İkinci Dereceden Denklemlerde Kök Katsayı İlişkisi
Kök Katsayı İlişkisi
İkinci dereceden denklemlerin kökleri ve katsayıları arasında aşağıdaki ilişkiler vardır.
Kökler Toplamı
Kökler toplamı denklemin katsayıları kullanılarak aşağıdaki formülle bulunur.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
\( 3x^2 - x - 2 = 0 \)
\( (3x + 2)(x - 1) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{-\frac{2}{3}, 1\} \)
Kökler toplamını iki kök değerini kullanarak hesaplayalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{2}{3} + 1 = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \)
Şimdi de kökler toplamını yukarıdaki formülle hesaplayalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-1}{3} = \textcolor{red}{\dfrac{1}{3}} \)
İSPATI GÖSTER
\( ax^2 + bx + c = 0 \) şeklindeki ikinci dereceden bir denklemin köklerini aşağıdaki formüller ile bulabileceğimizi göstermiştik.
\( \Delta = b^2 - 4ac \) olmak üzere,
\( x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \)
Denklemin iki kökünün toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{-2b}{2a} \)
Buna göre ikinci dereceden bir denklemin kökler toplamı formülünü aşağıdaki gibi buluruz.
\( = -\dfrac{b}{a} \)
Kökler Çarpımı
Kökler çarpımı denklemin katsayıları kullanılarak aşağıdaki formülle bulunur.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \)
\( 2x^2 + 9x - 5 = 0 \)
\( (2x - 1)(x + 5) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{-5, \frac{1}{2}\} \)
Kökler çarpımını iki kök değerini kullanarak hesaplayalım.
\( x_1 \cdot x_2 = -5 \cdot \dfrac{1}{2} = \textcolor{red}{-\dfrac{5}{2}} \)
Şimdi de kökler çarpımını yukarıdaki formülle hesaplayalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-5}{2} = \textcolor{red}{-\dfrac{5}{2}} \)
İSPATI GÖSTER
\( ax^2 + bx + c = 0 \) şeklindeki ikinci dereceden bir denklemin köklerini aşağıdaki formüller ile bulabileceğimizi göstermiştik.
\( \Delta = b^2 - 4ac \) olmak üzere,
\( x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \)
Denklemin iki kökünün çarpımını bulalım.
\( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( = \dfrac{(-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2}{(2a)^2} \)
\( = \dfrac{b^2 - \Delta}{4a^2} \)
\( = \dfrac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} \)
\( = \dfrac{4ac}{4a^2} \)
Buna göre ikinci dereceden bir denklemin kökler çarpımı formülünü aşağıdaki gibi buluruz.
\( = \dfrac{c}{a} \)
Köklerin Çarpmaya Göre Terslerinin Toplamı
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı denklemin katsayıları kullanılarak aşağıdaki formülle bulunur.
\( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -\dfrac{b}{c} \)
\( 6x^2 + 5x - 6 = 0 \)
\( (3x - 2)(2x + 3) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{-\frac{3}{2}, \frac{2}{3}\} \)
Kökler çarpmaya göre terslerinin toplamını iki kök değerini kullanarak hesaplayalım.
\( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{1}{-\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{\frac{2}{3}} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}} \)
Şimdi de köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını yukarıdaki formülle hesaplayalım.
\( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -\dfrac{b}{c} = -\dfrac{5}{-6} = \textcolor{red}{\dfrac{5}{6}} \)
İSPATI GÖSTER
İfadenin paydalarını eşitleyelim.
\( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} \)
Buna göre köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı kökler toplamının kökler çarpımına oranına eşittir.
Bu orandaki kökler toplamı ve çarpımının yerine yukarıda bulduğumuz formülleri yazalım.
\( \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \dfrac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}\)
Buna göre ikinci dereceden bir denklemin köklerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı formülünü aşağıdaki gibi buluruz.
\( = -\dfrac{b}{c} \)
Kökler Farkı
Kökler farkının pozitif değeri aşağıdaki formülle bulunur.
\( \abs{x_1 - x_2} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\abs{a}} \)
\( 2x^2 + x - 10 = 0 \)
\( (2x + 5)(x - 2) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{-\frac{5}{2}, 2\} \)
Kökler farkının pozitif değerini iki kök değerini kullanarak hesaplayalım.
\( \abs{-\dfrac{5}{2} - 2} = \abs{-\dfrac{9}{2}} = \textcolor{red}{\dfrac{9}{2}} \)
Şimdi de kökler farkını yukarıdaki formülle hesaplayalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-10) = 81 \)
\( \abs{x_1 - x_2} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\abs{a}} = \dfrac{\sqrt{81}}{2} = \textcolor{red}{\dfrac{9}{2}} \)
İSPATI GÖSTER
\( ax^2 + bx + c = 0 \) şeklindeki ikinci dereceden bir denklemin köklerini aşağıdaki formüller ile bulabileceğimizi göstermiştik.
\( \Delta = b^2 - 4ac \) olmak üzere,
\( x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \)
\( x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \)
Denklemin iki kökünün farkının mutlak değerini bulalım.
\( \abs{x_1 - x_2} = \mid \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} - \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \mid \)
\( = \mid \dfrac{2\sqrt{\Delta}}{2a} \mid \)
\( = \mid \dfrac{\sqrt{\Delta}}{a} \mid \)
\( \Delta \ge 0 \) olarak kabul edersek ikinci dereceden bir denklemin kökler farkının mutlak değeri formülünü aşağıdaki gibi buluruz.
\( = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\abs{a}} \)
Simetrik Köklerde Kökler Toplamı
Kökler \( y \) eksenine göre simetrik ise kökler toplamı, dolayısıyla denklemin \( b \) katsayısı sıfır olur.
\( x_1 = -x_2 \)
\( x_1 + x_2 = -x_2 + x_2 = 0 \)
\( x^2 - 16 = 0 \)
\( (x - 4)(x + 4) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{-4, 4\} \)
Kökler toplamını iki kök değerini kullanarak hesaplayalım.
\( x_1 + x_2 = -4 + 5 = \textcolor{red}{0} \)
Şimdi de kökler toplamını yukarıdaki formülle hesaplayalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{0}{1} = \textcolor{red}{0} \)
Diğer Formüller
Köklerin kareleri toplamı formülü aşağıdaki gibidir.
\( x_1^2 + x_2^2 = \dfrac{b^2 - 2ac}{a^2} \)
İSPATI GÖSTER
Parantez karesi özdeşliğini yazalım.
\( (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 \)
Köklerin kareleri toplamını yalnız bırakalım.
\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)
Kökler toplamı ve çarpımı ifadelerinin formül karşılıklarını yazalım.
\( = (-\dfrac{b}{a})^2 - 2\dfrac{c}{a} \)
\( = \dfrac{b^2}{a^2} - \dfrac{2ac}{a^2} \)
\( = \dfrac{b^2 - 2ac}{a^2} \)
Köklerin küpleri toplamı formülü aşağıdaki gibidir.
\( x_1^3 + x_2^3 = \dfrac{-b^3 + 3abc}{a^3} \)
İSPATI GÖSTER
Küp toplamı özdeşliğini yazalım.
\( x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) \)
\( = (x_1 + x_2)(x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2) \)
Kökler toplamı, çarpımı ve kare toplamı ifadelerinin formül karşılıklarını yazalım.
\( = (-\dfrac{b}{a})(\dfrac{b^2 - 2ac}{a^2} - \dfrac{c}{a}) \)
\( = (-\dfrac{b}{a})(\dfrac{b^2 - 2ac}{a^2} - \dfrac{ac}{a^2}) \)
\( = (-\dfrac{b}{a})(\dfrac{b^2 - 3ac}{a^2}) \)
\( = -\dfrac{b^3 - 3abc}{a^3} \)
\( = \dfrac{-b^3 + 3abc}{a^3} \)
Formüllerin Özeti
Yukarıda paylaştığımız formüller aşağıdaki tabloda özetlenmiştir.
| İfade | Formül |
|---|---|
| Kökler toplamı | \( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \) |
| Kökler çarpımı | \( x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \) |
| Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamı | \( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -\dfrac{b}{c} \) |
| Kökler farkının mutlak değeri | \( \abs{x_1 - x_2} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\abs{a}} \) |
| Simetrik köklerde kökler toplamı | \( x_1 + x_2 = 0 \) |
| Köklerin kareleri toplamı | \( x_1^2 + x_2^2 = \dfrac{b^2 - 2ac}{a^2} \) |
| Köklerin küpleri toplamı | \( x_1^3 + x_2^3 = \dfrac{-b^3 + 3abc}{a^3} \) |
Kökleri Bilinen Denklemin Yazılması
Kökleri bilinen ikinci dereceden bir denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir.
Kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) olan ikinci dereceden denklem:
\( x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0 \)
Kökleri \( -7 \) ve \( 5 \) olan ikinci dereceden denklem:
\( x^2 - (-7 + 5)x + (-7 \cdot 5) = 0 \)
\( x^2 + 2x - 35 = 0 \)
\( (x + 7)(x - 5) = 0 \)
İSPATI GÖSTER
Kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) olan ikinci dereceden denklemin çarpanlarına ayrılmış şekilde yazılışı aşağıdaki gibidir.
\( (x - x_1)(x - x_2) = 0 \)
Çarpanların terimlerini dağıtalım.
\( x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2 = 0 \)
\( x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0 \)
Bu denklemin tüm terimlerinin bir \( a \) başkatsayısı ile çarpımı sonucunda oluşan tüm denklemlerin kökleri aynı \( x_1 \) ve \( x_2 \) değerleri olur.
\( a(x - x_1)(x - x_2) = 0 \)
\( a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2) = 0 \)
Aşağıdaki deklemlerin tümünün kökleri \( -7 \) ve \( 5 \)'tir.
\( 3x^2 + 6x - 105 = 3(x + 7)(x - 5) = 0 \)
\( 5x^2 + 10x - 175 = 5(x + 7)(x - 5) = 0 \)
\( -2x^2 - 4x + 70 = -2(x + 7)(x - 5) = 0 \)
Buna göre, ikinci dereceden iki denklemin kökleri birbirine eşitse bu iki denklemin katsayılarının oranları birbirine eşittir. Bu ifadenin karşıtı da doğrudur, yani ikinci dereceden iki denklemin katsayılarının oranları birbirine eşitse bu iki denklemin kökleri birbirine eşittir.
Aşağıdaki iki denklemin kökleri aynı ve \( x_1 \) ve \( x_2 \) ise,
\( a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0 \)
\( a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0 \)
denklemlerin katsayılarının oranı birbirine eşittir.
\( \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2} \)
\( 3x^2 + 6x - 24 = 3(x - 2)(x + 4) = 0 \)
\( 2x^2 + 4x - 16 = 2(x - 2)(x + 4) = 0 \)
\( \dfrac{3}{2} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{-24}{-16} \)
İSPATI GÖSTER
Birinci denklemin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) ise denklemi çarpanlarına ayrılmış şekilde aşağıdaki gibi yazabiliriz.
\( a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0 \)
\( a_1(x - x_1)(x - x_2) = 0 \)
Denklemdeki çarpanları dağıtalım.
\( a_1x^2 - a_1(x_1 + x_2)x + a_1x_1x_2 = 0 \)
Buna göre denklemin \( b_1 \) ve \( c_1 \) katsayılarını \( a_1 \) ve kökler cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( b_1 = -a_1(x_1 + x_2) \)
\( c_1 = a_1x_1x_2 \)
Aynı işlemi kökleri yine \( x_1 \) ve \( x_2 \) olan ikinci denklem için yapalım.
\( a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0 \)
\( a_2(x - x_1)(x - x_2) = 0 \)
Denklemdeki çarpanları dağıtalım.
\( a_2x^2 - a_2(x_1 + x_2)x + a_2x_1x_2 = 0 \)
Buna göre denklemin \( b_2 \) ve \( c_2 \) katsayılarını \( a_2 \) ve kökler cinsinden aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
\( b_2 = -a_2(x_1 + x_2) \)
\( c_2 = a_2x_1x_2 \)
Yukarıda elde ettiğimiz iki eşitlikte \( x_1 + x_2 \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b_1}{a_1} = -\dfrac{b_2}{a_2} \)
Katsayılar arasındaki eşitliği düzenlersek aşağıdaki orantıyı elde ederiz.
\( \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \)
Yukarıda elde ettiğimiz iki eşitlikte \( x_1x_2 \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{c_1}{a_1} = \dfrac{c_2}{a_2} \)
Katsayılar arasındaki eşitliği düzenlersek aşağıdaki orantıyı elde ederiz.
\( \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{c_1}{c_2} \)
İki orantıda \( \dfrac{a_1}{a_2} \) ortak olduğu için iki orantıyı tek eşitlikte birleştirebiliriz.
\( \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2} \)
Aşağıdaki denklemlerin köklerinin toplamını, çarpımını, çarpmaya göre terslerinin toplamını, farkının mutlak değerini ve kareleri toplamını bulunuz.
(a) \( 3x^2 - 2x - 16 = 0 \)
(b) \( x^2 - 14 = 0 \)
(c) \( -4x^2 + 8x + 1 = 0 \)
Çözümü GösterDenklemlerin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
(a) seçeneği:
\( 3x^2 - 2x - 16 = 0 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 3, \quad b = -2, \quad c = -16 \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-2}{3} = \dfrac{2}{3} \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-16}{3} = -\dfrac{16}{3} \)
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını bulalım.
\( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -\dfrac{b}{c} = -\dfrac{-2}{16} = \dfrac{1}{8} \)
Köklerin farkının mutlak değerini bulalım.
\( \abs{x_1 - x_2} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\abs{a}} = \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\abs{a}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{(-2)^2 - 4(3)(-16)}}{\abs{3}} \)
\( = \dfrac{14}{3} \)
Köklerin karelerinin toplamını bulalım.
\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)
\( = \left( \dfrac{2}{3} \right)^2 - 2\left( -\dfrac{16}{3} \right) = \dfrac{100}{9} \)
(b) seçeneği:
\( x^2 - 14 = 0 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 1, \quad b = 0, \quad c = -14 \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{0}{1} = 0 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-14}{1} = -14 \)
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını bulalım.
\( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -\dfrac{b}{c} = -\dfrac{0}{-14} = 0 \)
Köklerin farkının mutlak değerini bulalım.
\( \abs{x_1 - x_2} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\abs{a}} = \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\abs{a}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{0^2 - 4(1)(-14)}}{\abs{1}} \)
\( = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \)
Köklerin karelerinin toplamını bulalım.
\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)
\( = 0^2 - 2(-14) = 28 \)
(c) seçeneği:
\( -4x^2 + 8x + 1 = 0 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = -4, \quad b = 8, \quad c = 1 \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{8}{-4} = 2 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{-4} = -\dfrac{1}{4} \)
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamını bulalım.
\( \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = -\dfrac{b}{c} = -\dfrac{8}{1} = -8 \)
Köklerin farkının mutlak değerini bulalım.
\( \abs{x_1 - x_2} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\abs{a}} = \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\abs{a}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{8^2 - 4(-4)(1)}}{\abs{-4}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{80}}{4} = \sqrt{5} \)
Köklerin karelerinin toplamını bulalım.
\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)
\( = 2^2 - 2\left( -\dfrac{1}{4} \right) = \dfrac{9}{2} \)
Aşağıda kökleri verilen ikinci dereceden denklemleri bulunuz.
(a) \( x_1 = -5, \quad x_2 = 13 \)
(b) \( x_1 = -\sqrt{7}, \quad x_2 = \sqrt{7} \)
(c) \( x_1 = 4 - \sqrt{5}, \quad x_2 = 4 + \sqrt{5} \)
Çözümü GösterKökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) şeklinde verilen ikinci dereceden bir denklem aşağıdaki şekilde yazılır.
\( x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0 \)
(a) seçeneği:
\( x_1 = -5, \quad x_2 = 13 \)
Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.
\( x^2 - (-5 + 13)x + (-5)13 = 0 \)
\( x^2 - 8x - 65 = 0 \)
(b) seçeneği:
\( x_1 = -\sqrt{7}, \quad x_2 = \sqrt{7} \)
Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.
\( x^2 - (-\sqrt{7} + \sqrt{7})x + (-\sqrt{7})\sqrt{7} = 0 \)
\( x^2 - 7 = 0 \)
(c) seçeneği:
\( x_1 = 4 - \sqrt{5}, \quad x_2 = 4 + \sqrt{5} \)
Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.
\( x^2 - [(4 - \sqrt{5}) + (4 + \sqrt{5})]x + (4 - \sqrt{5})(4 + \sqrt{5}) = 0 \)
\( x^2 - 8x + (4^2 - (\sqrt{5})^2) = 0 \)
\( x^2 - 8x + 11 = 0 \)
Aşağıda kökleri verilen ikinci dereceden denklemleri bulunuz.
(a) \( x_1 = \sqrt{13}i, \quad x_2 = -\sqrt{13}i \)
(b) \( x_1 = -3 - 2i, \quad x_2 = -3 + 2i \)
(c) \( x_1 = \dfrac{7 - 3i}{4}, \quad x_2 = \dfrac{7 + 3i}{4} \)
Çözümü GösterKökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) şeklinde verilen ikinci dereceden bir denklem aşağıdaki şekilde yazılır.
\( x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0 \)
(a) seçeneği:
\( x_1 = \sqrt{13}i, \quad x_2 = -\sqrt{13}i \)
Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.
\( x^2 - (\sqrt{13}i + (-\sqrt{13}i))x + (\sqrt{13}i)(-\sqrt{13}i) = 0 \)
\( x^2 - (\sqrt{13})^2i^2 = 0 \)
\( x^2 + 13 = 0 \)
(b) seçeneği:
\( x_1 = -3 - 2i, \quad x_2 = -3 + 2i \)
Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.
\( x^2 - [(-3 - 2i) + (-3 + 2i)]x + (-3 - 2i)(-3 + 2i) = 0 \)
\( x^2 + 6x + [(-3)^2 - (2i)^2]= 0 \)
\( x^2 + 6x + 9 - 4i^2 = 0 \)
\( x^2 + 6x + 13 = 0 \)
(c) seçeneği:
\( x_1 = \dfrac{7 - 3i}{4}, \quad x_2 = \dfrac{7 + 3i}{4} \)
Verilen kökleri kullanarak denklemi yazalım.
\( x^2 - \left[ \left( \dfrac{7 - 3i}{4} \right) + \left( \dfrac{7 + 3i}{4} \right) \right]x + \left( \dfrac{7 - 3i}{4} \right)\left( \dfrac{7 + 3i}{4} \right) = 0 \)
\( x^2 - \dfrac{7}{2}x + \dfrac{7^2 - (3i)^2}{4^2} = 0 \)
\( x^2 - \dfrac{7}{2}x + \dfrac{29}{8} = 0 \)
\( 3x^2 - (p - 2)x + k + 4 = 0 \) denkleminin kökleri -2 ve 3 olduğuna göre, \( pk \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 3, \quad b = -(p - 2), \quad c = k + 4 \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
\( -2 + 3 = -\dfrac{-(p - 2)}{3} \)
\( p - 2 = 3 \)
\( p = 5 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} \)
\( -2 \cdot 3 = \dfrac{k + 4}{3} \)
\( k + 4 = -18 \)
\( k = -22 \)
\( pk = 5 \cdot (-22) = -110 \) bulunur.
\( (2k + 5)x^2 + (4k - 3)x + 4 - k = 0 \) denkleminin kökler toplamı \( -3 \) olduğuna göre, kökler çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 2k + 5, \quad b = 4k - 3, \quad c = 4 - k \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4k - 3}{2k + 5} = -3 \)
\( 4k - 3 = 3(2k + 5) \)
\( 4k - 3 = 6k + 15 \)
\( k = -9 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4 - k}{2k + 5} \)
\( k = -9 \) yazalım.
\( = \dfrac{4 - (-9)}{2(-9) + 5} \)
\( = \dfrac{13}{-13} = -1 \) bulunur.
\( k \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( 2x^2 + kx - 3 = 0 \) denkleminin kökler farkı 4 olduğuna göre, \( k \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
Denklemin kökler farkı aşağıdaki formülle bulunur.
\( \abs{x_1 - x_2} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\abs{a}} \)
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 2, \quad b = k, \quad c = -3 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac = k^2 - 4(2)(-3) \)
\( = k^2 + 24 \)
Bu değeri kökler farkı formülünde yerine koyalım.
\( \abs{x_1 - x_2} = \dfrac{\sqrt{\Delta}}{\abs{a}} \)
\( \abs{4} = \dfrac{\sqrt{k^2 + 24}}{2} \)
\( \sqrt{k^2 + 24} = 8 \)
\( k^2 + 24 = 64 \)
\( k \in \mathbb{R^+} \) olarak veriliyor.
\( k = 2\sqrt{10} \) bulunur.
\( ax^2 + (b + 2)x - 4 = 0 \) ve
\( 3x^2 - 2x + 1 = 0 \)
denklemlerinin çözüm kümeleri aynı olduğuna göre, \( a + b \) toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci dereceden iki denklemin çözüm kümeleri aynı ise denklemlerin katsayılarının oranı birbirine eşittir.
\( \dfrac{a}{3} = \dfrac{b + 2}{-2} = \dfrac{-4}{1} = -4 \)
\( a = -4 \cdot 3 = -12 \)
\( b + 2 = -4 \cdot (-2) = 8 \)
\( b = 6 \)
\( a + b = -12 + 6 = -6 \) bulunur.
\( x^2 - (4m - 2)x + 6m = 0 \)
denkleminin köklerinin aritmetik ortalaması \( -4 \) olduğuna göre, \( m \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterDenkleminin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
Köklerin aritmetik ortalaması \( -4 \) olarak veriliyor.
\( \dfrac{x_1 + x_2}{2} = -4 \)
\( x_1 + x_2 = -8 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 1, \quad b = -(4m - 2), \quad c = 6m \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(4m - 2)}{1} \)
\( -8 = 4m - 2 \)
\( m = -\dfrac{3}{2} \) bulunur.
Köklerinden biri \( 4 + \sqrt{3} \) olan reel katsayılı ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü GösterDenklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
İkinci dereceden reel katsayılı bir denklemin köklerinden biri \( a + \sqrt{b} \) formunda ise diğer kök bu kökün eşleniği olur.
\( x_1 = 4 + \sqrt{3} \)
\( x_2 = 4 - \sqrt{3} \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = x_1 + x_2 = 4 + \sqrt{3} + 4 - \sqrt{3} = 8 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = x_1x_2 = (4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 13 \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılır.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - 8x + 13 = 0 \)
\( 3x^2 - (2m - 1)x + 1 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Kökler arasında \( x_1^2x_2 + x_2^2x_1 = 3 \) bağıntısı olduğuna göre, \( m \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
\( x_1^2x_2 + x_2^2x_1 = x_1x_2(x_1 + x_2) = 3 \)
Bu ifade denklemin kökler çarpımı ile toplamının çarpımına eşittir.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 3, \quad b = -(2m - 1), \quad c = 1 \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(2m - 1)}{3} = \dfrac{2m - 1}{3} \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{3} \)
Bu değerleri sorudaki ifadede yerine koyalım.
\( x_1x_2(x_1 + x_2) = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2m - 1}{3} = 3 \)
\( 2m - 1 = 27 \)
\( m = 14 \) bulunur.
\( 3x^2 - (m^2 - 6m + 5)x - 4 = 0 \)
denkleminin kökleri simetrik olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
İkinci dereceden denklemin kökleri simetrik ise kökler toplamı sıfır olur.
\( x_1 = -x_2 \Longrightarrow x_1 + x_2 = 0 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 3, \quad b = -(m^2 - 6m + 5), \quad c = -4 \)
\( x_1 + x_2 = - \dfrac{b}{a} = 0 \)
\( -\dfrac{-(m^2 - 6m + 5)}{3} = 0 \)
\( m^2 - 6m + 5 = 0 \)
Bu ikinci dereceden denklemin deltası sıfırdan büyük olduğu için birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
\( m \)'nin alabileceği bu iki değerin çarpımı bu denklemin kökler çarpımına eşittir.
\( m_1m_2 = \dfrac{5}{1} = 5 \) bulunur.
\( m \) ve \( n \) sıfırdan farklı sayılar olmak üzere,
\( x^2 + mx + n = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \) olduğuna göre, \( m + n \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin kökler çarpımını bulalım.
\( a = 1, \quad b = m, \quad c = n \)
\( mn = \dfrac{c}{a} = n \)
\( n \ne 0 \) olarak veriliyor.
\( m = 1 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -m \)
\( n = -2m = -2 \)
\( m + n = 1 + (-2) = -1 \) olarak bulunur.
\( x^2 + (m + 2)x + 16 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) olmak üzere, her iki kök de pozitiftir.
\( x_1 = x_2^3 \) olduğuna göre, \( m \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin kökler çarpımını bulalım.
\( a = 1, \quad b = m + 2, \quad c = 16 \)
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{16}{1} = 16 \)
Bu ifadede \( x_1 = x_2^3 \) yazalım.
\( x_2^3x_2 = x_2^4 = 16 \)
Her iki kök de pozitiftir.
\( x_2 = 2 \)
Kökler eşitliği sağlayacağı için denklemde \( x = 2 \) yazalım.
\( 2^2 + (m + 2)2 + 16 = 0 \)
\( 4 + 2m + 4 + 16 = 0 \)
\( m = -12 \) bulunur.
\( (m + 1)x^2 + (m - 2)x - 24m = 0 \) denkleminin simetrik iki kökü bulunduğuna göre, denklemin kökleri nedir?
Çözümü GösterDenklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
İkinci dereceden denklemin kökleri simetrik ise kökler toplamı sıfır olur.
\( x_1 = -x_2 \Longrightarrow x_1 + x_2 = 0 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = m + 1, \quad b = m - 2, \quad c = -24m \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = 0 \)
\( -\dfrac{m - 2}{m + 1} = 0 \)
\( m = 2 \)
Denklemde \( m = 2 \) yazalım.
\( (2 + 1)x^2 + (2 - 2)x - 24(2) = 0 \)
\( 3x^2 - 48 = 0 \)
\( 3(x - 4)(x + 4) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ -4, 4 \} \)
\( x^2 + 2(m - 1)x + 3m - 5 = 0 \)
denkleminin kökleri çakışık olduğuna göre, \( m \)'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci dereceden bir denklemin kökleri çakışık ise deltası sıfır olur.
Denklemin deltasını hesaplayalım.
\( a = 1, \quad b = 2(m - 1), \quad c = 3m - 5 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \)
\( (2m - 2)^2 - 4(1)(3m - 5) = 0 \)
\( 4m^2 - 8m + 4 - 12m + 20 = 0 \)
\( 4m^2 - 20m + 24 = 0 \)
\( m^2 - 5m + 6 = 0 \)
Bu ikinci dereceden denklemin deltası sıfırdan büyük olduğu için birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
\( m \)'nin alabileceği bu iki değerin toplamı denklemin kökler toplamına eşittir.
\( m_1 + m_2 = -\dfrac{-5}{1} = 5 \) bulunur.
\( a, b, c \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( ax^2 + bx + c \) denkleminin köklerinin birbirinin çarpmaya göre tersi olması için, aşağıdaki koşullardan hangisi sağlanmalıdır?
(a) \( a - b = 0 \)
(b) \( a + b = 0 \)
(c) \( b - c = 0 \)
(d) \( a - c = 0 \)
(e) \( a + c = 0 \)
Çözümü GösterDenklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
Denklemin kökleri birbirinin çarpmaya göre tersidir.
\( x_1 = \dfrac{1}{x_2} \)
\( x_1x_2 = 1 \)
Kökler çarpımı formülünü yazalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = 1 \)
\( a = c \)
\( a - c = 0 \)
Doğru cevap \( d \) seçeneğidir.
\( x^2 - 4x + m - 7 = 0 \) denkleminin kökleri,
\( x^2 - 2x + m + 2 = 0 \) denkleminin köklerinin ikişer katı olduğuna göre, \( m \) değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİkinci denklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
Bu durumda birinci denklemin kökleri \( 2x_1 \) ve \( 2x_2 \) olur.
İkinci denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{m + 2}{1} = m + 2 \)
Birinci denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( 2x_1 \cdot 2x_2 = \dfrac{m - 7}{1} = m - 7 \)
\( 4x_1x_2 = m - 7 \)
\( 4(m + 2) = m - 7 \)
\( 4m + 8 = m - 7 \)
\( m = -5 \) bulunur.
\( m \) sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere,
\( x^2 - (5m - 2n)x + 8m = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Buna göre \( m + n \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin kökler çarpımını bulalım.
\( a = 1, \quad b = -(5m - 2n), \quad c = 8m \)
\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{8m}{1} = 8m \)
\( m \) sıfırdan farklı bir reel sayı olduğu için bu eşitlikte \( m \)'ler sadeleşir.
\( n = 8 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-(5m - 2n)}{1} \)
\( m + 8 = 5m - 16 \)
\( m = 6 \)
\( m + n = 6 + 8 = 14 \) bulunur.
\( x^2 + 7x - 6 + k = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
\( 3 \lt m \lt 7 \) olduğuna göre, \( n \) değer aralığı nedir?
Çözümü GösterDenklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 1, \quad b = 7, \quad c = -6 + k \)
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{7}{1} = -7 \)
\( m = -7 - n \)
Verilen eşitsizlikte \( m \) yerine \( -7 - n \) yazalım.
\( 3 \lt -7 - n \lt 7 \)
Eşitsizliğin taraflarını 7 ile toplayalım.
\( 10 \lt -n \lt 14 \)
Eşitsizlik taraflarını \( -1 \) ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir.
\( -14 \lt n \lt -10 \) bulunur.
\( 2x^2 - (m + 3)x + 12 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
\( 3x_1 - \dfrac{6}{x_2} = 3 \) olduğuna göre, \( m \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterVerilen eşitliği düzenleyelim.
\( \dfrac{3x_1x_2 - 6}{x_2} = 3 \)
\( 3x_1x_2 - 6 = 3x_2 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( a = 2, \quad b = -(m + 3), \quad c = 12 \)
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{12}{2} = 6 \)
Bulduğumuz kökler çarpımını denklemde yerine yazalım.
\( 3(6) - 6 = 3x_2 \)
\( x_2 = 4 \)
Bulduğumuz kök değerini denklemde yerine yazarak \( m \) değerini bulalım.
\( 2(4)^2 - (m + 3)4 + 12 = 0 \)
\( 32 - 4m - 12 + 12 = 0 \)
\( m = 8 \) bulunur.
\( (6 + \sqrt{3})x^2 - mx + 3\sqrt{6} = 0 \)
denkleminin harmonik ortalaması \( -6 \) olduğuna göre, \( m \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 6 + \sqrt{3}, \quad b = -m, \quad c = 3\sqrt{6} \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{-m}{6 + \sqrt{3}} = \dfrac{m}{6 + \sqrt{3}} \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{3\sqrt{6}}{6 + \sqrt{3}} \)
\( x_1 \) ve \( x_2 \) sayılarının harmonik ortalaması (H.O.) aşağıdaki formülle bulunur.
\( H.O. = \dfrac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}} = \dfrac{2x_1x_2}{x_1 + x_2} \)
Bulduğumuz kökler toplamını ve çarpımını yerlerine yazalım.
\( \dfrac{2 \cdot \frac{3\sqrt{6}}{6 + \sqrt{3}}}{\frac{m}{6 + \sqrt{3}}} = -6 \)
\( \dfrac{6\sqrt{6}}{m} = -6 \)
\( m = -\sqrt{6} \) bulunur.
\( 3x^2 - (3m - 2)x + k = 0 \)
denkleminin köklerinin üçer katının birer eksiğini kök kabul eden denklem \( x^2 - (2m + 1)x + p = 0 \) olduğuna göre, \( m \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterBirinci denklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
Birinci denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 3, \quad b = -(3m - 2), \quad c = k \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{-(3m - 2)}{3} = \dfrac{3m - 2}{3} \)
Bu durumda ikinci denklemin kökleri \( 3x_1 - 1 \) ve \( 3x_2 - 1 \) olur.
İkinci denklemin kökler toplamını bulalım.
\( (3x_1 - 1) + (3x_2 - 1) = -\dfrac{-(2m + 1)}{1} = \dfrac{2m + 1}{1} \)
\( 3x_1 + 3x_2 - 2 = 2m + 1 \)
\( 3(x_1 + x_2) = 2m + 3 \)
Kökler toplamı yerine birinci denklem için bulduğumuz değeri yazalım.
\( 3 \cdot \dfrac{3m - 2}{3} = 2m + 3 \)
\( 3m - 2 = 2m + 3 \)
\( m = 5 \) bulunur.
\( ax^2 - 5x + 1 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Buna göre, \( x_1 \) kökünün \( x_2 \) cinsinden değeri nedir?
Çözümü GösterDenklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = a, \quad b = -5, \quad c = 1 \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-5}{a} = \dfrac{5}{a} \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{a} \)
Buna göre denklemin kökler toplamı kökler çarpımının 5 katıdır.
\( x_1 + x_2 = 5x_1x_2 \)
\( x_1 - 5x_1x_2 = -x_2 \)
\( x_1(1 - 5x_2) = -x_2 \)
\( x_1 = \dfrac{-x_2}{1 - 5x_2} = \dfrac{x_2}{5x_2 - 1} \) bulunur.
\( x^2 - 3x + 2 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Bu köklerin çarpmaya göre terslerini kök kabul eden ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü GösterDenklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = 2 \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-3}{1} = 3 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{1} = 2 \)
Soruda istenen, kökleri \( \frac{1}{x_1} \) ve \( \frac{1}{x_2} \) olan ikinci dereceden denklemdir.
Yeni denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \dfrac{3}{2} \)
Yeni denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = \dfrac{1}{x_1} \cdot \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{1}{x_1x_2} = \dfrac{1}{2} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılır.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2} = 0 \)
\( x^2 - 3x - 5 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Buna göre kökleri \( 2 - 3m \) ve \( 2 - 3n \) olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü GösterDenklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 1, \quad b = -3, \quad c = -5 \)
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-3}{1} = 3 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-5}{1} = -5 \)
İstenen yeni denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = (2 - 3m) + (2 - 3n) = 4 - 3(m + n) \)
\( = 4 - 3(3) = -5 \)
İstenen yeni denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = (2 - 3m)(2 - 3n) = 4 - 6(m + n) + 9mn \)
\( = 4 - 6(3) + 9(-5) = -59 \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılır.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - (-5)x + (-59) = 0 \)
\( x^2 + 5x - 59 = 0 \) bulunur.
\( 2x^2 - 4x + 3 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Buna göre kökleri \( m^2 + 3 \) ve \( n^2 + 3 \) olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü GösterDenklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 2, \quad b = -4, \quad c = 3 \)
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-4}{2} = 2 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{2} \)
\( m + n = 2 \) ifadesinin karesini alalım.
\( (m + n)^2 = 4 \)
\( m^2 + 2mn + n^2 = 4 \)
\( m^2 + 2 \cdot \dfrac{3}{2} + n^2 = 4 \)
\( m^2 + n^2 = 1 \)
İstenen yeni denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = (m^2 + 3) + (n^2 + 3) = (m^2 + n^2) + 6 = 7 \)
İstenen yeni denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = (m^2 + 3)(n^2 + 3) = (mn)^2 + 3(m^2 + n^2) + 9 \)
\( = \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 + 3(1) + 9 \)
\( = \dfrac{57}{4} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılır.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - 7x + \dfrac{57}{4} = 0 \) bulunur.
\( 3x^2 - 27x + 432 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Buna göre \( \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} \) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = a \) diyelim.
Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.
\( x_1 + 2\sqrt{x_1x_2} + x_2 = a^2 \)
\( x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1x_2} = a^2 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 3, \quad b = -27, \quad c = 432 \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-27}{3} = 9 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{432}{3} = 144 \)
Bu değerleri yukarıdaki eşitlikte yerlerine koyalım.
\( x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1x_2} = a^2 \)
\( 9 + 2\sqrt{144} = a^2 \)
\( 33 = a^2 \)
\( a \) iki karekök ifadesinin toplamına eşit olduğu için negatif olamaz.
\( a = \sqrt{33} \) bulunur.
\( x^2 + (m + 2)x - 1 = 0 \) denkleminin kökleri, \( x^2 - 6x + n - 5 = 0 \) denkleminin köklerinden birer fazladır.
Buna göre, \( m + n \) toplamı kaçtır?
Çözümü GösterBirinci denklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \), ikinci denklemin köklerine \( x_1 - 1 \) ve \( x_2 - 1 \) diyelim.
Birinci denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{m + 2}{1} = -m - 2 \)
Birinci denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{-1}{1} = -1 \)
İkinci denklemin kökler toplamını bulalım.
\( (x_1 - 1) + (x_2 - 1) = -\dfrac{-6}{1} \)
\( x_1 + x_2 - 2 = 6 \)
\( x_1 + x_2 = 8 \)
\( x_1 + x_2 \) için bulduğumuz iki ifadeyi birbirine eşitleyelim.
\( -m - 2 = 8 \)
\( m = -10 \)
İkinci denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( (x_1 - 1)(x_2 - 1) = \dfrac{n - 5}{1} = n - 5 \)
\( x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = n - 5 \)
Yukarıda bulduğumuz kökler toplamı ve çarpımı değerlerini yerlerine yazalım.
\( (-1) - 8 + 1 = n - 5 \)
\( n = -3 \)
\( m + n = -10 + (-3) = -13 \) bulunur.
\( k \in \mathbb{R} \) ve \( k \ne 0 \) olmak üzere,
\( x^2 - kx + 3k^3 = 0 \) denklemin kökleri \( \alpha \) ve \( \beta \)'dır.
Buna göre kökleri \( \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \) ve \( \frac{\beta}{\alpha + \beta} \) olan ikinci dereceden denklemi \( k \) cinsinden bulunuz.
Çözümü GösterDenklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 1, \quad b = -k, \quad c = 3k^3 \)
\( \alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-k}{1} = k \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( \alpha \beta = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3k^3}{1} = 3k^3 \)
İstenen yeni denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} + \dfrac{\beta}{ \alpha + \beta} = \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha + \beta} = 1 \)
İstenen yeni denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = \dfrac{\alpha}{\alpha + \beta} \cdot \dfrac{\beta}{\alpha + \beta} = \dfrac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2} \)
\( = \dfrac{3k^3}{k^2} = 3k \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılır.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - x + 3k = 0 \) bulunur.
\( x^2 - mx + 9 = 0 \) denkleminin reel kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
\( x_2 \le x_1 \lt 0 \) olduğuna göre, en geniş \( m \) değer aralığı nedir?
Çözümü Göster\( x_2 \le x_1 \lt 0 \) olduğuna göre denklemin ya iki farklı ya da çift katlı tek bir reel kökü vardır ve kökler negatiftir.
Buna göre \( \Delta \ge 0 \) olmalıdır, ayrıca kökler toplamı negatif ve kökler çarpımı pozitif olmalıdır.
Denklemin deltasını bulalım.
\( a = 1, \quad b = -m, \quad c = 9 \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 \)
\( (-m)^2 - 4(1)(9) \ge 0 \)
\( m^2 - 36 \ge 0 \)
\( (m - 6)(m + 6) \ge 0 \)
\( m \in (-\infty, -6] \cup [6, \infty) \)
Kökler toplamı negatif olmalıdır.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-m}{1} \lt 0 \)
\( m \lt 0 \)
Bulduğumuz iki aralığın kesişimi en geniş \( m \) değer aralığını verir.
\( m \in (-\infty, -6] \) bulunur.
\( a, b \ne 0 \) olmak üzere,
\( x^2 + 2ax + 2b \) ifadesini sıfır yapan değerler \( a \) ve \( b \) olduğuna göre, ifadenin alabileceği en küçük değeri bulunuz.
Çözümü Göster\( a \) ve \( b \) değerleri ifadeyi sıfır yapıyorsa bu iki değer aşağıdaki denklemin kökleridir.
\( x^2 + 2ax + 2b = 0 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( ab = 2b \)
\( b \ne 0 \) olarak veriliyor.
\( a = 2 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a + b = -2a \)
\( 3a + b = 0 \)
\( a = 2 \) yazalım.
\( b = -6 \)
Bulduğumuz değerleri verilen ifadede yerine yazalım.
\( x^2 + 2ax + 2b = x^2 + 2(2)x + 2(-6) \)
\( = x^2 + 4x - 12 \)
Pozitif başkatsayılı bu ikinci dereceden ifadenin en küçük değerini bulmak için ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( = x^2 + 4x - 12 + 16 - 16 \)
\( = x^2 + 4x + 4 - 16 \)
\( = (x + 2)^2 - 16 \)
Bu ifade en küçük değerini parantez içindeki ifade sıfır olduğunda alır.
Buna göre verilen ifadenin alabileceği en küçük değer \( -16 \) olur.
İki öğrenci ikinci dereceden \( x^2 - ax + b = 0 \) denkleminin köklerini bulmaya çalışıyor.
Birinci öğrenci denklemi yanlış \( a \) değeri ile çözmeye başlıyor ve kökleri \( -3 \) ve \( -15 \) olarak buluyor. İkinci öğrenci ise denklemi yanlış \( b \) değeri ile çözmeye başlıyor ve kökleri \( 6 \) ve \( 8 \) olarak buluyor.
Buna göre denklemin doğru kökleri nedir?
Çözümü GösterBirinci öğrenci \( b \) değerini doğru kullandığı için bulduğu köklerin çarpımı gerçek denklemin kökler çarpımına eşit olmalıdır.
\( \dfrac{b}{1} = b = -3 \cdot (-15) = 45 \)
İkinci öğrenci \( a \) değerini doğru kullandığı için bulduğu köklerin toplamı gerçek denklemin kökler toplamına eşit olmalıdır.
\( -\dfrac{-a}{1} = a = 6 + 8 = 14 \)
\( a = 14 \)
Buna göre denklemin doğru şekli aşağıdaki gibidir.
\( x^2 - ax + b = 0 \)
\( x^2 - 14x + 45 = 0 \)
\( (x - 5)(x - 9) = 0 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{ 5, 9 \} \)
\( x^2 + (x_1 + 2)x + 4x_2 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Buna göre kökler toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin kökler çarpımını bulalım.
\( a = 1, \quad b = x_1 + 2, \quad c = 4x_2 \)
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = 4x_2 \)
\( x_2 = 0 \) olup olmamasına göre iki farklı çözüm oluşur.
Durum 1: \( x_2 \ne 0 \)
Bu durumda bulduğumuz eşitlikte \( x_2 \) değerleri sadeleşir.
\( x_1 = 4 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -x_1 - 2 \)
\( 4 + x_2 = -4 - 2 \)
\( x_2 = -10 \)
\( x_1 + x_2 = 4 + (-10) = -6 \)
Durum 1: \( x_2 = 0 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -x_1 - 2 \)
\( x_1 + 0 = -x_1 - 2 \)
\( x_1 = -1 \)
\( x_1 + x_2 = -1 + 0 = -1 \)
Kökler toplamının alabileceği en büyük değer \( -1 \) olarak bulunur.
\( 3x^2 - 4x + 2 = 0 \) denkleminin kökleri \( \alpha \) ve \( \beta \)'dır.
Buna göre kökleri \( 5\alpha - 2\beta \) ve \( 5\beta - 2\alpha \) ve katsayıları tamsayı olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü GösterDenklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 3, \quad b = -4, \quad c = 2 \)
\( \alpha + \beta = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{(-4)}{3} = \dfrac{4}{3} \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( \alpha\beta = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3} \)
İstenen yeni denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = (5\alpha - 2\beta) + (5\beta - 2\alpha) \)
\( = 3(\alpha + \beta) = 3 \cdot \dfrac{4}{3} = 4 \)
İstenen yeni denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = (5\alpha - 2\beta)(5\beta - 2\alpha) = 29\alpha\beta - 10(\alpha^2 + \beta^2) \)
\( = 29\alpha\beta - 10[(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta] \)
\( \alpha\beta \) ve \( \alpha + \beta \) değerlerini yerlerine koyalım.
\( = 29 \cdot \dfrac{2}{3} - 10\left[ \left( \dfrac{4}{3} \right)^2 - 2 \cdot \dfrac{2}{3} \right] \)
\( = \dfrac{58}{3} - 10\left( \dfrac{16}{9} - \dfrac{12}{9} \right) \)
\( = \dfrac{134}{9} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılır.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - 4x + \dfrac{134}{9} = 0 \)
Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 9 ile çarpalım.
\( 9x^2 - 36x + 134 = 0 \) bulunur.
\( 2x^2 + 6x + 7 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Buna göre kökleri \( 4 - m^2 \) ve \( 4 - n^2 \) ve katsayıları tamsayı olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü GösterDenklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 2, \quad b = 6, \quad c = 7 \)
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{6}{2} = -3 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{7}{2} \)
İstenen yeni denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = (4 - m^2) + (4 - n^2) = 8 - (m^2 + n^2 \))
\( = 8 - [(m + n)^2 - 2mn] \)
\( = 8 - \left[ (-3)^2 - 2 \cdot \dfrac{7}{2} \right] \)
\( = 6 \)
İstenen yeni denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = (4 - m^2)(4 - n^2) = 16 - 4m^2 - 4n^2 + (mn)^2 \)
\( = 16 - 4[(m + n)^2 - 2mn] + (mn)^2 \)
\( = 16 - 4\left[ (-3)^2 - 2 \cdot \dfrac{7}{2} \right] + \left( \dfrac{7}{2} \right)^2 \)
\( = \dfrac{81}{4} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılır.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - 6x + \dfrac{81}{4} = 0 \)
Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 4 ile çarpalım.
\( 4x^2 - 24x + 81 = 0 \) bulunur.
\( 4x^2 + 8x + 3 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Buna göre kökleri \( \frac{m^2}{n} \) ve \( \frac{n^2}{m} \) ve katsayıları tamsayı olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü GösterDenklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 4, \quad b = 8, \quad c = 3 \)
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{8}{4} = -2 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{4} \)
İstenen yeni denklemin kökler toplamını bulalım.
\( A = \dfrac{m^2}{n} + \dfrac{n^2}{m} = \dfrac{m^3 + n^3}{mn} \)
Köklerin küpler toplamını değerini bildiğimiz ifadeler cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{(m + n)(m^2 - mn + n^2)}{mn} \)
\( = \dfrac{(m + n)(m^2 + 2mn + n^2 - 3mn)}{mn} \)
\( = \dfrac{(m + n)[(m + n)^2 - 3mn]}{mn} \)
\( = \dfrac{(-2)[(-2)^2 - 3 \cdot \frac{3}{4}]}{\frac{3}{4}} \)
\( = -\dfrac{14}{3} \)
İstenen yeni denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( B = \dfrac{m^2}{n} \cdot \dfrac{n^2}{m} = mn \)
\( = \dfrac{3}{4} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılır.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 + \dfrac{14}{3}x + \dfrac{3}{4} = 0 \)
Katsayıları tam sayı olan denklem istendiği için eşitliğin sol tarafını 3 ve 4'ün EKOK'u olan 12 ile çarpalım.
\( 12x^2 + 56x + 9 = 0 \) olarak bulunur.
\( k \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 + kx + 30 = 0 \) denkleminin kaç farklı \( k \) değerinde 2 farklı tam sayı kökü vardır?
Çözümü GösterDenklemin köklerine \( m \) ve \( n \) diyelim.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 1, \quad b = k, \quad c = 30 \)
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{k}{1} = -k \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{30}{1} = 30 \)
Çarpımları 30 olan tam sayı ikilileri aşağıdaki sekiz ikili ve bunların tersidir.
\( (m, n) \in \{(30, 1), (15, 2), (10, 3), (6, 5), (-30, -1), (-15, -2), (-10, -3), (-6, -5)\} \)
Bu durumlarda oluşan farklı kök toplamları aşağıdaki gibidir.
\( m + n \in \{ -31, -17, -13, -11, 11, 13, 17, 31 \} \)
\( k \) kökler toplamının ters işaretlisi olduğu için aynı farklı değerleri alır.
Buna göre istenen koşulları sağlayan 8 farklı \( k \) değeri vardır.
\( m, n \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( x^2 - 9x + 16 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Buna göre kökleri \( \sqrt{2m} \) ve \( \sqrt{2n} \) olan ikinci dereceden denklemi bulunuz.
Çözümü GösterDenklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 1, \quad b = -9, \quad c = 16 \)
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-9}{1} = 9 \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{16}{1} = 16 \)
İstenen yeni denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( \sqrt{2m}\sqrt{2n} = \sqrt{4mn} \)
\( = \sqrt{4 \cdot 16} = 8 \)
İstenen yeni denklemin kökler toplamına \( k \) diyelim.
\( \sqrt{2m} + \sqrt{2n} = k \)
Eşitliğin taraflarının karesini alalım.
\( (\sqrt{2m} + \sqrt{2n})^2 = k^2 \)
\( 2m + 2\sqrt{2m}\sqrt{2n} + 2n = k^2 \)
\( 2(m + n) + 2\sqrt{4mn} = k^2 \)
Yukarıda bulduğumuz değerleri yerine koyalım.
\( 2(9) + 2\sqrt{64} = k^2 \)
\( k = \pm \sqrt{34} \)
\( \sqrt{2m} + \sqrt{2n} \) ifadesi negatif olamaz.
\( k = \sqrt{2m} + \sqrt{2n} = \sqrt{34} \)
Kökler toplamı \( A \) ve kökler çarpımı \( B \) olan ikinci dereceden denklem aşağıdaki şekilde yazılır.
\( x^2 - Ax + B = 0 \)
\( x^2 - \sqrt{34}x + 8 = 0 \) bulunur.
\( (x^2 + 3x)^2 - 6x^2 - 18x + 5 = 0 \) denkleminin kökler çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterEşitliğin sol tarafını düzenleyelim.
\( (x^2 + 3x)^2 - 6(x^2 + 3x) + 5 = 0 \)
\( x^2 + 3x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 6t + 5 = 0 \)
Denklemi çarpanlarına ayıralım.
\( (t - 1)(t - 5) = 0 \)
\( t \) yerine \( x^2 + 3x \) yazalım.
\( (x^2 + 3x - 1)(x^2 + 3x - 5) = 0 \)
Bu denklemin kökleri her bir çarpanı sıfır yapan değerlerden oluşur.
Birinci denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{-1}{1} = -1 \)
İkinci denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_3x_4 = \dfrac{-5}{1} = -5 \)
İki denklemin de deltaları sıfırdan büyük olduğu için birbirinden farklı ikişer reel kökü vardır.
Denklemlerin ortak kökü olmadığını denklemleri ortak çözerek teyit edebiliriz.
\( x^2 + 3x - 1 = x^2 + 3x - 5 \)
\( -1 \ne -5 \)
Buna göre verilen denklemin dört farklı reel vardır.
Köklerin çarpımı \( -1 \cdot (-5) = 5 \) olarak bulunur.
\( k \in \mathbb{R^+} \) olmak üzere,
\( x^2 + kx + 5k = 0 \) denkleminin iki farklı reel kökü \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Buna göre denklemin kökler çarpımının alabileceği en küçük tam sayı değer kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin iki farklı reel kökü olduğuna göre, deltası sıfırdan büyüktür.
\( a = 1, \quad b = k, \quad c = 5k \)
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( k^2 - 4(1)(5k) \gt 0 \)
\( k^2 - 20k \gt 0 \)
\( k(k - 20) \gt 0 \)
Bu eşitsizlik aşağıdaki aralıkta sağlanır.
\( k \in (-\infty, 0) \cup (20, \infty) \)
\( k \in \mathbb{R^+} \) olarak veriliyor.
\( k \in (20, \infty) \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = 5k \)
Kökler çarpımının en küçük değerini bulmak için \( k \) değer aralığını kullanalım.
\( k \gt 20 \)
\( 5k \gt 100 \)
Kökler çarpımının alabileceği en küçük tam sayı değer 101'dir.
\( x^2 + (2a - 3)x + 3a^2 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Buna göre \( m^2 + n^2 \) ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü GösterDenklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 1, \quad b = 2a - 3, \quad c = 3a^2 \)
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2a - 3}{1} = -(2a - 3) \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3a^2}{1} = 3a^2 \)
Denklemin köklerinin karelerinin toplamını bulalım.
\( m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn \)
\( = [-(2a - 3)]^2 - 2(3a^2) \)
\( = 4a^2 - 12a + 9 - 6a^2 \)
\( = -2a^2 - 12a + 9 \)
Negatif başkatsayılı bu ikinci dereceden ifadenin en büyük değerini bulmak için ifadeyi tam kareye tamamlayalım.
\( = -((\sqrt{2}a)^2 + 2 \cdot \sqrt{2}a \cdot 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 - 18 - 9) \)
\( = -(\sqrt{2}a + 3\sqrt{2})^2 + 27 \)
Bu ifade en büyük değerini parantez içindeki negatif işaretli ifade sıfır olduğunda alır.
Buna göre \( m^2 + n^2 \) ifadesinin alabileceği en büyük değer 27 olur.
\( \left( x + \dfrac{1}{2} \right)^2 + \left( 2x + \dfrac{1}{2} \right)^2 + \ldots + \left( 16x + \dfrac{1}{2} \right)^2 = 5 \)
denkleminin kökler toplamı kaça eşittir?
Çözümü GösterParantez karesi ifadelerinin açılımını yazalım.
\( \left( 1^2x^2 + x + \dfrac{1}{4} \right) + \left( 2^2x^2 + 2x + \dfrac{1}{4} \right) + \ldots + \left( 16^2x^2 + 16x + \dfrac{1}{4} \right) = 5 \)
Benzer terimleri ortak paranteze alalım.
\( (1^2 + 2^2 + \ldots + 16^2)x^2 + (1 + 2 + \ldots + 16)x + 16 \cdot \dfrac{1}{4} = 5 \)
\( (1^2 + 2^2 + \ldots + 16^2)x^2 + (1 + 2 + \ldots + 16)x - 1 = 0 \)
\( ax^2 + bx + c \) formundaki ikinci dereceden denklemin katsayılarını bulalım.
\( a = 1^2 + 2^2 + \ldots + 16^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)
\( = \dfrac{16 \cdot 17 \cdot 33}{6} \)
\( b = 1 + 2 + \ldots + 16 = \dfrac{n(n + 1)}{2} \)
\( = \dfrac{16 \cdot 17}{2} \)
\( c = -1 \)
Denklemin deltası sıfırdan büyüktür, dolayısıyla denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
\( \Delta = b^2 - 4ac = b^2 + 4a \gt 0 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \)
\( = -\dfrac{\frac{16 \cdot 17}{2}}{\frac{16 \cdot 17 \cdot 33}{6}} \)
\( = -\dfrac{1}{11} \) bulunur.
\( (5 - m)x^2 + 4x + m + 2 = 0 \)
denkleminin biri pozitif diğeri negatif iki reel kökü olduğuna göre, en geniş \( m \) değer aralığı nedir?
Çözümü GösterDenklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
Denklemin biri pozitif diğeri negatif iki reel kökü varsa deltası sıfırdan büyüktür ve denklemin kökler çarpımı negatiftir.
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( a = 5 - m, \quad b = 4, \quad c = m + 2 \)
\( x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{m + 2}{5 - m} \lt 0 \)
Pay ve paydadaki her bir çarpanı sıfır yapan \( m \in \{-2, 5\} \) değerleri eşitsizliğin kritik noktalarıdır.
Bu kritik noktalar reel sayı doğrusunda \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 5) \) ve \( (5, \infty) \) aralıklarını oluşturur.
Bir işaret tablosu hazırlayalım.
Rasyonel ifade paydayı sıfır yapan \( x = 5 \) değerinde tanımsız, payı sıfır yapan \( x = -2 \) değerinde sıfır olur.
Verilen eşitsizlikte \( \lt \) sembolü kullanıldığı için rasyonel ifadenin negatif olduğu aralık ve değerler eşitsizliğin çözüm kümesi olur.
\( m \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty) \)
Ayrıca verilen denklemin deltası sıfırdan büyük olmalıdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( 4^2 - 4(5 - m)(m + 2) \gt 0 \)
\( 16 - 12m - 40 + 4m^2 \gt 0 \)
\( m^2 - 3m - 6 \gt 0 \)
Bu ikinci dereceden ifadenin başkatsayısı ve deltası sıfırdan büyük olduğu için her \( m \) değeri için ifade pozitiftir, dolayısıyla eşitsizlik sağlanır.
Buna göre istenen koşulu sağlayan \( m \) değer aralığı aşağıdaki gibidir.
\( m \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty) \)
\( x^2 + kx + 4 = 0 \) denkleminin birbirinden farklı iki reel kökü vardır.
Kökler farkı 3'ten küçük olduğuna göre, en geniş \( k \) değer aralığı nedir?
Çözümü GösterDenklemin köklerine \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 1, \quad b = k, \quad c = 4 \)
\( x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{k}{1} = -k \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( x_1x_2 = 4 \)
Denklemin kökler farkını bulalım.
Kökler farkı 3'ten küçük olarak veriliyor.
\( \abs{x_1 - x_2} \lt 3 \)
Eşitsizliğin solunu köklü ifade şeklinde yazalım.
\( \sqrt{(x_1 - x_2)^2} \lt 3 \)
Fark karesi ifadesini toplam karesi şeklinde yazalım.
\( \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} \lt 3 \)
Bulduğumuz kökler toplamını ve kökler çarpımını yerine yazalım.
\( \sqrt{(-k)^2 - 4(4)} \lt 3 \)
\( \sqrt{k^2 - 16} \lt 3 \)
Eşitsizliğin taraflarının karesini alalım.
\( k^2 - 16 \lt 9 \)
\( k^2 \lt 25 \)
\( -5 \lt k \lt 5 \)
Elde ettiğimiz bu aralık denklemin karmaşık köklerini de kapsar.
Denklemin birbirinden farklı iki reel kökü olduğu belirtildiği için ek olarak delta sıfırdan büyük olmalıdır.
\( \Delta = b^2 - 4ac \gt 0 \)
\( k^2 - 4(1)(4) \gt 0 \)
\( k^2 - 16 \gt 0 \)
\( k \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty) \)
Bulduğumuz iki aralığın kesişimi en geniş \( k \) değer aralığını verir.
\( k \in (-5, -4) \cup (4, 5) \)
\( b \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 + bx + 24 = 0 \) denkleminin kökleri kaç farklı \( b \) değeri için tam sayıdır?
Çözümü GösterDenklemin köklerine \( m \) ve \( n \) diyelim.
\( (x - m)(x - n) = x^2 + bx + 24 \)
Denklemin kökler toplamını bulalım.
\( a = 1, \quad b = b, \quad c = 24 \)
\( m + n = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{b}{1} = -b \)
Denklemin kökler çarpımını bulalım.
\( mn = \dfrac{c}{a} = \dfrac{24}{1} = 24 \)
Buna göre denklemin kökler çarpımı 24'tür.
24'ün tam sayı bölenlerini bulalım.
\( \{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\} \)
Çarpımları 24 olan kök ikilileri için kökler toplamını bulalım.
\( 24 = 1 \cdot 24 \Longrightarrow 1 + 24 = 25 \)
\( 24 = 2 \cdot 12 \Longrightarrow 2 + 12 = 14 \)
\( 24 = 3 \cdot 8 \Longrightarrow 3 + 8 = 11 \)
\( 24 = 4 \cdot 6 \Longrightarrow 4 + 6 = 10 \)
\( 24 = -1 \cdot (-24) \Longrightarrow -1 + (-24) = -25 \)
\( 24 = -2 \cdot (-12) \Longrightarrow -2 + (-12) = -14 \)
\( 24 = -3 \cdot (-8) \Longrightarrow -3 + (-8) = -11 \)
\( 24 = -4 \cdot (-6) \Longrightarrow -4 + (-6) = -10 \)
Buna göre \( b \) 8 farklı değer alabilir.
\( b \in \{\pm 10, \pm 11, \pm 14, \pm 25\} \)