.

\( \log{\sqrt{x - 1}} + \log{\sqrt{x + 1}} - \log{\sqrt{x + 1}} = 4\log{\sqrt{x - 1}} + 3 \)

\( \log{\sqrt{x - 1}} = 4\log{\sqrt{x - 1}} + 3 \)

\( 3\log{\sqrt{x - 1}} = -3 \)

\( \log{\sqrt{x - 1}} = -1 \)

Logaritma ifadesini üstel ifade şeklinde yazalım.

\( \sqrt{x - 1} = 10^{-1} = \dfrac{1}{10} \)

İki tarafın karesini alalım.

\( x - 1 = \dfrac{1}{100} \)

\( x = \dfrac{101}{100} \) bulunur.

İfadeyi düzenleyelim ve ikinci terimde taban ve üsteki logaritma içini aralarında yer değiştirelim.

\( 3^{2\log_5{x}} - 10 \cdot 3^{\log_5{x}} + 9 = 0 \)

\( (3^{\log_5{x}})^2 - 10 \cdot 3^{\log_5{x}} + 9 = 0 \)

\( 3^{\log_5{x}} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( t^2 - 10t + 9 = 0 \)

\( (t - 1)(t - 9) = 0 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( t - 1 = 0 \)

\( t = 1 = 3^{\log_5{x}} \)

\( \log_5{x} = 0 \)

\( x = 5^0 = 1 \)

Durum 2:

\( t - 9 = 0 \)

\( t = 9 = 3^{\log_5{x}} \)

\( \log_5{x} = 2 \)

\( x = 5^2 = 25 \)

Denklemdeki logaritma ifadesi bu iki değer için de tanımlıdır.

Çözüm kümesi: \( x \in \{ 1, 25 \} \)

Eşitliğin taraflarının doğal logaritmasını alalım.

\( \ln{x^{\ln{x}}} = \ln(xe^2) \)

\( \ln{x}\ln{x} = \ln{x} + \ln{e^2} \)

\( (\ln{x})^2 = \ln{x} + 2 \)

\( \ln{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( t^2 = t + 2 \)

\( t^2 - t - 2 = 0 \)

\( (t + 1)(t - 2) = 0 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( t + 1 = 0 \)

\( t = -1 = \ln{x} \)

\( x = e^{-1} = \dfrac{1}{e} \)

Durum 2:

\( t - 2 = 0 \)

\( t = 2 = \ln{x} \)

\( x = e^2 \)

Denklemdeki logaritma ifadesi bu iki değer için de tanımlıdır.

Çözüm kümesi: \( x = \left\{ \dfrac{1}{e}, e^2 \right\} \)

Logaritma ifadelerini 10 tabanına çevirelim.

\( \dfrac{\frac{\log{x}}{\log{12}} + \frac{\log{x}}{\log{18}}}{\frac{\log{x}}{\log{12}} \cdot \frac{\log{x}}{\log{18}}} = 5 \)

\( \dfrac{\log{x}\left( \frac{1}{\log{12}} + \frac{1}{\log{18}} \right)}{\frac{(\log{x})^2}{\log{12} \cdot \log{18}}} = 5 \)

\( \dfrac{\frac{\log{18} + \log{12}}{\log{12} \cdot \log{18}}}{\frac{\log{x}}{\log{12} \cdot \log{18}}} = 5 \)

\( \dfrac{\log{18} + \log{12}}{\log{x}} = 5 \)

\( 5\log{x} = \log(18 \cdot 12) \)

\( \log{x^5} = \log{216} \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesi arasındaki eşitlikte logaritma içleri birbirine eşittir.

\( x^5 = 216 \)

\( 32 \lt 216 \lt 243 \)

\( 2^5 \lt x^5 \lt 3^5 \)

\( 2 \lt x \lt 3 \)

Buna göre \( x \) sayısı \( (2, 3) \) aralığında bir sayıdır.

\( \log(-3x) = 2\log(x + 1) \)

\( \log(-3x) = \log(x + 1)^2 \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesinin eşitliğinde logaritma içleri birbirine eşittir.

\( -3x = (x + 1)^2 \)

\( -3x = x^2 + 2x + 1 \)

\( x^2 + 5x + 1 = 0 \)

İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım.

\( x_1 = \dfrac{-5 - \sqrt{21}}{2} \)

\( x_2 = \dfrac{-5 + \sqrt{21}}{2} \)

Logaritma ifadelerinin içleri pozitif olmalıdır.

\( -3x \gt 0 \Longrightarrow x \lt 0 \)

\( x + 1 \gt 0 \Longrightarrow x \gt -1 \)

Buna göre \( x \) aşağıdaki aralıkta bulunmalıdır.

\( -1 \lt x \lt 0 \)

Bulduğumuz iki kök değerinden ikincisi bu aralıktadır.

Çözüm kümesi: \( x = \dfrac{-5 + \sqrt{21}}{2} \)

Taban değiştirme formulü ile logaritma ifadelerini 3 tabanına çevirelim.

\( \dfrac{\log_3{x}}{\log_3{9}} + \dfrac{\log_3{81}}{\log_3{x}} = 3 \)

\( \dfrac{\log_3{x}}{\log_3{3^2}} + \dfrac{\log_3{3^4}}{\log_3{x}} = 3 \)

\( \dfrac{\log_{3}{x}}{2} + \dfrac{4}{\log_{3}{x}} = 3 \)

\( \log_{3}{x} = t \) şeklinde değişken değiştirelim.

\( \dfrac{t}{2} + \dfrac{4}{t} = 3 \)

\( \dfrac{t^2 + 8}{2t} = 3 \)

\( t^2 + 8 = 6t \)

\( t^2 - 6t + 8 = 0 \)

\( (t - 2)(t - 4) = 0 \)

Bu eşitlik iki durumda sağlanır.

Durum 1:

\( t - 2 = 0 \)

\( t = 2 = \log_3{x} \)

\( x = 3^2 = 9 \)

Durum 2:

\( t - 4 = 0 \)

\( t = 4 = \log_3{x} \)

\( x = 3^4 = 81 \)

Denklemdeki logaritma ifadeleri bu iki değer için de tanımlıdır.

Çözüm kümesi: \( x \in \{ 9, 81 \} \)

Eşitliği düzenleyelim.

\( \log_{7^{-2}}(\log_{36}{n}) = \log_{7}(\log_{n}{6}) \)

Logaritma tabanının üssünün çarpmaya göre tersi logaritma önüne katsayı olarak alınabilir.

\( -\dfrac{1}{2}\log_{7}(\log_{36}{n}) = \log_{7}(\log_{n}{6}) \)

\( \log_{7}(\log_{36}{n}) = -2\log_{7}(\log_{n}{6}) \)

Logaritma ifadesinin katsayısı logaritma içine üs olarak alınabilir.

\( \log_{7}(\log_{36}{n}) = \log_{7}(\log_{n}{6})^{-2} \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesi arasındaki eşitlikte logaritma içleri birbirine eşittir.

\( \log_{36}{n} = (\log_{n}{6})^{-2} \)

\( \log_{6^2}{n} = \dfrac{1}{(\log_{n}{6})^{2}} \)

\( \dfrac{1}{2}\log_{6}{n} \cdot (\log_{n}{6})^{2} = 1 \)

\( \log_{6}{n} \cdot \log_{n}{6} \cdot \log_{n}{6} = 2 \)

İlk iki çarpana zincir kuralını uygulayalım.

\( \log_{6}{6} \cdot \log_{n}{6} = 2 \)

\( 1 \cdot \log_{n}{6} = 2 \)

\( n^2 = 6 \)

Logaritma tabanı negatif olamaz.

\( n = \sqrt{6} \) bulunur.

Taban değiştirme formulü ile logaritma ifadelerini 5 tabanına çevirelim.

\( \dfrac{\log_5{25}}{\log_5(4x)} = \dfrac{\log_5{125}}{\log_5(7x)} \)

\( \dfrac{\log_5{5^2}}{\log_5(4x)} = \dfrac{\log_5{5^3}}{\log_5(7x)} \)

\( \dfrac{2}{\log_5(4x)} = \dfrac{3}{\log_5(7x)} \)

İçler - dışlar çarpımı yapalım.

\( 3\log_5(4x) = 2\log_5(7x) \)

Logaritmanın önündeki katsayıları içeriye üs olarak alalım.

\( \log_5{(4x)^3} = \log_5{(7x)^2} \)

Tabanları aynı iki logaritma ifadesi arasındaki eşitlikte logaritma içleri birbirine eşittir.

\( (4x)^3 = (7x)^2 \)

\( 64x^3 = 49x^2 \)

\( 64x^3 - 49x^2 = 0 \)

\( x^2(64x - 49) = 0 \)

\( x = 0 \) denklemdeki iki logaritma ifadesinin de tabanını sıfır yapar, dolayısıyla geçerli bir çözüm değildir.

\( x = \dfrac{49}{64} \) bulunur.

Eşitliğin her iki tarafının 10 tabanında logaritmasını alalım.

\( \log{x^{x^{x^{\ldots}}}} = \log{3} \)

Logaritması alınan ifadenin üssünü katsayı olarak yazabiliriz.

\( x^{x^{x^{\ldots}}}\log{x} = \log{3} \)

Birinci çarpan soruda verilen ifade ile aynıdır ve değeri 3'tür.

\( 3\log{x} = \log{3} \)

\( \dfrac{\log{3}}{\log{x}} = 3 \)

Taban değiştirme uygulayalım.

\( \log_x{3} = 3 \)

\( x^3 = 3 \)

\( x = \sqrt[3]{3} \) bulunur.

İki logaritma ifadesinin birbirine eşit olabilmesi için tabanlar ve logaritma içleri birbirinin aynı kuvvetine eşit olmalıdır.

\( \log_2{3} = \dfrac{n}{n} \log_2{3} = \log_{2^n}{3^n} \)

\( \log_{2^n}{3^n} = \log_{3x}(2x) \)

Buna göre aşağıdaki iki eşitliği yazabiliriz.

\( 2^n = 3x \Longrightarrow 2^{n + 1} = 6x \)

\( 3^n = 2x \Longrightarrow 3^{n + 1} = 6x \)

\( 6x \)'e eşit olan iki ifadeyi birbirine eşitleyelim.

\( 2^{n + 1} = 3^{n + 1} \)

\( \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n + 1} = 1 \)

\( n + 1 = 0 \Longrightarrow n = -1 \)

Bu \( n \) değerini yukarıdaki eşitliklerden birinde yerine koyalım.

\( 2^{n + 1} = 2^{-1 + 1} = 1 = 6x \)

\( x = \dfrac{1}{6} \) bulunur.