Temel Trigonometrik Özdeşlikler
Trigonometride kullanılan temel özdeşlikler aşağıdaki gibidir. Bu özdeşlikler dışındaki indirgeme, toplam, fark, iki kat açı ve dönüşüm formüllerini önümüzdeki bölümlerde inceleyeceğiz.
Pisagor Özdeşlikleri
Bir açının sinüs ve kosinüs değerlerinin kareleri toplamı 1'e eşittir. Bu özdeşlik sadece dar açılar değil, tüm açılar için geçerlidir.
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \)
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = (\dfrac{2}{4})^2 + (\dfrac{2\sqrt{3}}{4})^2 \)
\( = \dfrac{4}{16} + \dfrac{12}{16} = 1 \)
İSPATI GÖSTER
Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını bir dik üçgenin kenarlarının oranı şeklinde yazalım.
\( \sin{x} = \dfrac{b}{a} \)
\( \cos{x} = \dfrac{c}{a} \)
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = {\left( \dfrac{b}{a} \right)}^2 + {\left( \dfrac{c}{a} \right)}^2 \) \( = \dfrac{b^2 + c^2}{a^2} \)
Pisagor teoremine göre, paydaki ifade \( a^2 \)'ye eşittir.
\( b^2 + c^2 = a^2 \)
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = \dfrac{a^2}{a^2} = 1 \)
İlgili fonksiyonların tanımlı olduğu açılar için aşağıdaki iki özdeşlik yukarıdaki Pisagor özdeşliğinden kolaylıkla türetilebilir.
\( \tan^2{x} + 1 = \sec^2{x} \)
\( 1 + \cot^2{x} = \csc^2{x} \)
\( \tan^2{y} + 1 = (\dfrac{\sqrt{3}}{1})^2 + 1 = 4 \)
\( \sec^2{y} = (\dfrac{2}{1})^2 = 4 \)
\( 1 + \cot^2{y} = 1 + (\dfrac{1}{\sqrt{3}})^2 = \dfrac{4}{3} \)
\( \csc^2{y} = (\dfrac{2}{\sqrt{3}})^2 = \dfrac{4}{3} \)
İSPATI GÖSTER
1. özdeşliğin ispatı:
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \)
Yukarıdaki Pisagor özdeşliğinin iki tarafını \( \cos^2{x} \) ifadesine bölelim.
\( \dfrac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} + \dfrac{\cos^2{x}}{\cos^2{x}} = \dfrac{1}{\cos^2{x}} \)
Sinüs fonksiyonunun kosinüs fonksiyonuna oranı tanjant fonksiyonunu verir. Kosinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersi sekant fonksiyonudur.
\( \tan^2{x} + 1 = \sec^2{x} \)
2. özdeşliğin ispatı:
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \)
Yukarıdaki Pisagor özdeşliğinin iki tarafını \( \sin^2{x} \) ifadesine bölelim.
\( \dfrac{\sin^2{x}}{\sin^2{x}} + \dfrac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}} = \dfrac{1}{\sin^2{x}} \)
Kosinüs fonksiyonunun sinüs fonksiyonuna oranı kotanjant fonksiyonunu verir. Sinüs fonksiyonunun çarpmaya göre tersi kosekant fonksiyonudur.
\( 1 + \cot^2{x} = \csc^2{x} \)
Fonksiyonların Çarpmaya Göre Tersi
Sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının çarpmaya göre tersleri sırasıyla kosekant, sekant ve kotanjant fonksiyonlarıdır.
\( x \) her bir fonksiyonun tanımlı olduğu bir açı ölçüsü olmak üzere,
\( \sin{x} = \dfrac{1}{\csc{x}} \Longleftrightarrow \sin{x} \cdot \csc{x} = 1 \)
\( \cos{x} = \dfrac{1}{\sec{x}} \Longleftrightarrow \cos{x} \cdot \sec{x} = 1 \)
\( \tan{x} = \dfrac{1}{\cot{x}} \Longleftrightarrow \tan{x} \cdot \cot{x} = 1 \)
\( \sin{x} \cdot \csc{x} = \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{4}{2} = 1 \)
\( \cos{x} \cdot \sec{x} = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{4}{2\sqrt{3}} = 1 \)
\( \tan{x} \cdot \cot{x} = \dfrac{2}{2\sqrt{3}} \cdot \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = 1 \)
Tümler Açılar
Birbirini \( 90° \)'ye tamamlayan açılar için sinüs-kosinüs, tanjant-kotanjant ve sekant-kosekant fonksiyonlarının değerleri birbirine eşittir. Bu özdeşlikler sadece dar açılar değil, tüm açılar için geçerlidir.
\( \sin{x} = \cos(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \cos{x} = \sin(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \tan{x} = \cot(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \cot{x} = \tan(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \sec{x} = \csc(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \csc{x} = \sec(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \sin{x} = \dfrac{3}{5} = \cos{y} \)
\( \tan{x} = \dfrac{3}{4} = \cot{y} \)
\( \sec{x} = \dfrac{5}{4} = \csc{y} \)
İSPATI GÖSTER
Yukarıdaki üçgende \( \hat{B} \) ve \( \hat{C} \) açıları tümler açılardır.
\( m(\hat{B}) + m(\hat{C}) = \dfrac{\pi}{2} \)
\( m(\hat{C}) = \dfrac{\pi}{2} - x \)
Üçgenin kenar uzunlukları arasındaki tüm oranları ve hem \( \hat{B} \) hem de \( \hat{C} \) açıları için her bir orana karşılık gelen trigonometrik fonksiyonları yazalım.
\( \dfrac{b}{a} = \sin{x} = \cos(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \dfrac{c}{a} = \cos{x} = \sin(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \dfrac{b}{c} = \tan{x} = \cot(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \dfrac{c}{b} = \cot{x} = \tan(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \dfrac{a}{c} = \sec{x} = \csc(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( \dfrac{a}{b} = \csc{x} = \sec(\frac{\pi}{2} - x) \)
Bu şekilde altı özdeşliği de elde etmiş olduk.
Bu özdeşlikler tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant fonksiyonlarını tanımsız yapan (tanım kümesi dışındaki) \( x \) değerleri için sağlanmaz.
Negatif Açılar
Sinüs, tanjant, kotanjant ve kosekant fonksiyonları için bir açının negatifinin fonksiyon değeri açının kendisinin fonksiyon değerinin negatifine eşittir. Buna göre bu dört fonksiyon tek fonksiyondur.
\( \sin(-x) = -\sin{x} \)
\( \tan(-x) = -\tan{x} \)
\( \cot(-x) = -\cot{x} \)
\( \csc(-x) = -\csc{x} \)
Kosinüs ve sekant fonksiyonları için ise bir açının negatifinin fonksiyon değeri açının kendisinin fonksiyon değerine eşittir. Buna göre bu iki fonksiyon çift fonksiyondur.
\( \cos(-x) = \cos{x} \)
\( \sec(-x) = \sec{x} \)
\( \dfrac{\sin{40°} \cdot \tan{27°}}{\cos{50°} \cdot \cot{63°}} \) ifadesinin eşiti kaçtır?
Çözümü GösterTümler açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir. Aynı şekilde tümler açıların tanjant ve kotanjant değerleri birbirine eşittir.
\( \sin{40°} = \cos{50°} \)
\( \tan{27°} = \cot{63°} \)
\( \dfrac{\sin{40°} \cdot \tan{27°}}{\cos{50°} \cdot \cot{63°}} \)
\( = \dfrac{\sin{40°} \cdot \tan{27°}}{\sin{40°} \cdot \tan{27°}} \)
\( = 1 \) bulunur.
\( \sin^4{x} + \cos^2{x} \cdot \sin^2{x} - \sin^2{x} \) ifadesinin en sade biçimi nedir?
Çözümü Göster\( \sin^4{x} + \cos^2{x} \cdot \sin^2{x} - \sin^2{x} \)
İfadeyi \( \sin^2{x} \) parantezine alalım.
\( = \sin^2{x}(\sin^2{x} + \cos^2{x} - 1) \)
Sinüs - kosinüs kare toplamı özdeşliğini kullanalım.
\( = \sin^2{x}(1 - 1) \)
\( = 0 \) bulunur.
\( \dfrac{\cot^2{x}}{1 + \cot^2{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Gösterİfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}}}{1 + \frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}}} \)
\( = \dfrac{\frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}}}{\frac{\sin^2{x} + \cos^2{x}}{\sin^2{x}}} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{\frac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}}}{\frac{1}{\sin^2{x}}} \)
\( = \cos^2{x} \) bulunur.
\( \dfrac{\tan{x} \cdot \sec{x}}{1 + \tan^2{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Gösterİfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}} \cdot \frac{1}{\cos{x}}}{1 + \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}} \)
\( = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos^2{x}}}{\frac{\cos^2{x} + \sin^2{x}}{\cos^2{x}}} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos^2{x}}}{\frac{1}{\cos^2{x}}} \)
\( = \sin{x} \) bulunur.
\( (3\cos{x} + \sin{x})^2 + (\cos{x} - 3\sin{x})^2 \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Gösterİfadelerin açılımını yazalım.
\( 9\cos^2{x} + 6\cos{x}\sin{x} + \sin^2{x} + \cos^2{x} - 6\cos{x}\sin{x} + 9\sin^2{x} \)
\( = 9\cos^2{x} + \sin^2{x} + \cos^2{x} + 9\sin^2{x} \)
\( = 10(\cos^2{x} + \sin^2{x}) \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = 10 \) bulunur.
\( \cos{x}\sin{x}(\cot{x} + \tan{x}) \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Gösterİfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \cos{x}\sin{x}(\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} + \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}) \)
Parantezi genişletelim.
\( = \cos{x}\sin{x}\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} + \cos{x}\sin{x}\dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} \)
\( = \cos^2{x} + \sin^2{x} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = 1 \) bulunur.
\( \sin{x} + \cos{x}\cot{x} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü GösterKotanjant ifadesini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \sin{x} + \cos{x}\dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} \)
Terimlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{\sin^2{x}}{\sin{x}} + \dfrac{\cos^2{x}}{\sin{x}} \)
\( = \dfrac{\sin^2{x} + \cos^2{x}}{\sin{x}} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{1}{\sin{x}} = \csc{x} \) bulunur.
\( \dfrac{\sin^2{x}}{1 + \cos{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Göster\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \)
\( \sin^2{x} = 1 - \cos^2{x} \)
Bu ifadeyi paydaki ifadenin yerine koyalım.
\( \dfrac{\sin^2{x}}{1 + \cos{x}} = \dfrac{1 - \cos^2{x}}{1 + \cos{x}} \)
Kare farkı özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})}{(1 + \cos{x})} \)
\( = 1 - \cos{x} \) bulunur.
\( \csc^2{x}(\tan^2{x} - \sin^2{x}) \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Gösterİfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{1}{\sin^2{x}}(\dfrac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} - \sin^2{x}) \)
Parantez içerisindeki ifadenin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{1}{\sin^2{x}}(\dfrac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} - \dfrac{\cos^2{x} \cdot \sin^2{x}}{\cos^2{x}}) \)
\( = \dfrac{1}{\sin^2{x}} \cdot \dfrac{\sin^2{x}(1 - \cos^2{x})}{\cos^2{x}} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{1}{\sin^2{x}} \cdot \dfrac{\sin^2{x}\sin^2{x}}{\cos^2{x}} \)
\( = \dfrac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}} \)
\( = \tan^2{x} \) bulunur.
\( \dfrac{\tan{x}}{\sec{x} - 1} - \dfrac{\sec{x} - 1}{\tan{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Gösterİfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1}{\cos{x}} - 1} - \dfrac{\frac{1}{\cos{x}} - 1}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1 - \cos{x}}{\cos{x}}} - \dfrac{\frac{1 - \cos{x}}{\cos{x}}}{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\sin{x}}{1 - \cos{x}} - \dfrac{1 - \cos{x}}{\sin{x}} \)
Terimlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{\sin^2{x}}{(1 - \cos{x})\sin{x}} - \dfrac{(1 - \cos{x})^2}{\sin{x}(1 - \cos{x})} \)
\( = \dfrac{\sin^2{x} - 1 + 2\cos{x} - \cos^2{x}}{(1 - \cos{x})\sin{x}} \)
\( \sin^2{x} = 1 - \cos^2{x} \) yazalım.
\( = \dfrac{1 - \cos^2{x} - 1 + 2\cos{x} - \cos^2{x}}{(1 - \cos{x})\sin{x}} \)
\( = \dfrac{2\cos{x} - 2\cos^2{x}}{(1 - \cos{x})\sin{x}} \)
\( = \dfrac{2\cos{x}(1 - \cos{x})}{(1 - \cos{x})\sin{x}} \)
\( = \dfrac{2\cos{x}}{\sin{x}} \)
\( = 2\cot{x} \) bulunur.
\( \dfrac{\sec{x}}{1 + \sec{x}} - \dfrac{\sec{x}}{1 - \sec{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü GösterSekant ifadelerini kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\frac{1}{\cos{x}}}{1 + \frac{1}{\cos{x}}} - \dfrac{\frac{1}{\cos{x}}}{1 - \frac{1}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{\cos{x}}}{\frac{\cos{x}}{\cos{x}} + \frac{1}{\cos{x}}} - \dfrac{\frac{1}{\cos{x}}}{\frac{\cos{x}}{\cos{x}} - \frac{1}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\frac{1}{\cos{x}}}{\frac{\cos{x} + 1}{\cos{x}}} - \dfrac{\frac{1}{\cos{x}}}{\frac{\cos{x} - 1}{\cos{x}}} \)
Pay ve paydaların paydalarındaki kosinüs ifadeleri sadeleşir.
\( = \dfrac{1}{\cos{x} + 1} - \dfrac{1}{\cos{x} - 1} \)
Kesirlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{\cos{x} - 1}{(\cos{x} + 1)(\cos{x} - 1)} - \dfrac{\cos{x} + 1}{(\cos{x} + 1)(\cos{x} - 1)} \)
\( = \dfrac{\cos{x} - 1 - \cos{x} - 1}{\cos^2{x} - 1} \)
Paydada Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{-2}{-\sin^2{x}} \)
\( = \dfrac{2}{\sin^2{x}} = 2\csc^2{x} \) bulunur.
\( \sec^3{x} \cdot \cos^6{x} + \cot{x} \cdot \csc{x} \cdot \sin^4{x} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Gösterİfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{1}{\cos^3{x}} \cdot \cos^6{x} + \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} \cdot \dfrac{1}{\sin{x}} \cdot \sin^4{x} \)
\( = \cos^3{x} + \cos{x}\sin^2{x} \)
İfadeyi kosinüs parantezine alalım.
\( = \cos{x}(\cos^2{x} + \sin^2{x}) \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \cos{x} \) bulunur.
\( \dfrac{1 + \sec{x}}{\sin{x} + \tan{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü GösterSekant ve tanjant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{1 + \sec{x}}{\sin{x} + \tan{x}} = \dfrac{1 + \frac{1}{\cos{x}}}{\sin{x} + \frac{\sin{x}}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\frac{\cos{x} + 1}{\cos{x}}}{\frac{\sin{x}\cos{x} + \sin{x}}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\cos{x} + 1}{\sin{x}\cos{x} + \sin{x}} \)
\( = \dfrac{\cos{x} + 1}{\sin{x}(\cos{x} + 1)} \)
\( = \sin{x} \)
\( = \csc{x} \) bulunur.
\( \dfrac{\sec{x} - \cos{x}}{\sin^2{x}\tan{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Gösterİfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\frac{1}{\cos{x}} - \cos{x}}{\sin^2{x}\frac{\sin{x}}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\frac{1 - \cos^2{x}}{\cos{x}}}{\frac{\sin^3{x}}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\sin^2{x}}{\sin^3{x}} \)
\( = \dfrac{1}{\sin{x}} = \csc{x} \) bulunur.
\( \dfrac{\tan{x}}{(1 - \cos{x})(1 + \sec{x})} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü GösterPaydadaki çarpma işlemini dağıtalım.
\( \dfrac{\tan{x}}{1 + \sec{x} - \cos{x} - \sec{x}\cos{x}} \)
Kosinüs ve sekant birbirinin çarpmaya göre tersidir.
\( = \dfrac{\tan{x}}{1 + \sec{x} - \cos{x} - 1} \)
İfadeleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1}{\cos{x}} - \cos{x}} \)
\( = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1 - \cos^2{x}}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{\sin^2{x}}{\cos{x}}} \)
\( = \dfrac{\sin{x}}{\sin^2{x}} \)
\( = \dfrac{1}{\sin{x}} = \csc{x} \) bulunur.
\( \dfrac{\tan{x}}{\sec{x} - 1} - \dfrac{\sin{x}}{1 + \cos{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Gösterİfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1}{\cos{x}} - 1} - \dfrac{\sin{x}}{1 + \cos{x}} \)
\( = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1 - \cos{x}}{\cos{x}}} - \dfrac{\sin{x}}{1 + \cos{x}} \)
\( = \dfrac{\sin{x}}{1 - \cos{x}} - \dfrac{\sin{x}}{1 + \cos{x}} \)
Terimlerin paydalarını eşitleyelim.
\( = \dfrac{\sin{x}(1 + \cos{x})}{(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})} - \dfrac{\sin{x}(1 - \cos{x})}{(1 + \cos{x})(1 - \cos{x})} \)
\( = \dfrac{\sin{x} + \sin{x}\cos{x} - \sin{x} + \sin{x}\cos{x}}{(1 - \cos{x})(1 + \cos{x})} \)
\( = \dfrac{2\sin{x}\cos{x}}{1^2 - \cos^2{x}} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{2\sin{x}\cos{x}}{\sin^2{x}} \)
\( = \dfrac{2\cos{x}}{\sin{x}} = 2\cot{x} \) bulunur.
\( \dfrac{2\sin{x}\cos{x} - \sin{x}}{1 - \cos{x} + \cos^2{x} - \sin^2{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü GösterPaydada Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( \dfrac{2\sin{x}\cos{x} - \sin{x}}{1 - \cos{x} + \cos^2{x} - (1 - \cos^2{x})} \)
\( = \dfrac{2\sin{x}\cos{x} - \sin{x}}{2\cos^2{x} - \cos{x} } \)
\( = \dfrac{\sin{x}(2\cos{x} - 1)}{\cos{x}(2\cos{x} - 1)} \)
\( = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x} \) bulunur.
\( \dfrac{6\tan{x}}{1 + \tan^2{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü GösterTanjant ifadelerini sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{6\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{1 + \frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}} \)
\( = \dfrac{6\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{\cos^2{x} + \sin^2{x}}{\cos^2{x}}} \)
Pisagor özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{6\frac{\sin{x}}{\cos{x}}}{\frac{1}{\cos^2{x}}} \)
\( = 6\sin{x}\cos{x} \)
Sinüs iki kat açı formülünü kullanalım.
\( = 3\sin(2x) \) olarak bulunur.
\( \tan{x} - \cot{x} = \dfrac{3}{4} \) olduğuna göre,
\( \tan^2{x} + \cot^2{x} \) kaçtır?
Çözümü GösterEşitliğin iki tarafının karesini alalım.
\( (\tan{x} - \cot{x})^2 = (\dfrac{3}{4})^2 \)
\( = \tan{x}^2 - 2 \cdot \tan{x} \cdot \cot{x} + \cot^2{x} = \dfrac{9}{16} \)
Bir açının tanjantı ile kotanjantının çarpımı 1'dir.
\( \tan^2{x} - 2 + \cot^2{x} = \dfrac{9}{16} \)
\( \tan^2{x} + \cot^2{x} = \dfrac{41}{16} \) bulunur.
\( \dfrac{\sin^3{x} - \cos^3{x}}{\tan{x} \cdot \cot{x} + \sin{x} \cdot \cos{x}} \)
ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü GösterPaydaki küp farkı özdeşliğini çarpanlarına ayıralım.
\( \dfrac{(\sin{x} - \cos{x})(\sin^2{x} + \sin{x} \cdot \cos{x} + \cos^2{x})}{\tan{x} \cdot \cot{x} + \sin{x} \cdot \cos{x}} \)
Sinüs - kosinüs kare toplamı ve tanjant - kotanjant çarpım özdeşlikleri ile ifadeyi sadeleştirelim.
\( = \dfrac{(\sin{x} - \cos{x})(1 + \sin{x} \cdot \cos{x})}{1 + \sin{x} \cdot \cos{x}} \)
\( = \sin{x} - \cos{x} \) bulunur.
\( \sin{x} - \cos{x} = \dfrac{1}{3} \) olduğuna göre,
\( \tan{x} + \cot{x} \) ifadesinin değeri nedir?
Çözümü GösterEşitliğin iki tarafının karesini alalım.
\( (\sin{x} - \cos{x})^2 = \left( \dfrac{1}{3} \right)^2 \)
\( \sin^2{x} - 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} = \dfrac{1}{9} \)
Sinüs - kosinüs kare toplamı özdeşliğini kullanalım.
\( 1 - 2\sin{x}\cos{x} = \dfrac{1}{9} \)
\( \sin{x}\cos{x} = \dfrac{4}{9} \)
Değeri sorulan ifadeyi düzenleyelim.
\( \tan{x} + \cot{x} = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}} + \dfrac{\cos{x}}{\sin{x}} \)
\( = \dfrac{\sin^2{x} + \cos^2{x}}{\sin{x}\cos{x}} \)
\( = \dfrac{1}{\sin{x}\cos{x}} = \dfrac{9}{4} \) bulunur.
\( \sin^2{1°} + \sin^2{2°} + \ldots + \sin^2{89°} + \sin^2{90°} \)
ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü GösterBirbirini 90 dereceye tamamlayan açıların sinüs ve kosinüs değerleri birbirine eşittir.
\( \sin{x} = \cos(\frac{\pi}{2} - x) \)
\( 46° - 89° \) arasındaki sinüs ifadelerini kosinüse çevirirsek \( 1° - 44° \) arasındaki açıların her biri için sinüs - kosinüs kare toplamı oluşmuş olur.
\( \sin{1°} + \sin{89°} = \sin{1°} + \cos{1°} = 1 \)
Bu 44 kare toplamı ifadesinin toplamı \( 44 \cdot 1 = 44 \) olur.
Geriye \( 45° \) ve \( 90° \)'li terimler kalır.
\( = 44 + \sin^2{45°} + \sin^2{90°} \)
\( = 44 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1^2 \)
\( = 44 + \frac{1}{2} + 1 \)
\( = 45\frac{1}{2} \) bulunur.
\( a = \csc^2{x} - \dfrac{1}{\tan^2{x}} \)
\( b = 3\tan^2{x} - \dfrac{3}{\cos^2{x}} \)
olduğuna göre, \( a \cdot b \) çarpımının değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( a = \dfrac{1}{\sin^2{x}} - \dfrac{1}{\frac{\sin^2{x}}{\cos^2{x}}} \)
\( = \dfrac{1}{\sin^2{x}} - \dfrac{\cos^2{x}}{\sin^2{x}} \)
\( = \dfrac{1 - \cos^2{x}}{\sin^2{x}} \)
\( = \dfrac{\sin^2{x}}{\sin^2{x}} = 1 \)
\( b = \dfrac{3\sin^2{x}}{\cos^2{x}} - \dfrac{3}{\cos^2{x}} \)
\( = \dfrac{3(\sin^2{x} - 1)}{\cos^2x} \)
\( = \dfrac{3(-\cos^2{x})}{\cos^2{x}} = -3 \)
\( a \cdot b = 1 \cdot (-3) = -3 \) bulunur.
\( \dfrac{\tan{x} + \cot{x}}{\csc{x} - \sin{x}} \) ifadesinin en sade halini bulunuz.
Çözümü Gösterİfadedeki terimleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \dfrac{\tan{x} + \cot{x}}{\csc{x} - \sin{x}} = \dfrac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}} + \frac{\cos{x}}{\sin{x}}}{\frac{1}{\sin{x}} - \sin{x}} \)
\( = \dfrac{\frac{\sin^2{x} + \cos^2{x}}{\sin{x} \cdot \cos{x}}}{\frac{1 - \sin^2{x}}{\sin{x}}} \)
Sinüs - kosinüs kare toplamı özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{\frac{1}{\sin{x} \cdot \cos{x}}}{\frac{\cos^2{x}}{\sin{x}}} \)
\( = \dfrac{1}{\sin{x} \cdot \cos{x}} \cdot \dfrac{\sin{x}}{\cos^2{x}} \)
\( = \dfrac{1}{\cos^3{x}} = \sec^3{x} \) olarak bulunur.
\( \dfrac{6\sin{\alpha} - 5}{\sqrt{11} - 6\cos{\alpha}} - \dfrac{6\cos{\alpha} + \sqrt{11}}{5 + 6\sin{\alpha}} \)
ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü GösterPaydaları eşitleyelim.
\( \dfrac{(6\sin{\alpha} - 5)(6\sin{\alpha} + 5) - (\sqrt{11} + 6\cos{\alpha})(\sqrt{11} - 6\cos{\alpha})}{(\sqrt{11} - 6\cos{\alpha})(5 + 6\sin{\alpha})} \)
Paydaki çarpanlar birbirinin eşleniği olduğu için kare farkı şeklinde yazalım.
\( \dfrac{((6\sin{\alpha})^2 - 5^2) - ((\sqrt{11})^2 - (6\cos{\alpha})^2)}{(\sqrt{11} - 6\cos{\alpha})(5 + 6\sin{\alpha})} \)
\( = \dfrac{36\sin^2{\alpha} - 25 - 11 + 36\cos^2{\alpha}}{(\sqrt{11} - 6\cos{\alpha})(5 + 6\sin{\alpha})} \)
Sinüs - kosinüs kare toplamı özdeşliğini kullanalım.
\( = \dfrac{36 - 36}{(\sqrt{11} - 6\cos{\alpha})(5 + 6\sin{\alpha})} \)
\( = 0 \) bulunur.
\( 0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2} \) olmak üzere,
\( \dfrac{\cos{\alpha} - \sin{\alpha}}{3(\sin{\alpha} + \cos{\alpha})} = \dfrac{1}{4} \)
olduğuna göre, \( \cos^4{\alpha} - \sin^4{\alpha} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Gösterİçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( 4\cos{\alpha} - 4\sin{\alpha} = 3\sin{\alpha} + 3\cos{\alpha} \)
\( \cos{\alpha} = 7\sin{\alpha} \)
\( \dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \dfrac{1}{7} \)
\( \tan{\alpha} = \dfrac{1}{7} \)
\( \alpha \) açısının karşı kenarına \( k \), komşu kenarına \( 7k \) dersek hipotenüs Pisagor teoreminden \( \sqrt{50}k \) olarak bulunur.
\( k^2 + (7k)^2 = (\sqrt{50}k)^2 \)
\( \cos{\alpha} = \dfrac{7k}{\sqrt{50}k} = \dfrac{7}{\sqrt{50}} \)
\( \sin{\alpha} = \dfrac{k}{\sqrt{50}k} = \dfrac{1}{\sqrt{50}} \)
Soruda istenen ifadenin değerini bulalım.
\( \cos^4{\alpha} - \sin^4{\alpha} = (\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha})(\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha}) \)
\( = ((\dfrac{7}{\sqrt{50}})^2 - (\dfrac{1}{\sqrt{50}})^2)(1) \)
\( = \dfrac{49}{50} - \dfrac{1}{50} \)
\( = \dfrac{48}{50} = \dfrac{24}{25} \) bulunur.
\( \tan^4{x} + \cot^4{x} = 2 \) olduğuna göre,
\( \tan{x} + \cot{x} \) toplamının pozitif değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( \tan{x} + \cot{x} = k \) diyelim.
İki tarafın karesini alalım.
\( (\tan{x} + \cot{x})^2 = k^2 \)
\( \tan^2{x} + 2\tan{x}\cot{x} + \cot^2{x} = k^2 \)
Bir açının tanjantı ile kotanjantının çarpımı 1'dir.
\( \tan^2{x} + 2 + \cot^2{x} = k^2 \)
\( \tan^2{x} + \cot^2{x} = k^2 - 2 \)
İki tarafın tekrar karesini alalım.
\( (\tan^2{x} + \cot^2{x})^2 = (k^2 - 2)^2 \)
\( \tan^4{x} + 2\tan^2{x} \cot^2{x} + \cot^4{x} = (k^2 - 2)^2 \)
\( \tan^4{x} + 2 + \cot^4{x} = (k^2 - 2)^2 \)
Verilen \( \tan^4{x} + \cot^4{x} \) değerini yerine koyalım.
\( 2 + 2 = (k^2 - 2)^2 \)
\( k^2 - 2 = 2 \) veya \( k^2 - 2 = -2 \)
\( k^2 = 4 \) veya \( k^2 = 0 \)
\( k \in \{ -2, 0, 2 \} \)
Buna göre \( \tan{x} + \cot{x} \) toplamının pozitif değeri 2 olur.
\( 2\cot{x} + 4\tan{x} = 5 \) olduğuna göre,
\( \cot^2{x} + \dfrac{4}{\cot^2{x}} \) ifadesinin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster\( \tan{x}\cot{x} = 1 \) olduğu için \( \tan{x} = \dfrac{1}{\cot{x}} \) yazabiliriz.
\( 2\cot{x} + \dfrac{4}{\cot{x}} = 5 \)
\( 2(\cot{x} + \dfrac{2}{\cot{x}}) = 5 \)
\( \cot{x} + \dfrac{2}{\cot{x}} = \dfrac{5}{2} \)
Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım.
\( (\cot{x} + \dfrac{2}{\cot{x}})^2 = (\dfrac{5}{2})^2 \)
\( \cot^2{x} + 4 + \dfrac{4}{\cot^2{x}} = \dfrac{25}{4} \)
\( \cot^2{x} + \dfrac{4}{\cot^2{x}} = \dfrac{25}{4} - 4 \)
\( = \dfrac{9}{4} \) bulunur.
\( m = \sqrt{3}\sin{\alpha} + 2\cos{\alpha} \)
\( n = \sqrt{3}\cos{\alpha} - 2\sin{\alpha} \)
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, \( m \)'nin \( n \) cinsinden eşiti kaçtır?
Çözümü GösterHer iki denklemde tarafların karesini alalım.
\( m^2 = 3\sin^2{\alpha} + 4\sqrt{3}\sin{\alpha}\cos{\alpha} + 4\cos^2{\alpha} \)
\( n^2 = 3\cos^2{\alpha} - 4\sqrt{3}\sin{\alpha}\cos{\alpha} + 4\sin^2{\alpha} \)
Eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.
\( m^2 + n^2 = 7\sin^2{\alpha} + 7\cos^2{\alpha} \)
\( = 7(\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}) = 7 \)
\( m^2 = 7 - n^2 \)
\( m = \sqrt{7 - n^2} \) bulunur.
\( 0° \lt \theta \lt 90° \) olmak üzere,
\( \csc^2{\theta} + \cot^2{\theta} = 4 \) eşitliği veriliyor.
Buna göre, \( \tan{\theta} \) kaça eşittir?
Çözümü Göster\( \csc^2{\theta} + \cot^2{\theta} = 4 \)
\( \dfrac{1}{\sin^2{\theta}} + \dfrac{\cos^2{\theta}}{\sin^2{\theta}} = 4 \)
\( 1 + \cos^2{\theta} = 4\sin^2{\theta} \)
\( 1 + (1 - \sin^2{\theta}) = 4\sin^2{\theta} \)
\( 5\sin^2{\theta} = 2 \)
\( \sin^2{\theta} = \dfrac{2}{5} \)
\( \sin{\theta} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \)
Sinüs değeri bilinen bir açının tanjant değerini bulmak için bir dik üçgen çizelim ve Pisagor teoremini kullanarak komşu kenar uzunluğunu bulalım.
\( \tan{\theta} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \)
\( = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \) bulunur.
\( 0° \lt \alpha \lt 90° \) olmak üzere,
\( \tan{\dfrac{\alpha}{2}} \cdot \tan{\dfrac{8\alpha}{9}} = 1 \) olduğuna göre, \( \alpha \) kaç derecedir?
Çözümü GösterBir açının tanjantı ile kotanjantının çarpımı 1'dir.
\( \tan{\dfrac{\alpha}{2}} \cdot \cot{\dfrac{\alpha}{2}} = 1 \)
Buna göre aşağıdaki iki ifade birbirine eşittir.
\( \tan{\dfrac{8\alpha}{9}} = \cot{\dfrac{\alpha}{2}} \)
Tümler açıların tanjant ve kotanjant değerleri birbirine eşittir.
Buna göre \( \frac{8\alpha}{9} \) ve \( \frac{\alpha}{2} \) tümler açılardır.
\( \dfrac{8\alpha}{9} + \dfrac{\alpha}{2} = 90 \)
\(\dfrac{25\alpha}{18} = 90 \)
\( \alpha = \dfrac{90 \cdot 18}{25} \)
\( = 64,8° \) olarak bulunur.
\( \sin{x} + \csc{x} = -2 \) olduğuna göre,
\( \csc^8{x} + \cos^4{x} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster\( \sin{x} + \dfrac{1}{\sin{x}} = -2 \)
\( \dfrac{\sin^2{x} + 1}{\sin{x}} = -2 \)
İçler - dışlar çarpımı yapalım.
\( \sin^2{x} + 1 = -2\sin{x} \)
\( \sin^2{x} + 2\sin{x} + 1 = 0 \)
\( (\sin{x} + 1)^2 = 0 \)
\( \sin{x} + 1 = 0 \)
\( \sin{x} = -1 \)
Değeri istenen ifadedeki terimlerin değerini bulalım.
\( \csc{x} = \dfrac{1}{\sin{x}} = -1 \)
Bu değeri sinüs - kosinüs kare toplamı özdeşliğinde yerine koyalım.
\( \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 \)
\( (-1)^2 + \cos^2{x} = 1 \)
\( \cos^2{x} = 0 \Longrightarrow \cos{x} = 0 \)
Bulduğumuz değerleri istenen ifadede yerine koyalım.
\( \csc^8{x} + \cos^4{x} = (-1)^8 + 0^4 \)
\( = 1 \) olarak bulunur.
\( 4x^2 - x - k = 0 \) denkleminin kökleri \( \sin{t} \) ve \( \cos{t} \) olduğuna göre, \( k \) değeri nedir?
Çözümü Göster2. derece denklemin kökler toplamı formülünü kullanalım.
\( \sin{t} + \cos{t} = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{4} \)
2. derece denklemin kökler çarpımı formülünü kullanalım.
\( \sin{t} \cdot \cos{t} = \dfrac{c}{a} = -\dfrac{k}{4} \)
Kökler toplamı eşitliğinde iki tarafın karesini alalım.
\( (\sin{t} + \cos{t})^2 = (\dfrac{1}{4})^2 \)
\( \sin^2{t} + 2\sin{t} \cdot \cos{t} + \cos^2{t} = \dfrac{1}{16} \)
\( \sin^2{t} + \cos^2{t} = 1 \) özdeşliğini kullanalım.
\( 1 + 2\sin{t} \cdot \cos{t} = \dfrac{1}{16} \)
\( 2\sin{t} \cdot \cos{t} = -\dfrac{15}{16} \)
Kökler çarpımını yukarıda bulduğumuz değere eşitleyelim.
\( \sin{t} \cdot \cos{t} = -\dfrac{15}{32} = -\dfrac{k}{4} \)
\( \dfrac{k}{4} = \dfrac{15}{32} \)
\( k = \dfrac{15}{8} \) bulunur.