Üslü İfadeli Denklemler
Bu bölümde üslü ifadeler içeren farklı tipteki denklemlerin çözüm yöntemlerini inceleyeceğiz.
Denklem çözümünde sıklıkla kullanılan bir yöntem olarak, aynı sayının tam sayı üssü olarak yazılabilen sayıların tabanları eşitlenebilir. Eşitlenebilir olmayan tabanların sadece aralarında asal sayılardan oluşmadığına dikkat edilmelidir.
Eşitlenebilir tabanlar:
\( 4 = 2^2 \) ve \( 8 = 2^3 \)
\( (\frac{1}{27}) = 3^{-3} \) ve \( 81 = 3^4 \)
Eşitlenebilir olmayan tabanlar:
\( 3 \) ve \( 5 \)
\( 4 = 2^2 \) ve \( 6 = 2 \cdot 3 \)
\( 12 = 2^2 \cdot 3 \) ve \( 18 = 2 \cdot 3^2 \)
Tabanları Eşit İfadeler
\( -1, 0, 1 \) taban değerleri hariç olmak üzere, tabanları eşit iki üslü ifade arasındaki eşitlikte üsler birbirine eşittir. Tabanları eşit olmayan iki üslü ifadenin tabanları eşitlenebiliyorsa eşitleme işlemi sonrasında bu yöntem kullanılabilir.
\( x \in \mathbb{R} - \{ -1, 0, 1 \} \) ve \( m, n \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^m = x^n \Longrightarrow m = n \)
\( 3^{2m - 1} = 3^7 \)
\( 2m - 1 = 7 \)
\( m = 4 \)
\( 4^{2a + 3} = 32^{a - 1} \)
\( 2^{2(2a + 3)} = 2^{5(a - 1)} \)
\( 2(2a + 3) = 5(a - 1) \)
\( a = 11 \)
Üsleri Eşit İfadeler
Üslü ifadelerin üsleri eşit ise denklem çözümü üssün tek ya da çift sayı olmasına göre iki farklı şekilde olabilir. Üsleri eşit olmayan iki ifadenin üsleri eşitlenebiliyorsa eşitleme işlemi sonrasında bu iki yöntem kullanılabilir.
Üsler Tek Sayı
Üsleri eşit ve tek sayı olan iki üslü ifade arasındaki eşitlikte tabanlar birbirine eşittir. Bunun sebebi, sayıların tek sayı üslerinde işlem sonucunun işaretinin her zaman tabanla aynı olmasıdır.
\( x, y \in \mathbb{R} \),
\( n \in \mathbb{Z} \) ve tek sayı olmak üzere,
\( x^n = y^n \Longrightarrow x = y \)
\( x^3 = 5^3 \)
\( x = 5 \)
\( (a - 1)^7 = (2a + 3)^7 \)
\( a - 1 = 2a + 3 \)
\( a = -4 \)
Üsler Çift Sayı
Üsleri eşit ve (sıfırdan farklı olmak üzere) çift sayı olan iki üslü ifade arasındaki eşitlikte tabanların mutlak değeri birbirine eşittir. Bunun sebebi, sayıların çift sayı üslerinde işlem sonucunun işaretinin her zaman pozitif olmasıdır.
\( x, y \in \mathbb{R} \),
\( n \in \mathbb{Z} - \{0\} \) ve çift sayı olmak üzere,
\( x^n = y^n \Longrightarrow \abs{x} = \abs{y} \)
\( x^4 = 3^4 \)
\( \abs{x} = \abs{3} = 3 \)
\( x \in \{-3, 3\} \)
\( (2a + 1)^4 = (a - 7) ^4 \)
\( \abs{2a + 1} = \abs{a - 7} \)
Çözüm 1: \( 2a + 1 = a - 7 \)
\( a = -8 \)
Çözüm 2: \( 2a + 1 = -(a - 7) \)
\( a = 2 \)
\( a \in \{-8, 2\} \)
Üssü Tam Sayı Olan İfadeler
Üsleri tam sayı olan iki ifadenin eşitliğinde, tabanlar eşitlenebilir değilse üsler sıfır olur.
\( m, n \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( x \) ve \( y \) eşitlenebilir tabanlar değilse,
\( x^m = y^n \)
\( m = n = 0 \Longrightarrow x^0 = y^0 = 1 \)
\( 4^m = 6^n \) ise,
4 ve 6 eşitlenebilir tabanlar olmadığı için, \( m = n = 0 \) olur.
\( 4^0 = 6^0 = 1 \)
Sonucu Bir Olan İfadeler
Sonucu 1 olan bir üslü ifadenin üç olası çözümü vardır.
\( x^a = 1 \) ise,
Çözüm 1: Taban 0'dan farklı bir sayı, üs 0'dır.
\( x^0 = 1 \)
Çözüm 2: Taban 1, üs herhangi bir reel sayıdır.
\( 1^a = 1 \)
Çözüm 3: Taban -1, üs çift sayıdır.
\( (-1)^\text{Çift} = 1 \)
\( (x + 3)^{x - 2} = 1\) denkleminin çözüm kümesi:
Çözüm 1: Taban 0'dan farklı bir sayı, üs 0'dır.
\( x + 3 \ne 0 \Longrightarrow x \ne -3 \)
\( x - 2 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
\( 2 \ne -3 \) olduğu için \( x = 2 \) geçerli bir çözümdür.
Çözüm 2: Taban 1, üs herhangi bir reel sayıdır.
\( x + 3 = 1 \Longrightarrow x = -2 \)
Çözüm 3: Taban -1, üs çift sayıdır.
\( x + 3 = -1 \Longrightarrow x = -4 \)
\( x = -4 \) için ifadenin üssü çift sayı olduğu için \( x = -4 \) geçerli bir çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-4, -2, 2\} \)
Tabanları Aynı İki Eşitlik
Aşağıdaki gibi tabanları aynı üsleri farklı olan iki eşitlikte, aynı tabanlı ifadelerin üslerinin oranı birbirine eşit olur.
\( x^a = y^b \) ve
\( x^m = y^n \) ise,
\( \dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} \)
\( 2^a = 3^{2b} \)
\( 2^{3m} = 3^n \)
\( \dfrac{a}{3m} = \dfrac{2b}{n} \)
\( (x + 5)^3 = (2x - 1)^3 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterÜsleri eşit ve tek sayı olan iki üslü ifade arasındaki eşitlikte tabanlar birbirine eşittir.
\( x + 5 = 2x - 1 \)
\( x = 6 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{6\} \)
\( (x + 1)^8 = (3x - 13)^8 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterÜsleri eşit ve (sıfırdan farklı olmak üzere) çift sayı olan iki üslü ifade arasındaki eşitlikte tabanların mutlak değeri birbirine eşittir.
\( \abs{x + 1} = \abs{3x - 13} \)
Durum 1:
\( x + 1 = 3x - 13 \)
\( x = 7 \)
Durum 2:
\( x + 1 = -(3x - 13) \)
\( x = 3 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{3, 7\} \)
\( (x - 5)^{9 - x^2} = 1 \) denklemini sağlayan \( x \) tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü GösterSonucu 1 olan bir üslü ifadenin üç olası çözümü vardır.
Durum 1: Taban 0'dan farklı bir sayı, üs 0'dır.
\( x - 5 \ne 0 \)
\( 9 - x^2 = 0 \)
\( x \in \{-3, 3\} \)
Durum 2: Taban 1, üs herhangi bir reel sayıdır.
\( x - 5 = 1 \Longrightarrow x = 6 \)
Durum 3: Taban -1, üs bir çift sayıdır.
\( x - 5 = -1 \Longrightarrow x = 4 \)
\( x = 4 \) için ifadenin üssü çift sayı olmadığı için \( x = 4 \) geçerli bir çözüm değildir.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-3, 3, 6\} \)
Buna göre denklemi sağlayan değerlerin toplamı \( -3 + 3 + 6 = 6 \) olur.
\( (0,25)^{5 - x} = 8^{2x - 14} \) olduğuna göre, \( x \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterEşitliğin taraflarını 2 tabanında yazalım.
\( (\frac{1}{4})^{5 - x} = (2^3)^{2x - 14} \)
\( (2^{-2})^{5 - x} = 2^{6x - 42} \)
\( 2^{-10 + 2x} = 2^{6x - 42} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( -10 + 2x = 6x - 42 \)
\( x = 8 \) bulunur.
\( 7^x = 64, \quad 16^y = 49 \)
olduğuna göre, \( xy \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterEşitliklerdeki ifadelerin tabanlarını asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( 7^x = 64 \Longrightarrow 7^x = 2^6 \)
\( 16^y = 49 \Longrightarrow 7^2 = 2^{4y} \)
Tabanları aynı üsleri farklı iki eşitlikte, aynı tabanlı ifadelerin üslerinin oranları birbirine eşit olur.
\( \dfrac{x}{2} = \dfrac{6}{4y} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 4xy = 12 \)
\( xy = 3 \) bulunur.
\( \dfrac{2^a}{4^{a + 2}} + 2^{2a} - \dfrac{4^{a + 2}}{16} = 128 \)
olduğuna göre, \( a \) kaçtır?
Çözümü GösterTüm üslü ifadeleri tabanları 2 olacak şekilde düzenleyelim.
\( \dfrac{2^a}{2^{2(a + 2)}} + 2^{2a} - \dfrac{2^{2(a + 2)}}{2^4} = 2^7 \)
\( 2^{a - 2(a + 2)} + 2^{2a} - 2^{2(a + 2) - 4} = 2^7 \)
\( 2^{-a - 4} + 2^{2a} - 2^{2a} = 2^7 \)
\( 2^{-a - 4} = 2^7 \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( -a - 4 = 7 \)
\( a = -11 \) bulunur.
Aşağıda verilen eşitlikleri sağlayan \( x \) değerlerini bulunuz.
(a) \( 16^x = 64 \)
(b) \( 6 \cdot 27^{2x} = 2 \cdot 243^{\frac{2x}{5}} \)
(c) \( (\dfrac{6}{49})^3 = \dfrac{x + 2}{343} \)
Çözümü Göster\( -1, 0, 1 \) taban değerleri hariç olmak üzere, tabanları eşit iki üslü ifade arasındaki eşitlikte üsler birbirine eşittir.
(a) seçeneği:
\( 16^x = 64 \)
\( (2^4)^x = 2^6 \)
\( 2^{4x} = 2^6 \)
\( 4x = 6 \)
\( x = \dfrac{3}{2} \)
(b) seçeneği:
\( 6 \cdot 27^{2x} = 2 \cdot 243^{\frac{2x}{5}} \)
\( 2 \cdot 3 \cdot (3^3)^{2x} = 2 \cdot (3^5)^{\frac{2x}{5}} \)
\( 3 \cdot (3^3)^{2x} = (3^5)^{\frac{2x}{5}} \)
\( 3 \cdot 3^{6x} = 3^{5 \cdot \frac{2x}{5}} \)
\( 3^{6x + 1} = 3^{2x} \)
\( 6x + 1 = 2x \)
\( 4x = -1 \)
\( x = -\dfrac{1}{4} \)
(c) seçeneği:
\( (\dfrac{6}{49})^3 = \dfrac{x + 2}{343} \)
\( \dfrac{6^3}{49^3} = \dfrac{x + 2}{7^3} \)
\( \dfrac{6^3}{(7^2)^3} = \dfrac{x + 2}{7^3} \)
\( \dfrac{6^3}{7^6} = \dfrac{x + 2}{7^3} \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 6^3 \cdot 7^3 = 7^6 \cdot (x + 2) \)
\( 6^3 = 7^3 \cdot (x + 2) \)
\( 216 = 343 \cdot (x + 2) \)
\( \dfrac{216}{343} = x + 2 \)
\( x = -\dfrac{470}{343} \)
\( (x^2 - 4x - 22)^{x^2 - 5x - 36} = 1 \) denkleminin çözüm kümesinde kaç tam sayı değer vardır?
Çözümü GösterSonucu 1 olan bir üslü ifadenin üç olası çözümü vardır.
Durum 1: Taban 0'dan farklı bir sayı, üs 0'dır.
\( x^2 - 5x - 36 = 0 \)
\( (x + 4)(x - 9) = 0 \)
\( x = -4 \) ya da \( x = 9 \)
Bu iki değerin tabanı 0 yapıp yapmadığını kontrol edelim.
\( x = -4 \) için:
\( (-4)^2 - 4(-4) - 22 = 10 \)
\( x = 9 \) için:
\( 9^2 - 4(9) - 22 = 23 \)
Her iki değer için de taban 0'dan farklı olduğu için bu iki değer geçerli birer çözümdür.
Durum 2: Taban 1, üs herhangi bir reel sayıdır.
\( x^2 - 4x - 22 = 1 \)
\( x^2 - 4x - 23 = 0 \)
Bu denklemin deltası pozitif olsa da bir tam kare sayı değildir, dolayısıyla denklemin tam sayı kökü yoktur.
\( \Delta = 4^2 - 4(1)(-23) = 108 \)
Durum 3: Taban -1, üs bir çift sayıdır.
\( x^2 - 4x - 22 = -1 \)
\( x^2 - 4x - 21 = 0 \)
\( (x + 3)(x - 7) = 0 \)
\( x = -3 \) ya da \( x = 7 \)
Bu iki değerin üssü çift sayı yapıp yapmadığını kontrol edelim.
\( x = -3 \) için:
\( (-3)^2 - 5(-3) - 36 = -12 \)
\( x = 7 \) için:
\( 7^2 - 5(7) - 36 = -22 \)
Her iki değer için de üs çift olduğu için bu iki değer geçerli birer çözümdür.
Çözüm kümesi: \( x \in \{-4, -3, 7, 9\} \)
Buna göre çözüm kümesinde 4 tam sayı değer vardır.
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (4x + 5y - 8)^{22} + (2x - 3y + 7)^{44} = 0 \)
olduğuna göre, \( x + y \) kaçtır?
Çözümü GösterDerecesi çift sayı olan bir reel sayı ifade sıfır ya da pozitif olabilir, negatif olamaz.
Derecesi çift sayı olan iki reel sayı ifadenin toplamı sıfır ise bu ifadeler ayrı ayrı sıfır olur.
\( 4x + 5y - 8 = 0 \)
\( 2x - 3y + 7 = 0 \)
İkinci denklemi -2 ile çarpalım.
\( 4x + 5y - 8 = 0 \)
\( -4x + 6y - 14 = 0 \)
İki denklemi taraf tarafa toplayalım.
\( 11y - 22 = 0 \)
\( y = 2 \)
Bu değeri denklemlerden birinde yerine koyarak \( x \) değerini bulalım.
\( 4x + 5(2) - 8 = 0 \)
\( x = -\dfrac{1}{2} \)
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.
\( x + y = -\dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{3}{2} \) bulunur.
\( x, y, z \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( (x^2 - 16)^2 + (y^3 - 8)^2 + (z^4 - 1)^2 = 0 \) denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözümü GösterReel sayıların kareleri negatif olamadığı için, üç kare ifadesinin toplamı sıfır ise bu ifadeler ayrı ayrı sıfıra eşittir.
\( x^2 - 16 = 0 \)
\( x^2 = 16 \)
\( x = \pm 4 \)
\( y^3 - 8 = 0 \)
\( y^3 = 8 \)
\( y = 2 \)
\( z^4 - 1 = 0 \)
\( z^4 = 1 \)
\( z = \pm 1 \)
\( x \) ve \( z \) ikişer değer, \( y \) bir değer alabildiği için, sıralı üçlülerden oluşan çözüm kümesi \( 2 \cdot 1 \cdot 2 = 4 \) elemanlı olur.
Çözüm kümesi: \( (x, y, z) = \{ (4, 2, 1), (4, 2, -1), (-4, 2, 1), (-4, 2, -1) \} \) bulunur.
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 + y^2 = 4y - 8x - 20 \)
olduğuna göre, \( xy \) çarpımı kaçtır?
Çözümü GösterTüm terimleri eşitliğin sol tarafında toplayalım.
\( x^2 + y^2 - 4y + 8x + 20 = 0 \)
Terimleri incelediğimizde \( xy \)'li terim bulunmadığını görürüz, dolayısıyla terimler \( (x \pm y)^2 \) biçiminde paranteze alınamaz.
Buna göre terimleri \( (x \pm a)^2 \) ve \( (y \pm b)^2 \) formunda yazabilecek şekilde gruplayalım.
\( (x^2 + 8x) + (y^2 - 4y) + 20 = 0 \)
Eksik sabit terimler için \( 20 = 16 + 4 \) şeklinde yazalım.
\( (x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 4y + 4) = 0 \)
\( (x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 0 \)
Derecesi çift sayı olan bir reel sayı ifade sıfır ya da pozitif olabilir, negatif olamaz.
Derecesi çift sayı olan iki reel sayı ifadenin toplamı sıfır ise bu ifadeler ayrı ayrı sıfır olur.
\( x + 4 = 0 \Longrightarrow x = -4 \)
\( y - 2 = 0 \Longrightarrow y = 2 \)
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.
\( xy = -4 \cdot 2 = -8 \) bulunur.
\( \dfrac{2^{a + 1} + 2^{a + 4} - 2^{a + 3}}{3^{a + 2} + 3^{a + 3} + 3^{a + 4}} = \dfrac{5}{39} \)
olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır?
Çözümü GösterPaydaki terimleri \( 2^a \), paydadaki terimleri \( 3^a \) parantezine alalım.
\( \dfrac{2^a\ (2 + 2^4 - 2^3)}{3^a\ (3^2 + 3^3 + 3^4)} = \dfrac{5}{39} \)
\( \dfrac{2^a\ (2 + 16 - 8)}{3^a\ (9 + 27 + 81)} = \dfrac{5}{39} \)
\( \dfrac{2^a \cdot 10}{3^a \cdot 117} = \dfrac{5}{39} \)
Sadeleştirmeleri yapalım.
\( \dfrac{2^{a}}{3^{a}} = \dfrac{3}{2} \)
\( (\dfrac{2}{3})^a = (\dfrac{2}{3})^{-1} \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( a = -1 \) bulunur.
\( a, b \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 5^{3a + 4b} \cdot 81^a = 3^{7 - 3b} \) olduğuna göre, \( ab \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( 5^{3a + 4b} \cdot 3^{4a} = 3^{7 - 3b} \)
\( 5^{3a + 4b} = \dfrac{3^{7 - 3b}}{3^{4a}} \)
\( 5^{3a + 4b} = 3^{7 - 3b - 4a} \)
Tabanlar aralarında asal ve üsler tam sayı olduğu için bu eşitlik sadece üsler sıfır olduğunda sağlanır.
\( 5^0 = 3^0 = 1 \)
\( 3a + 4b = 0 \)
\( 7 - 3b - 4a = 0 \)
İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri elde ederiz.
\( a = 4, \quad b = -3 \)
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.
\( ab = 4 \cdot (-3) = -12 \) bulunur.
\( x^2 - y^2 = 7, \quad \dfrac{16^{x - y}}{16^{y - x}} = 256 \)
olduğuna göre, \( xy \) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster\( 16^{x - y - y + x} = 16^2 \)
\( 16^{2(x - y)} = 16^2 \)
Tabanları eşit ve -1, 0, 1'den farklı iki üslü ifadenin eşitliğinde üsler birbirine eşittir.
\( 2(x - y) = 2 \)
\( x - y = 1 \)
\( x^2 - y^2 = 7 \)
\( (x - y)(x + y) = 7 \)
\( 1 \cdot (x + y) = 7 \)
\( x + y = 7 \)
İki bilinmeyenli iki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri elde ederiz.
\( x = 4, \quad y = 3 \)
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.
\( xy = 4 \cdot 3 = 12 \) bulunur.
\( x, y \in \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( x^2 + 2xy + 2y^2 - 2x + 2 = 0 \)
olduğuna göre, \( x^3 + y^5 \) toplamı kaçtır?
Çözümü Gösterİfadeyi gruplayarak çarpanlarına ayıralım.
\( 2y^2 = y^2 + y^2 \) şeklinde iki terime ayıralım.
\( (x^2 + 2xy + y^2) + y^2 - 2x + 2 = 0 \)
\( (x + y)^2 + y^2 - 2x + 2 = 0 \)
Eşitliğin sol tarafına \( 2y \) ekleyip \( 2y \) çıkaralım ve sabit terimi \( 2 = 1 + 1 \) şeklinde yazalım.
\( (x + y)^2 + (y^2 + 2y + 1) - 2y - 2x + 1 = 0 \)
\( (y + 1)^2 + (x + y)^2 - 2y - 2x + 1 = 0 \)
\( - 2x - 2y \) ifadesini -2 parantezine alalım.
\( (y + 1)^2 + (x + y)^2 - 2(x + y) + 1 = 0 \)
2., 3. ve 4. terimleri \( ((x + y) - 1)^2 \) şeklinde yazabiliriz.
\( (y + 1)^2 + ((x + y) - 1)^2 = 0 \)
Derecesi çift sayı olan bir reel sayı ifade sıfır ya da pozitif olabilir, negatif olamaz.
Derecesi çift sayı olan iki reel sayı ifadenin toplamı sıfır ise bu ifadeler ayrı ayrı sıfır olur.
\( y + 1 = 0 \Longrightarrow y = -1 \)
\( x + y - 1 = 0 \Longrightarrow x = 2 \)
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.
\( x^3 + y^5 = 2^3 + (-1)^5 \)
\( = 8 - 1 = 7 \) bulunur.
\( 25^x = 130 \cdot 5^x - 625 \) denklemini sağlayan \( x \) reel sayılarının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster\( 5^{2x} = 130 \cdot 5^x - 625 \)
\( (5^x)^2 - 130 \cdot 5^x + 625 = 0 \)
\( 5^x = t \) şeklinde değişken değiştirelim.
\( t^2 - 130t + 625 = 0 \)
\( (t - 5)(t - 125) = 0 \)
\( t = 5 \) ya da \( t = 125 \)
\( t = 5 = 5^x \Longrightarrow x = 1 \)
\( t = 125 = 5^x \Longrightarrow x = 3 \)
Çözüm kümesi: \( x \in \{1, 3\} \)
Buna göre \( x \)'in alabileceği değerlerin toplamı \( 1 + 3 = 4 \) olur.
\( x, y \in \mathbb{Z} \) olmak üzere,
\( 64^{x - y} \cdot 125^{2x + y - 3} = 100^{18} \)
olduğuna göre, \( x + y \) kaçtır?
Çözümü GösterÜslü ifadelerin tabanlarını asal çarpanları cinsinden yazalım.
\( (2^6)^{x - y} \cdot (5^3)^{2x + y - 3} = (2^2 \cdot 5^2)^{18} \)
\( 2^{6(x - y)} \cdot 5^{3(2x + y - 3)} = 2^{2(18)} \cdot 5^{2(18)} \)
\( 2^{6x - 6y} \cdot 5^{6x + 3y - 9} = 2^{36} \cdot 5^{36} \)
Tabanı aynı olan ifadeleri eşitliğin aynı tarafında toplayalım.
\( \dfrac{2^{6x - 6y}}{2^{36}} = \dfrac{5^{36}}{5^{6x + 3y - 9}} \)
\( 2^{6x - 6y - 36} = 5^{36 - 6x - 3y + 9} \)
Tabanlar aralarında asal ve üsler tam sayı olduğu için bu eşitlik sadece üsler sıfır olduğunda sağlanır.
\( 6x - 6y - 36 = 0 \)
\( x - y = 6 \)
\( 36 - 6x - 3y + 9 = 0 \)
\( 2x + y = 15 \)
İki denklemi ortak çözdüğümüzde aşağıdaki değerleri buluruz.
\( x = 7, \quad y = 1 \)
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.
\( x + y = 7 + 1 = 8 \) bulunur.